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AHMED FIZAZI Maître assistant chargé de cours

CAHIER De la

MECANIQUE DU POINT MATERIEL (Version en Français)

COURS SIMPLIFIES 100 EXERCICES CORRIGES (Enoncés en arabe et en français)

LEXIQUE DE TERMINOLOGIE (français-arabe, Arabe-français)

Destiné aux étudiants de première année de l’enseignement supérieur

LMD Science de la matière et sciences technologiques http://sites.google.com/site/fizaziphysique http://sites.google.com/site/physiquefizazi

iv

Sommaire Préface............................................................................................................................... Introduction_Principales branches de la mécanique…..................................................... Le programme…………………………………………………………………………... I. RAPPELS MATHEMATIQUES…………………………………………............... I-A. L’ANALYSE DIMENSIONNELLE………………………………………….. 1. Les unités………………………………………................................................. a. Les unités fondamentales…………………………………………..................... b. Les unités dérivées………………………………………….............................. c. Les unités secondaires………………………………………….......................... d. Unité supplémentaire…………………………………………........................... e. Les multiples et les sous multiples…………………………………………....... 2. Les équations aux dimensions……………………………………......................... a. Définition…………………………………...................................................... b. Quel est l’intérêt de cette expression ? …………………………………......... c. Comment définir , , ? …………………………………......................... d. Généralisation………………………………………………………………... EXERCICES 1.1 à 1.6……………………….………................................... SOLUTION DES EXERCICES 1.1 à 1.6………………………………… I-B. CALCUL D’INCERTITUDES…………………………………………............... 1. La grandeur physique…………………………………….................................... 2. Notion de mesure…………………………………….......................................... 3. Théorèmes des incertitudes ……………………………………......................... EXERCICES 1.7 à 1.12………………………………….............................. SOLUTION DES EXERCICES 1.7 à 1.12………………………………… II. RAPPELS SUR LE CALCUL VECTORIEL…………………………………… 1. Grandeur scalaire………………………………………..................................... 2. Grandeur vectorielle………………………………………................................. 3. Représentation graphique d’un vecteur……………………………………......... 4. Le vecteur unitaire…………………………………............................................. 5. La somme géométrique des vecteurs…………………………………................. 6. Les composantes d’un vecteur……………………………………...................... 7. Le produit scalaire……………………………………........................................ 8. Le produit vectoriel……………………………………....................................... 9. Le produit mixte………………………………………………………………… 10. Moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace……………………… 11. Moment d’un vecteur par rapport à un axe……………………………………. 12. Gradient, divergence, rotationnel…………………………………….................. 13. Le Laplacien……………………………………................................................ EXERCICES 2.1 à 2.7………………………………………........................ SOLUTION DES EXERCICES 2.1 à 2.7………………………………….. III. PRINCIPAUX SYSTEMES DE COORDONNEES…………………………….. 1. Repères d’inertie galiléens……………………………………............................ 2. Principaux référentiels galiléens …………………………………….................. 3. Les coordonnées cartésiennes……………………………………....................... 4. Les coordonnées polaires………………………………………………………… 5. Les coordonnées cylindriques……………………………………....................... 6. Les coordonnées sphériques……………………………………..........................

ii vii ix 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 5 7 9 9 9 10 13 14 17 17 17 14 17 17 20 23 24 26 26 26 27 29 31 33 36 36 36 37 38 39 40

v 7. Les coordonnées curvilignes……………………………………......................... EXERCICES 3.1 à 3.7…………………………………................................... SOLUTION DES EXERCICES 3.1 à 3.7……………………………………. IV. LA CINEMATIQUE…………………………………………................................ A. Les caractéristiques du mouvement………………………………………............. 1. Introduction…………………………………….................................................. 2. Position du mobile……………………………………........................................ 3. Les équations horaires…...……………………………........................................ 4. Le vecteur vitesse…………………………………………….............................. 5. Le vecteur accélération…………………………………………………………. EXERCICES 4.1 à 4.6…………………………………………....................... SOLUTION DES EXERCICES 4.1 à 4.6…………………………………… B. LE MOUVEMENT RECTILIGNE……………………………………….......... 1. Le mouvement rectiligne uniforme……………………………………............... 2. Le mouvement rectiligne uniformément accéléré……………………………… 3. Le mouvement rectiligne à accélération variable……………………………….. 4. Le mouvement rectiligne sinusoïdal……………………………………............. EXERCICES 4.8 à 4.13………………………………………….................. SOLUTION DES EXERCICES 4.8 à 4.13………………………………… C. LE MOUVEMENT PLAN………………………………………........................ 1. Etude du mouvement en coordonnées polaires………………………………… 2. Les composantes normale et tangentielle de la vitesse et de l’accélération dans le repère de Frenet………………………………………………………………………. EXERCICES 4.14 à 4.21…………………………………………................ SOLUTION DES EXERCICES 4.14 à 4.21……………………………….. D. LE MOUVEMENT DANS L’ESPACE………………………………………... 1. Etude du mouvement en coordonnées cylindriques …………………………… 2. Etude du mouvement en coordonnées sphériques……………………………… EXERCICES 4.22 à 4.27…………………………………………................ SOLUTION DES EXERCICES 4.22 à 4.27……………………………… E. LE MOUVEMENT RELATIF……………………………………….................. 1. Changement de repère……………………………………................................... 2. Vitesse relative de deux mobiles…………………………………….................. 3. Conventions et symboles……………………………………............................. 4. Cas du mouvement de rotation……………………………………….................... EXERCICES 4.28 à 4.35…………………………………………................ SOLUTION DES EXERCICES 4.28 à 4.35……………………………….. V. LA DYNAMIQUE…………………………………………...................................... 1. Principe d’inertie galiléen……………………………………............................. 2. La quantité de mouvement…………………………………................................ 3. Les autres lois de Newton……………………………………............................. 4. Notion de force et loi de force……………………………………...................... 5. Mouvement d’un projectile dans le champ de gravitation terrestre…………….. 6. Loi de la gravitation universelle………………………………………………… 7. Forces de liaison ou forces de contact ...……………………………………….. 8. Forces de frottement…………………………………………………………….. 9. Les forces élastiques……………………………………………………………. 10. Les forces d’inertie ou pseudo forces………………………………………….. 11. Moment d’une force…………………………………………………………... 12. Le moment cinétique…………………………………………………………..

42 43 45 51 51 51 51 52 53 54 57 59 64 64 65 66 67 71 73 77 77 79 81 85 93 93 95 99 102 108 108 108 110 115 120 124 138 138 138 139 140 141 142 145 145 147 148 150 152

vi EXERCICES 5.1 à 5.20…………………………………………………….. SOLUTION DES EXERCICES 5.1 à 5.20………………………………… VI. TRAVAIL ET ENERGIE………………………………………………………… 1. Travail et Puissance…………………………………………………………….. 2. Energie cinétique………………………………………………………………... 3. Les force conservatives ou dérivant d’un potentiel…………………………..…. 4. Energie potentiel……………………...………………………………………… 5. Expression de champ de force conservative à partir de l’énergie potentielle dont il dérive…………………………………………………………………………………. 6. L’énergie mécanique…………………………………………………………… 7. Collision de particules………………………………………………………….. 8. Discussion des courbes de l’énergie potentielle………………………………… 9. Forces non conservatives……………………………………………………….. EXERCICES 6.1 à 6.15…………………………………………………….. SOLUTION DES EXERCICES 6.1 à 6.15………………………………… LEXIQUE DE TERMINOLOGIE FRANÇAIS-ARABE………………………….. LEXIQUE DE TERMINOLOGIE ARABE-FRANÇAIS…………………………... ANNEXES 1. Alphabet grec……….…………………………………………………………….. 2. Gradient, divergence et Laplacien dans différentes coordonnées…………….. 3. Formules de dérivation…………………………………………………………… 4. Formules d’intégration…………………………………………………………… 5. Quelques équations différentielles………………………………………………. 6. Formulaire trigonométrique……………………………………………………..

156 167 195 195 198 199 200 203 205 209 211 213 214 221 239 246 253 254 257 259 261 263

OUVRAGES…………………………………………………………………………. 265

9

Les incertitudes

B-I/ CALCUL DES INCERTITUDES

1/ La grandeur physique (

):

Une grandeur physique est tout ce qui prend, dans des conditions bien déterminées, une valeur numérique définie qui peut varier (augmenter ou diminuer) si ces conditions elles mêmes varient.

2/ Notion de mesure (-

./0 1) :

De la mesure de toute grandeur physique ne peut résulter qu’une valeur approchée et ce pour les raisons suivantes : - Les erreurs systématiques : Ce sont celles qu’entraîne l’emploi de méthodes ou d’instruments imparfaits. Dans toutes les mesures précises, les erreurs systématiques sont autant que possible éliminées par un contrôle soigneux des instruments de mesure et, souvent aussi, par l’emploi successif de différentes méthodes. - Les erreurs accidentelles qui sont imputables à l’imperfection des sens de l’opérateur. Ces erreurs peuvent être minimisées par le bon choix des méthodes de mesure appropriées, des instruments perfectionnés et en s’exerçant à la pratique des mesures. En résumé le résultat de toute mesure comporte une erreur !! Quelque soit la précision de la mesure d’une grandeur X , nous n’obtenons qu’une valeur approchée x . La différence entre la valeur exacte et la valeur approchée s’appelle erreur absolue (?@A BAC ) qu’on désigne par x :

x = x - x0

(1.5)

Cette erreur est en général inconnue. Partant des caractéristiques de l’appareil utilisé et de la méthode utilisée, nous pouvons toujours nous assurer que l’erreur commise ne dépasse pas une valeur limite absolue connue sous le nom de incertitude absolue ( ) de la grandeur X .

x

x

(1.6)

Nous déduisons que la valeur exacte est comprise entre deux valeurs limites connues : x x et x + x . Pour plus de précision, nous pouvons donner une définition mathématique à l’incertitude absolue en suivant le raisonnement suivant : Soit une grandeur X = f ( x, y, z ) où x, y et z représentent des grandeurs mesurables comportant des incertitudes. L’incertitude absolue de X , c'est-à-dire X , est matérialisée par la différentielle dX telle que X dX . Puisque le signe de l’erreur est inconnu il est tout à fait logique de prendre la valeur absolue pour les différentielles. f f f dx + dy + dz Sachant que dX = x y z

A.FIZAZI

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10

Les incertitudes

L’incertitude absolue

X de X s’écrit donc :

X

f x

x+

f y

y+

f z

(1.7)

z

) d’une grandeur X le

Définition : On appelle incertitude relative ( rapport entre l’incertitude absolue et la valeur approchée, soit module de la différentielle logarithmique :

X , et elle est égale au X

X dX = X X

3/ Théorème des incertitudes (

(1.8)

):

Incertitude absolue d’une somme algébrique ( ): L’incertitude absolue d’une somme algébrique de nombres incertains est égale à la somme arithmétique des incertitudes absolues de ces nombres. Soit la somme algébrique : y = nu + pv qw + k où n, p et q sont des coefficients constants et positifs, k une constante sans incertitude et u , v et w les incertitudes absolues respectives de u , v et w . L’incertitude absolue de y est y=n u+ p v+q w .

y = nu + pv - qw + k

y= n u+ p v+ q w

(1.9)

Important : Nous écrivons toujours le résultat d’une mesure sous la forme :

y0 = ( y ± y ) u

(1.10)

y0 : valeur exacte y : valeur approchée y : incertitude absolue u : unité de la grandeur Exemple 1.6 : En déterminant la masse M par la méthode de la double pesée, on obtient m1 = 12.762 g et m2 = 57.327 g . Sachant que l’incertitude absolue sur m1 et m2 est de m = ±2mg , calculer M et M . Réponse :

M = m2

m1

M = 44.565 g

M = m1 + m2 = 4mg = 0.004 g Ainsi, le résultat s’écrit toujours sous la forme ci-dessous de telle façon que, le nombre de chiffres significatifs après la virgule dans la valeur approchée, soit le même que dans l’incertitude absolue.

M = (44.565 ± 0.004) g Tandis que l’incertitude relative sur M est :

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11

Les incertitudes

0.004 M = M 44.565

M = 9.10 M

5

ou

m1 + m2 M = M m2 m1

M = 9.10 M

5

L’incertitude relative d’un produit ou d’un quotient ( Nous devons distinguer deux cas :

)

Premier cas : grandeurs indépendantes. Enoncé du théorème : L’incertitude relative d’un produit ou d’un quotient dont les grandeurs sont indépendantes les unes des autres est égale à la somme arithmétique des incertitudes relatives sur chaque terme. Preuve mathématique : n p

q

Soit le produit y = ku v w où n, p et q sont des nombres réels et k une constante connue avec exactitude ; les incertitudes absolues sur u , v et w sont respectivement u , v et w . Appliquons la fonction logarithmique aux deux membres de l’équation

log y = log ku n v p w

q

D’après les propriétés du logarithme nous pouvons écrire :

log y = log k + n log u + p log v

q log w

Ecrivons à présent la différentielle logarithmique et développons ensuite :

dy dk du dv = +n +p y k u v

q

dw w

Nous arrivons à l’expression de l’incertitude relative (après avoir changé le signe – en signe +) et en prenant l’incertitude absolue des nombres :

y u v w =n + p +q y u v w

(1.11)

Nous retiendrons la règle générale qui gère ce type de calcul : - Remplacer tous les symboles di par i - Changer le signe – par le signe + - Prendre les grandeurs qui ne contiennent pas de en valeurs absolues Deuxième cas : grandeurs dépendantes les unes des autres. Soit

y=k

u v

(u + v )

t

En suivant la même démarche que précédemment nous obtenons :

log y = log k +

A.FIZAZI

log u + log v

Univ-BECHAR

log ( u + v )

log t

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12

Les incertitudes

dy dk = + y k

du + u

dv v

du u+v

dv u+v

dt t

Factorisons tous les termes ayant le même di et changeons le signe – par le signe + :

dy dk = + du y k u y = y u

u+v

+ dv

u+v u+

v

v

u+v

dt t

u+v v+

t

t

(1.12)

Exemple1.7 : Calculer l’incertitude relative puis l’incertitude absolue de l’énergie électrique 2

exprimée par la formule Q = RI t . Réponse : selon le théorème de l’incertitude relative d’un produit ou d’un quotient, nous pouvons écrire :

Q R I t = +2 + Q R I t Nous en déduisons l’expression de l’incertitude absolue sur Q : R I t Q =Q +2 + R I t Q = RI 2t

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13

Les incertitudes

**

EXERCICES Exercice 1.7 Pour mesurer l’épaisseur d’un cylindre creux on mesure

les

diamètres

( D1 ) et

intérieur

extérieur ( D2 ) et on trouve :

D1 = (19,5 ± 0,1) mm , D2 = ( 26, 7 ± 0,1) mm

7.1

( D2 ) D2 = ( 26, 7 ± 0,1) mm

Soit à déterminer la masse volumique

( )

de la

substance d’un cube homogène à partir de la mesure de sa masse

(m)

(a)

et de son arête

D1 = (19,5 ± 0,1) mm

.

Donner le résultat de la mesure et sa précision.

Exercice 1.8

( D1 )

:

( )

"! #

(m)

. Ecrire le

8.1

!

!

$ " !&. ( a )

.

résultat de la mesure. Exercice 1.9

La densité ( ) d’un corps solide par application

Où

m2 m3

=

du théorème d’Archimède est :

(

m1 m1

masses effectuées, successivement, avec la même balance. Trouver l’incertitude relative sur .

"

Exercice 1.10 Calculer l’incertitude relative sur la mesure de la capacité

(C )

d’un condensateur équivalent à deux

condensateurs montés : a/ en parallèle b/ en série précisions sur

( C1 ) et ( C2 ) .

Exercice 1.11 Soit l’expression :

µ=

2

m

Calculer l’incertitude absolue sur incertitudes absolues

m

,

2

m)

:7

,

m1

en fonction des 1

, m2 , m1 .

.$' 01 . 3

7

"! + 8* ;

µ=

1

µ

/ 5

y = y0 .e

wt

Calculer l’incertitude absolue sur incertitudes absolues

A.FIZAZI

'!

m1 : & m1 2' m3 , m2 , m1 .

4

2

* 2! . 6 *

m2 (

*

" 8 " & 4'! 1 ! 4'! ( C ) 2 /" : 4 / . ( C2 ) ( C1 ) 2! 7

m

2

m

)

11.1 m1 : # *

!

1

8* µ 7 ) " . m , 2 , 1 , m2 , m1

Exercice 1.12 Soit la relation :

9.1

10.1

, et cela en fonction des

m2 (

m2 m3

=

m1 , m2 , m3 sont les résultats de trois mesures de

( )

)* * "+ ,

%

8

" & /* 8

12.1 .

y en fonctions des

, t , y0 .

y = y0 .e

8*

;

y 7

. Univ-BECHAR

)

y0 , t , ,

wt

: $ 789: " 8 " & /* 8

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14

Calcul des incertitudes

Corrigés des exercices 1.7 à 1.12:

12.1

7.1

Exercice1.7 : Calculons d’abord l’épaisseur du cylindre : e =

D2

L’incertitude absolue sur l’épaisseur est donc :

D1

; e=3,6mm

2

D2 + D1 ; 2

e=

e = ±0,1mm

Ecrivons le résultat de la mesure : e = ( 3, 6 ± 0,1) mm Nous en déduisons l’incertitude relative :

e 0,1 = 3, 6 e

e = 0, 03 = 3% e

Exercice 1.8 : m m = 3 =3,041g/cm3 V a Nous déduisons l’incertitude absolue de l’incertitude relative : =

Calcul de la masse volumique :

=

m a +3 m a

m a +3 m a

=

0, 02 g / cm3

= 0, 0063 = 6,3 0 / 00

D’où l’incertitude relative :

= ( 3, 04 ± 0.02 ) g / cm3

Ecriture du résultat de la mesure :

Remarque importante : Le nombre des chiffres significatifs conservés dans un résultat ne doit jamais impliquer une précision supérieure à celle des données. Un calcul ne peut qu’aboutir à un résultat dont l’incertitude sera au moins égale à celle de la donnée la moins précise. Exercice 1.9 :

m2 m3

=

Nous avons l’expression :

m1 m1

Remarquons que les trois masses sont dépendantes. Appliquons la fonction logarithmique aux deux membre de l’équation :

log = log ( m2

m1 ) log ( m3

m1 )

Passons à la différentielle logarithmique :

d Développons : Factorisons :

A.FIZAZI

d

d

=

=

dm2 m2 m1

= dm1

d ( m2 m1 ) d ( m3 m1 ) m2 m1 m3 m1 dm3 dm1 dm1 + m2 m1 m3 m1 m3 m1

1 m3

1 m1

m2

m1

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+

dm2 m2 m1

dm3 m3 m1

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15

Calcul des incertitudes

Passons à présent aux incertitudes relatives, en remplaçant di par signe ( ) des facteurs communs par le signe ( + ) ,

i et en changeant le et

en

supposant

m1 = m2 = m3 = m (puisque nous utilisons la même balance). Il vient :

= m

1

1

m3

m1

=

2 m m3 m1

Nous obtenons à la fin :

m2

m1

+

m m + m2 m1 m3 m1

Exercice 1.10 : a/ Groupement en parallèle : La capacité du condensateur équivalent à deux condensateurs montés en parallèle est donnée par la formule : C = C1 + C2 . Appliquons la fonction logarithmique aux deux membres de l’équation puis passons à la différentielle logarithmique :

log C = log ( C1 + C2 )

dC1 dC2 dC = + C C1 + C2 C1 + C2

L’incertitude relative est donc :

C1 C2 C = + C C1 + C2 C1 + C2

C C1 C2 C2 C = 1 + C C1 C1 + C2 C2 C1 + C2

b/ Groupement en série : La capacité du condensateur équivalent à deux condensateurs montés en série est donnée par la formule :

C1

C2

C

1 1 1 = + C C1 C2

C=

C1C2 C1 + C2

Appliquons la fonction logarithmique aux deux membres de l’équation puis passons à la différentielle logarithmique :

log C = log

C1C2 C1 + C2

log C = log C1 + log C2

log ( C1 + C2 )

L’incertitude relative est donc :

dC dC1 dC2 = + C C1 C2 Factorisons :

dC 1 = dC1 C C1

dC1 C1 + C2

dC2 C1 + C2

1 1 + dC2 C1 + C2 C2

1 C1 + C2

L’expression précédente peut être écrite sous la forme : C1 dC C2 dC dC1 = 1 + 2 1 C C1 C1 + C2 C2 C1 + C2 Finalement l’incertitude relative demandée est :

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Calcul des incertitudes

C1 C1 C2 C2 C 1 1 = + C C1 C1 + C2 C2 C1 + C2 Exercice 1.11 : Ecrivons l’expression donnée sous la forme : µ + m1 =

m2 (

m

2

m

)

1

En introduisant la fonction logarithmique dans les deux membres de l’équation nous obtenons :

log ( µ + m1 ) = log m2 + log (

2

m

)

log (

m

1

)

La différentielle logarithmique de l’expression précédente est :

d ( µ + m1 ) dm2 d m d m d 2 d 1 = + + µ + m1 m2 2 2 1 1 m m m m d m d m dm1 dm2 d 2 d 1 µ d Ou bien : = + + + µ + m1 µ + m1 m2 2 2 1 1 m m m m C'est-à-dire : µ + m1 µ + m1 µ + m1 µ + m1 µ + m1 µ + m1 d µ = dm1 + dm2 +d 2 d m d m +d 1 µ + m1 m2 2 2 1 1 m m m m Et en fin, l’incertitude absolue demandée est :

µ + m1

µ = + m1 + m2

m2

+

2

µ + m1 2

+

µ + m1

m

2

m

+

µ + m1

m

+

1

m

1

µ + m1 m

1

Exercice 1.12 : Après introduction de la fonction logarithmique dans les deux membres de l’équation t

nous obtenons : log y = log y0 + log e Sa différentielle est :

log y = log y0 + log e t log y = log y0 d ( log y ) = d ( log y0 ) d ( t ) Posons X =

t

dX d = X

+

dt t

dX = X

t d

+

dt t

D’où :

dy dy0 = y y0

t

d

+

dt t

On passe à l’incertitude relative pour en déduire l’incertitude absolue :

y y = 0+ t y y0

A.FIZAZI

+

t t

y= y

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y0 +t y0

+

t

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Rappel sur le calcul vectoriel

II/ RAPPEL SUR LE CALCUL VECTORIEL $ $ $ $ !$ $ $

1/ GRANDEUR SCALAIRE(

$ $%&$

)

Une grandeur scalaire est toujours exprimée par une valeur numérique suivie de l’unité correspondante. Exemple : le volume, la masse, la température, la charge électrique, l’énergie… ) 2/ GRANDEUR VECTORIELLE( On appelle grandeur vectorielle toute grandeur qui nécessite un sens, une direction, un point d’application en plus de sa valeur numérique appelée intensité ou module. Exemple : le déplacement, la vitesse, la force, le champ électrique…

3/ REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UN VECTEUR ( Un vecteur est représenté par un segment orienté (figure2.1).

):

V : représente le vecteur (avec ses quatre caractéristiques). V = V = V : représente le module ou l’intensité du vecteur.

V O Fig 2.1: représentation d’un vecteur

): c’est un vecteur de module égal à l’unité (le 4/ LE VECTEUR UNITAIRE ( nombre un). On peut exprimer un vecteur parallèle au vecteur unitaire sous la forme :

V = uV = V u

(2.1)

u

V

O

Fig 2.2: vecteur unitaire

:

5/LA SOMME GEOMETRIQUE DES VECTEURS ( ) Cette opération fait appel au dessin, c’est pour cette raison qu’on la qualifie de géométrique. La somme de deux vecteurs : c’est une opération commutative. On calcule le module du vecteur résultant à partir de la loi des cosinus ( que nous démontrerons plus tard :

D = V12 + V2 2

A.FIZAZI

2VV cos 1 2

Univ-BECHAR

!

" #)

(2.2)

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18

Rappel sur le calcul vectoriel

V2

V2

V

V

V = V1 + V2 V = V2 + V1

V1

V1

Pour déterminer la direction de V , il suffit de chercher la valeur de l’angle (figure 2.4). Raisonnons à partir du triangle ACD de la figure 2.5 : sin

sin

=

=

CD CD = AC V

V V = 2 sin sin

CD CD = BC V2

(2.3)

= V 2 .sin

V .sin

C

V2

V

E

0 A

V1

B

D

De même dans le triangle BEC nous avons :

sin sin

A.FIZAZI

BE BC BE = AB =

V2 V = 1 sin sin

Univ-BECHAR

V2 .sin

= V1.sin

(2.4)

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19

Rappel sur le calcul vectoriel

De (2.3) et (2.4) nous pouvons en déduire la formule générale (2.5), appelée loi des sinus " #):

(!

V V V = 1 = 2 sin sin sin

(2.5)

V2 V1 La somme géométrique de plusieurs vecteurs : (voir figure2.5)

Cas particulier : Si

2

=

2

alors V = V1 + V2

2

et tan

=

V = V1 + V2 + V3 + V4 + V5

V

V3 V2

V4 V5

V1

O

Fig 2.5: Somme de plusieurs vecteurs

La soustraction de deux vecteurs : (" ' ( ) figure 2.6 Géométriquement, le vecteur D représente le résultat de la soustraction entre les deux vecteurs V2 et V1 . Nous pouvons écrire : D = V2 V1 Cette équation peut aussi s’écrire : D = V2 + ( V1 ) La soustraction de vecteurs est anticommutative, c’est ce qui ressort de la figure 2.6 :

D'=

D Le module du vecteur D :

D = V12 + V2 2

A.FIZAZI

2VV cos 1 2

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(2.6)

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20

Rappel sur le calcul vectoriel

6/ COMPOSANTES D’UN VECTEUR ( ) % ): Chaque vecteur peut être considéré comme étant la somme de deux vecteurs ou plus (le nombre de possibilités est illimité). Dans le plan, soit le repère R (O; i , j ) : En coordonnées rectangulaires : on décompose le vecteur V suivant l’axe des X et l’axe des Y, comme indiqué sur la figure2.7. Y V

Vy

V = Vx + Vy V x = V cos V y = V sin

u

j O

i

X

Vx

Fig 2.7: Composantes d’un vecteur

En désignant les deux vecteurs unitaires i et j , respectivement dans les directions des deux axes OX et OY, nous pouvons écrire :

Vx = i .Vx , Vy = j .Vy

;

V = Vx + Vy ; V = i .Vx + j .Vy ; V = i .V cos + j .V sin

(2.7)

V = V (i .cos + j .sin )

Or V = u .V , d’où :

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

21

Rappel sur le calcul vectoriel

u = i .cos + j .sin 2

Quant à la norme du vecteur V , elle vaut : V = V x + V y

(2.8) 2

En utilisant les coordonnées x et y nous pouvons aussi écrire : V = x 2 + y 2 Exemple 2.1 : Trouver la résultante des deux vecteurs V1

x1 x ; V2 2 y1 y2

dans le repère

R (O ; i , j ) . Réponse :

; V = i ( x1 + x2 ) + j ( y1 + y2 ) D V = ( x1 + x2 ) 2 + ( y1 + y2 ) 2

V = V1 + V2

Exemple 2.2 : Trouver la différence des deux vecteurs V1

x1 x ; V2 2 y1 y2

dans le repère

R (O ; i , j ) . Réponse : V = V1 V2

; V = i (x 1

x 2 ) + j ( y1

V = ( x1

y2 )

x2 )2 + ( y1

y2 ) 2

Dans l’espace : dans le repère R (O; i , j , k ) (base orthonormée), nous remarquons

que V = V x + V y + V z

V = i .Vx + j .V y + k .Vz . (figure 2.8)

Z

Vz

r

k

i

V

j

Vy

Y

Vx X Fig 2.8: composantes d’un vecteur

Nous pouvons nous assurer géométriquement que :

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22

Rappel sur le calcul vectoriel

cos = sin = cos = sin =

Vz r

Vz = r.cos = r.sin ;

r Vx Vy

Vx = .cos

Vx = r.sin .cos

Vy = .sin

Vy = r sin .sin

En résumé : V x = V sin . cos

(2.9)

V y = V . sin . sin V z = V . cos

Quant au module du vecteur V il est égal à : V = Vx 2 + V y 2 + Vz 2 Ou en coordonnées cartésiennes : V =

x2 + y2 + z 2

Remarque : En notant par et les angles respectifs formés par le vecteur V avec les axes OX et OY , et de la même façon que nous avons obtenu l’équation 2.9, il vient : Vx = V .cos

, Vy = V .cos

(2.10)

, Vz = V .cos

Nous pouvons en déduire l’expression : cos 2

+ cos 2

+ cos 2

(2.11)

=1

Exemple 2.3 : Trouver la distance qui sépare les deux points A (10, 4, 4 ) u

et

B (10,6,8 ) u , représentés dans le repère rectangulaire R (O ; i , j , k ) , avec u = unité .

Réponse : En représentant les deux points dans le repère, on se rend compte que la distance demandée n’est autre que le module du vecteur D , qui est la différence entre les deux vecteurs : D = V2 V1 Soit : D = i ( x2

x1 ) + j ( y 2

y1 ) + k ( z 2

z1 )

D = ( x2

D = i (0) + j (10) + k (4)

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x1 ) 2 + ( y 2

y1 ) 2 + ( z 2

z1 ) 2

D = 116 = 10.77u

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23

Rappel sur le calcul vectoriel

Exemple 2.4 : Trouver la résultante des cinq vecteurs suivants :

V1 = (4i

3 j ) u;V2 = ( 3i + 2 j ) u; V3 = (2i

Réponse : V = (4 3 + 2 + 7 + 9)i + ( 3 + 2 6 8 + 1) j

6 j )u;V4 = (7i

8 j )u;V5 = (9i + j )u

V = 19i 14 j

V = 361 + 196 = 23.60u Vy Pour trouver la direction du vecteur V , nous partons de l’expression tan = , est Vx

l’angle formé par le vecteur V et l’axe OX :

= 14

tan

36,38°

0,737

19

7/ LE PRODUIT SCALAIRE ( * ): Définition : On appelle produit scalaire de deux vecteurs V1 et V2 le nombre réel V1 .V2

: V1.V2 = V1.V2 .cos(V1.V2 )

Ou V1.V2 =

1 V 1 + V2 2

2

V1

2

(2.12) V2

2

(2.13)

Cas particulier : Si V1 = 0 ou V2 = 0 , alors V1 .V2 = 0 Si V1

0 et V2

0 , alors : V1

V2

V1 // V2

(V1 , V2 ) =

cos = 0 V1.V2 = 0 2 2 (V1 ,V2 ) = 0 cos 0 = 1 V1.V = V1V2

Exemple:

Le travail de la force F qui provoque un déplacement AB est donné par la formule W = F . AB. cos tel que = ( F ; AB) (on lit W est le produit scalaire de F par AB ), on écrit :

W = F . AB

W=F.AB.cos

Démontrons à présent la relation (2.2) comme nous l’avons promise : 2

2

2

2

V = V1 + V2 ; V = V1 + V2 + 2V1V2 ; V 1 = V1.V 1 = V1V1 cos(V 1V 1 ) = V12 ; V 2 = V12 + V2 2 + 2VV 1 2 cos(V 1V 2 )

V = V12 + V2 2 + 2V1V2 cos(V 1V 2 )

Expression analytique du produit scalaire ( LM N OPM QRMRM S TU ) Dans le plan(+ , ) : Soit les deux vecteurs V1 et V2 contenus dans le plan, tel que : x x V1 1 ; V2 2 y1 y2

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Rappel sur le calcul vectoriel

Dans le repère

R (O ; i , j )

V1.V2 = ( x1.i + y1. j ) .( x2 .i + y2 . j ) = x1.x2 .i .i + x1. y2 .i . j + x2 . y1. j .i + y1. y2 . j . j i

j .i = i . j = 0

j

V1.V2 = x1.x2 + y1. y2 .

(2.14)

i .i = j . j = i 2 = j 2 = 1 Dans l’espace (* -.

,) :

Soit les deux vecteurs V1 et V2 dans le repère R (O ; i , j ; k )

i . j = i .k = j .k = 0 i = j = k =1

x1

x2

V1 y1 z1

; V2 y2 z2

V1 .V2 = x1 .x2 + y1 . y2 + z1 .z2

(

(2.15)

/0 12) :

Propriétés du produit scalaire ( * Commutatif ( ) V 1 .V 2 = V 2 .V 1 Non associatif (

:

)

3): V1. V2 .V3 n’existe pas car le résultat serait un vecteur.

Distributif ( XYZ ) par rapport à la somme vectorielle :

(

)

V1. V2 + .V3 = V1.V2 + V1.V3 Exemple 2.5 : Calculer l’angle compris entre les deux vecteurs : V 1 = 3i + 2 j

k

et V 2 = i + 2 j + 3k . Réponse : Partant de l’expression du produit scalaire, on peut écrire :

cos(V 1V 2 ) =

V1 .V 1 V1V2

Donc :

V1.V 1 = 3 + 4 3 = 2 ; V1 = 9 + 4 + 1 = 3,74 ; V2 = 1 + 4 + 9 = 3,74 cos(V 1V 2 ) =

2 V1.V 1 = = 0,143 V1V2 14

= (V 1V 2 ) = 96,2°

8/ LE PRODUIT VECTORIEL ( * ): Définition : On appelle produit vectoriel de deux vecteurs V1 et V2 le vecteur W perpendiculaire au plan qu’ils constituent. Nous écrivons par convention : W = V1 V2 = V1 × V2

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Rappel sur le calcul vectoriel

W V1

O V2

W Fig 2.9: produit vectoriel

caractéristiques du vecteur W ( )4 ) W est perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs, son sens est déterminé par la règle de la main droite (l’index indiquant W ), son module est donné par la formule 2.16 :

W = W = V1.V2 .sin(V1.V2 )

Important :

i

i = j

j =k

i

j =k ;i

i

j = i

(2.16)

k =0

k = j ;j k = j

k =i

k =1

Remarque : la grandeur W = W = V1 .V2 .sin(V1 ;V2 ) représente l’aire du parallélogramme

formé par les deux vecteurs, ce qui laisse sous entendre la possibilité de lier un vecteur à une certaine surface. Méthode utilisée pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs : x1 x2

V1 y1 ; V2 y 2 z1 z2 En utilisant les coordonnées cartésiennes dans le repère R (O ; i , j , k ) , on peut écrire :

+i

j

W = x1

y1

z1 = i

x2

y2

z2

W = ( y1 z2

+k

y2 z1 ) i

y1

z1

y2

z2

(x z

1 2

j

x1

z1

x2

z2

x2 z1 ) j + ( x1 y2

+k

x1

y1

x2

y2

x2 y1 ) k

Le module du vecteur est donné par l’expression :

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Rappel sur le calcul vectoriel

(y z

W=

y2 z1 ) + ( x1 z2 2

1 2

x2 z1 ) + ( x1 y2

x2 y1 ) = V1 .V2 .sin(V1 ,V2 )

2

2

Propriétés du produit vectoriel ( N OP ]^ _`) Anticommutatif ( ) V1 V 2 = V 2 V1 Non associatif ( Distributif (

(V

3): V1

2

V3

) (V

1

V2

)

(2.17)

V3

4 ) par rapport à la somme vectorielle :

(V + V ) = (V

V1

2

3

1

) (

V2 + V1 V3

)

Exemple 2.6 : Calculer le vecteur W , produit des deux vecteurs : V1 = (2,1, 1) et

V2 = (1, 0, 2) , en déduire l’angle Réponse : W = [ (1 × 2 ) (0 × 1)].i

(2 ×

compris entre eux.

2) (1 × 1) . j +

( 2 × 0)

(1 × 1) .k

W = 2i + 3 j

k

V1 = 22 + 12 + 12 = 6

V2 = 12 + 0 + 2 2 = 5 W = 22 + 32 + 12 = 14 = 3,74 3,74 W sin = = 0,683 W = V1.V2 .sin = 3,74 sin = V1.V2 30

9/ LE PRODUIT MIXTE (( 2

= 43,06°

):

*

Le produit mixte de trois vecteurs V 1 , V 2 et V 3 est la quantité scalaire définie par :

(

V1. V2

x1 V3 = x2 x3

)

y1 y2 y3

z1 z2 = ( y2 z3 z3

y3 z2 ) x1

( x2 z3

x3 z2 ) y1 + ( x2 y3

x3 y2 ) z1

(2.18)

10/ MOMENT D’UN VECTEUR PAR RAPPORT A UN POINT DE L’ESPACE (* -. " ( 4 ) Définition : Le moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace est le vecteur défini par :

! O = OA V

(2.19)

Remarque : ! O = au double de l’aire du triangle AOB . (Figure2.10-a-) 11/ MOMENT D’UN VECTEUR PAR RAPPORT A UN AXE (UZ

L Q b c d ef )

Première définition : Le moment d’un vecteur par rapport à un axe est égal à la projection de ce vecteur par rapport à un point quelconque de cet axe.

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Rappel sur le calcul vectoriel

Deuxième définition : Le moment du vecteur V par rapport à un axe " , d’origine O et de vecteur unitaire u , est égal au produit mixte :

(

)

! " = ! O .u = OA V .u

(2.20)

Remarque : Le moment d’un vecteur par rapport à un axe est une grandeur scalaire, par contre le moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace est un vecteur (Figure2.10-b-)

!"

!O

!O

u O

!"

O B

! O'

B

O'

(")

V A

V A

12/GRADIENT, DIVERGENCE ET ROTATIONNEL (i UjO j O

S klUOS ) :

Définitions : On dit que la fonction f ( x, y, z ) est un champ scalaire si la fonction f ( x, y, z ) est un scalaire. On dit que la fonction V ( x, y, z ) est un champ vectoriel si la fonction est vectorielle. On définit l’opérateur ( mnL ) différentiel vectoriel #(nabla ) par :

#=

$ $ $ i + j+ k $x $y $z

(2.21)

Où : $ $ $ , et sont respectivement les dérivées partielles par rapport à x, y et z . $x $y $z Nous allons définir le gradient, la divergence et le rotationnel à l’aide de cet opérateur.

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28

Rappel sur le calcul vectoriel

LE GRADIENT (lUOS ): Si f ( x, y, z ) est une fonction scalaire, son gradient est un vecteur défini comme étant : $f $f $f grad f = #( f ) = i+ j+ k (2.22) $x $y $z Exemple 2.7 : Calculer le gradient de la fonction f ( x, y, z ) = f = 3 x y z . 2

3

Réponse : grad f = 6 xy 3 z.i + 9 x 2 y 2 z. j + 3x 2 y 3 .k LA DIVERGENCE (O S ): Si V = (V x ,V y ,V z ) est une fonction vectorielle, sa divergence est un scalaire défini comme étant :

divV = #.V =

$Vx $Vy $Vz + + $x $y $z

(2.23)

Exemple 2.7 : Calculer la divergence de la fonction vectorielle

V ( x, y, z ) = 2 xyi Réponse : divV = 2 y

3 yz 2 j + 9 xy 3 k

3z 2 + 0 = 2 y 3z 2

LE ROTATIONNEL (i UjO ): Si V = (V x ,V y ,V z ) est une fonction vectorielle, son rotationnel est un vecteur défini comme étant :

rot (V ) = # V =

$Vz $y

$Vy $z

.i

$Vy $Vx .j + $z $x

$Vz $x

$Vx .k $y

(2.24)

Démarche à suivre : a/ Etablir la matrice suivante :

rotV =

+i

j

$ $x Vx

$ $y Vy

+k $ = A+ B +C $z Vz

b/ Pour calculer A, B, C il suffit de se rappeler de la règle du produit vectoriel :

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Rappel sur le calcul vectoriel

+i $ $y Vy

A=

$ $Vz = +i $z $y Vz

$Vy $z

-j B=

$ $x Vx

$ $Vz = -j $z $x Vz

$Vx $z

k C=

$ $x Vx

$ $y Vy

$Vy $x

= +k

$Vx $y

c/ On arrive à l’expression finale (2.24) :

+i

j

$ $x Vx

$ $y Vy

+k $Vz $ = +i $z $y Vz

$Vy $z

-j

$Vz $x

$Vx $Vz +k $z $x

$Vx $z

Exemple 2.7 : Calculer le rotationnel du vecteur : V ( x, y, z ) = 2 xyi 3 yz 2 j + 9 xy 3 k Réponse :

( rot (V ) = ( 27 xy

rot (V ) = 27 xy 2 2

) 6 yz ) .i 6 yz .i

(9 y 3

0). j + (0 2 x).k

9 y3 j

2 xk

13/ LE LAPLACIEN (" 5 6) : Définitions : En coordonnées cartésiennes : Le Laplacien d’une fonction scalaire est égal à la divergence de son gradient : #.# ( f ) = # 2 ( f ) =

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$2 f $2 f $2 f + + $x 2 $y 2 $z 2

(2.25)

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30

Rappel sur le calcul vectoriel

Le Laplacien d’une fonction vectorielle est égal à la divergence de son gradient : $ 2Vy $ 2 Vx $ 2Vz i+ j+ 2 k #.# V = # (V ) = $x 2 $y 2 $z

( )

2

(2.26)

REMARQUE Vous trouverez, à la fin de ce document en annexe, un formulaire regroupant le gradient, la divergence, le rotationnel et le laplacien dans les différentes coordonnées : cartésiennes, cylindriques et sphériques.

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31

Rappel sur le calcul vectoriel

**

EXERCICES .

! ! "#$

Exercice 2.1 On considère , dans un repère orthonormé OXYZ, les

trois

V1 = 3i 4 j + 4k ,

vecteurs :

j + 3k .

V2 = 2i + 3 j 4k et V3 = 5i

a/ calculer les modules de V 1 & V 2 et V 3 , b/ calculer les composantes ainsi que les modules des

A = V1 +V 2 +V 3

vecteurs :

B = 2V 1 V 2 + V 3 ,

c/

déterminer

le

vecteur

unitaire

et porté

par

d/ calculer le produit scalaire V 1 .V 3 l’angle formé par les deux vecteurs. e/ calculer le produit vectoriel V 2

et en déduire

V3.

Exercice 2.2 Montrer que les grandeurs de la somme et de la

Ax

Bx

différence de deux vecteurs A = Ay et B = B y Az Bz exprimées en coordonnées rectangulaires sont respectivement :

(A

D=

(A

+ Bx ) + ( Ay + By ) + ( Az + Bz ) 2

2

x

x

Bx ) + ( Ay

By ) + ( Az 2

2

Exercice 2.3 Trouver la

sommes

V1 = 5i 2 j + 2k

2

des

Bz )

2

B = 2V 1 V 2 + V 3

D!E

F;GHG,)

A = V1 +V 2 +V 3

I ?);,)

J '

7+E

/C

trois

2

Exercice 2.4 a/ Montrer que la surface d’un parallélogramme est sont

les côtés du

parallélogramme formé par les deux vecteurs . b/ Prouver que les vecteur

2.2

7+E k, l$m,)

J;G G,) f)T g hQ 7 igHj

B +-) ?n S GROE $% G,)

A et B

Bx

Ax

B = By

A = Ay

Bz

Az

: Go ",); ,) D!E *!+p >G,) S=

( Ax + Bx )

D=

( Ax

2

+ ( Ay + By ) + ( Az + Bz ) 2

Bx ) + ( Ay 2

By ) + ( Az 2

2

Bz )

2

1/ 2

1/ 2

3.2

vecteurs :

V2 = 3i + j 7k

B tels que A et B

*: )M,) N O PQ - V 1 .V 3 "G!>,) L) ,) =>?@ /K . GRO+S IT;UHG,) V2 V3 /

1/ 2

Calculer le module de la résultante ainsi que les angles qu’elle forme avec OY , OX et OZ .

A.FIZAZI

$% & OXYZ ! "# 2 V1 = 3i 4 j + 4k :*+, ,) *-./,) * '() . V3 = 5i j + 3k 2 V2 = 2i + 3 j 4k . V 3 V 2 & V 1 7 89 *!:;< =>?@ /) * '() B.:;< B %9$ =>?@ /A

1/ 2

2

V3 = 4i + 7 j + 6k .

A

1.2

C = V1 +V 3

C = V1 +V 3,

S=

%& '( :

: 2

V2 = 3i + j 7k

V1 = 5i 2 j + 2k 2

. V3 = 4i + 7 j + 6k t R OUj " ,) :) M,) *!UHG,) *!:;< =>?@ . OZ OY , OX 7 89

"o J.v() fw); fw); " !v B

sont

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:4.2 *? > h@ 7o$S /) A x+? A B

.7+E k,) 7 8ykG,) J.v()

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Rappel sur le calcul vectoriel perpendiculaires si

Exercice 2.5 Soit le vecteur :

(

D!E :K;GE h;y: A J k,) h@ 7o$S /A A + B = A B *|. ,) }ggHj )~Q B J k,)

A+ B = A B

5.2

) (

) (

)

V = 2 xy + z 3 i + x 2 + 2 y j + 3 xz 2 Montrer que

grad

V =

2 k

V =0

(

) (

:J k,) h 9 )~Q

) (

V = 2 xy + z i + x + 2 y j + 3 xz 2 3

grad

2

V = 0 h@ 7o$S

V =

Exercice 2.6

1 Soient les deux vecteurs

A=

6.2

2 , B=

)

2 k

2

3

B=

4

1 3

;

A=

h E k,) 7y+,

4

Trouver , pour que B soit parallèle à A , puis déterminer le vecteur unitaire pour chacun des deux vecteurs.

- & A J k,) B J k,) fw);: x+HS , 7+E . GRO 8y, *g#);G,) I ?);,) "E ' 7+E

Exercice 2.7 La résultante de deux vecteurs a 30 unités de long et forme avec eux des angles de 25° et 50°. Trouver la grandeur des deux vecteurs.

7.2 tOUj I ? 30 R,;< 7+E ' *!UH .50° 25° 7+ : )w .7+E k,) *!:;< ‚ @

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GR

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33

Rappel sur le calcul vectoriel

Corrigés des exercices 2.1 à 2.7 :

7.2

1.2

Exercice2.1 : a/ V1 = 6, 40

V2 = 5,38

,

b/ A = 10i 2 j + 3k

,

c/ C = 8i 5 j + 7k

C = uc C

B = 9i 15 j + 15k

V 1.V 3 = x1 x3 + y1 y3 + z1 z3 d/

cos

e/ V2

=

V 1.V 3 V1V3

cos

V 3 = 5i

V3 = 5, 91

,

uc =

8 i 35

5 7 j+ k 35 35

V 1.V 3 = 15 + 4 + 12 , V 1.V 3 = 31 =

31 31 = , cos 41. 35 37,88

= 79,86°

0,176

26 j 17 k

Exercice2.2 : Ax A = Ay

Bx B = By

;

Az

Bz

S = A + B = ( Ax + Bx ) i + ( Ay + By ) j + ( Az + Bz ) k S=

( Ax + Bx )

2

D = A B = ( Ax D=

( Ax

+ ( Ay + By ) + ( Az + Bz ) 2

Bx ) i + ( Ay

Bx ) + ( Ay 2

2

By ) j + ( Az

By ) + ( Az 2

Bz )

2

1/ 2

Bz ) k 1/ 2

Exercice2.3 : V = V 1 + V 2 + V 3 , V = 6i + 6 j + k Vx = V .cos Vy = V .cos Vz = V .cos

Vx 6 = , cos V 8,54 Vy 6 , cos cos = = V 8,54 V 1 cos = z = , cos V 8,54

cos

=

V

8, 54

0,70

45, 6°

0,70

45, 6° 83,1°

0,70

Exercice2.4 : a/ surface du parallélogramme : S = h. B On remarque sur la figure que : h = A sin Donc : S = A B sin

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A

h

h B

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34

Rappel sur le calcul vectoriel

On en déduit que : S = A B = A B sin Rappelons-nous que la surface d’un triangle de côtés A et B est égale à : S0 =

1 1 A B = A B sin 2 2

b/ soient les deux vecteurs : Ax

Bx

B = Ay

A = By

;

Az A+ B =

( Ax + Bx )

A B =

( Ax

2

Bz + ( Ay + By ) + ( Az + Bz ) 2

Bx ) + ( Ay

By ) + ( Az 2

2

Bz )

2

2

1/ 2

1/ 2

En égalisant les deux dernières expressions, et en développant nous arrivons au résultat : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0 , qui n’est autre que le produit scalaire A.B = 0 A B.

( )

Exercice2.5 : Ecrivons les deux expressions des deux vecteurs : x =

2 xy + z 3 V = x2 + 2 y

y

2 xz 2 2

z En calculant le produit vectoriel de ces deux vecteurs nous trouvons que le résultat est zéro : i V=

-j x

2 xy + z 3

k

y

z

x2 + 2 y

2 xz 2 2

=0

Exercice2.6 : Pour que les deux vecteurs A et B soient parallèles il faut que la relation B = . A soit vérifiée, avec constante. Partant de cela on peut écrire : 2 B

=A

B

=

3

1 =

4

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35

Rappel sur le calcul vectoriel

On en déduit la valeur de 2

=1

3 4

et par la suite les valeurs de

et

:

=2 2

=

=

= 1, 5

B=

1 3

;

4

=2

1,5

A= 2

On s’assure des deux résultats en calculant A B = 0 Les vecteurs unitaires correspondant à chacun des deux vecteurs A et B sont : A = i 1, 5 j + 2k

A = uA A

B = 2i 3 j + 4k

B = uB B

uA =

1 i 7, 25

uB =

2 i 29

1,5 2 j+ k 7, 25 7, 25

3 4 j+ k 29 29

Exercice2.7 : Des données nous pouvons en déduire que l’angle entre les deux vecteurs est : 180 ( 25 + 50 ) = 105° Appliquons la formule 2.9 pour trouver les deux composantes : Vy Vx V = = sin105° sin 50 sin 25 Vx V sin 50 = Vx = V Vx = 23,8 sin105° sin 50 sin105° Vy V = sin105° sin 25

A.FIZAZI

Vy =

sin 25 V sin105°

Univ-BECHAR

Vy = 13,1

LMD1/SM_ST

Principaux systèmes de coordonnées

36

III/ PRINCIPAUX SYSTEMES DE COORDONNEES

EE E

E EE EE E

E E

Afin de déterminer la position instantanée d’un point matériel, nous devons choisir d’abord un repère parmi les différents repères les plus utiles. Dans ce qui suit nous allons rappeler les principaux systèmes de coordonnées. 1/ REPERES D’INERTIE OU GALILEENS (

):

(Galilée 1564-1642) Pour déterminer la position d’un mobile dans l’espace, nous devons choisir avant tout un corps solide, que nous appelons référentiel, auquel nous associons des axes de coordonnées. Définition : tout ensemble de systèmes d’axes de coordonnées, lié à un corps solide S qui est le référentiel ( ), constitue un repère ( ) lié à ce corps solide S . Exemple : la table (référentiel) + 3 axes = repère lié à la table. La terre (référentiel) + 3 axes quelque soit leur origine commune = repère lié à la terre. Les repères galiléens sont constitués d’un système libre (c'est-à-dire au repos ou en mouvement rectiligne uniforme). Dans un référentiel galiléen R donné, on repère une position ponctuelle M à l’aide de trois coordonnées spatiales et une coordonnée temporelle, donc la position est définie par quatre nombres réels comme par exemple ( X , Y , Z , t ) . Si on note la position d’un point M par r = OM ( x, y, z, t ) au temps t , son mouvement r (t ) . dans le repère R est défini par l’application t 2/ PRINCIPAUX REFERENTIELS GALILEENS ( ) Repère Copernic (Copernic1473-1543) Ce repère est défini par trois axes issus du centre du système solaire et dirigés vers trois étoiles fixes choisies convenablement. (Figure 3.1) Ce système est utilisé pour l’étude du mouvement des planètes et des vaisseaux spatiaux interplanétaires. La terre accomplit un tour autour du pôle nord-sud en un jour, sa révolution autour du soleil est d’une année. Le Repère géocentrique ( ) Ce repère est défini par trois axes issus du centre d’inertie de la terre et dirigés vers trois étoiles fixes du repère de Copernic. Ce repère est utilisé pour l’étude du mouvement de la lune et des satellites en rotation autour de la terre. Le Repère terrestre ( ) Ce repère est défini par trois axes perpendiculaires issus de n’importe quel point de la terre. Ce repère est utilisé pour l’étude des corps en mouvement liés à la terre. Dans ce repère la terre est fixe, elle constitue donc un repère galiléen.

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

37

Principaux systèmes de coordonnées

Repère de Copernic

Le soleil

M’ La terre M

.

Repère géocentrique

Fig 3.1: les différents repères

3/ LES COORDONNEES CARTESIENNES ( ) a/ Le repère spatial (H IJ KLM ): Si le mouvement s’effectue dans l’espace, il est possible de repérer la position du mobile ponctuel M dans le repère R (O; i , j , k ) à l’aide du vecteur position OM ou bien à l’aide des coordonnées cartésiennes ( de René Descartes 1596-1650) ou rectangulaires et qui sont : x : abscisse ( LO P ) y : ordonnée(S T T) z : altitude(VLW) Le vecteur position s’écrit alors : OM = r = x.i + y. j + z.k

(3.1)

Z z

M

i

X

A.FIZAZI

k O

y

j

x

Y

m

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

38

Principaux systèmes de coordonnées

b/ Le repère plan (XVY KLM ) Si le mouvement s’effectue dans le plan, il est possible de repérer la position du mobile ponctuel M dans le repère R(O; i , j ) à l’aide des coordonnées rectangulaires x et y , ou bien à l’aide du vecteur position OM

.

Le vecteur position s’écrit donc : OM = r = x.i + y. j

(3.2)

Y trajectoire

y

M

r j O

x

i

X

Fig 3.3: Coordonnées rectangulaires

c/ Le repère rectiligne (K ZY KLM ) Si le mouvement est rectiligne, on se contente de l’axe OX tel que le vecteur position OM s’écrit :

OM = r = x.i

(3.3)

4/ LES COORDONNEES POLAIRES ( ! " ) Quand le mouvement est plan, là aussi, on peut repérer la position du mobile M par ses coordonnées polaires ( r , ) . (Fig3.4) : Rayon polaire (H\]Z ]Z ^_ ) : Angle polaire( \]Z `a b ) Le vecteur position dans ce repère s’écrit donc :

OM = r = r.ur

(3.4)

De la même façon que nous avons obtenu la relation (2.8), nous pouvons écrire dans ce cas :

u = i .sin + j .cos

et ur = i .cos

+ j .sin

Ainsi nous pouvons écrire le vecteur position en coordonnées polaires comme suit :

OM = r = Ar .ur + A .u

(

Où Ar , A

) représente les deux composantes de OM

(3.5)

(

dans la base ur , u

).

La relation qui lie les coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires est :

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

39

Principaux systèmes de coordonnées

x = r.cos

= arccos x

y = r.sin

= arcsin y

r

(3.6)

r

Y

M

r

j u

X

x

5/ LES COORDONNEES CYLINDRIQUES ( # $ ) Si la trajectoire est spatiale, où et oz (figure 3.5) jouent un rôle particulier dans la détermination de la position du mobile, il est préférable de faire appel aux coordonnées cylindriques ( , , z ) :

(BCDEFG HDEFG IJK) : angle polaire(LMCDEFG LNOGPFG) z : altitude (QRSFG) : rayon polaire

Z ligne de la coordonnée z

uz

z

r

u

M ligne de la coordonnée

u

u

O

X

ligne de la coordonnée

m

Y

En se référant à la figure 3.5 nous pouvons écrire :

OM = r = Om + mM = r.u

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

40

Principaux systèmes de coordonnées

r = .u + z.k

D’où De même :

u = i .cos + j .sin Attention à ne pas confondre u et ur !!! Nous pouvons écrire maintenant l’expression du vecteur position sous la forme :

OM = r = i . .cos + j . sin + k .z

(3.8)

OM = r = i .x + j . y + k .z

Nous pouvons transformer l’expression précédente du vecteur position OM sous la forme :

OM = r = A .u + A .u + Az .u z

(

Où A , A , Az = z

)

(3.9)

(

)

sont les composantes de OM dans la base u , u , u z = k . Pour

obtenir l’expression du vecteur unitaire u

(

il suffit de se rendre compte que les vecteurs

unitaires qui constituent la base u , u , u z = k

) sont perpendiculaires entre eux ; donc u

est

le produit vectoriel de u z et u . Ainsi :

u = uz

u = i .sin + j .cos

(3.10)

Par identification des relations (3.1) et (3.8) on en déduit les relations entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées cylindriques :

x = cos y = sin z=z

= x2 + y2 = arctgy / x = arccos x / = arcsin y /

(3.11)

Remarque : si z = 0 nous reconnaissons alors les coordonnées polaires qui ne sont donc qu’un cas particulier des coordonnées cylindriques. 6/ LES COORDONNEES SPHERIQUES ( ) Quand le point O et la distance séparant M de O, jouent un rôle caractéristique, l’utilisation des coordonnées sphériques ( r , , ) est la mieux adaptée, avec : : rayon polaire(BCDEFG HDEFG IJK ) : azimut (WXY)

: coaltitude (ZHSFG [\X]) Nous démontrons géométriquement (figure 3.7) les relations entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnés sphériques : x = cos x = r sin cos y = sin y = r sin sin (3.12) z = r cos = r sin

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

41

Principaux systèmes de coordonnées

r=

x2 + y2 + z2

= arccos z = arctg y

(3.13)

r

x

Quant à la relation entre les coordonnées cylindriques et les cordonnées sphériques elle est :

= r sin

r=

=

2

+ z2

=

z = r cos

= arctg

(3.14) z

ligne de coordonnée r

u

u

r

M

ligne de coordonées

u

ligne de coordonées

En coordonnées cartésiennes le vecteur position s’écrit : OM = r = x.i + y. j + z.k En coordonnées sphériques on peut l’écrire :

OM = r = Ar .ur + A .u + A .u

(

Où Ar , A , A

) sont les composantes de OM

(

dans la base ur , u , u

(15.3)

)

Remarque : Pour couvrir tout l’espace en coordonnées sphériques, nous admettons les variations : de 0 à , de 0 à , de 0 à 2

(

Expressions des vecteurs unitaires ur , u , u

) : En se référant à tout ce qui a été dit

sur les coordonnées sphériques, nous pouvons écrire :

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

42

Principaux systèmes de coordonnées

r = r.u r = Om + mM Om = .u =

i.cos + j sin

mM = z.k = k .r cos . = r.sin

Nous en déduisons : r = r i.cos .sin + j.sin .sin + k .cos Il nous apparaît clairement l’expression de u :

(3.16)

u r = i.cos .sin + j.sin .sin + k .cos

Connaissant le vecteur :

u = i .sin + j .cos

(

Il nous reste à déterminer le vecteur u . La base ur , u , u

)

étant orthogonale, le

vecteur unitaire u est donc le résultat du produit vectoriel entre u et u .

u =u

ur = i .cos cos + j .cos sin

k .sin

(3.17)

7/ LES COORDONNEES CURVILIGNES ( # # ) Nous pouvons repérer la position du mobile sur la trajectoire elle-même à l’aide de l’abscisse curviligne ( ). Pour ce faire : -On oriente la trajectoire au hasard, - on choisit un point fixe 0 sur la trajectoire, comme étant l’origine des abscisses, L’abscisse curviligne est défini comme étant la grandeur algébrique s de l’arc appartenant à la trajectoire de 0 jusqu’à M.

OM = s

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

(18.3)

LMD1/SM_ST

43

Principaux systèmes de coordonnées

**

EXERCICES Exercice 3.1 Convertir le

vecteur

cartésiennes polaires

(u , u ) r

(i , j )

suivant

des

en

1.3

coordonnées coordonnées

: V = Xi + Yj

(i , j ) : (u , u )

V = Xi + Yj

r

Exercice 3.2 Convertir le vecteur suivant des coordonnées

(u , u

sphériques cartésiennes:

(i , j, k )

Exercice 3.3 Convertir le

(u

Exercice 3.4 Convertir le

sphériques

vecteur

r

suivant

(i , j, k ) ,u

)

vecteur

(u , u r

en

(u , u r

,u

des en

(

(i , j, k )

V = Xi + Yi + Zi

): A =

2

: (u , u , uz ) #

(i , j, k ) V = Xi + Yj + Zk

: ( ur , u , u

(

i , j, k

)

(u

.u + cos .u

A=

2

.u + cos .u : ( ur , u , u

A.FIZAZI LMD1/SM_ST

)

6.3

, u , u z ) en coordonnées cartésiennes

: V = Vr ur + V u + Vz u z

)

5.3

coordonnées

Exercice 3.6 Convertir le vecteur suivant des coordonnées cylindriques



%$:4.3

coordonnées coordonnées

en

)

3.3

: V = Xi + Yj + Zk

suivant

)

,u

V = Vr ur + V u + V u : i , j , k

coordonnées

, u , u z ) : V = Xi + Yi + Zi

(u , u

Exercice 3.5 Convertir le

coordonnées

V = Vr ur + V u + V u

(i , j, k )

cartésiennes sphériques

en

2.3

vecteur suivant des coordonnées

cartésiennes cylindriques

)

,u

r

!

(u V = Vr ur + V u + Vz u z

Univ-BECHAR

, u , uz ) #

: (i , j, k )



%$43

44

Principaux systèmes de coordonnées Exercice 3.7 Trouver la

M(

M

,

M

distance

entre

, zM ) et N (

N

,

les N

deux

points

, z N ) par les deux

méthodes : 1/ en convertissant l’expression du vecteur coordonnées cartésiennes. 2/ par le calcul direct. Montrer que la distance entre les points s’écrit :

MN =

+

2 N

2

N

A.FIZAZI LMD1/SM_ST

.

2 M M

+ ( zN

.cos (

zM ) M

!# '(

&$

N

,

N

, zN )

M(

:

MN en

M

,

) *

M

, zM )

! /1

MN M et N

2

N

N(

:7.3

)

&$ :

/ MN =

Univ-BECHAR

, -$

. 2 N

2

N

+ N

.

2 M M

M

+ ( zN

.cos (

/2 !# zM )

M

2

N

)

44

45

Principaux systèmes de coordonnées

Corrigés des exercices 3.1 à 3.7

7.3

1.3

Exercice 3.1: Si l’expression du vecteur en coordonnées cartésiennes est V = Xi + Yj , alors, il est possible d’écrire l’expression du même vecteur en coordonnées polaires sous la forme : V = Vr .ur + V .u . Connaissant les expressions des vecteurs unitaires u et u dans la base ( i , j ) , on peut déterminer les valeurs V et V . ur = i .cos + j .sin u = i .sin + j .cos

V = Vr ( i .cos + j .sin

) +V (

i .sin + j .cos

)

En organisant la dernière équation : V = i Vr cos

V sin

+ j Vr sin + V cos Y

X

Ainsi nous aboutissons à un système de deux équations à deux inconnues V et V : Vr cos

=X

V sin

Vr sin + V cos = Y

Après résolution on trouve : Vr = X cos + Y sin

; V = X sin + Y cos

L’expression du vecteur V est donc :

V = ( X cos + Y sin

) ur + (

X sin + Y cos

)u

Nous constatons que, pour trouver les deux résultats précédents, il y a beaucoup de calculs à faire si on suit la méthode algébrique ordinaire. Il est plus facile et plus rapide si on opte pour la méthode des matrices. Rappelons brièvement cette dernière méthode : On part de l’étape où nous avons obtenu les deux équations : X = Vr cos V sin

Y = Vr sin + V cos Nous créons une matrice de déplacement : Vr Vr cos sin cos sin X = = V V sin cos sin cos Y Le résultat est : Vr = X cos + Y sin ; V = X sin + Y cos

X Y

L’expression du vecteur V = Xi + Yj en coordonnées polaires est donc : V = ( X cos + Y sin

) ur + (

X sin + Y cos

)u

Exercice 3.2: Le vecteur s’écrit : V = Vr .ur + V .u + V .u

(

)

Dans la base i , j , k , il s’écrit V = Xi + Yj + Zk Rappelons-nous des expressions des vecteurs unitaires ( ur , u , u

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

) en fonction de i , j , k

:

LMD1/SM_ST

46

Principaux systèmes de coordonnées

ur = i .sin cos + j .sin sin + k .cos u = i .cos cos + j .cos sin

k .sin

u = i .sin + j .cos

D’où en remplaçant :

(

) + V ( i .cos

V = Vr i .sin cos + j .sin sin + k .cos V

(

)

i .sin + j .cos

cos + j .cos sin

k .sin

)+

Développons et organisons la dernière équation pour trouver l’expression du vecteur V en coordonnées cartésiennes :

V = i Vr sin cos + V cos cos + V sin

+ j Vr sin sin + V cos sin + cos Y

X

k Vr cos

+

V sin Z

Les coordonnées cartésiennes sont : X = Vr sin cos + V cos cos

V sin

Y = Vr sin sin + V cos sin + V cos Z = Vr cos

V sin

(

)

Le vecteur V = Vr .ur + V .u + V .u s’écrit donc dans la base i , j , k : V = (Vr sin cos + V cos cos

( Vr cos

V sin

V sin

) i + (V sin

sin + V cos sin + V cos

r

)j+

)k

Exercice 3.3: Le vecteur V dans la base ( u , u , u z ) s’écrit sous la forme : V = V .u + V .u + Vz .u z

Connaissant les expressions des vecteurs unitaires ( u , u , u z ) en fonction de i , j , k on

peut écrire : u = i .cos + j .sin u = i .sin + j .cos

V = Vr ( i .cos + j .sin

) +V (

i .sin + j .cos

) +V k z

uz = k En organisant l’expression obtenue elle devient : V = i V cos

V sin

+ j V sin + V cos

X

Y

+ Vz k Z

On obtient un système d’équations de trois équations à trois inconnues V , V et Vz X = Vr cos

V sin

Y = Vr sin + V cos Z = Vz

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

47

Principaux systèmes de coordonnées

On a le droit de choisir la méthode que nous maîtrisons le mieux pour arriver au résultat attendu. Si on choisit la méthode des matrices le raisonnement est le suivant : On crée une matrice de déplacement à partir du système d’équations obtenu :

X

cos

sin

0 V

V

cos 0 V Y = sin 0 0 1 Vz Z Le résultat se déduit directement : V = X cos + Y sin

cos

sin

0

X

sin 0

cos 0

0 1

Y Z

V = Vz

; V = X sin + Y cos

V = ( X cos + Y sin

)u

+ ( X sin + Y cos

; Vz = Z

)u

+ Zu z

Exercice 3.4: Le vecteur V dans la base ( ur , u , u

) s’écrit sous la forme : V = V .u + V .u + V .u Connaissant les expressions des vecteurs unitaires ( u , u , u ) en fonction de i , j , k r

r

r

, on

peut écrire : ur = i .sin cos + j .sin sin + k .cos u = i .cos cos + j .cos sin

k .sin

u = i .sin + j .cos

(

V = Vr i .sin cos + j .sin sin + k .cos V

(

i .sin + j .cos

)

) + V ( i .cos

cos + j .cos sin

k .sin

)+

Développons puis organisons l’équation précédente pour obtenir : V = i Vr sin cos + V cos cos + V sin

+ j Vr sin sin + V cos sin + cos Y

X

k Vr cos

+

V sin Z

On constitue un système de trois équations à trois inconnuesV , V et V : X = Vr sin cos + V cos cos

V sin

Y = Vr sin sin + V cos sin + V cos Z = Vr cos V sin Si on choisit la méthode des matrices, qui a fait preuve d’à aboutir au résultat escompté très facilement et très rapidement, on doit d’abord construire la matrice de déplacement à partir du système d’équations précédent : X sin cos cos cos sin Vr Vr sin cos sin sin cos X Y = sin sin cos Z

A.FIZAZI

cos sin sin

cos 0

V V

Univ-BECHAR

V V

= cos cos sin

cos sin sin

sin 0

LMD1/SM_ST

Y Z

48

Principaux systèmes de coordonnées

On trouve : Vr = X sin cos + Y sin sin + Z cos

; V = X cos cos + Y cos sin

Z sin

V = X sin + Y cos En fin de compte l’expression du vecteur V = Xi + Yj + Zk en coordonnées sphériques est : V = ( X sin cos + Y sin sin + Z cos

(

X sin + Y cos

Exercice 3.5: Commençons cartésiennes :

)u

par

transformer

A=

2

( i .cos

) ur + ( X cos

le

cos + Y cos sin

vecteur B =

+ j .sin

) + cos (

2

Z sin

.u + cos .u

i sin + j cos

en

)u

+

coordonnées

)

En développant et en organisant l’équation, nous obtenons l’expression du vecteur A en coordonnées cartésiennes :

A=i

2

.cos

cos .sin

+ j

2

sin + cos 2

X

+ 0k Z

Y

X = 2 .cos cos .sin ; Y= 2 sin + cos 2 ; Z=0 On doit maintenant transformer cette dernière expression en coordonnées sphériques en faisant appel au résultat de l’exercice 3.4 : A = ( X sin cos + Y sin sin + Z cos ) ur + ( X cos cos + Y cos sin Z sin ) u +

(

X sin + Y cos

)u

Il ne nous reste plus qu’à remplacer X , Y , Z par leurs valeurs respectives trouvées cidessus : A=

( ( (

2

.cos

2

.cos

Exercice 3.6: Le vecteur V

2

.cos

) sin cos + ( sin + cos ) sin sin cos .sin ) cos cos + ( sin + cos ) cos sin + cos .sin ) sin + ( sin + cos ) cos u cos .sin

2

2

2

2

2

ur + u +

2

dans la base ( u , u , u z ) est V = V .u + V .u + Vz .u z . Partant des

expressions connues des vecteurs unitaires ( u , u , u z ) en fonction de i , j , k , on peut écrire : u = i .cos + j .sin u = i .sin + j .cos

V = Vr ( i .cos + j .sin

) +V (

i .sin + j .cos

) +V k z

uz = k

Organisée elle devient :

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

49

Principaux systèmes de coordonnées

V = i V cos

+ j V sin + V cos

V sin

+ Vz k Z

Y

X

Par identification nous arrivons à :

X = Vr cos

V sin

Y = Vr sin + V cos Z = Vz Le résultat final est : V = i (Vr cos

) + j (V

V sin

r

sin + V cos

) + kV

z

Exercice 3.7: 1/ Première méthode : Trouver la distance entre les deux points M (

N(

N

,

N

M

,

M

, zM ) et

, z N ) en transformant l’expression du vecteur MN en coordonnées cartésiennes.

La figure montre que la distance entre les points M et N est égale au module du vecteur MN : MN = ON MN = ON

OM =

OM =

(

N

(

u

N

u

+ zN uz

N

M

N

u

M

) (

) + (z

N

uz

M

u

M

+ zM uz

zM u z )

)

(1)

zN Z

N

zM

OM M

uz = k O

y N yM

j

i

Y

M M

u

xM N

M

N

xN X

u

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

N

LMD1/SM_ST

50

Principaux systèmes de coordonnées

Expressions des vecteurs unitaires u N , u

u u

M

et u z :

N

= i .cos

N

M

= i .cos

M

+ j .sin

N

+ j .sin

M

uz = k

Remplaçons u N , u MN =

M

( i .cos

N

dans l’équation (1) : + j .sin

N

)

N

M

( i .cos

+ j .sin

M

Nous organisons l’équation pour qu’elle devienne : MN = ( N cos N M cos M ) i + ( N sin N

sin

M

) + (z

M

M

uz

zM u z )

) j + ( zN

zM ) k

N

La distance entre les points M et N st égale à la norme du vecteur MN :

(

MN =

N

cos

N

M

cos

)

M

+(

2

N

sin

N

sin

M

)

M

2

+ ( zN

zM )

2

Après calculs nécessaires on trouve : MN =

2 N

+

2

2

M

N

.

( cos

M

N

.cos

sin

M

N

.sin

M

)

+ ( zN

zM )

2/ Deuxième méthode : trouver la distance entre les points M (

N(

N

,

N

, z N ) par le calcul direct : MN = ON MN =

(

N

(

OM = u

MN =

2 N

u

M

N

+

2 M

N

u

N

+ zN uz

) + (z

M

2

N

.

) (

M

u

N

zM ) uz

M

cos(u N , u

M

M

+ zM u z

) + ( zN

M

( 2)

2

,

M

, zM )

) zM )

2

D’après la figure, nous voyons que l’angle compris entre les deux vecteurs unitaires u N , u est égal à

N

et

M

M . Nous obtenons donc:

MN =

2 N

+

2 M

2

N

.

M

cos(

N

M

) + ( zN

zM )

2

( 3)

Pour vérifier que les deux résultats ( 2 ) et ( 3) sont compatibles, il suffit de procéder à une

transformation trigonométrique adéquate de l’équation ( 2 ) : cos

A.FIZAZI

N

.cos

M

sin

N

.sin

M

= cos (

Univ-BECHAR

N

M

) = cos (

M

N

)

LMD1/SM_ST

51

Caractéristiques du mouvement

IV/CINEMATIQUE ;