Piramide Cono Esfera

O

PIRÁMIDE REGULAR O

DESARROLLO A

h B

A B

C

TRONCO DE PIRÁMIDE

M

E

1. Tronco de pirámide regular

D

A

C

SL = (PB1 + PB2)ap

ÁREA LATERAL (AL)

ST = SL + B1 + B2

Es igual al semiperímetro de la base por el apotema lateral.

V 



h 3

B  1

B B B 1 2 2



ap  apotema del tronco

AL = P(BASE) . OM 2. Tronco de pirámide irregular

ÁREA TOTAL (AT) Es igual al área lateral más el área de la base.

SL =  (área de caras laterales) ST = SL + B1 + B2

AT = AL + A(BASE) h

V 

VOLUMEN (V)

3



B  1

B B B 1 2 2



Es igual a un tercio del área de la base por la altura.

V=

NOTAS:

1 3

3. Tronco de pirámide de 2da especie.

A(BASE) . h

1. El punto “O” donde concurren las aristas laterales se llama vértice de la pirámide. 2. La altura es perpendicular a la base y cae en el centro de gravedad de la misma. 3. Las caras laterales son todos triángulos congruentes e isósceles.

B1

En planos

B2

Paralelos

V 

h 3



B  1

B B B 1 2 2



DESARROLLO DE UNA PIRÁMIDE REGULAR.

El desarrollo de la superficie lateral de una pirámide regular resulta una región poligonal. O

B

A

C

PRACTICA 1.

Calcular el área lateral de la pirámide regular. 4

4

a) 16

relación de 1 a 3 respectivamente. Hallar la relación de sus volúmenes.

b) 32 c) 12

2.

d) 12

2

e) 16

2

9.

Calcular el área total de una pirámide cuadrangular regular si la arista básica es 4 y la altura 2 3 . a) 16 d) 24

3.

a) 3 d) 2

b) 32 e) 48

b) 1/3 e) N.A.

Calcular el volumen de un tetraedro regular cuya arista es 3 2 . a) 33 d) 183

c) 12

c) 1

b) 6 e) 27

c) 9

10. Calcular el volumen de un tetraedro regular cuya altura es 2 3 .

De acuerdo a la figura. Calcular el volumen del sólido.

a) 27 d) 6

b) 18 e) 3

c) 9

a) 18 b) 36

11. Calcular el área lateral de una pirámide regular, cuya arista básica es 2 y de igual medida al apotema lateral. (base cuadrada).

9

c) 12 d) 21 e) 9 4.

2

La base de una pirámide regular es 20m y la altura 6m. Calcular el volumen del sólido. 3

b) 20 e) N.A.

c) 60

b) 20

c) 18

e) 4

6.

7.

2

e) 27

h

i) 25 j) 20

B

Un rectoedro y una pirámide regular tienen bases equivalentes y sus alturas están en

A

14. El volumen de una pirámide regular es 90m3 y el área de la base es 30m2 . Halle la altura.

3

e) 6 8.

2

h) 15

El rectoedro y la pirámide tiene bases y alturas equivalentes. Calcular V1 / V2 . a) 1/3 1 2 h b) 3 h c) 2 d) 9

3

g) 30

3

d) 12

2

f) 60m3

De acuerdo al problema anterior. Calcular el volumen del sólido. a) 9 3 b) 6 3 c) 18

pirámide

13. Calcular el volumen de la siguiente pirámide. A = 12m2 , h = 5m

d) 12 e) 15

la

d) 15

3

3

de

c) 12

a) 54 3

c) 8

a) 16

Calcular el área lateral de la pirámide regular.

b) 6

b) 4 e) 16

12. Calcule el área total cuadrangular regular.

2

a) 40m d) 30 5.

a) 2 d) 12

B

a) 18m d) 3 m

b) 9m e) N.A.

c) 3m

15. El perímetro de la base de una pirámide regular es de 12km, su apotema lateral de 0,5km. ¿Cuál será su área lateral? a) 6km2 d) 3

b) 60 e) 6

c) 30

DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL DE UN CONO

CONO CIRCULAR RECTO V

Es un sector circular que tiene por radio la generatriz del cono y por arco la longitud de la g

circunferencia de la base del cono.

g

h

O R

A

R O

O

B

 g

g

g

ÁREA LATERAL (AL) El área lateral de un cono de revolución es

R

igual al producto del semiperímetro de la base y la generatriz.

2R AL = Rg

Se verifica:

2R =

ÁREA TOTAL (AT)

θº 2g 360º

R   g 360º

El área total de un cono recto es igual a la suma de su área lateral y el área básica. AT = AL + ABASE

VOLUMEN El volumen de un cono de revolución es igual a

Propiedad: El desarrollo de la superficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo. 1.

de la base es 2 y cuya generatriz es 10.

la tercera parte del producto del área básica y la altura.

V =

1 3

r2g

PRACTICA

Calcular el área lateral de un cono cuyo diámetro

2.

NOTA

a) 10

b) 5

c) 15

d) 20

e) 2,5

Si el radio de la base de un cono es 1 y su altura

3 . Calcular el área lateral del sólido.

La sección axial de un cono circular recto es un triángulo isósceles tal como la superficie del ABV. Se llama cono equilátero si la sección axial es un Equilátero. 3.

a) 4

b) 2

d) 6

e) 0.5

c) 2

3 

Calcular el área total del cono de revolución mostrado. a) 4 b) 5 c) 3

8

d) 10 e) 8

1 O

4.

Calcular el área total del cono de revolución siguiente.

10.

De acuerdo al gráfico, hallar la relación de volúmenes.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8

b) 2

O

e) 3 5.

a) 1

3

c) 4

1

revolución, si la generatriz es igual a 5 y el

6.

d) 2

e) 1

11.

c) 3

Calcular el volumen de un cono de revolución, si la

a) 10m3

b) 15

d) 80

e) N.A.

R

Calcular el área lateral de un cono cuyo radio

c) 20

12.

a) 2.5

b) 3.5

d) 10

e) N.A.

altura 2

el radio mide 4m y la generatriz 5m.

a) 4

b) 2

d) 10

e) 8

d) 16

b) 16

π

e) 8

2

c) 10

Si el diámetro de la base de un cono es 4 y su

Calcular el volumen de un cono de revolución. Si

a) 16

8.

h

de la base es 1 y cuya generatriz es 10.

base tiene un área de 5m2 y la altura mide 6m.

7.

R

e) 1/9

área lateral es 5. b) 4

O

d) 1/3

Calcular el radio de la base de un cono de

a) 5

3h

3 . Halle el área lateral del sólido.

c) 6

3 

3

c) 16

13.

3

Calcule el área lateral del cono de revolución mostrado.

La siguiente figura representa el desarrollo de un cono de revolución. Calcular el área lateral

37º

a) 60

del sólido.

b) 60 a) 6 b) 12

c) 30 3

c) 3

O

e) 50 14.

d) 9 2 Del problema anterior, calcular el área total. a) 4

b) 2

d) 10

e) N.A.

Calcular la medida de la generatriz de un cono de revolución, si el radio de la base es igual a 1

e) 8 9.

6

d) 30

3

y el área lateral 5.

c) 5 15.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

La figura representa el desarrollo de un cono de revolución, calcule el área del sólido. f) 28 g) 14 h) 7

7

7

4

i) 4