Pirâmides e Cones

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1. (Ufsm 2015) Desde a descoberta do primeiro plástico sintético da história, esse material vem sendo aperfeiçoado e aplicado na indústria. Isso se deve ao fato de o plástico ser leve, ter alta resistência e flexibilidade. Uma peça plástica usada na fabricação de um brinquedo tem a forma de uma pirâmide regular quadrangular em que o apótema mede 10mm  e a aresta da base mede 12mm.  A peça possui para encaixe, em seu interior, uma parte oca de volume igual a 78mm3 . O volume, em mm3,  dessa peça é igual a a) 1152. b) 1074. c) 402. d) 384. e) 306.

Resposta: [E]

Cálculo da altura da Pirâmide: h 2  6 2  10 2  h  8mm Volume da peça como diferença do volume da pirâmide e o volume da parte oca. Vpe ça ça  Vpirâm id ide  78 Vpeça 

1 3

 122  8  78

Vpeça  306mm3

(CH4 ),  o átomo de carbono ocupa o centro de um 2. (Uel 2015) Na molécula do Metano (CH tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio.

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Considerando que as arestas h

1 3

do tetraedro regular medem

6 cm  e

que a altura mede

6,  assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o volume desse tetraedro.

a) 3 3 cm3 b) 18 2 cm3 c) 18 3 cm3 d) 36 2 cm3 e) 54 2 cm3

Resposta: [B] O volume do tetraedro regular de aresta

 6cm  é dado por

3

2 63 2   18 2 cm3 . 12 12

3. (Insper 2014) Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no formato de pirâmide regular, como mostrado na figura.

As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são

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revestidas com um adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto. A área da parte revestida, em cm 2, é igual a a) 72(3  3 ). b) 36(6  5 ). c) 108(2  5). d) 27(8  7 ). e) 54(4  7 ).

Resposta: [E] Considere a figura, em que V  é o vértice da pirâmide, médio da aresta  AB.

O  é

o centro da base e M  é o ponto

Desse modo, como  AB  6cm,  vem OM 

 AB 2tg30

 OM 

6 3 2 3

 3 3 cm.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OVM,  encontramos 2 2 2 2 VM  OV  OM  VM  62  (3 3 )2

 VM  3 7 cm.

Portanto, o resultado pedido é dado por   

2

6   AB 

 AB  VM  2   6  (6  3  3 7 ) 2 

 54(4  7 )cm2 .

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4. (Unesp 2014) Prato da culinária japonesa, o temaki é um tipo de sushi na forma de cone, enrolado externamente com nori, uma espécie de folha feita a partir de algas marinhas, e recheado com arroz, peixe cru, ovas de peixe, vegetais e uma pasta de maionese e cebolinha.

Um temaki típico pode ser representado matematicamente por um cone circular reto em que o diâmetro da base mede 8 cm e a altura 10 cm. Sabendo-se que, em um temaki típico de salmão, o peixe corresponde a 90% da massa do seu recheio, que a densidade do salmão é de 0,35 g/cm3, e tomando π  3, a quantidade aproximada de salmão, em gramas, nesse temaki, é de a) 46. b) 58. c) 54. d) 50. e) 62.

Resposta: [D] O volume do cone (recheio) será dado por:

Tomando v

π



3,  o

volume do cone será dado por:

1  π  42  10  160cm3 3

Considerando que o peixe representa 90% do volume do recheio, temos: 0,9  160  144cm 3 (volume do salmão). Portanto, a massa do salmão será dada por 0,35  144  50,4 g.  Logo, a alternativa correta é a [D].

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5. (Uemg 2014) Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é um sólido de revolução obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno da base menor, como mostra a figura a seguir. As dimensões do trapézio são: base maior igual a 15 cm, base menor igual a 7 cm e altura do trapézio igual a 3 cm.

Considerando-se a) 0,212. b) 0,333. c) 0,478. d) 0,536.

π

  3, o volume, em litros, da peça fabricada corresponde a

Resposta: [B] Volume da embalagem em cm 3: V  Vcilindro  2Vcone V

π

1 3

 32  15  2   π  32  4  135π  24π  111π  333cm3  0,333L

6. (G1 - cftsc 2008) Dado um copo em forma de cilindro e outro de forma cônica, de mesma base e altura. Se eu encher completamente copo cônico com água e derramar toda essa água no copo cilíndrico, quantas vezes terei que fazê-lo para encher completamente esse copo? a) Apenas uma vez. b) Duas vezes. c) Três vezes. d) Uma vez e meia. e) É impossível saber, pois não se sabe o volume de cada sólido.

Resposta:

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[C]

7. (Unesp 2006) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação.

Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm 3 = 1 ml, e usando a aproximação   3 , o volume, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente, a) 120. b) 150. c) 160. d) 240. e) 360.

Resposta: [A]

8. (Mackenzie 2003) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = 10 . O volume desse sólido é:

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a) b)

5π 2 4π 3

c) 4ð d) 5ð e) 3ð

Resposta: [E]

9. (Ufscar 2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho.

a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em mL, ingerido pelo casal. Adote     = 3. b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido?

Resposta:

a) 500 ml b) 87,5%

10. (Enem 1999) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras a seguir em torno da haste indicada obtém-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita.

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A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.

Resposta: [D] A alternativa D é a correta. Observe as figuras a seguir:

11. (Cesgranrio 1998) No desenho a seguir, dois reservatórios de altura H e raio R, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas de mesma vazão. Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar completamente cheio, o tempo necessário para que isto ocorra com o reservatório cônico será de:

a) 2 h b) 1 h e 30 min Página 8 de 10

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c) 1 h d) 50 min e) 30 min

Resposta: [D]

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Resum o das questõ es selecionadas nesta ativi dade Data de elaboração: Nome do arquivo:

21/09/2015 às 22:48 Pirâmides e Cones

Legenda:

Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB

Grau/Dif.

Matéria

Font e

Tipo

1 ............. 137437 ..... Média ............ Matemática ... Ufsm/2015............................ Múltipla escolha 2 ............. 136781 ..... Baixa ............. Matemática ... Uel/2015............................... Múltipla escolha 3 ............. 128799 ..... Média ............ Matemática ... Insper/2014 .......................... Múltipla escolha 4 ............. 132568 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2014.......................... Múltipla escolha 5 ............. 131151 ..... Média ............ Matemática ... Uemg/2014 .......................... Múltipla escolha 6 ............. 86342 ....... Não definida .. Matemática ... G1 - cftsc/2008..................... Múltipla escolha 7 ............. 63552 ....... Não definida .. Matemática ... Unesp/2006.......................... Múltipla escolha 8 ............. 51499 ....... Não definida .. Matemática ... Mackenzie/2003 ................... Múltipla escolha 9 ............. 51646 ....... Não definida .. Matemática ... Ufscar/2003.......................... Analítica 10 ........... 29063 ....... Baixa ............. Matemática ... Enem/1999........................... Múltipla escolha 11 ........... 23676 ....... Não definida .. Matemática ... Cesgranrio/1998 .................. Múltipla escolha

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