PL 2

Ejercicio 7.27 Considere las siguientes cuatro formulaciones de PL. Usando un método gráfico, determine a) que formulación tiene más de una solución óptima. b) que formulación es no acotada. c) que formulación no tiene una solución factible. d) que formulación es correcta como está.

Resolución método gráfico Formulación 1

Formulación 2

Formulación 3

Formulación 4

Interpretación de resultados La formulación 2 tiene más de una solución factible. La formulación 3 es no acotada, la formulación que no tiene soluciones factibles es la 1 y la que está correcta es la 4. Ejercicio 7.28 Grafique el siguiente problema de PL e indique el punto de solución óptima:

a) ¿Cambiaría la solución óptima si la utilidad por unidad de X cambia a $4.50? b) ¿Qué sucede si la función de utilidad hubiera sido $3X + $3Y? Resolución método gráfico

La solución del ejercicio es (37,5; 75) obteniendo una utilidad de 262,5.

Interpretación del resultado a) ¿Cambiaría la solución óptima si la utilidad por unidad de X cambia a $4.50?

Incrementando la utilidad de X a $4,50 la solución óptima cambia dando una utilidad de $337,5, para esto el punto óptimo es de 50 unidades en X y 0 unidades en Y. b) ¿Qué sucede si la función de utilidad hubiera sido $3X + $3Y?

Con el cambio de la función objetivo la utilidad total se mantiene igual que el literal “a”, sin embargo, el punto óptimo si se altera, ahora se requieren de 37,5 unidades de X y de 75 unidades de Y. Ejercicio 7.29 Gráficamente analice el siguiente problema:

a) ¿Cuál es la solución óptima? b) Si la primera restricción se modifica como X + 3Y ≤ 8, ¿cambiarían la región factible o la solución óptima? Resolución método gráfico

a) ¿Cuál es la solución óptima?

La solución óptima es (2; 3) maximizando la utilidad en 26.

b) Si la primera restricción se modifica como X + 3Y ≤ 8, ¿cambiarían la región factible o la solución óptima?

Al modificar la primera restricción el punto óptimo cambia con respecto al primer literal, al maximizar la función se tiene un valor óptimo de 21,71, el cual es menor al primer literal, con un punto óptimo de 2.95 para X y de 1,71 para Y. Ejercicio 7.30 Examine la formulación de PL en el problema 7-29. La segunda restricción del problema indica: 6X + 4Y ≤ 24 horas (tiempo disponible en la máquina 2) Si la empresa decide que 36 horas de tiempo pueden estar disponibles en la máquina 2 (es decir, 12 horas adicionales) a un costo adicional de $10, ¿deberían agregar horas? Resolución utilizando Geogebra

Maximizando la función objetivo: 4X + 6Y Z = 4(5) + 6(1,5) Z = 29 Interpretación de resultados Si se podría aumentar el número de horas para la máquina 2 ya que la solución óptima asciende a 29, es decir se puede aumentar en 4 horas de uso. Ejercicio 7.31 Considere el siguiente problema de PL:

a) ¿Cuál es la solución óptima para este problema? Resuélvalo gráficamente. b) Si se produjo un gran avance técnico que elevó la utilidad por unidad de X a $8, ¿afectaría esto la solución óptima? c) En vez de un aumento en el coeficiente de utilidad X a $ 8, suponga que la utilidad se sobreestimó y tan solo debería haber sido de $3. ¿Cambia esto la solución óptima?

Resolución método gráfico

Análisis: La solución óptima para este ejercicio es (30; 60) dando una utilidad total de 510.

Análisis: Al cambiar la utilidad de X a 8 el punto óptimo no cambia sin embargo la utilidad óptima incrementa a $600.

Análisis: Al disminuir la utilidad de X a 3, la solución óptima cambia a $480, un valor inferior a los anteriores por lo tanto, el cambio de la utilidad de X a 8 fue acertada. Ejercicio 7.32 Considere la formulación de PL dada en el problema 7.31. Si la segunda restricción se cambia de 2X + 3Y ≤ 240 a 2X + 4Y ≤ 240, ¿qué efecto tendrá este cambio en la solución óptima? Maximizar Función Objetivo: U = 5X + 6Y

R1 2X + Y ≤ 120

Resolución método gráfico

Sujeta a las Restricciones R2 2X + 4Y ≤ 240

No negatividad X, Y ≥ 0

Interpretación de resultados Al cambiar la segunda restricción, el punto óptimo cambió a 40 para X y 40 para Y, obteniendo una disminución de la utilidad máxima que ahora es de $400. Ejercicio 7.33 El resultado de computadora que se presenta a continuación es para el problema 7.31. Úselo para contestar las siguientes preguntas.

a) ¿Cuánto podría aumentar o disminuir la utilidad de X, sin necesidad de cambiar los valores de X y de Y en la solución óptima?

b) Si el lado derecho de la restricción 1 se aumentara en 1 unidad, ¿cuánto aumentaría la utilidad? c) Si el lado derecho de la restricción 1 se aumentara en 10 unidades, ¿cuánto aumentaría la utilidad? Ejercicio 7.34 Los resultados por computadora que se muestran en la siguiente página son de un problema de mezcla de productos donde hay dos productos y tres restricciones de recursos. Utilice tales resultados para ayudarle a responder las siguientes preguntas. Suponga que desea maximizar las utilidades en cada caso. a) ¿Cuántas unidades del producto 1 y del producto 2 se deberían producir? b) ¿Cuánto de cada uno de los tres recursos se está utilizando? ¿Cuánta holgura hay en cada restricción? ¿Cuáles restricciones son obligatorias, y cuáles no son obligatorias? c) ¿Cuáles son los precios duales para cada recurso? d) Si se pudiera obtener más de uno de los recursos, ¿cuál debería obtener? ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por esto? e) ¿Qué le pasaría a la utilidad sí, con los resultados originales, la gerencia decidiera elaborar una unidad más del producto 2? Ejercicio 7.35 Resuelva gráficamente el siguiente problema:

a) ¿Cuál es la solución óptima? b) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 11 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto aumenta la utilidad como consecuencia de esto?

c) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 6 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto disminuyen las utilidades como resultado de esto? Examine la gráfica, ¿qué sucedería si el valor del lado derecho se reduce por debajo de 6? d) Cambie el valor del lado derecho de la restricción 1 a 5 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto disminuye la utilidad con respecto a la utilidad original como resultado de esto? e) Utilizando los resultados por computadora de esta página, ¿cuál es el precio dual de la restricción 1? ¿Cuál es su límite inferior? f) ¿Qué conclusiones se obtienen de estos resultados con respecto a los límites de los valores del lado derecho y al precio dual?

Ejercicio 7.36 Los tres príncipes de Serendip hicieron un pequeño viaje. No podían llevar mucho peso; más de 300 libras los hicieron dudar. Planearon llevar pequeñas cantidades. Cuando regresaron a Ceilán descubrieron que sus provisiones estaban a punto de desaparecer cuando, para su alegría, el príncipe William encontró un montón de cocos en el suelo. “Cada uno aportará 60 rupias”, dijo el príncipe Richard con una sonrisa. Como casi se tropieza con una piel de león. “¡Cuidado!”, grito el príncipe Robert con alegría cuando observó más pieles de león debajo de un árbol. “Estas valen aún más: 300 rupias cada una. Si tan solo pudiéramos llevarlas todas a la playa”. Cada piel pesaba quince libras y cada coco cinco, pero cargaron todo y lo hicieron con ánimo. El barco para regresar a la isla era muy pequeño15 pies cúbicos de capacidad de equipaje, eso era todo. Cada piel de león ocupó un pie cúbico mientras que ocho cocos ocupaban el mismo espacio. Con todo guardado se hicieron a la mar y en el trayecto calculaban lo que su nueva riqueza podría ser. “¡Eureka!”, gritó el príncipe Robert, “Nuestra riqueza es tan grande que no hay otra forma de regresar en este estado. Cualquier otra piel o coco que pudiéramos haber traído ahora nos harían más pobres. Y ahora sé que voy a escribir, a mi amigo Horacio, en Inglaterra, porque seguramente tan solo él puede apreciar nuestro serendipity”. Formule y resuelva Serendipity con PL gráfica para calcular “cuál podría ser su nueva riqueza”. Ejercicio 7.37

A Inversiones Bhavika, un grupo de asesores financieros y planeadores de jubilación, se le ha pedido que aconseje a uno de sus clientes cómo invertir $200,000. El cliente ha estipulado que el dinero se debe poner en cualquier fondo de acciones o de mercado monetario, y que el rendimiento anual debería ser de al menos de $14,000. También se le han especificado otras condiciones relacionadas con el riesgo, y se desarrolló el siguiente programa lineal para ayudar con esta decisión de inversión.

En la parte inferior se muestran los resultados en QM para Windows. a) ¿Cuánto dinero se debería invertir en el fondo del mercado monetario y en el fondo de acciones? ¿Cuál es el riesgo total? b) ¿Cuál es el rendimiento total? ¿Qué tasa de rendimiento es esta? c) ¿Cambiaría la solución si la medida de riesgo de cada dólar en el fondo de acciones fuera de 14 en vez de 12? d) Por cada dólar adicional que está disponible, ¿cuál es el cambio en el riesgo e) ¿Podría cambiar la solución si la cantidad que se deba invertir en el fondo del mercado monetario cambiara de $40,000 a $50,000?

Ejercicio 7.38 Consulte el caso de Inversiones Bhavika (problema 7-37), una vez más. Se ha decidido que, en vez de minimizar el riesgo, el objetivo debería ser maximizar el rendimiento, haciendo

una restricción a la cantidad del riesgo. El riesgo promedio no debería ser de más de 11 (con un riesgo total de 2,200,000 de los $200,000 invertidos). Se reformuló el programa lineal, y los resultados QM para Windows se muestran en la siguiente página. a) ¿Cuánto dinero se debería invertir en el fondo del mercado monetario y en el fondo de acciones? ¿Cuál es el rendimiento total? ¿Qué tasa de rendimiento es esta? b) ¿Cuál es el riesgo total? ¿Cuál es el riesgo promedio? c) ¿Cambiaría la solución, si el rendimiento por cada dólar en el fondo de acciones fuera de 0.09 en vez de 0.10? d) Por cada dólar adicional que está disponible, ¿cuál es la tasa de rendimiento marginal? e) ¿Cuál sería el cambio de la rentabilidad total, si la cantidad que se debe invertir en el fondo del mercado monetario cambiara de $40,000 a $50,000?