Persamaan Lagrange dan Hamiltonian

 Mekanika  Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi

 Persamaan Lagrange Lagrange dan Hamilton Pada Pada bagi bagian an awal awal kita kita tela telah h meng menggu guna naka kan n hukum hukum-hu -huku kum m  Newton untuk menganalisis gerak sebuah benda. Dengan mengg mengguna unakan kan hukum hukum ini ini kita kita dapat dapat menuru menurunka nkan n persam persamaan aan gerak gerak  benda. Hukum Newton dapat diterapkan, jika gaya yang bekerja pada sebuah benda diketahui. Namun dalam kebanyakan kasus, persoalan yang ang dihada hadapi pi terka erkad dang ang tid tidak mudah udah disel selesai esaik kan deng dengan an menggunaka menggunakan n dinamika dinamika gerak serta persyaratan persyaratan awal yang diberikan. diberikan. Seba Sebaga gaii cont contoh oh,, bend bendaa yang ang berg berger erak ak pada pada sebu sebuah ah perm permuk ukaa aan n  berbentuk bola. Persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk gaya yang bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian maupu aupun n koor koordi dina natt lain lainny nyaa suda sudah h tida tidak k efek efekti tiff lagi lagi digu diguna naka kan, n, sekalipun bentuk persamaan gayanya diketahui. Dalam bab ini akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang lebih efektif digunakan dalam mencari persamaan gerak sistem yang  pertama dikembangkan oleh matematikawan Perancis oseph !ouis !agrange yang disebut formalisme !agrange. Disamping formalisme !agr !agran ange ge terd terdap apat at pula pula form formal alism ismee Ham Hamilto ilton n yang sang sangat at mirip. irip. Perbed Perbedaaa aaan n keduan keduanya ya terlet terletak ak pada pada koordi koordinat nat umum umum yang yang dipak dipakai. ai. "orma "ormalis lisme me Hamilt Hamilton on mengg mengguna unakan kan posisi posisi dan kecepa kecepatan tan sebagai sebagai koordi koordinat nat rampat rampatan an yang yang mengh menghasi asilka lkan n persam persamaan aan linier linier orde-du orde-dua, a, seda sedang ngka kan n pada pada form formal alis ism me Ham Hamilto ilton n posi posisi si dan dan momen omentu tum m digunakan untuk koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan diferensial orde-satu. Hasil yang diperoleh dengan kedua formalisme tersebut tersebut konsisten dengan hasil yang diperoleh diperoleh dengan menggunaka menggunakan n hukum-hukum Newton.

A. KOORDINAT RAMPATAN (UMUM)

Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan menggunaka menggunakan n tiga jenis koordinat# koordinat# dapat berupa koordinat koordinat $artesian, $artesian, koordinat koordinat bola atau atau koordinat koordinat silinder. silinder. ika partikel partikel bergerak bergerak pada pada %

 Mekanika  Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi

sebuah sebuah bidang bidang,, atau atau pada sebuah sebuah permuka permukaan an yang yang terbat terbatas, as, maka maka hany hanyaa dibu dibutu tuhk hkan an dua dua koor koordi dina natt untu untuk k meny enyatak atakan an posi posisi siny nya, a, sedangkan untuk partikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau  pada lintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu koordinat saja. ika ika sist sistem em yang diti ditinj njau au meng mengan andu dung ng N part partik ikel el,, maka maka dipe diperl rluk ukan an pali paling ng kuran kurang g &N koord koordin inat at untu untuk k meny menyata ataka kan n posi posisi si semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah minimum koordinat yang diperlukan diperlukan untuk menyatakan menyatakan konfigurasi konfigurasi sistem. sistem. $oordinat$oordinatkoordinat tersebut dinyatakan dengan '%, '(, )..'n *%+ yang disebut disebut dengan dengan koordinat koordinat rampatan rampatan *generalie *generalied d coordinate coordinates+. s+. stila stilah h rampat   diambil diambil dari dari kata meramp merampat at dan papan dan  papan $oordinat 'k dapat dapat saja saja berupa berupa sudut sudut atau atau jarak. jarak. iap koordi koordinat nat dapat dapat beruba berubah h secara bebas terhadap lainnya# sistem tersebut dinamakan holonomic. umlah koordinat n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut. Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa  banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil dari jumlah minimum minimum koordi koordinat nat yang yang diperl diperluka ukan n untuk untuk menya menyatak takan an konfig konfigura urasi si sistem sistem.. Salah Salah satu satu contoh contoh sistem sistem nonhol nonholono onomi micc adalah adalah sebuah sebuah bola bola yang yang diba dibata tasi si melun eluncu curr pada pada sebu sebuah ah bida bidang ng kasa kasar. r. !im !ima koor koordi dina natt diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untu untuk k meny enyatak atakan an posi posisi si pusa pusatt bola bola dan dan tiga tiga koor koordi dina natt untu untuk k menyata enyataka kan n perp perput utara arann nny ya. Dala Dalam m hal hal ini, ini, koor koordi dina nat-k t-koo oord rdin inat at tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. ika bola tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam  pembahasan selanjutnya kita akan membatasi diri pada sistem holonomic. /ntu /ntuk k part partik ikel el tung tungga gal, l, fungs fungsii koor koordi dina natt rampa rampata tan n lebi lebih h mudah diungkapkan dengan menggunakan koordinat $artesius0  1 2 1*'+ *satu derajat kebebasan - gerak pada sebuah kur3a+.

 Mekanika  Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi

 1 2 1*'%,'(+ *dua derajat kebebasan - gerak pada sebuah permukaan+. 1 2 1*'%,'(,'&+ y 2 y*'%,'(,'&+  2 *'%,'(,'&+ *tiga derajat kebebasan - gerak dalam sebuah ruang+ 4isa isalkan lkan ' beru beruba bah h dari ari harg hargaa awal awal *'%,'(, ).+ menuju harga *'%5δ'%,'(5δ'% ..+. Perubahan Perubahan koordinat koordinat $artesius $artesius yang  bersesuaian adalah 0

δ1 =

∂1 ∂1 δ' % + δ' + ..... ∂' % ∂' ( (

*(+

δy =

∂y ∂y δ' % + δ' ( + ..... ∂' % ∂' (

*&+

δ =

∂ ∂ δ'% + δ' + ..... ∂'% ∂' ( (

*6+

urunan urunan parsial parsial ∂17∂'% dan seterusnya adalah fungsi dari '. Sebagai contoh, misalkan sebuah partikel bergerak dalam bidang. 4isalkan kita memilih koordinat kutub untuk menyatakan konfigurasi sistem, maka dalam hal ini 0 '% 2 r

'( 2 θ

*8+

Selanjutnya 0 1 2 1*r,θ+ 2 r cos θ y 2 y*r,θ+ 2 r sin θ

*9+ &

 Mekanika  Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi

dan

δ1 =

∂1 ∂1 δ' % + δ' ∂' % ∂' ( (  2 cos θ δr - r sin θ δθ

*:+

δy =

∂y ∂y δ' % + δ' (  2 sin θ δr 5 r cos θ δθ ∂' % ∂' (

*;+

Seka Sekara rang ng perh perhat atik ikan an sebu sebuah ah sist sistem em yang ang menga engand ndun ung g sejumlah n partikel# dalam hal ini mengandung n derajat kebebasan serta koordinat rampatannya dinyatakan dengan 0 '%, '(, )..'n

*