Persamaan Schrodinger Pada Tanggul Potensial

APLIKASI PERSAMAAN SCHRODINGER PADA TANGGUL POTENSIAL

I. PENDAHULUAN Pada akhir abad ke 19 dan awal abad ke 20, semakin jelas bahwa fisika (konsep-konsep fisika) memerlukan revisi atau penyempurnaan. Hal ini disebabkan semaki banyaknya hasil-hasil eksperimen dan gejala-gejala fisika yang teramati yang tidak bisa dijelaskan dengan konsep-konsep fisika yang telah dikuasai pada saat itu (fisika klasik), sekalipun dengan pendekatan. Masalah-masalah yang dimaksud di atas muncul terutama pada obyekobyek fisis yang berukuran "kecil" (mikroskopik, atomistik), seperti partikelpartikelelementer dan atom serta interaksinya dengan radiasi atau medan elektromagnetik. "Perbedaan-perbedaan" dalam eksperimen fisika mula-mula dapat diatasi dengan postulat-postulat dan hipotesis-hipotesis. Namun karena jumlahnya semakin banyak dan persoalannya dipandang mendasar, menuntut dan mendorong fisikawan untuk melakukan penyempurnaan, dan bila perlu perubahan pada formulasi dan konsep-konsep fisika. Hasilnya adalah konsep yang dinamakan "Mekanika Kuantum". Mekanika kuantum merupakan teori kebolehjadian yang bersifat abstrak, seperti konsep panjang gelombang, rapat kebolehjadian, operator, dan lain-lain. Mekanika kuantum disusun di atas postulat-postulat. Ada dua pendekatan formulasi mekanika kuantum, yakni dengan Mekanika Gelombang yang dikembangkan oleh Schrodinger, dan Mekanika Matriks yang dikembangkan oleh Heisenberg. Mekanika

gelombang

diperkenalkan

oleh

Fisikawan

Austria

Erwin

Schrödinger pada tahun 1962. Digunakan dalam fisika (khususnya mekanika kuantum), itu adalah persamaan yang menggambarkan bagaimana keadaan kuantum sebuah perubahan sistem dalam waktu. Schrödinger menyatakan bahwa perilaku elektron, termasuk tingkat-tingkat energi elektron yang diskrit dalam atom, mengikuti suatu persamaan diferensial untuk gelombang, yang kemudian dikenal sebagai persamaan Schrödinger.

Dalam mekanika kuantum, analog dari hukum Newton adalah persamaan Schrödinger untuk sistem kuantum, biasanya atom, molekul, dan partikel subatomic, bebas terkait dan lokal. Persamaan ini merupakan deferensial melalui fungsi

gelombang

dari

sistem

dan

menggunakan

dasar-dasar

metode

matematika yang familiar. Persyaratan Fungsi Gelombang. Fungsi gelombang Ψ(x) hasil solusi persamaan Schrödinger harus memenuhi beberapa persyaratan agar ia mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut. 

Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi ∫



ΨΨ

.

Fungsi gelombang Ψ(x), harus kontinu sebab jika tidak kontinu hal itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat diterima.



Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, dΨ/dx , juga harus kontinyu. Kita telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan momentum elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapat diartikan sebagai persayaratan kekontinuan momentum.



Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak, akan berarti ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron.



Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol di semuaposisi sebab kemungkinan keberadaan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.

II. PERSAMAAN SCHRODINGER PADA POTENSIAL TANGGUL Aplikasi persamaan Schrodinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan energi potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan tidak merupakan fungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada keberadaan partikel dari waktu ke waktu, melainkan tertuju pada kemungkinan berada dalam selang waktu yang cukup panjang. Jadi jika faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi gelombang, maka hal itu akan menyederhanakan persoalan. Persamaan Schrodinger satu dimensi dapat dituliskan sebagai berikut;

Solusi dari persamaan bersesuaian dengan persamaan diferensial biasa orde dua dengan solusi umum sebagai berikut ( ) Persamaan tersebut dapat dimaknai sebagai representasi dari sebuah gelombang yang merambat ke arah sumbu x positif dan sumbu x negatif, dengan k adalah bilangan gelombang. Salah satu aplikasi persamaan Schrodinger pada sistem potensial, yaitu; potensial tanggul (potensial halang persegi) dan ditunjukkan pada gambar berikut ini V

a misalkan sebuah partikel bermassa m, berenergi E < V, lebar potensial tanggul a. Untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger pada kasus tersebut, kita perlu membagi solusi daerah potensial tanggul menjadi tiga daerah, yaitu 1) x < 0 sebagai daerah I, 2) 0 < x < a sebagai daerah II dan 3) x > a sebagai daerah III, seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut

Persamaan Schrodinger pada tiga daerah sebagai berikut ; x < 0 dan x > a ;0