Piaget [1950] Intr a La Epistemología Genética. Vol 1. El Pensamiento Matemático

BIBLIOTECA

DE PSICOLOGIA

EVOLUTIVA

Volumen 5 H. E. JONES y otros EL DESARROLLO DEL NIÑO PEQUEÑO

SERIE 1 GESELL

CH.

De la Yale Clinic of Child Deoelopmeni y del Gesell lnstitute.of Child Deoelopment Volumen

A.

GESELL

EMBRIOLOGIA

1

BÜHLER,

Volumen 6 A. T. JElISILll y J. E. ANDERSON LAS EMOCIONES DEL NIÑO PEQUEÑO

J.

1 y C. AMATRuDA DE LA CONDUCTA

B.

11

Volumen

F. L. ILe EL NIÑO DE 1 A 5 AÑOS A. GESELL y

M.

GESELL

y F. L.

lLG

Volumen

EL NIÑO DE 5 A 10 AÑOS

V A. GESELL PSICOLOGIA EVOLUTIVA DE 1 A 16 AÑOS

EL

TRAUMA

DEL

NACIMIENTO

Volumen 9 B. INHELDER y J. PIACET DE LA LOGICA DEL NIÑO A LA LOGICA DEL ADOLESCENTE Volumen

J.

10

PlAGET

1. El pensamiento matemático

INTRODUCCION A LA EPISTEMOLOGIA GENETICA 1. El pensamiento matemático

SERIE 2 E.

8

OTTO RANK

N A. GESELL, F. L. ILG y L. B. AMES EL ADOLESCENTE DE 10 A 16 AÑOS

Volumen

7

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LA AUTOIMAGEN DEL ADOLESCENTE Y LA SOCIEDAD

m A.

WATSON,

Volumen 2

J;

HURLOCK

11

PlAGET"

INTRODUCCION A LA EPISTEMOLOGIA GENETICA 2. El pensamiento físico

PSICOLOGIA DE LA ADOLESCENCIA Volumen 3 H. WERNER PSICOLOGIA COMPARADA DEL DESARROLLO MENTAL Volumen 4 C. W. VALENTINE ANORMALIDADES EN EL NIÑO NORMAL

Volumen

J.

Prólogo de Emilia F erreiro y Rolando Carda

12

PlAGET

INTRODUCCION A LA EPISTEMOLOGIA GENETICA 2. El pensamiento biológico, psicológico y sociológico

SERIE VOLUMEN

(Continúa en la pág. 316)

2

PAIDOS Buenos Aires 10

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La pensée mathématique

INDICE

Publicado por PRESSES UNIVERSIT AIRES DE FRANCE

©

Presses Universitaires de France

PRESENTACIÓN

García Versión castellana de MARIA TERESA CEV ASCO VICTOR FISCaMAN

PREFACIO

DE

LA EDICIÓN

CASTELLANA,

por Emilia Ferreiro y Rolando

.......•................•...............................

•••••••••••••••••••••••••••••••

9 25

:........................... ,

,

INTRODUCCIÓN.

OBJETO

y MÉTODOS DE LA EPISTEMOLOGÍA GENÉTICA.

• • • ... •.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

La e~istemolog,í~genética. consider:da como una ciencia . . . . . . . . . . El metodo genético en epistemología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La epistemología psicológica de Enriques Las diversas interpretaciones epistemológicas y el análisis genético .. Desarrollo mental y permanencia normativa ................•.... ~ Equilibrio y. "límit~". ,~l círculo de las ciencias y las dos direcciones del pensamiento científico .......•........•.......•.....•..... 7. Epistemología genética restringida y generalizada ...........•....

27 27 31 36 41 48 52 57

PRIMERA PARTE

EL PENSAMIENTO

MATEMATICO'

1: LA CONSTRUCCIÓN OPERACIONAL DEL' NÚMERO •••••••••••••• , 1. Las teorías empiristas del mundo. A. La explicación del número caro dinal por la "experiencia menta!" ....................•...•.•... 2. Las teorías empíricas del número. B. La explicación del número ordinal 'por la experiencia interior de los estados de conciencia (Helmholtz) .. 3. Cualidad y cantidad. Los "agrupamientos" específicos de las operaciones elementales . 4. La .reducción del ?,úmero .ca~di?al a las clases lógicas y del número ordinal a las relaciones asimetrrcas ....•......•...•..••...•. ' •... 5. La intuición racional del número . 6. Clases, relaciones y números , 7. La axiomática del número entero . ' , 8. El. número negativo y el cero , 9. El número fraccionario y el número irracional .. ; . 10. Los números complejos, los cuaterniones y los operadores .......•... 11. Lo infinito y el carácter operatorio del número . 12. Conclusión: el problema epistemológico del número .

CAPÍTULO

IMPRESO

EN LA ARGENTINA

Queda hecho el depósito que previene la ley 11.723 Todos los derechos reservados

© Copyright de la edición castellana, by EDITORIAL

PAIDOS, S.A.l.C.F.

. '. CAPÍTULO

2:

LA CONSTRUCCIÓN OPERATORIA DEL ESPACIO ••••••••••••••••.•

1. Clasificación de las, interpretaciones epistemológicas del espacio Defensa 599, ler. piso - Buenos Aires La. reprQ!lueción tita.l o purclal ,111'. este libro ~m cUIiJ~f~uier •forma" que. se~: idéntica. o modificada. escrita a maquma, por el SIstema rnu]tlgra,ph, mimeo grafo, impreso, etc., ~o autorizada por los edit~rl's, viola. ~c.rechos reserva.dos. Cualquier ctilización debe ser previamente soliCitada.

67

68 75 81

91 95 98 105 ' 109 114 118 123 127 138 140

2. El espacio perceptual. A. El "innatismo" y el "empirismo". Herencia y sensación '........... 146 3. El espacio perceptual. B. La interpretación "guestáltica' de las formas geométricas .. , ,;., .. , .. , "................... 156

8

ÍNDICE

4. El espacio perceptuaL C. La "actividad perceptual" y la epistemología genética de la percepción Las interpretaciones de H. Poincaré acerca 5. El espacio sensoriomotor. del carácter "a priori" del concepto de grupo y la propiedad convencional del espacio euclidiano de tres dimensiones 6. El punto de vista de D. Hilbert y el problema de la "intuición" geométrica 7. La intuición imaginada y las operaciones espaciales concretas de carácter "intensivo" 8. La constitución de la medición )' la matematización del espacio por cuantificación extensiva y métrica 9. Las operaciones formales y la geometría axiomática " 10. la generalización geométrica y el orden de sucesión de los descubrimientos históricos 11. La epistemología geométrica de F. Gonseth 12. Conclusión: El espacio, el número y la experiencia: la interpretación de L. Brunschvicg

163

172 183 189' 200 204 215 220 231

3: EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO Y LA REALIDAD ••••••••••.••• 1. La toma de conciencia histórica de las operaciones. A. La matemática

242

griega 2. La toma de conciencia histórica de las operaciones. B. La matemática moderna 3. El razonamiento matemático. A. De Poincaré :a Goblot 4·. El razonamiento matemático. B. La interpretación de Emile Meyerson 5. La interpretación logística del razonamiento matemático 6. Las tesis de ]. Cavaillés y de A. Lautman 7. Conclusiones: La naturaleza de los entes y de las operaciones matemáticas , , ".........................

242

CAPÍTULO

249 255 261 271 288 295

PRESENT ACION DE LA EDICION

CASTELLANA

La extraordinaria difusión que ha tenido la obra de Piaget en los últimos años ha quedado circunscripta, en forma casi exclusiva, al dominio de los psicólogos y al de los pedagogos. En ambos campos los aportes de la psicología genética han revolucionado las concepciones clásicas'sobre.la inteligencia y los procesos de aprendizaje. Sin embargo, es en el campo 'de la epistemología donde deben buscarse los fundamentos de la obra piagetíana. Piaget es,t'!ante todo, un epistemólogo. Su interés no reside en el desarrollo de la psicología ni' en sus aplicaciones a la pedagogía: su interés está centrado en los mecanismos de producción de conocimientos y es en virtud del modo particular de' plantear ciertos interrogantes epistemológicos que Piaget es conducido necesariamente al desarrollo de una, teoría psicológica, dada la insuficiencia d- la psicología que encuentra "a disposición". Es solamente desde la perspectiva que ofrece su teoría del conocjmiento que se torna posible descubrir la significación global de su obra y su fuerza explicativa. Lamentablemente, la epistemología genética es poco y mal conocida (no sólo en nuestro medio). U n análisis de las características diferenciales de esta posición epistemológica clarificará al mismo tiempo las razones de esta situación. 1 A) El núcleo central de las dificultades con las cuales se tropieza para llegar a una interpretación correcta de la teoría de Piaget reside, sirr duda, en el rol particular que juegan en ella tanto la psicologíacomo la lógica. La relación de la psicología con la epistemología ha sido considerada de manera muy diversa en la historia de la filosofía. En general, la pertinencia de argumentos psicológicos,para fundamentar aserciones de carácter epistemológico, ofrece serias reservas excepto en el caso de aquellos que sustentan posiciones que caen en el "psicologismo". La reacción contra el psicologismo condujo, en gran medida, a ignorar la psicología como instrumento para el análisis de problemas específicosde toda teoría del conocimiento. Ignorar la psicología no significa, sin embargo, prescindir de ella. No mencionarla, tampoco significa no utilizarla. Un ejercicio interesante, y de resultados muy sorprendentes, consiste en dedicarse al análisis de las presuposiciones de carácter psicológico que están

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implícitas -o que se enuncian sin justificación- en las teoría~ del cono~imiento que están en boga. Lo que más sorprende en tales circunstancias es la superficialidad con la cual se manejan, en este terreno, aun aquellos epistemólogos que en cualquier otra disciplina exigen l~,aplicaciófolde .~n riguroso método científico para fundamentar cada asercion, Esta slt~a.clOn tiene dos raíces muy evidentes que e! propio Piaget ha puesto de manifiesto en numerosas ocasiones. La primera de ellas -muy justificable- es el estado de inmadurez que ha caracterizado a la psicología experimental como disciplina científica, tanto por la unilateralidad de sus métod.os ~~mo por la esterilidad de sus resultados. La segunda -mucho menos justificable-ereside en lo que podríamos llamar "la ingenua aceptación de.la introspección corno método" (o, aun, corno el método), lo cual permite a cada. uno convencerse de que sus "reflexiones" sobre la naturaleza de los mecarusmcs psicológicos que actúan ~n los procesos cognosc~tivosno son ~usce~tiblesde verificación experimental, ni tampoco lo requieren. La psicología, como lo señala Piaget, tiene un triste privilegio: es la ciencia en la que todos se creen con competencia para hablar. En los casos en que se reconoce que la psicología juega un rol importante en el análisis dé los problemas epistemológicos, su lugar suele reducirse al de un dominio,muy restringido cuya definición y justificación queda, también en e! campo de la reflexión o especulación filosófica. Un ejemplo caracteristico lo encontrarnos en Bertrand Russell. En su última obra d.e carácter filosófico 1 reitera las dos cuestiones básicas con respecto al conocimiento humano: "¿Qué es lo que conocemos?" y "¿Cóm_oes que.lo ~onocemos?" Asigna a la ciencia -o, mejor dicho, a las diversas ciencias-ela responsabilidad de responder a la primera pregunt~ .. Con respe~to a ~a segunda Russell va a conceder a la psicología el mento de ser la mas , de las ciencias", basándose fundamentalmente en que " to da 1a importante materia prima de nuestro conocimiento consiste en ev~nt~s mentales. en la vida de personas separadas. En esta región, por consiguiente, la PSICOlogía es suprema" (pág. 166). Curiosamente, Russell declara "suprema" a la psicología, pero no se pregunta si su afirmación precedente acerca de "la materia prima de nuestro conocimiento" es aceptable 'para ella. En la misma obra Russell establece una distinción entre "creencias" (recordemos que para Russell "conocimiento" es "una subclase de creencias verdaderas") y declara que aquellas creencias ~ue no pu~den sustentar~e en ninguna otra razón son las que tienen mayor importancia para la teoría de! conocimiento, puesto que ellas constituyen "el mínimo indispensable de premisas para nu'estro conocimiento de cuestiones de ~echo". A tales creencias las llama "datos" y las define así: "Aquellas cuestiones de hecho acerca de las cuales, independientemente de ta inferencia, tenernos.derecho a sentirnos muy cercanamente en lo cie~to" (pág. 171,.la bastardilla es ~uestra) . Nuevamente aquí tenemos que afirmar que, curiosamente, despues de ha1 Human knouiletlge, its scope ~nd limits. Nueva York, Simon an~ Schuster, 1948, págs. 52-53. [Hay versión castellana: El conocimiento humano. Madrid, Taurus. 1966.]

PENSAMIENTO

MATEMÁTICO

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berle otorgado el cetro a la psicología para decidir acerca de estosproblemas, Russell hace estas afirmaciones sin preguntarse si ellas resisten a la investigación en dicha disciplina. La razón última por la cual procede así reside, quizá, en que para él como para todo el empirismo lógico y posiciones afines, "psicología" designa siempre alguna forma de conductismo que aceptan sin cuestionar. Pero, ya en la época en que Russell escribió esta obra, la psicología genética había acumulado suficiente evidencia experimental corno para invalidar las aseveraciones arriba citadas. Con respecto a las relaciones entre lógica y psicología, Piaget ha sido acusado frecuentemente por los lógicos de hacer "psicologismo", en tanto que ha sido acusado por los psicólogos de caer en el "logicismo". En lo que respecta a la acusación de "psicologismo" es preciso recordar lo siguiente: los "objetos" de los cuales se ocupa la lógica son las proposiciones, las Clases, las relaciones las funciones. Ellos son introducidos por definición o por postulados. Además, se construyen: con ellos sistemas íormales en los cuales se introducen reglas de deducción. ' Pero la lógica no crea todo esto de la nada, sino que lo toma de las estructuras operatorias del sujeto. Una parte considerable de la obra experimental y teórica de Piaget ha consistido en poner de manifiesto cuáles son esas estructuras y cuál es su origen. Estudiarlas desde el punto de vista psicogenético no es hacer psicolog~mo. Las relaciones entre ambas disciplinas están sintetizadas en esta afirmación: "La lógica es una axiomática de la razón de la cual la psicología de la inteligencia es la ciencia experimental correspondiente'l.P B) Hemos citado más arriba a Bertrand Russell en su formulación de las..dos cuestiones básicas de toda teoría del conocimiento: "¿Qué es lo que conocemos?" y "¿Cómo' es que lo conocemos?" Piaget va a formular una pregunta, aun más básica, 1Jormedio de la cual va a poder proponer una respuesta alas dos anteriores. Dicha pregunta es: "¿ Cómo pasa un sujeto de un estado de menor conocimiento, a un estado de mayor conocimiento?" Hay numerosos ejemplos, en la historia de la ciencia, de extraordinarios progresos logrados con una modificación en.la formulación de las cuestiones básicas. Un "¿Qué es... P" que aparece como pregunta de tipo metafísico, referida a "esencias" -j y muchas veces lo es!- es reemplazado por un ",:Cómo es que ... ?" o un "¿En qué condiciones se da ... ?" Un ejemplo trivial está dado por las llamadas definiciones "por abstracción". Para definir "forma de una figura" no partiremos _,de la pregunta "¿ Qué es forma?", sino "¿ Cuándo dos figuras tienen la misma forma?" Es a partir de allí y de las propiedades de la semejanza de figuras que arribamos a la definición de "forma". No hay en ello círculo vicioso, ya que "tener la misma forma" es una expresión que se puede definir sin presuponer la definición de forma. Cuando Piaget reemplaza, como pregunta básica, "¿ Qué es conocimiento?" o "¿ Qué es lo que conocemos? por "¿ Cómo se pasa de un estado de menor conocimiento a otro de mayor conocimiento?", la situación es 2 La psychologle de l'intelligence. París, A. Colín, 1946, pág. 34. [Hay versión castellana: Psicologla de la inteligencia. Buenos Aires, Siglo Veinte, 1966.J

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análoga, pero con una diferencia fundamental: no va a intent~I' ~efin,i,r las expresiones "estado de conocimiento" y "estado de mayor conocnmento , sino que las toma del contexto social y las acepta tal como son acept~da~ por una comunidad social dada en un momento d.ado. No hay aqUl Jil círculo vicioso, ni petición de principio. Hay, obviamente, un punto ~e partida metodológico, que consiste en la aceptación del .c~~cepto d~ con_oClmiento que surge de la práctica social. Pero esta pOSlClOnva a implicar la eliminación de todo punto de partida epistemológico. Esto puede verse fácilmente por las consideraciones siguientes. , Partimos de un nivel de conocimiento de un sujeto, en un momento dado to, en cual, desde el punto de vista de un observa~or externo -es decir, de un sujeto de otro nivel-, no es capaz de resolver aesbozar las-"variaciü-ñes de los hechos" (1) y aquellas que reproducen en el pensamiento las acciones como tales (II), el número deriva de estas últimas; pero el verdadero problema consiste entonces en comprender el pasaje de la, acción a ,la operación. El hecho primero, desde el punto de vista genético (y ello es verdadero para el espacio -e incluso, en parte, para el tiempo- como para el número) no es la toma de conciencia de la actividad propia, si.I1?esta actividad en tanto organización progresiva y modificación del objeto'por el sujeto. En el caso del número ~--como en el caso de los conceptos lógicos y espaciales que se constituyen en estrecha relación con él-, estas acéiones elementales consisten, en primer lugar en reunir o separar, en ordenar o en cambiar el orden, etc.; en resumen, ~I!:__.c;:onstruir o en deshacer conjuntos determinados. Se trata entonces de descubrir !_()~c c~racteresepistemológicos de e~t~~.acc:i()l!~s>jIlcic:~ª-k§,. que se encuentran aún muy aJejachis-oe la operación~raci6Í1aly dé c"ipFáréf proceso que conduce a estas últimas:

Ta-acc16n

-que

1Q, Una acción siempre es solidaria de acciones anteriores, y 10 es de manera gradual ~e~!i.Ilic:! IOs,_lll()ntajes"hereditarios, (que tienen a su vez una hist_()!:i~.!:Ji~L~gic:.'!:. que regresa al infinito). Toda acción consiste pues, en primer lugar, en asimilar el objeto, sobre el que ella se ejerce, a un _~~q·~erl~q__4.e~gs"i_!l¡i!ªáó'!l constituido por las acciones anteriores en su continuidad con el acto actual." Existe así un esquema de reunir, separar, etc., y la acción, es" en primer lugar, asimilación del o,?j_~!oa estos esquern