PH3 (Oscillations électriques libres)

Proposée par Benaich Hichem

[email protected] SERIE DE PHYSIQUE N° 3

A / Oscillations libres amorties : I/ Production d’oscillations libres amorties :

E

On réalise le montage suivant :

Y1 C

K

1 2

(L;r)

R0

Y2

Masse

On charge le condensateur en plaçant le commutateur en position 1 . En basculant le commutateur en position 2 , et à l’aide d’un oscilloscope à mémoire , on obtient les oscillogrammes suivants : T : pseudo période

1 2

L’amplitude des oscillations diminue au cours du temps . De telles oscillations sont dites amorties . Du fait que ces oscillations se produisent dans le circuit RLC sans générateur , elles sont dites libres . Bien que les extremums de q ou de i soient atteints à des intervalles de temps successifs égaux , de telles oscillations ne peuvent pas être périodiques à cause de la diminution de l’amplitude , elles sont dites pseudopériodiques .

II/ Influence de l’amortissement : On reprend le montage précédent et on refait l’expérience avec des valeurs différentes de R0 tels que R01 < R02 < R03 < R04 < R05 . On obtient alors les oscillogrammes suivants :

uC(t) ; uR0(t)

t

0

R01

uC(t) ; uR0(t)

uC(t) ; uR0(t)

t

t 0

0

R02

R03

uC(t) ; uR0(t)

uC(t) ; uR0(t)

t

0

R04

t

0

R05

♦ Lorsque R0 augmente , les oscillations deviennent de plus en plus amorties ( le nombre total des oscillations diminue ) et la pseudopériode T augmente légèrement . ♦ Pour des valeurs élevées de R0 , les oscillations cessent d’être pseudopériodiques . Il s’agit d’un nouveau régime non oscillatoire appelé régime apériodique . ( régime obtenu avec R04 et R05 ) .

1

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III/ Equation différentielle régissant l’évolution d’un circuit RLC série en régime libre : C

La loi des mailles s’écrit :

i

uC + uB + uR0 = 0 q di ⇒ + r.i + L + R0.i = 0 C dt d2 q dq q ⇒ L 2 + ( R0 + r ). + = 0 dt C dt

d2 q ⇒

dt 2

+

uC

R0

(L;r) i

i

uR0

R dq 1 + q = 0 L dt LC

uB

IV/ Energie totale d’un oscillateur RLC série : 1°) Expression de l’énergie totale : L’énergie électrostatique ( électrique ) est : EC = L’énergie magnétique est : EL =

2 1 q 1 = C.uC2 . 2 C 2

1 2 1 L Li = uR02 . 2 2 R02

L’énergie totale du circuit est : E = EC + EL . A l’aide d’un logiciel adéquat , on trace les courbes suivantes : EC

; EL ; E EC EL

0

E

t

2°) Energie totale et sa non conservation : 2 1 q 1 E = EC + EL = + L.i2 . 2 C 2

d2 q d2 q q dE 1 q 1 = 2. i + 2. L.i 2 = i.( + L 2 ) = -R.i2 < 0 ⇒ E fonction décroissante du temps . dt 2 C 2 C dt dt Donc , l’énergie totale emmagasinée dans le circuit RLC série diminue au cours du temps , elle est dissipée sous forme de chaleur par effet joule . Cette diminution est d’autant plus rapide que la résistance est grande . On dit qu’un circuit RLC série en régime libre est un système non conservatif .

2

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B / Oscillations libres non amorties : I/ Nature des oscillations libres non amorties : 1°) Evolution de la charge q du condensateur :

C i

En fermant un condensateur de capacité C initialement chargé sur une bobine supposée purement inductive , on a le montage ci-contre La loi des mailles s’écrit :

uC L i

2

d q 1 di q uL + uC = 0 ⇒ L + = 0⇒ + q = 0 (∗) dt C dt 2 LC Posons ω 02 =

1 ⇒ ω0 = L.C

i uL

1 L.C

2

(∗) devient

d q dt 2

+ ω 02 q = 0

C’est une équation différentielle qui admet comme solution q(t) = qm.sin ( ω 0 t + ϕq ) Donc , q(t) est une fonction sinusoïdale propre N0 =

et de fréquence

1

. 2π LC 2°) Charge q et intensité i du courant :

dq π = ω0 .qm.sin ( ω 0 t + ϕq + ) dt 2

⇒ i(t) = Im.sin ( ω 0 t + ϕi ) avec Im = ω0 .qm et ϕi = ϕq +

q(t) ; i(t) T0

ω0qm qm

q(t) = qm.sin ( ω 0 t + ϕq ) i=

de période propre T0 = 2π π L.C

π 2

t

0 -qm -ω ω0qm T0 Cas où ϕq =

π rad 2

Donc , i(t) est aussi une fonction sinusoïdale du temps de même période que q(t) .

i(t) est en quadrature avance de phase par rapport à q(t) . 3°) Energie totale d’un oscillateur LC : a) Energie électrostatique EC(t) : EC(t) =

2 2 2 1 q 1 qm 1 qm = sin2( ω 0 t + ϕq ) = [ 1 - cos( 2 ω 0 t + 2ϕ ϕq )] 2 C 2 C 4 C

Donc , EC(t) est une fonction périodique du temps de période T =

T0 2

.

b) Energie magnétique EL(t) : EL(t) =

qm2 1 2 1 Li = L ω 02 cos2( ω 0 t + ϕq ) 2 2 C

2 2 1 qm 1 qm 2 cos ( ω t + ϕ ) = [ 1 - cos( 2 ω 0 t + 2ϕ ϕq )] = q 0 2 C 4 C

Donc , EL(t) est aussi une fonction périodique du temps de période T =

T0 2

. 3

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c) Energie totale et sa conservation : E = EC(t) + EL(t) = =

2 2 1 qm 1 qm sin2( ω 0 t + ϕq ) + cos2( ω 0 t + ϕq ) 2 C 2 C

2 2 1 qm 1 qm 1 1 [sin2( ω 0 t + ϕq ) + cos2( ω 0 t + ϕq )] = = LIm2 = CUCm2 2 C 2 C 2 2

EC 2 1 qm 1 1 2 2 = LIm = CUCm 2 C 2 2

; EL ; E

EL

E

EC

Cas où ϕq =

0

T0

T0

T0

π rad 2

t

T0

3 4 4 2 Donc , l’énergie totale emmagasinée dans le circuit LC série est constante au cours du temps .

On dit qu’un circuit LC série en régime libre est un système conservatif .

4°) Diagrammes des énergies : EC EL

; EL ; E

EC =

E

2 1 qm 2 C

E =

2 1 q 2 C 2 1 q 1 2 + L.i 2 C 2

2 1 qm 2 C E = EC + EL ⇒ EL = E – EC

Pour q = qm , i = 0 ⇒ E = EC

-qm

qm

0

EC

; EL ; E

q

⇒ EL = – E

2 1 qm 2 C

2 2 1 q 1 qm + 2 C 2 C

1 >0) 2C 1 EL ( droite de pente 0) 2 1 EC ( droite de pente - L < 0 ) 2

EL ( droite de pente

Im2

i2

4

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EXERCICE 1 ( Contrôle 97 ancien régime ) K1

On réalise le montage expérimental schématisé sur la figure -1 . Données: C = 1 µF ; (G) est un générateur idéal de f.é.m. E = 10 V et de résistance interne négligeable .

K2

A

1°) (K2) est ouvert et (K1) est fermé :

(a)

Après une brève durée , la plaque (a) porte la charge maximale Q0 et l'énergie emmagasinée par le condensateur est W0 . Calculer Q0 et W0 .

C

E

L,r

B uAB(t) en V

2°) On ouvre (K1) et on ferme (K2) à une date t = 0 . A l'aide d'un système d'acquisition adéquat , nous obtenons la courbe représentant les variations de la tension uAB(t) entre les bornes du condensateur en fonction du temps (figure-2) . Cette courbe montre que le circuit est le siège d’oscillations faiblement amorties . La tension uAB(t) est solution de l’équation différentielle : d2uAB (t) dt 2

+

r L

.

duAB (t) dt

+ ω02 .uAB(t)

figure -1

10V 4,56V t en s

0

5T = π.10-3s

=0 figure -2

où ω0 est la pulsation propre de l’oscillateur libre non amorti ( L,C ) telle que ω02 =

1 . LC

a) Quelle serait cette équation si on élimine le facteur d'amortissement ? b) Déduire , à partir de la figure-2- , la valeur moyenne de la pseudo-période de la décharge oscillante en utilisant l'intervalle de temps correspondant à 5 oscillations .

c) Déterminer la valeur de l'inductance L de la bobine en admettant que la pseudo-période est donnée par la même expression que la période propre du dipôle ( L , C ) .

d) Calculer la perte d’énergie par effet Joule subie par l’oscillateur libre amorti ( r , L, C ) entre t = 0 et t = π.10-3s .

Rép. Num.: 1°) Q0=C.E=10 C ; 2°) a) -5

d) ∆E=E2-E1=

d 2 u AB ( t ) dt 2

+

ω02 .uAB(t)

T2

-4

= 0 ; b) T0=2.π10 s ; c) L=

4.π 2 .C

=10-2H ;

1 C.( u 2 - u 2 )=-3,96.10-5J Cm 2 Cm1 2

E

EXERCICE 2 ( Contrôle 2005 ancien régime ) Le circuit électrique de la figure-1- comprend :

(K1) R

-

Une pile de f.é.m. E = 6 V et de résistance interne négligeable . Un condensateur de capacité C . Une bobine d'inductance L et de résistance propre r . Une résistance R variable . Deux interrupteurs (K1) et (K2) .

i

q

C

A (K2)

B

L,r

Figure -15

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Expérience-1 (K2) ouvert , (K1) fermé : le condensateur se charge à travers la résistance R . Suite à cette charge , la tension aux bornes du condensateur est UAB = 6 V et l'énergie emmagasinée est W .

1°) a) Calculer W sachant que C = 5.10-6 F. b) Déterminer la valeur de la charge portée par l'armature (A) du condensateur. Justifier son signe . Expérience-2 Le condensateur étant chargé , on ouvre (K1) et à l'instant de date t = 0 s on ferme (K2) : des oscillations électriques libres s'établissent dans le circuit (R , r , L et C) .

2°) Préciser , en le justifiant , si les oscillations sont amorties ou non amorties . 3°) L'équation différentielle traduisant cet état électrique est : L

q(t) di(t) + + (R+r).i(t) = 0 C dt

où

i(t) =

dq( t) . dt

a) Exprimer l'énergie totale E du circuit (R , r, L , C) en fonction de L , C , q (t) et i (t) . b) En déduire que la variation élémentaire dE pendant une durée dt s'exprime par la relation : dE = - (R + r).i2.dt

4°) Un dispositif approprié permet de visualiser la courbe donnant la variation au cours du temps de la tension uAB(t) aux bornes du condensateur et correspondante à la figure -2- .

Figure -2-

a) La résistance totale du circuit électrique étant faible , on admet que la pseudo-période T est égale à la période propre T0 de l'oscillateur (L , C) . Calculer la valeur de L .

b) Calculer l'énergie électrique dissipée par effet Joule entre les instants de dates t = 0 s et t' = 4T. 1 2

Rép. Num.: 1°) a) W= C. u 2AB =9.10-5J ; b) q=C.uAB=3.10-5C>0 ; 2°) Osc. amorties ; 3°) a)E = T2

4°) a) L=

2

4.π .C

=0,51H ; b) ∆E=E’-E=

1 C.( u 2 - u 2 )=-6,248.10-5J AB2 AB1 2

EXERCICE 3 ( Bac 2008 nouveau régime ) Avec un générateur délivrant une tension constante E = 6 V , deux résistors de résistances respectives R1 et R2 , un condensateur de capacité C = 4 µf , une bobine d’inductance L = 0,63 H et de résistance interne r et un commutateur K , on réalise le montage schématisé sur la figure 1 .

2 1 q(t ) 1 + L i( t ) 2 ; 2 C 2

R1

(1) K

(2)

A

E

L , r C R2

Figure 1

B 6

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Un oscilloscope à mémoire permet l’étude de l’évolution de la tension uC aux bornes A et B du condensateur au cours du temps .

I-Questions préliminaires : 1°) Compléter , sur la figure 1 « à remettre avec la copie » , les branchements avec l’oscilloscope qui permettent de visualiser uC(t) sur la voie Y1 .

2°) Montrer que l’étude de la tension uC(t) permet de faire celle de la charge q(t) du condensateur . II-A un instant t0 choisi comme origine des temps , on ferme l’interrupteur K . La visualisation de uC(t) sur l’écran de l’oscilloscope a permis d’obtenir le chronogramme (C) de la figure 2 . uC(t) (V)

(∆ ∆)

(C)

6 5 4

Figure 2

3 2 1 0

50

100

150

(∆ ∆) : tangente au chronogramme

200

t (ms)

(C) à t0 = 0

1°) Etablir l’équation différentielle qui régit l’évolution de la tension uC(t) . 2°) Sachant que la solution de l’équation différentielle établie précédemment s’écrit uC(t) = E.( 1 – e

-

t τ

),

où τ est la constante de temps du dipôle RC , déterminer graphiquement :

a) La valeur U0 de la tension aux bornes du condensateur à la fin de la charge et la comparer à la valeur de la tension E aux bornes du générateur .

b) La valeur de τ et en déduire celle de R . 3°) Si l’on veut charger plus rapidement le condensateur , doit-on augmenter ou bien diminuer la valeur de la résistance R ? Justifier la réponse .

4°) Calculer l’énergie WC emmagasinée dans le condensateur à la fin de la charge . uC(t) (V)

III-Le commutateur K qui était en position (1) est basculé en position (2) . Le chronogramme de la figure 3 illustre la décharge oscillante du condensateur .

1°) Les oscillations enregistrées sont dites libres amorties . Justifier les dénominations :

a) Oscillations libres . b) Oscillations amorties . 2°) Déterminer , graphiquement ,

6 4 2

t (ms)

0 -2 -4,13

5

10

15

20

Figure 3

la valeur de la pseudo-période T des oscillations et la comparer à celle de la période propre T0 = 2π LC . 7

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3°) L’énergie totale E de l’oscillateur électrique considéré s’écrit : E =

1 1 CuC2 + Li2 . 2 2

A l’aide du graphique de la figure 3 :

a) Montrer qu’à l’instant t1 = 5 ms , l’énergie E1 de l’oscillateur est purement électrique . b) Montrer qu’à l’instant t2 = 12,5 ms , l’énergie E2 de l’oscillateur est purement magnétique . c) Calculer les énergies E1 et E2 de l’oscillateur . A quoi est due la différence entre les deux valeurs trouvées ?

Rép. Num.: I-1°) A→Y1 ; B→Masse ; 2°) q(t)=C.uC(t) ; II-1°) uC+RC

du C =E ; 2°) a) U0=E=6V ; b) τ=40ms ; dt

1 τ =104Ω ; 3°) Si R
, τ=RC
; 4°) WC= CU02=72.10-6J ; C 2 III- 1°) a) Absence d’excitateur ; b) Diminution d’amplitude ; 2°) T=10ms ; T0=9,97ms ; T≈T0 ; 3°) a) A t=t1 , uc=-UCmax1⇒i=0⇒EL=0⇒E=EC ; a) A t=t2 ,uc=0⇒EC0⇒E=EL ,

R=

c) E1=

du C dq 1 1 C UCmax12=34.10-6J ; E2= Li2=12,9.10-6J avec i= =C ; E2