Phys1121 Notes

                                 

UNSW Phys1121 Course Notes  George O’Connell  2016                                         

Headings  Converting Units 

Notes  ● ● ● ● ●

Kinematics (Taken  from Wiley’s  Powerpoint Notes &  Joe Wolfe’s Lecture  slides) 

Kinematics ­ study of motion  Measure lengths to get relative positions ­ usually very inaccurate, because of special  relativity.  *Count from zero ­ 0, 1, 2, 3….  We always measure average velocity ­ change in position: /\s /  /\t  Vectors and components  ○ vectors have direction and magnitude, ie. displacement, velocity, acceleration,  force, spin  ○ vectors can be given as a on the laptop (see notebook for other writings) 

Measurement  ● Given engineering and physics use precise measurements of physical quantities, we need  ways for measurement and comparison as well as units for the measurement  ○ Units: unique name assigned to a quantity  ○ Corresponds to a standard with a value of 1.0 ­ usually the S.I. Units but can be  imperial.  ○ There are many different quantities that are base units, but some are independent  (e.g. speed ­ distance/time)  ● S.I. Units  ○ There are base standards which make the fundamentals of all quantities ­ the main  for mechanics being length (m), time (s) and mass (kg).   ○ All base quantities have been assigned standards and assume the building blocks of  other units.  2​­2​ ■ E.g Joules: 1J = 1kgm​ s​ , Watts: 1W = 1J/s  ● Scientific notation is often employed to describe large numbers.  ● A conversion factor is a method of changing units:  ○ 2 min = (2min)(1) = (2min)(60s/1min) = 120s (cancel out the mins)  ● Must be very accurate ­ today, the meter is defined by the length of the path light takes  whilst travelling in a vacuum for 1/299 792 458 of a second.  ● Significant figures ­ how many figures are shown in your calculations ­ it is always the  smallest amount of sig figs found in the input data.  ● Time  ○ Time follows a similar conversion method of length  ○ One second is the time taken for 9 192 631 770 oscillations of light of a specified  wavelength emitted by a cesium­133 atom  ● Mass  ○ A standard kilogram is a cylinder of platinum and iridium.  ○ Atomic mass unit is also used for measuring the mass of atoms and molecules.  ○ Density is p = m/v    Motion Along a Straight Line  ● Kinematics is the classification and comparison of motion  ● We consider straight line motion to be of a particle, ie. an electron or a molecule with no  rotation or stretching.  ● Position is measured relative to a reference point: the origin or zero point of an axis ­  direction can be identified as positive or negative, where positive is in the direction of  increasing numbers  ● The change of position in a particle is called the displacement: 

○ ○ ○

●

 ∆x = x​  ­ x​ 2​ 1  Displacement is a vector quantity, ie. it has both direction (+/­) and magnitude  As it is a vector quantity, it can be written as ​ x​  or x on the computer, or with an  arrow over the top on paper  ○ By taking the absolute value of x, we get simply the magnitude, which is the  distance: | x |, which is written with a small ‘x’  Velocity is the ratio of the displacement (∆x) to the time interval (∆t)  ○ V​  = ∆x  ÷ ∆t  average​ ­1​ ○ Average velocity has the units of metres per second (ms​ )  ○ On a graph of x:t, the velocity is the slope of the straight line that connects two  given points.  ○ Average speed is the total distance covered over a given time interval.  ○ Instantaneous velocity, or simply the velocity (v) is the velocity at a single moment  in time. It can be found on a displacement time graph by taking the derivative of  the graph at a single point. 

○

●

In a velocity time graph, the velocity is depicted by a single point and its value, the  slope is the acceleration and the area underneath the graph is the total displacement  (the integral of the graph)  Acceleration is the change in a particle’s velocity over time 

○ ○ ○

○

Acceleration is a vector quantity ­ positive time means positive direction ­ hence  ­2​ gravity (9.8ms​ ) is always negative.  If the signs of the velocity and acceleration are the same the speed is increasing. If  one is negative, then the speed is decreasing.  In an acceleration time graph,  ■ When acceleration is 0, velocity is a constant  ■ When the acceleration is positive, the velocity is increasing and vice versa  for the negative.   ■ The steeper the gradient, the larger the amount of the acceleration.  (velocity time)  When the acceleration is constant, 

○ ○

●

These two equations can also be obtained by integrating a constant acceleration  Free fall acceleration is the rate at which an object accelerates downwards in the  absence of air resistance.  ■ Varies with latitude and elevation  ­2 ■ Written as g, with a value of ­9.8ms​   ■ It is independant on the properties of the object ­ shape, mass, size, density.  Take the integral of v ­ v​  to find the acceleration over a period of two given values ­ same  o​ thing with the distance but with x replacing v. 

  Vectors  ● A vector is a mathematical object with size and direction  ● A vector quantity is a quantity that can be represented by a vector, ie. position, velocity,  acceleration.  ● A scalar quantity has a magnitude but no direction, ie. distance, speed, time  ● Displacement vector: if a particle moves from A to B, then it is represented by an arrow  pointing from A to B.   ○ The displacement is the most direct path ­ there could by many different paths with  varying distances between two given points, but the displacement will always  remain the same.  ○ The vector sum comes from vector addition ­ adding two vectors together  ■ S ​ = ​ a​  + ​ b                   

■

○ ○

Vector addition is commutative (it can be added in any order) and it is  associative (can group addition in any way) 

A negative sign reverse the direction of the vector, ie b + ­ b = 0  This becomes the bases of vector subtraction 

○

●

These rules hold for all vectors, whether its  displacement, velocity or acceleration  Rather than using graphical methods, vectors can  be  found by splitting them into their components  ­ a  component is when a vector is projected onto an x and y axis, ie. finds the x and y distances  of the original vector.  ○ Components in two dimensions are given by: 

○ ○

Here, theta is the angle the vector makes with the positive side of the x axis.  The length and angle of the vector can be found if both components are known ­  using basic trig and pythagoras’ theorem: 

○ ○

In three dimensions, we need the z vector, ie. we need a​ , a​  and a​ x​ y​ z  Angles are measured in degrees or radians (push for radians due to the use in  o​ maths) ­ a full circle is 360​  or 2pi radians. 

●

Unit vectors  ○ Unit vectors have a magnitude of 1, has a particular direction, but lacks both  dimension and unit 

○ ○ ○

We use the right hand coordinate system (see above)  The quantities a​ i and a​ j are vector ​ components   x​ y​ Vectors can be added by components: 

○

●

Vectors are independent of the coordinate system used to measure them ­ ie.  rotating the coordinate system will not mean the vector will move.  Multiplying vectors  ○ Multiplying a vector z by a scalar c will produce a new vector whose magnitude is  the multiplication of z by | c |. Its direction is the same as z or the opposite if the  scalar is negative.  ○ To achieve this we must multiply each of the components of the vector by c  ○ Dot Product 

○

Cross product  ■ Produces a new vector in the perpendicular direction  ■ Direction is determined by the right hand rule. 

   

Motion in Two and Three Dimensions  ● A position vector locates a particle in space and it extends from a reference point known as  the origin: r = xi + yj + zk  ● A change in the position vector means displacement has occurred and is written as r = r​  ­ r​ 2​ 1  or ∆r = ∆xi + ∆yj + ∆zk  ● Average velocity us the above equation divided by the change in time (∆t)  ● The instantaneous velocity is given by: 

●

The average acceleration in unit vectors is given by: 

●

Projectile Motion  ○ A projectile is a particle moving in a vertical plane, which has an initial velocity  ­2  and acceleration is constant downwards given by the value g ­ 9.8ms​ ○ Below are the components of the initial velocity, with V​  being this initial velocity  0​

○ ○

○

○

The horizontal motion  ■ No acceleration, hence velocity is a constant  Vertical Motion  ■ Acceleration always is ­g 

The projectile's trajectory is  the path it travels through  space ­ which is a parabola.  It is found by simultaneously solving the equations for the horizontal and vertical  displacement components.   The horizontal range is the maximum distance the projectile travels in x by the time 

o​ it returns to its original height. R is a maximum at an angle of 45​  (see exercise  book for working) 

○

●

If a bullet is fired from a gun and dropped at the same time, they will hit the ground  at the same time as there is identical vertical acceleration and as the components of  projectiles can be treated separately, they will hit the ground at the same time,  regardless of horizontal velocity  ○ In three dimensions; split motion into its x y and z components and work from  there ­ easier than visualising it and working with the trajectory as a whole.  Uniform Circular Motion  ○ A particle is in circular motion if it travels in a circle or circular arc at a constant  speed.  ○ Since the velocity is constantly changing, then the particle is said to be  accelerating, hence velocity and acceleration have a constant magnitude but  changing direction.  ○ The acceleration is called the centripetal acceleration and always points directly  inwards (to the circle centre).  ○ Period of evolution is the time taken to complete a circle once.   ○ Equations:  ■ Θ = ωt  2​ 2​ ■ a  = v​  ÷ r = ω​ r  2​ ■ a​  = ­ω​ r  ■ ω = 2ᵰ ÷ 2 

● ●

●

Relative motion in one dimension: measurement of position and velocity depend on the  reference frame of the measurer  In two dimensions, it is given by: 

    Forces and Motion  ● Newton’s Laws of Motion  ○ A force is a push or pull on an object that causes acceleration. It is generalised as  an approximation of general relativity  ○ Newtonian mechanics hold for everyday situations, however it varies as the speed  ­1​ of an object/particle approaches the speed of light (3.0 E8ms​ ) and for miniscule  structures ­ ie. at an atomic level.   ­2 ○ The unit of force is Newton (N), ie. 1N = 1 kg ms​   ○ The net force is the vector sum of all forces acting on an object.  ○ First Law: If no net force acts on a body (∑F = 0), then the body’s velocity cannot  change or accelerate.  ■ If ∑​ F​  = 0, there exist reference frames in which ​ a​  = 0, called Inertial  frames. 

■ ■ ○

○

○

○

○

○

“Every body persists in its state of rest or uniform motion in a straight line  unless it is compelled to change that state by forces impressed on it”  This is not true in all frames of reference; only inertial frames, as all of  newton's laws hold in an inertial frame of reference 

Mass  ■ “The mass of a body is the characteristic that relates a force on the body to  the resulting acceleration”  ■ Mass measures the resistance a body has to changing motion.  Second Law: The net force on a body is equal to the product of the body’s mass  and acceleration   ■ “To any body may be ascribed a (scalar) constant, mass, such that the  acceleration produced in two bodies by a given force is inversely  proportional to their masses”  ■ This law (along with the first law) is represented by ∑​ F​  = ma  ■ The acceleration along a given axis (ie. in a single direction) is only caused  by the net force from the sum of the forces travelling on the same axis  ■ If the net force on a body is zero, the acceleration is zero & the external  forces are in equilibrium.  Solving problems  ■ Best thing to do is to draw a free body diagram, ie. just the forces. Here,  we can generally graphically tell the magnitude and direction of forces,  however if it is simply two or three forces, then we can determine using  simple algebra. Never have acceleration as part of a free body diagram.  ■ If a system consists of two or more bodies, the forces the outside exert on  the bodies are called external forces and the forces between the bodies are  internal forces. The net force is the sum of the external forces.  Gravitational force  ■ This is a pull that acts on a body, which is directed towards a second body  (typically Earth)  ■ It is given by two different equations:  ● F​  = mg  g​ 2 ​ ● F = Gm​ m​ /d​  (where G = 6.67E­11, d is the distance between  1​ 2​ mass one and two)  ■ This force is always acting on a body except when the body is an infinite  distance away from the second body, meaning it is outside of its  gravitational field. It is always acting on a body at rest.  Weight force  ■ The name of the gravitational force that one body (like Earth, the moon,  mars, etc.) exerts on an object.   ■ It is measured in Newtons and is directed to the centre of the planet.  ■ It is generally given by W =mg  ■ Weight is not the same as mass; it can be measured using special scales  which have springs that adjust the calculations due to the gravitational  force, or it can be easily calculated using the above formula.  ■ Weight must be measured when the object is not accelerating vertically, ie.  a person in a lift will have a changing weight depending on its acceleration.  Normal Force  ■ The normal force comes as a result of newton's third law. It is a newtonian  pair with the weight force, ie it adds to zero (same magnitude, opposite  direction). 

■

○

When a body presses against a surface, the surface deforms and pushes  back on the body. This reaction force is the normal force and is  perpendicular ​ to the surface.  Tension Force  ■ When a rope or cord is pulled/stretched (examples typically include  between two bodies like pulleys or train carriages), the cord is under  tension.   ■ The external forces that cause the tension pull the rope, so the direction of  the force is typically toward the end of the rope, however the internal  forces are newtonian pairs which resist this motion and are directed  towards the centre of the rope.  ■ In tension problems, treat the string as rigid and inextensible.   ■ When the mass of a string, coupling, etc is negligible, forces at opposite  ends are equal and opposite ­ called tension.  ■ Hooke's Law: F = ­kx  ● This is a measure of the elasticity of an object ­ how much it  stretches. Hooke’s law is when stress is proportional to the strain.  ● K is a constant as it is linear elasticity, which is very important on  a molecular scale. 

  ○

●

Newton’s Third Law: When two bodies interact, the forces of the bodies on each  other are always equal in magnitude, but opposite in direction​ .   ■ "To every action there is always opposed an equal reaction; or the mutual  actions of two bodies upon each other are always equal and directed to  contrary parts"   ■ Ie. F​  = F​  ­ this is called a third law force pair or newtonian pair.  AB​ BA​ ■ F​  = ­ F​ AB​ BA  ■ Internal forces of a system add to zero.  Types of forces  ○ Frictional Force  ■ This occurs when an object slides or attempts to slide over another, ie.  there is relative motion b/n the two.  ■ It is a surface force in the opposite direction, aiming to oppose motion.  ■ Frictional forces are essential in everyday life; picking things up, building  things, braking on bikes, walking, etc.  ■ Overcoming friction is also an issue when we want things in motion to  increase maximum efficiency of a system. 

■ ■

■

■

■ ■

■

There are two types of friction: static and kinetic.  Static Friction: (no relative motion)  ● The opposing force that prevents an object from moving  ● Can have any magnitude (depending on the mass of the object)  until a maximum and when it hits this max, the object gives in and  begins to slide.  ● The magnitude of static friction only  equals uN when it is at its limiting  friction point (point before moving).  This means it is generally given by:  Kinetic Friction: (relative motion)  ● The opposing force that resists the motion of an object.  ● Does not have a changing value and is generally smaller than the  static friction force. 

At a microscopic level, every surface is rough, some surfaces to a greater  degree than others. When two surface rub together, there is constant  catching and resistive forces which is essentially what friction is.   In some circumstances there is so much contact forces that it is near  impossible for movement to occur (e.g. cold welded metals).  The greater the normal force, the greater the frictional force, as there is  more pressure for the surface, resulting in increased catching, meaning  greater friction.  Properties of friction:  ● If the body does not move, then the applied force and the frictional  force are equal in magnitude but opposite in direction (friction  resists motion)  ● The F​  has a max, given by: (where u​ is the coefficient of friction)  s​ s, ​

○ If the force is greater than f​ , then sliding occurs  smax​ Once sliding occurs, the frictional force decreases as it becomes  kinetic friction (as seen above right).  ■ Magnitude of the normal signifies how strongly the surfaces are pushed  together.  ■ The magnitude of the coefficients of friction are dependant on the  situations, unitless and must be determined through experiments.  Drag force/terminal speed  ■ A fluid is anything that can flow ­ when there is relative motion between a  body and a fluid, then there exists a drag force which, like friction, opposes  the relative motion.  ●

○

■

It is given by the equation: 

Here, ​ D ​ is the drag, ​ C​  is the drag coefficient (determined through  experiments and can change due to the velocity), ​ p​  is the density of  the fluid and ​ A ​ is the cross sectional area of the body  (perpendicular to the motion).  The drag force opposes the gravitational (weight) force of a body that is in  freefall.  The terminal speed is the constant speed that comes when a body’s drag is  equivalent to its gravitational force, resulting in a zero net force.  ●

■ ■

●

Uniform circular motion  ○ Centripetal forces accelerate a body by changing its direction and maintaining a  constant speed.  ○ This force is in the direction of the centre of the circle and is given by: 

  Kinetic Energy and Work    ● Kinetic Energy  ○ Energy is a scalar term and is required for any sort of motion  ○ It is conserved in all closed systems, ie. E​  = E​  (law of conservation of energy)  in​ out​ ○ It is required for any form of motion  ○ Kinetic energy is the amount of energy an object in motion contains. The faster the  object is moving, the greater the amount of kinetic energy ­ this also means if the  object is not moving, then it will have no kinetic energy.  ­2  ○ The S.I. unit for energy is the Joule (J), 1J = 1kg.ms​ ○ When the velocity of the object is not comparable to the speed of light, the formula  for the kinetic energy is: 

●

Work  ○ Changes in kinetic energy come from the energy being transferred to or from an 

○

○ ○

object.  “Work (W) is energy transferred to or from an object by means of a force acting on  the object. Energy transferred to the object is positive work and energy transferred  from the object is negative work.”  In a transfer of energy from a force, work is done on the object by the force.  There are three eqs that define the work ­ left is simple, middle is when there is an  angle between the force and the displacement and the right is written in vector form 

○

●

●

For all the equations, the force is constant, the object is rigid (ie. no  elasticity/absorption of energy)  ○ The S.I. unit for work is also the joule (J).  ○ A force does positive work when it has a vector component in the same direction as  the displacement  ○ For more than one force, the net work is taken on the object, which is the sum of all  the works. It can be taken by summing each work caused by each force, or finding  the net force on the object and from there, working out the work (easier method).  Work­kinetic energy theorem:  ○ The change in kinetic energy is equal to the total net work done.\ 

○ It can also be rearranged to be read as such: K​  = K​  + W  f​ i​ ○ Holds for positive and negative work.  Work done by the gravitational force.  ○ Here, we simply substitute F​  = mg into the work  g​

○ ○

●

equation:  For a rising object, mgd is negative (­mgd) and for a falling, it is positive. This  means that down is the positive direction.  When we are lifting an object, we are lifting it against the gravitational work,  therefore W​  + W​  = 0 and W​  = ­ W​ a​ g​ a​ g 

Work done by a spring force  ○ A spring is a variable force given from a spring. 

○

○

When no force is applied to a spring, it rests in a relaxed state. If the string is  stretched or compressed, it exerts a restoring force, attempting to return the spring  back to the relaxed state.  The spring force is given by Hooke’s law:  ■ The negative represents how the spring force is  always in the opposite direction to the  displacement vector.  ■ The constant ‘k’ is a measure of the rigidity of the spring.  ■ As it is a variable force (the function of the position), then there is a linear  relationship between the force and the distance.  ■ Along the x axis, the d can be replaced with x. The work is found by  integrating this equation: 

■

●

●

Work can be either positive or negative, depending on the net energy  transfer.  ■ When the displacement is zero and the initial and final kinetic energies are  zero, then the work is given by: W​  = W​ a​ s  Work done by a variable force  ○ This is found by integrating the work equation ­ ie. work is the area under the  graph for a given function. 

Power   ○ Power is the work done over a period of time. Its S.I. unit is the Watt (W) ­ 1W =  1J/s. This means that work­energy can be written as power times time.  ○ The equation for power varies on the specificity required and the information  given. The average power is on the left and below it is the instantaneous power,  which is in respect to distance. You can also get power with respect to velocity  which is on the right. 

  Potential Energy   

●

● ●

●

Potential energy (U) is energy that can be associated with the configuration of objects that  exert a force on one another. This includes gravitational potential energy, which accounts  for the kinetic energy of a falling object and elastic potential energy, which accounts for the  negative acceleration of a falling object.  For objects being lowered or raised, the change in gravitational potential energy is equal to  the negative work done, which also does apply to elastic springs.  A system consists of two or more object, where a force acts between a particle and the rest  of the system. When this configuration changes, this force does work on the system,  changing kinetic energy to another form of energy. When the configuration is reversed, the  force reverses the energy transfer, again doing work.  ○ An example of this is lifting and object then dropping it. When it is being lifted,  negative gravitational work is being done, but the kinetic energy used in lifting it  transferred to potential energy and when it is dropped, positive work is done and  this new potential energy is transferred back to kinetic energy,  Conservative and nonconservative forces:  ○ Conservative forces are forces where the positive work is always equal to the  negative work, ie. W​  = ­ W​ 1​ 2   ■ “Zero work around a closed path”  ■ Examples gravitational force (see above), spring force.  ■ When conservative forces act on a particle, the problem can be simplified,  ie. the net work done by a conservative force around any closed path is  zero. This means that if there is a conservative force between two points,  any choice of path between the two points gives the same amount of work. 

○

●

Nonconservative forces are forces where the positive work is not equal to the  negative work.  ■ This includes a kinetic friction force, drag force, etc.  ■ Friction force: The kinetic energy of a moving particle is transferred to  heat due to the frictional force. This thermal energy cannot be recovered by  the particle, hence the thermal energy is not a potential energy  Equations for potential energy: 

○

On the top right of the above equations is the gravitational potential energy when y  = 0 is the reference point. Similarly below it are the elastic potential energy 

●

equations on a horizontal axis, where x = 0 is the reference point.  Potential Energy Curve  ○ In one dimension, force and potential energy are represented by:  ○ This means that on a potential energy curve, the force is the  derivative.  ○ The potential energy relates to the mechanical energy as such: 

○

○

●

Work done by an external force  ○ Work is energy transferred to or from a system by means of an external force.  ○ For a system without friction, the work is equal to the sum of the changes of  potential and kinetic energies: 

○

●

When the kinetic energy is zero, then they are represented by turning points on the  graph. It is in equilibrium when the potential energy is zero and is in a neutral  equilibrium if it is stationary, but there is potential energy but no force.  Stable and unstable equilibrium are represented as such: 

For a system with friction, some of the energy is lost due to the friction ­ here the  kinetic energy is transferred to thermal energy. This thermal energy comes from  the forming and breaking of welds on a surface. It is given by the equations: 

Conservation of Energy  ○ The energy transferred in a system can always be accounted for.  ○ The law of conservation of energy states that the total energy E of a system can  only change by amounts of energy that are transferred to or from the system.   ■ It concerns the total energy which includes mechanical, thermal and other  energies. 

○

An isolated system allows no energy to be transferred from external sources. This  means that the total energy of an isolated system cannot change. 

○ The power of a system is given by the change in energy over the change in time.    Centre of Mass  ● The centre of mass (denoted com) of a system of particles is the point that moves as though  all of the system’s mass is concentrated there and all external forces are applied there  ● For two particles that are a given distance apart and the reference point is the origin, it is  given by the equation on the left. When the reference point is not the origin, it gives the  equation on the right: 

●

The centre of mass will always be the same regardless of which reference point you take. 

●

For many particles, the centre of mass can be generalised using a geometric series: 

● ●

○ Here, M is the sum of all the masses and x is the distance from a given point.  The centre of mass equation given above can be split into the x y and z components when  in three dimensions.  Newton's second law for a system of particles  ○ The centre of mass of a motion continues to be as such regardless of the external  forces (unless there is a mass change ­ more ambiguous at high speeds).  ○ Newton's second law for a system of particles is given by the equation:   ■ F​  = M​ a​ net​ com  ○ Again, this can be broken up into each component in three dimensions.  ○ The net force is the sum of all external forces, the M is the total mass of the closed  system and the acceleration is the centre of mass acceleration 

    Momentum  ● Linear Momentum  ○ The momentum has the same directional component of the velocity and it can only  be changed through an external force.  ○ “The time rate of change of the momentum of a particle is equal to the net force 

○

acting on the particle and is in the direction of the force” ­ UCF physics  This means newton's second law can be given by the derivative of momentum over  time: 

○

●

For a system of particles, the M is the total mass and the v is the centre of mass  (com)  ○ The net external force changes linear momentum. Without this force, the total  momentum of a particles does not change.  Collision and Impulse  ○ In a collision, the momentum of a particle can change. The impulse is is the change  of momentum of a particle in a system: 

○ ○ ○

Like other vector equations, this can be broken down into the individual  components.  The impulse is also given by: ​ J​  = F​ *Δt  ave​ Collisions of more than one particles:  ■ For a steady stream of projectiles, each undergoes a change in momentum  (n is the amount of projectiles) 

■ ■

●

●

The Δv changes depending on the type of collision ­ if the particle stops,  Δv = ­v, but if it bounces back with the same velocity, Δv = ­2v  It is summarised by the equation: 

Conservation of linear momentum  ○ For a closed system and an impulse of zero, then ​ P​  is a constant. This says that “if  no external force acts on a system of particles, the total linear momentum, ​ P​  of the  system cannot change.” This is known as the law of conservation of momentum.  ○ If the component of the net external force on a closed system is zero along an axis,  then  the component of the linear momentum of the system along that axis cannot  change.  ○ Internal forces can change the momenta of parts of a system, but not the total linear  momentum  Momentum and kinetic energy in collisions  ○ There are three types of collisions:  ■ Elastic ­ total kinetic energy is conserved (unchanged) ­ it can be a useful 

■

■

●

approximation ­ all collisions in real life situations transfer energy.  Inelastic collisions ­ some energy is transferred 

Completely inelastic collisions ­ the objects stick together ­ this is the  greatest loss of kinetic energy. 

○ The centre of mass of all velocity remains unchanged  Elastic collisions   ○ One dimension  ■ “In an elastic collision, the kinetic energy of each colliding body may  change, but the total kinetic energy of the system does not”, ie. total kinetic  energy is conserved. 

■

●

If the masses are equal, then the final velocity of the first object will be  zero.  ■ If m​  is much, much larger than the first object, then the first object  2​ bounces back, the speed almost unchanged (e.g. bouncing a ball against the  surface of the Earth)  ○ Two dimensions  ■ Apply the conservation of momentum along each axis and conservation of  energy for elastic collisions  Systems with a varying mass (rocket)  ○ The rocket and exhaust form an isolated system, which conserves momentum (P​  =  i​ P​ )  f​

○

This gives the first rocket equation:  fuel consumption. 

, where R is the mass rate of 

○ ○

The left side of the above equation is the thrust (T)  Deriving the velocity change gives the second rocket equation: 

    Rotation  ● For rotation, the same laws of physics apply, however there are new quantities invented to  express them.  ● A ​ rigid​  body rotates as a unit and we look at this rotation around a fixed axis. This fixed  axis is known as the axis of rotation ­ the reference line that is perpendicular to the axis had  a zero angular displacement.  ● Angular displacement  ○ The angle looks like (and hence angular displacement on the right): 

○

●

Here, theta is in radians, which are unitless. The equation is derived from the  length of an arc, where the length of the arc is the displacement the object  undergoes in this rotation.  ○ One full revolution is equivalent to 2π radians. It does not reset to zero after a full  rotation.  ○ Angular displacement is positive for the anticlockwise direction.  Angular velocity  ○ The angular velocity is the rate of change of the angular displacement in a time  interval: 

○

●

●

This gives the average angular velocity ­ the instantaneous angular velocity is  found by taking the limit as ∆t → 0 of the average angular velocity.  ○ If the body is rigid, these calculations hold for every location on the body.  ○ He angular speed is the magnitude of the angular velocity.  Angular acceleration  ○ This follows the same pattern as the velocity above. The average is given below,  with the instantaneous taken by the limit of the angular velocity as  ∆t → 0.  ○ It also holds true for every point on a rigid body.  ○ By using the right hand rule, the direction for the velocity and acceleration may be  calculated. 

Rotation with constant angular acceleration 

●

●

Relating linear and angular variables  ○ Position (if Θ is in radians), then s = Θr  ○ Speed (if ω is measured from radians), then v = ωr  ○ The period can also be expressed in radians: T = 2π ÷ ω  ○ Tangential acceleration is a​  = αr  t​ 2​ ○ Radial acceleration is a​  = ω​ r  r​ Kinetic energy of rotation  ○ The kinetic energy of a point particle and sum of all particles is  given by the equation on the right.  ○ This can then be written as: 

○ ○ ○

Here, the value in the parenthesis on the final equation is called the rotational  inertia or the moment of inertia and is donated by ‘​ I​ ’  I is a constant for a rigid body and the axis it rotates around must always be  specified  This gives us two more equations: 

○

●

Rotational inertia is a measure of difficulty in changing the state of rotation. This  state of rotation includes speeding up, slowing down or changing the axis.  Calculating rotational inertia 

○

If we can find the inertia at the centre of mass, we  can use the parallel axis theorem. This theorem 

●

allows us to calculate another axis, given that it is parallel (must be parallel) to the  axis through the centre of mass.  Torque:  ○ The force necessary to rotate an object depends on the angle o the force relative to  the surface of the object and where it is applied. 

○ ○ ○ ○ ○

A line extended through the applied force is the ‘line of action’ and the  perpendicular distance of this line to the axis is the ‘moment arm’  Torque is measured in Newton­metres (Nm)  Torque is positive if it is causing movement in the counterclockwise direction  (unless specified in the other direction to be positive)  The net torque is the sum of the individual torques (like moments in engineering  studies ­ HSC)  Torque for an individual particle moving along any path relative to a fixed point  (direction is determined by the right hand rule): 

■

The net external torque t​  acting on a system of particles is equal to the  net​ time rate of change of the system’s total angular momentum L (see angular  momentum below) 

  ●

Newton's second law for rotation  ○ F = ma can be rewritten as: (note it is the torque that causes angular acceleration) 

○

●

Newton's second law in angular form  ■ The vector sum of all the torques acting on a particle is equal to the time  rate of change of angular momentum of that particle, ie. 

Work and rotational kinetic energy 

  ●

Rolling  ○ In first year physics, we only take into account the objects that roll smoothly, ie, do  not slip.  ○ The centre of mass moves in a straight line parallel to the surface and the object  rotates around this centre of mass.  ○ The equations for rolling are as such 

○

Forces and kinetic energy  ■ A rolling object has two types of kinetic energy ­ rotational kinetic energy  due to its rotation about the com and translational kinetic energy due to the  translation of its com. 

■

●

If a wheel accelerates, its angular speed changes and a force must act to  prevent a slip.  ■ For smooth rolling down a ramp, the gravitational force acts vertically  down, the normal force is perpendicular to the ramp and the friction force  is up the slope  Angular Momentum  ○ A particle does not need to rotate around O to have angular momentum. 

○ ○ ○

­2​ Angular momentum is measured in kg ms​  or Js  The direction again uses the right hand rule  The magnitude can be represented as such: 

○

Angular momentum only has meaning when it is with respect to a specified origin 

○ ○

or point of rotation.   The angular momentum is denoted by the letter l.  Momentum of a rigid body 

■ ■

○

Above is the equation for a system of particles ­ it adds each single  momentum of a particle.  The torque and angular momentum must be measured relative to the same  origin and if the centre of mass is accelerating, then that origin must be the  centre of mass. 

■ The angular momentum can be summed as such:  Conservation of angular momentum  ■ If the net external force acting on a system is zero, the angular momentum  of the system remains constant, no matter what changes take place within  the system.  ■ As it is a vector, it can be broken down to its components and the same can  be applied ­ if the net torque for a single component is zero, then the  angular momentum is zero for that component. 

    Gravitation  ● Context in Physics  ○ Gravity is one of the four fundamental forces defined by the standard model of  matter and it is suggested that it acts through the force particle gravitons.  ○ Of the four forces, gravity and the electric force have an infinite range  (macroscopic), and gravity is the weakest but dominates on a large scale.  ○ History denotes that things fall to the ground ­ in their ‘natural’ state and that  planets and everything move for a variety of independent reasons.  ● Newton's laws of gravity  ○ Newton's could calculate the centripetal acceleration of the moon from the equation  2​ α = r​ ω​ . He found he could also do this with an apple, and as such, he figured  m​ m​ that these two particles can accelerate by the same law, and every body in the  universe attracts another  ○ This allowed him to come up with the formula’s: 

●

Cavendish measures G  ○ Cavendish was the first person to measure a value for the universal gravitational 

○

constant and hence the mass of the Earth.   He set up his experiment as such: 

■

○

●

Gravitational field  ○ The gravity between two objects on Earth is so small, it is negligible ­ it only is  taken into account when one of the masses is of an astronomical size.  ○ When there are more than three bodies, we take into account the superposition  principle: ​ F​  all objects together = Σ​ F​  individual  ○ Gravity near Earth’s surface  ■ This is found by substituting f = ma (W = mg) into Newton's universal  gravitation formula.  ■ There are two formulas however, as we assume the radius of the Earth is  constant, but it is always changing due to a shift in altitude, ie. is not  uniform, Earth is not spherical and Earth is constantly rotating. This means  that the weight force doesnt go through the centre of the planet, unless one  is at the poles. This more exact formula is on the right. 

○

●

From the deflection and spring constant and by calculating F, m​  and m​ 1​ 2  are known, hence a value of G could be calculated.  This allowed him to calculate the mass of the Earth: 

The gravitational field: a field is a ratio of force on a particle to  one of its properties ­ in the case of gravity, it is the mass of the  particle. ​ g​ (r)​  is a vector quantity.   Gravitational Potential Energy  ○ For a conservative force (F), where the work is the work done against it, allows us  to define potential energy as U or ΔU = W​ against 

  ○ ○

●

Taking r​  being infinity, we produce:  i​ This means the gravitational potential  energy is the work done to  move one mass from infinity to a given radius (or vice versa) in the field of  another. It is always negative, as you approach an infinite distance from the body,  the potential energy is increasing, but once it is an infinite distance, it is outside the  field and hence is zero. This means it is increasing  towards a value of zero and  hence is always negative.  Escape velocity  ○ Escape velocity is the minimum speed required to escape a masses gravitational  field.  ○ Remembering that a projectile in space has no non­conservative forces, hence its  mechanical energy is conserved, allowing K​  + U​  = K​  + U​ . As K​  and U​  are zero,  i​ i​ f​ f​ f​ f,​ we can substitute in the formulae for K and U to produce the equation for the  escape velocity: 

○

●

The radius of a black hole can be calculated if the escape velocity is the speed of  light ­ 3E8. For earth this turns out to be 9mm, the sun would be 3 km  Planetary motion  ○ Leucippus and Democritus theorized in C5 BCE that we had a heliocentric  universe, ie. the sun was at the centre.  ○ Hipparchus and Ptolemy suggested it was a geocentric universe ­ everything  rotated around Earth.  ○ Brahe in the 16th century took many observations, which was then empirically  backed up by Kepler with his own laws:  ■ All planets move in elliptical orbits, with the sun at the focus. With the  exception of pluto, these orbits are approximately circles.  ■ A line joining the planet to the sun sweeps out equal areas in equal time:  ■ The square of the period of rotation is proportional to the cube of the radius 

○

●

Newton’s cannon: Newton theorised if you put a cannon on the top of a mountain  and fired it with a low velocity, then the projectile will go through the air and land  some distance away. If the velocity was increased, then the distance where it lands  is increased. If it is fired at such a large velocity, then potentially the projectile will  never reach the Earth’s surface and remain in orbit around the planet.  Orbits and energy  ○ Non conservative forces do no work, so there are only conservative forces and  hence mechanical energy is conserved.  ○ Large orbits (large r) are slower (low K) 

○

Use kepler’s law to work out problems. 

        Thermal Physics and  Waves (Taken from  Wiley’s Powerpoint  Notes & Michael  Burton’s Lecture  slides) 

Temperature  ● There are three key states of any element which is based off temperature ­ they are solid,  o​ liquid and gas state. Water, at 0​ C can exist as all three ­ water in a lake, ice on a mountain  and vapour (gas) in the clouds.  ● We often associate temperature with our senses, which provides a qualitative indication of  the temperature.  ● Thermal contact  ○ Two objects are in thermal contact with each other if energy can be transferred  between them  ○ It is usually in the form of heat or electromagnetic radiation  ○ The energy is exchanged due to a temperature difference  ○ They two objects do not have to be in physical contact if they are in thermal  contact.  ● Thermal equilibrium  ○ Thermal equilibrium occurs when two objects would not exchange any net energy  if the two objects are put in thermal contact.   ○ This can be produced after contact and it reaches an equilibrium state.  ● The zeroth law of thermodynamics  ○ If objects A and B are separately in thermal equilibrium with object C, then A and  B are in thermal equilibrium with each other.  ○ Hence, there is no energy between them.  ● Temperature  ○ Temperature is the property that determines whether an object is in thermal  equilibrium with another object.  ○ Conversely, if two objects are not the same temperature, they are not in thermal 

●

equilibrium with each other.  Thermometers  ○ A thermometer is a device that measures the temperature of a system.  ○ They are based on the principle that some physical property changes with the  temperature. This includes the volume of a liquid, dimensions of a solid, pressure  of gas at a constant volume, volume of gas at a constant pressure, electrical  resistance of a conductor and the colour of an object (e.g. planets)  ○ Possibly the most common type of thermometer is the liquid in glass. The liquid  material in a capillary tube expands as it is heated. This liquid is generally mercury  or alcohol.  ○ Thermometers can be calibrated by placing it in a natural system with a constant  temperature, or it uses the ice point (mixture of ice and water at 1 atm)  and the  steam point (mixture of steam and water at 1 atm) of water.  o​ ■ The ice point of water is defined at 0​ C  o​ ■ The steam point of water is defined at 100​ C  ■ The area between the two are incremented, each increment representing a  degree.  ○ Problems with thermometers  ■ The alcohol and mercury thermometers may only be true for the calibration  o​ points (0­100​ C)  ■ The discrepancies are large when beyond the calibration points.  ■ They have a limited range which they can measure ­ ie. mercury is above  o​ o​ ­30​ C as it would otherwise be a solid, alcohol must be below 85​ C  otherwise it would be a gas.  ○ Constant Volume Gas thermometer  ■ The physical change is the expansion of gas (ie. the increase in pressure)  with a fixed volume.  ■ The volume is kept constant by changing the level of the reservoir at B ­  raise or lower depending on the temperature. 

■

●

It is calibrated again using the ice and steam point of water ­ it is placed in  an ice bath and then a steam bath and the pressures are recorded in each  situation 

Absolute Zero  ○ The pressure is always zero at absolute zero  o​ ○ This temperature is ­273.15​ C or 0K  ○ Absolute zero is the basis of the absolute temperature scale, more commonly  known as Kelvin (K) ­ it is the temperature at which a gas exerts no pressure. 

○ ○ ○

●

The size of  a single degree is the same as that of celsius.  T​  = T​  ­ 273.15  C​ K​ Celsius and kelvin have the same sized degrees, but different starting points.  Celsius and Fahrenheit have different sized degrees and different starting points   o​ ■ T​  = (9/5)T​  + 32​ F  F​ C​ ○ Energy at absolute zero  ■ Classical physics dictates that the energy (specifically kinetic) of a gas is  zero when the temperature is absolute zero. This means the molecular  motion would stop, resulting in the molecules falling to the the bottom of a  container.  ■ Quantum theory counters this and says there is a discrete amount of energy  left ­ this is called zero­point energy.  Thermal expansion  ○ Thermal expansion is the increase in the size of an  object due to an increase in temperature  ○ It comes as a result of the the average separation  between atoms in an object, ie as there is more energy,  there is increased molecular movement (oscillations),  resulting in a larger distance b/n atoms.  ○ If the expansion is small in comparison to the original  dimensions of the object, then the expansion in any  direction is roughly proportional to the change in  temperature.  ○ In the example on the right, the cavity expands with  materials, allowing us to see that the expansion is  linear.  ○ Linear expansion  ■ If an object has an original length of L​ , then L​ I​ I  increases by ΔL as the temperature changes by  ΔT.  ■ The coefficient of linear expansion is defined  o​ ­1​ as (units are ​ C​ ): 

■

Many materials expand along one direction, but contract along another ­ as  if steel is being stretched and it necks down. Since the linear dimensions 

○

○

change, so too should the volume and surface area.  Volume expansion  ■ The volume expands such that the original volume is proportional to the  change in volume and the change in temperature.  ■ It is given by the following equation (where β = 3α): 

Area expansion  ■ The area expands such that the original area is proportional to the change  in area and the change in the temperature: 

○

●

When both sides of a bimetallic strip (strip with two metals pasted back to back)  are heated, each metal expands a different amount due to the coefficient of thermal  expansion. An application that uses this is the thermostat.  Water’s Unusual behaviour  o​ o​ ○ As the temperature increases from 0​ C to 4​ C, water contracts and its density  increases.  o​ ○ Above 4​ C, the water expands with increasing temperature, allowing its density to  decrease.  o​ 3 ○ The density is at its maximum at 4​ C, where it is 1.000 g/cm​  

  Kinetic Theory of Gases  ● Change in volume for a gas  ○ Volume expansion (as seen higher up on the page) requires and initial volume for  temperature changes  ○ With gases, the forces that hold the atoms in place are very weak and are often  negligible, meaning there is no ‘equilibrium’ separation (like the oscillations of  atoms in a lattice structure), resulting in no standard volume of a gas.  ○ This means the volume of a gas is defined by the container it lies within.  ○ As a result, the volume for gases being a variable, with its change denoted by ΔV.  ● Gas equation of state  ○ Shows how the volume (V), pressure (P), temperature (T) of a gas with a mass (m)  are related  ○ It is a rather complex equation, but if the gas is maintained at a low pressure and/or  low density, then it becomes relatively simple.  ○ The ideal gas requires molecules not interacting with each other, with the exception  of collisions.  ● The mole  ○ The amount of gas in a given volume can be expressed in moles.  ○ One mole of a substance is that amount of substance that contains Avogadro’s  Number (6.022E23) of particles (can be atoms or molecules).  ○ The number of moles is defined by the formula n = m/M .  ■ M being molar mass of the substance.  ■ m being the mass.  ■ And n being the number of moles. 

●

Boyle’s Law Apparatus  ○ One of a range of experiments done when investigating the behaviour of gases ­  here the volume of the air is measured on the scale, and the gauge measures the  pressure. As the pressure is increased, the volume becomes smaller and smaller.  ○ This produces a relationship that can be quantified ~ the pressure times the volume  is a constant ­ this relationship is known as the ideal gas law. 

●

Ideal Gas law  ○ The equation of state for an ideal gas is ​ PV = nRT  ■ n is the number of moles of the gas  ■ R is a constant ­ Universal gas constant ­ R = 9.314 J/mol *K  ○ Means the gases are moving independently unless they collide with each other.  ○ The ideal gas law is often expressed in terms of the number of molecules present in  the sample (N)  ■ PV = nRT = (N/N​ )RT = ​ Nk​ T  A​ b​ ■ K​  = 1.38E­23 J/K is Boltzmann’s constant = R/N​ b​ A  ○ It is common to call P, V and T the thermodynamic variables of an ideal gas.  ○ As you decrease the size of a container, the molecules are still moving at the same  rate, but they collide more with the walls, which means there is a greater force on  the container, resulting in an increased pressure.  ○ If the temp of a house goes up, the air expands, causing air to leave the house. This  can also be shown by the ideal gas law ­ as the pressure is constant and the volume  is the same, then as the temp goes up, the number of moles must go down.  ○ Gas particles colliding is an elastic collision, so the momentum is conserved and as  a result, one could calculate the force that the molecule has when it collides.  ○ Assumptions  ■ The number of molecules in the gas is large, and the average separation  between the molecules is large compared with their dimensions, ie. they  are essentially points.  ● The molecules occupy a negligible volume within the container  ■ The molecules obey Newton’s laws of motion, but as a whole they move  freely and randomly unless the collide.  ● Any molecule can move in any direction at any speed.  ● At any given moment a certain percentage move at high speeds  and a certain move at low speeds 

■

○

The molecules interact only by short­range forces during elastic collisions  ● Consistent with the macroscopic model  ■ Molecules make elastic collisions with the walls  ■ The gas under consideration is a pure substance ­ all molecules are  identical.  Pressure and kinetic energy  ■ Assume a container is a cube with edge length d.  ■  The motion of the molecule with mass m has velocity in terms of its  components v​ , v​ ,v​ ;  xi​ yi​ zi​ ■ Look at at the momentum and average force ~ p​  and F​ i​ i  ■ Assuming perfectly elastic collisions and applying newton's laws to the  collisions, we can determine the relation between the gas pressure and the  molecular kinetic energy: 

■

■

■

■

Above left: This is the relationship between pressure and kinetic energy.  The interpretation is that the pressure is proportional to the number of  molecules per unit volume (N/V) and to the average translational kinetic  energy of the molecules. Note: the V with the line above is the mean value  of the speed squared.  Above centre left & right: The molecular interpretation of temperature ­  the temperature is hence a direct measure of the average molecular kinetic  energy. On the right of it is the simplified version of the equation. It can be  expressed as each component of the velocity ­ v​ , v​  and v​ x​ y​ z  Above right: The total kinetic energy of a gas ­ it is simply N times the  kinetic energy of each molecule ­ n being the amount of moles. If it is a gas  with only translational energy,   Root mean square speed  ● The root mean square (rms) speed is the root of the average of the  square of the speeds: 

●

Here m is the M is the molar mass and it equals mN​ A 

    Heat and the First Law of Thermodynamics (CH18)  ● Historical background  ○ Thermodynamics and mechanics are separate branches of physics until 1850, when  James Joule proved a relationship through numerous experiments.  ○ This relationship was found between the transfer of energy in thermal processes  and the transfer of work in mechanical processes  ■ Caused the concept of energy to apply to internal forces too.  ■ The law of conservation of energy became a universal law of nature.  ● Internal Energy  ○ Internal energy is all the energy contained within a system that is associated with  its microscopic components (generally considered to be atoms and molecules).  ○ It is viewed from a stationary reference with respect to the centre of mass of a  system.  ○ The kinetic energy from the motion through space is not considered (as it is  external). It does however consider the general translational, rotational and  vibrational motion.  ○ It includes potential energy between molecules. 

●

Heat  ○ ○ ○

Heat is the transfer of energy across the boundary of a system due to a difference in  temperature from the system to its surroundings.  The term heat also expresses the amount of energy that is transferred.  Heat is not how hot something is. 

○

●

Changing internal energy can be done through heat and work. Heat is not  necessarily needed ­ work can change the internal energy of a system.  ○ Heat is measured using the S.I. unit Joule (J), however it may appear in places as  Calorie (cal)(1 calorie is the amount of energy needed to increase the temperature  o​ o​ of 1 gram of water from 14.5​ C to 15.5​ C.  ■ 1 Calorie = 4.1868 Joules.  Heat Capacity/Specific Heat  ○ Heat capacity (C) is the amount of energy needed to raise the temperature of a  different sample by one degree (it changes for each material).  ○ If energy produces a change in temp, then: 

○

Specific heat (c) is the heat capacity per unit mass, ie. c = C/m  ■ If energy transfers to the sample and results in a change in temperature,  then it is given the equation: 

■

■

■

■

The specific heat measures how insensitive a substance is to the addition of  energy. The more insensitive, the higher the c value and hence the more  energy is required to result in an increase in temperature.  Some common values are given below: 

Keep in mind if the temperature increases, Q and delta T are positive as  energy is transferred into the system. If the temperature decreases, then Q  and delta T are negative as energy transfers out of the system.  Specific heat varies with temperature:  

●

For small temperature changes, it is negligible. 

■

○

○

The specific heat of water is the highest of common materials, and this  property is responsible for much of the weather.  Calorimetry  ■ This is a technique for measuring specific heat. This involves heating a  material, adding it to a sample of water and determining the final  temperature. This is all done in a device called a calorimeter  ■ Assuming the calorimeter loses no energy, the energy is conserved, and as  such, all the energy that’s transferred from the hot material to the water is  absorbed by the water.   ■ By equating the two specific heats, you can  calculate the heat capacity of the sample:  (subscript ‘s’ is sample and ‘w’ is water).  Specific Heat for a gas  ■ Changes depending on how it is heated.  ● Q = nc​ ∆T​  for constant volume  V​ ● Q = nc​ ∆T​   for constant pressure  P​ ■ This also gives us two constants: 

■

●

For monatomic gases (left), for diatomic gases (right) 

Phase Changes  ○ When a substance changes from one form to another  ○ Common changes are solid to liquid (melting) and liquid to gas (freezing).  ○ During a phase change, there is no change in temperature of the substance ­ any  energy put in will result in the change of molecular structure, not the temperature  ○ The amount of energy required to effect the change is called ‘latent heat’  ○ Latent Heat  ■ Different substances react differently to the energy added or removed  during phase changes  ■ It also depends on the mass of the sample  ■ Given by the relationship ​ L = Q/m  ● The quantity L is the latent heat (latent means hidden). It also  depends on the substance as well as the phase change.  ● The energy required to change the phase is ​ Q = +­ mL  ■ The latent heat of fusion is used when the phase change is from solid to  liquid  ■ Latent heat of vaporisation is used when the phase changes from liquid to  gas.  ■ The positive sign is used when when energy is transferred into the system  (result in melting or boiling)  ■ The negative sign is used when energy is transferred from the system  (resulting in freezing or condensation) 

○

  From ice to steam  ■ Part A: (63 J)  o.​ ● The change in temperature is 30​ C.  ● Use specific heat formula, with a heat capacity of ice (c​ )  i​ ■ Part B: (333 J)  o​ ● At 0​ C, there is a phase change ­ temperature hence stays fixed ,so  used the latent heat formula, where you use L as latent heat of  fusion.  ■ Part C: (419 J)  o​ o​ ● B/n 0​ C and 100​ C, there is no phase changes, hence the energy  added increases the temperature.   ● Use the specific heat formula, with the heat capacity of water  ■ Part D: Boiling water (2260 J)  o​ ● At 100​ C, a phase change occurs, meaning temperature does not  change and hence in the equation, the latent heat of vaporisation of  water should be used. 

■

○

Part E: Heating steam (40J)  ● If all the water is converted to steam, then the steam will heat up as  no phase change occurs.  ● Use specific heat with a heat capacity of steam.  Molecular view of Phase changes  ■ Can be described in terms of the rearrangement of atoms 

■

■

■ ●

Heat Transfer  ○ The energy transfer, Q, into or out of a system also depends on the process.  ○ The energy reservoir is a source of energy that is considered to be so great that a  finite transfer of energy does not change its temperature.  ○ Examples  ■ 1. As a piston is pulled upwards, gas is doing work on the piston.  ■ 2. Second example has the same initial volume temp and pressure. It is  thermally insulated however. The membrane is broken and the gas expands  rapidly.  The Volume doubles and pressure reduces, but there is no  temperature change 

■

●

Liquid to gas phase change: Molecules in a liquid are close together. The  forces between them are stronger than the bonds of gas, hence work must  be done to separate the molecules. The latent heat of vaporisation is the  energy required per unit mass to separate  Solid to Liquid phase change: The addition of energy will cause the  amplitude of vibration of the molecules to increase. At melting point, this  amplitude is big enough to cause the bonds to break, allowing the  molecules to move around. The bonds in the liquid are less strong than the  solid. The latent heat of fusion is the energy per unit mass to go from solid  to liquid.  The latent heat of vaporisation is greater than the latent heat of fusion ~ it  takes more energy to break the bonds than to change the type of bonds 

Initial values of P, V, n and T are the same in both cases. The n and V are  the same final values for both cases.  ■ T​  = T​  in both cases so no change in internal energy ­ change in  in​ final​ mechanical energy is zero.  ■ Thus from the ideal gas equation, final values of P the same in both cases ­  where it is half the initial, therefore all the values are the same  ■ Example 1: Work done by the gas, and heat flows into it ­ change in work  is equal to the change in heat.  ■ Example 2: no work is being done and no heat flows into the system.  ■ Initial and final states in P­V diagram are the same. Energy transfers by  heat, like the work done, depend on the initial, final and intermediate states  of the system. Both work and heat depend on the path taken. Neither can  be solely by the end points of the thermodynamic process.  First law of thermodynamics  ○ A special case of conservation of energy. It takes into account changes in internal 

○ ○

○ ○

○

○

energy and energy transfers by heat and work  Although Q and W are dependent on the path, Q + W is independent of the path  The first law of thermodynamics states that: 

■ Q is the energy transfer of the system  ■ W is the work done on the gas.  ■ Delta E is the change in the internal energy  One consequence is that there must exist a known quantity known as internal  energy which is determined by the state of the system.  Isolated systems: An isolated system is one that does not interact with its  surroundings. No energy transfer by heat takes place, work done on the system is  zero, so Q = W = 0, so the change in internal energy is zero.  Cyclic Prcoess: A cyclic process is one that starts and end in the same state.It is not  isolated and on a PV diagram, it is a closed curve. The net work done is the area  enclosed by the curve.. The change in internal energy must be serco since it is a  state variable 

Processes:  ■ Adiabatic: No energy leaves or enters, Q = 0. If you make a change very  rapidly, there is no time for a change of thermal energy or it can be  achieved by thermally insulating the walls of the system 

●

■

■

If the gas compresses, W is positive and so the internal energy  change is positive and so the temperature of the gas increases.  ● If the gas expands quickly, the temperature of a gas decreases.  ● Examples of everyday adiabatic processes include the expansion of  hot gases in an internal combustion engine, liquefaction of gas in  cooling processes and the compression stroke in a diesel engine  ● The example b from above was an adiabatic free expansion as it  takes place in an insulated container. No work is done and Q = 0  then there is no change in the internal energy  Isobaric: Constant pressure (P = constant). The values of heat and the work  terms are generally both non­zero 

Isothermal: Constant temperature (T = constant). Since the volume doesnt  change, W = ­ PdV = 0, and then from the first law, the change in internal  energy is equal to Q. 

■

●

Isovolumetric: Constant Volume (V = constant). Since there is no change  in the temperature, there is no change in the internal energy. This means  that any energy that enters the system by heat must leave by work 

Mechanisms for heat transfer  ○ There are various mechanisms for heat transfer: conduction, convection or  radiation.  ○ Conduction  ■ Whilst viewing from an atomic scale, we see an exchange of energy to and  from particles from collisions (particles could be atoms, molecules or free  electrons).  ■ Less energetic particles gain energy from the collision form more energetic  particles.  ■ Molecules vibrate around their equilibrium point and particles near a heat  source vibrate with a larger amplitude, which collides with nearby  molecules and transfers this heat energy.  ■ The rate of conduction depends on the properties of the material  ● Metals are typically good  conductors as they contain a sea of  delocalised electrons, which more  readily can transfer the heat  throughout the sample.  ● Poor conductors include asbestos,  gases and paper.  ● Conduction can only occur if there  is a temperature difference  between two sections of the  conducting medium 

●

● ●

It is given by the formula above, where A is the cross sectional  area, dx is the thickness of the slab and dT is the difference in  temperature. P is power, not pressure and is measured in Watts (if  Q is in joules). ϰ is the thermal conductivity of the materials (good  conductors, it is high, bad is low).  The value |dt/dx| is the temperature gradient, measures the rate at  which temperature changes with position  For a rod, the formula is such: 

●

○

○

Some common values are: 

Convection  ■ Comes from the energy transferred through the movement of a substance.  ■ When the movement is as a result of density, it is natural convection, if it is  forced, say by a fan or a pump, then it is forced convection.  Radiation  ■ Radiation requires no physical contact.  ■ All objects radiate heat in the form of electromagnetic radiation (EMR), its  rate can be calculated by Stefan’s law: 

● ● ● ●

■

Power is the rate of energy transfer (equals energy over time)  2​ 4 σ = 5.6696E­8 W/m​ K​   A is the surface area  E is a measure of the emissivity (or absorptivity) and it varies  between 0 and 1.  ● T is the temperature in kelvin.  With its surroundings, Stefan’s law can be altered: 

●

■

■

If it is in thermal equilibrium with the surroundings, then it  radiates and absorbs at the same rate and as such, the T will be 0.  Ideal absorbers absorb all the energy hitting it ­ the value of e is 1, and it is  commonly referred to as a black body. It is also considered to be an ideal  radiator.  An ideal reflector has an e value of 0 and it absorbs none of the energy that  hits it. 

  Oscillatory Motion  ● Periodic Motion 

○

●

Periodic motion is the motion of an object that repeats regularly, ie. it returns to the  same point after a fixed time interval.  ○ Simple Harmonic motion is when the force acting proportional to the position  relative to the origin and is directed toward it, ie. F = ­ k.x  ○ Hooke’s Law for the stretched spring ­ F​  = ­k.x  s​ ■ Here, F​  is the restoring force, which is always directed towards the  s​ equilibrium point and opposite the displacement from the equilibrium  ■ K is the force or spring constant  ■ X is the displacement from the equilibrium position.  Acceleration  ○ The force from hooke’s law is the net force from newton’s second law. This gives  the following relationship: 

○

●

●

Here, the acceleration is proportional to the displacement of the block, has the  direction opposite that of the displacement. It is not a constant for simple harmonic  motion as the directions are changing. This means linear equations with constant  acceleration cannot be applied.  Vertical Orientation  ○ When a block is hung from a vertical spring, its weight will cause the string to  stretch. If the resting equilibrium position is given by y = 0, then: 

Simple Harmonic Motion   ○ Mathematical interpretation  ■ Assuming the block is a particle, and the axis it moves along is the x axis  ■ Applying newton’s second law gives us: 

■

The equation 

is an example solution 

  ●

○

A is the amplitude of the motion ­ the maximum position of the  particle (in the positive or negative direction)  ­1​ ● ω is the angular frequency (radians.s​ )  ● Φ is the phase constant or initial phase angle.  ● From the above eq, Φ and A are determined by the position of the  particle at t = 0.  ● The phase of the motion is ωt + Φ   ● x(t) is periodic and repeats every 2π radians.  Periodicity and Frequency  ■ The period ​ T​   is the time interval for the particle to go through one full  ​

cycle of motion.  ● x(t) = x(t + T) & v(t) = v(t + T) 

○

■

●   The inverse of the period is the frequency ­ it is the number of oscillations  per time interval 

■ ■

  Units are in cycles per second or Hertz (Hz). 

■

Frequency and period depend only on the mass and the force constant of  the spring. If k is large, or m is small, then the frequency increases). 

Energy of the SHM oscillator  ■ Assume a spring mass system is moving on a frictionless surface ­ total  energy is a constant  ■ Kinetic energy can be found by:  ■ Elastic potential energy can be found by: 

■

■

The total mechanical energy is a constant as seen above. It is also  proportional to the square of the amplitude, and the energy is constantly  being transferred between potential and kinetic energy.  Summary of the stages are seen below 

○

SHM and circular motion   ■ A particle moves along a circle with a constant angular velocity given by  ω. The line OP gives the angle theta, anticlockwise from the x axis. 

■

●

SHM in a straight line can be represented as the diameter of SHM of a  circle. Uniform circular motion is a representation of SHM in the x and y  o​ directions, however they are out of phase by 90​ .  The simple pendulum  ○ The motion is in the vertical plane and motion comes as a result of the gravitational  force. It is very close to the SHM oscillator for small angles.  ○ The forces acting are T (string tension) and mg (weight force).  ○ As the length of the pendulum is constant, and the angle is small, gives the  equation: 

○  

This gives up multiple more equations; the function of theta, the angular frequency  and the period of the pendulum 

●

The Physical Pendulum  ○ The gravitational force provides a torque around the axis, its value being  mgdsin(theta). This means I is the moment of Inertia about the axis through the  origin. This gives a period of: 

●

Damping of oscillations  ○ If friction is significant in a system and the mechanical energy diminishes over  time, then the system is said to be damped.  ○ The amplitude of damped motions decrease over time. In the diagram below, the  envelope is given by the blue line. 

○

○

Examples are usually given by immersing a spring in a thick (viscous) liquid). The  retarding force can be expressed as R = ­bv, where b some positive damping  coefficient.  ■ By newton's second law, F = ­k.x ­ b.v = m.a  Types of damping 

■

○

As ,  is the natural frequency of a  system.  ■ If bv​   kA, then the system is overdamped.  max​ Forced Oscillations  ■ It is possible to overcome the loss of energy in a damped system by  introducing a force  ■ The amplitude of motion remains steady if the energy loss is matched by  the input energy. 

■

●

This gives the equation: 

Resonance pendulum  ○ When the frequency of the driving force is near the natural frequency (ω​ approx=   ​ ω​ ), an increase in amplitude occurs. This increase is called resonance.  o​ ○ Resonance (maximum peak_) occurs when the driving frequency equals the natural  frequency. The amplitude increases with decreased damping. As seen below, the  shape of the resonance curve depends on b. 

    Waves  ● General Waves  ○ There are two main types of waves: mechanical and electromagnetic.  ○ Mechanical  ■ Some physical medium is being disturbed   ■ The wave is a propagation of this disturbance through a medium  ■ Mechanical waves require three key things; a source of the disturbance, a  medium that can be disturbed and a physical way elements of a medium  can influence each other (e.g. clapping hands 10 metres away, through the  medium of air, and the air particles oscillate and collide, transferring  energy).  ○ Electromagnetic   ■ No medium is required  ○ Features  ■ Energy is transferred over a distance, but matter is not.  ■ All waves carry energy; the amount and the method of propagation differ  for each wave.  ● Pulse on a rope  ○ If a rope is held taught, and the person flicks their wrist, a wave is generated. It  however is just a single bump called a pulse, which travels to the other end of the 

rope.  Important to note the string is in tension.  The rope is the medium through which the pulse  travels.  ○ The pulse has a definite height and speed of  propagation  ○ By continuously moving the rope up and down,  multiple pulses are made, which forms a wave.  Transverse Waves: A travelling wave that causes elements  of a medium to move perpendicular to the direction of  motion is a transverse wave (as shown on the right, where  the particle motion is blue arrow and propagation is the red  arrow).  Longitudinal Waves: A wave or pulse that causes the elements of the medium to travel  parallel to the direction of motion. Ie. the displacement of the coil below is parallel to the  propagation.  ○ ○

●

●

● ●

Complex Waves: these waves are a combination of longitudinal and transverse waves,   Travelling pulse  ○ Below is a pulse at two times, t = 0 and another time t = T 

○ ○ ○ ○

●

y = f (x) represents the position of y with respect to x at time of zero   The speed of the pulse is v and in time t, it covers the distance (s) vt.  The shape does not change, but the equation is now y = f (x­vt)  For a pulse travelling to the right, this is y (x,t) = f (x­vt) and to the left it is given  by y (x,t) = f (x+vt).  ○ Y (x,t) is the wavefunction. The y coordinate is the transverse position. At a fixed  time t, it is called the waveform.  Reflection of a wave  ○ Fixed end  ■ Say a rope is connected to a wall, when a pulse set from the other end of  the string reaches the wall, it reflects and travels back down along the  string.   ■ This is called the reflection of a pulse. Important to note that the pulse is  also inverted  ○ Free end  ■ A free end involves an end that can move vertically up and down.  ■ The pulse from a rope is reflected, but not inverted. 

●

Transmission of a wave  ○ When a wave reaches the boundary of a medium, part of the energy of the incident  (initial) pulse is reflected and the rest undergoes transmission into the next  medium, where some energy passes through this boundary. 

○

○

●

Heavy to light string  ■ Part of the incident pulse is transmitted, some is reflected, but the  reflection is not inverted.   ■ It is only in light to heavy strings, as seen above, where the pulse is  inverted. 

Conservation of energy  ■ The conservation of energy applies to all waves and wave boundaries ­ the  sum of the energies of the reflected plus inverted pulses must equal the  energy of the incident pulse.  Sinusoidal waves  ○ The curve of sin(theta)  ○ It is the simplest example of a periodic continuous wave, which can be used to  build more complex waves.   ○ Each element moves up and down in simple harmonic motion  ○ The wave moves to the right.  ○ Amplitude and Wavelength  ■ The crest of the wave is the maximum displacement from the normal  position of the wave (x=0).   ■ This distance is the amplitude, and the wavelength is the distance between  two crests. Wavelength is given by: λ 

○

Wavelength and period  ■ The wavelength is the minimum distance between any two identical points  on adjacent waves.  ■ The period, T, is the time interval for two identical points on a wave to  pass the same position. 

○

Frequency  ■ The frequency is the number of crests (or any point on the wave) that  passes a given point in a given time interval  ■ The time is generally measured in seconds.  ■ It is measured in Hertz (Hz)  Wave function  ■ The wave function of a sinusoidal wave is given by: 

○

■ Here, the wavenumber is k = 2π/λ and the angular frequency is ω=2π/T  Sinusoidal wave on a string  ■ If a string is moving with a sinusoidal wave, it creates identical waveforms,  and each element is acting in SHM which is identical to the source.  ■ The transverse speed of the wave is given by v​  = dy/dt [this is different to  y​ the wave speed which is λ/T]  Speed of a wave  ○ On a string  ■ It depends on the physical characteristics of the string and the tension it is  subjected to.  ■ The equation below makes two assumptions; the tension is not affected by  the pulse and the pulse does not assume any shape.  ○

●

○

For a spring 

■  

Here, alpha is ½ and beta is ­½ , showing that solutions exist only in the  form: 

●

●

●

Energy in Waves in a string  ○ Waves transport energy when they propagate through a medium. As every element  of a sinusoidal wave is in simple harmonic motion. This means that every element  has the same total energy  ○

If each element has mass Δm, then Δm =  the equation: 

and the kinetic energy is given by 

○

As the length shrinks towards zero, we obtain a new equation for the kinetic  energy: 

○

2​ By integrating cos​ x between lambda and 0, we obtain equations for total kinetic  energy and total potential energy and hence mechanical energy. 

○

The power is given by: 

Waves vs particles  ○ Particles have zero size, multiple particles must exist at different places, never the  same place, and they always exist  ○ Waves have a specific size ­ their wavelength. Multiple waves can combine at one  point in the same medium and only certain frequencies can exist (ones that are  quantised)   Superposition  ○ If two or more waves are travelling in the same spot in the medium, then they  superposition, ie. add together algebraically.   ○ This happens if they are linear waves ­ mechanical waves have an amplitude that is  much smaller than the wavelength.  ○ Two travelling waves can intersect without being destroyed or altered.  ○ The resultant wave of two waves joining is called interference.  ○ The process of superpositioning is given below: 

○

○

 Types of interference  ■ Constructive  ● Occurs when the displacement caused by the two waves are in the  same direction.  ● The resultant pulse is larger than the original pulses  ■ Destructive  ● Occurs when the displacement caused by the two waves are in the  opposite direction  ● The resultant pulse is less than the original pulses.  Sinusoidal waves 

■ ■ ■ ■

Which is sinusoidal, has the same frequency and wavelength of original  waves. The amplitude is 2Acos(phi/2) and the phase is (phi/2)  When the phase is zero, the amplitude is 2A, ie. the crests of one wave  coincide with another)  When the phase is Pi/2, then the amplitude is zero, resulting in destructive  interference.   When the phase is not zero or Pi, then the resultant interference wave has 

○

an amplitude between 0 and 2A.  Standing waves  ■ Assume two waves have the same amplitude, frequency and wavelength,  travelling in opposite directions in a medium.  ■ Their equations are given by: 

■

And their superposition: 

■ ■

This is the wave function of a standing wave  In standing waves, the elements of a medium alternate at extremes: 

■

A node occurs at a point of zero amplitude 

■

An antinode occurs at a point of maximum displacement, 2A 

■

●

Every element in the medium oscillates in SHM with a frequency ω,  however the amplitude depends on the location of an element in the  medium.  ○ Amplitudes of waves  ■ Amplitude of individual waves is A  ■ Amplitude of SHM of elements in a medium is 2Asin(kx)  ■ Amplitude of a standing wave is 2A  Standing waves in a string  ○ If a string is fixed at both ends and with length L, a standing wave is created  through the reflection at each end, with continuous superpositioning. This means  the end of the strings at each fixed ends must be nodes.  ○ A harmonic describes the amount of ‘loops’ as shown below. The wavelength is  defined by every two loops: 

○

The natural frequencies are given by:  

○

Quantization: Only certain frequencies of oscillation are allowed. Common when  waves are subject to boundary conditions.  Harmonic series  ■ The fundamental frequency occurs at n = 1, the rest are multiples of this.  ■ Frequencies that exhibit this relationship are called harmonic series 

○

  Sound Waves  ● Introduction to sound waves   ○ Sound waves are longitudinal waves that can travel through any material medium.  The wave speed depends on the properties of the medium  ○ Three types of categories  ■ Audible waves ­ within sensitivity of the human ear ­ 20Hz to 20kHz.  ■ Infrasonic ­ below the sensitivity of the human ear  ■ Ultrasonic ­ above the sensitivity of the human ear  ○ Compressions waves  ■ Sound waves are compression waves, which can easily be expressed  through the model of an undisturbed gas in a piston.   ■ There is a compressible gas with uniform density. If the piston is suddenly  moved to the right, the gas at the front is compressed. The compressed  region then moved to the right of this original region appearing to be a  wave.  ■ Corresponds to a compression pulse moving through the tube with velocity  v. Note the speed of the piston is not the same as the speed of the wave. 

●

Speed of sound waves  ○ The speed of sound waves depends on the compressibility and density of the  medium. The speed of all mechanical waves follow the general formula: 

○

Speed of sound in liquids or gases.  ■ The bulk modulus of the material, B is given by: 

■

○

Speed of sound in a solid  ■ The young's modulus of a material, Y is given by: 

■

○

The density is given by ⍴ and hence the speed of sound in a liquid of gas is 

he density is given by ⍴ and hence the speed of sound in a solid is 

Speed of sound in air  ■ Also depends on the temperature of the medium, which is very essential  with gases.  

■

The relationship is given by: 

o​ T​  is the temperature of the air in degrees Celsius and at 0​ C, the speed is  c​ 331 metres per second.  Periodic sound waves  ○ A compression moves through a material as a pulse, continually compressing the  material in front of it.  ○ The areas of lower pressure and density are called rarefactions.  ○ These areas move at a speed that is equal to the speed of sound in the medium.  ○ A periodic sound wave, using the piston example above uses an oscillating piston,  where the distance between two compressions or rarefactions is the wavelength.  The speed of sound in this example depends on the frequency and wavelength  [v=fλ], rather than the speed of oscillations. 

■

●

○

Displacement   ■ Each element of the medium moves in SHM parallel to the direction of the  wave.  ■ It moves with the equation: 

● ○

Pressure  ■ The variation in pressure is also periodic 

■

○ ○

S​  is the maximum position from the equilibrium position and is  max​ known as the displacement amplitude of the wave. 

ΔP​  is the pressure amplitude  max​ ●  ΔP​ = ⍴vωS​ max​ max  ● K is the wave number  ● ω is the angular frequency  ■ The pressure is π/2 radians out of phase with the displacement.  A sound wave may be considered to be either a displacement or pressure wave.  Energy of periodic sound waves 

○

■ ■ ■

A piston transmits energy to the element of air in the tube  The energy is propagated away from the piston via sound wave  This gives rise to numerous equations: 

■

The total PE and KE for one wavelength is given by 

■

The power is the energy over time, so it is given by the formula 

Intensity of a periodic sound wave  ■ The intensity is the power per unit area, ie. the rate at which energy is  transported by the waves passing through a given area, A and  perpendicular to the direction of the wave.  ■ For air,  

■

■

A point source will emit sound waves equally in all directions, resulting in  a spherical wave. The power is distributed evenly around the area of a the  source.  It is given by the inverse square law: 

■ ■

The range of intensities detected by the human ear is very large.  It is converted to a logarithmic scale to determine the intensity level, β 

●

I​  is the reference intensity. It is taken to be the threshold of  o​ hearing: 

●

β is measured in decibels 

      Lab  

●

Why are uncertainties important?  ○ It won't always be accurate, and with this repetition must occur for reliability and  averaging to make a more accurate answer  ○ Random Uncertainties: have a zero mean ­­. overestimating the actual value rather  than underestimating it. Systematic uncertainties is when you do something  systemically wrong, ie. they have a non zero mean. This is often caused by poor  technique, calibration errors and zero errors.  ○ Measuring the time a ball takes to fall to the ground  ■ If it is one person constantly, it will be systematic   ■ If there are more than one person on different devices, therefore it with be  systematic and random.  ○ How do you account for systematic uncertainties  ■ error = range/2 = (biggest ­ smallest)/2  ■ Ie. if the average is 0.67s and the highest was 0.81 and the lowest was 0.50,  then the error is approx 0.155, therefore it would be 0.67+ or ­ 16s  ■ Sig fig is important ­ past the decimal place typically.  ○ Dependant errors: these come from the same source, ie. if you use the same piece  of equipment to make a measurement then the errors are dependent  ○ Independent Errors: These come from different sources. If  two different pieces of  equipment are used then the errors are independent  ○  

 

●