persamaan diferensial

Dosen Pembimbing: Huri Suhendri, M.Pd

MODUL PERSAMAAN DIFERENSIAL 1

OLEH: Maya Umami (200913500674) PRODI: PENDIDIKAN MATEMATIKA SEMESTER: 6 (ENAM) – S6C

Assalamuallaikum Wr. Wb Alhamdulillah modul pada mata kuliah “Persamaan Diferensial 1” ini akhirnya dapat terselesaikan. Modul ini merupakan tugas akhir atau untuk memenuhi persyaratan (nilai) pada mata kuliah tersebut. Setelah menjelajahi berbagai literature dan mencoba untuk menemukan intisari dari materi yang sesuai dengan silabus perkuliahan ini, saya selaku penulis telah berusaha semaksimal mungkin untuk menemukan intisari yang mudah untuk dipahami dengan diaadakanya berbagai contoh soal dan latihan-latihan sesuai dengan silabus perkuliahan. Syukur ke hadirat Allah SWT penulis panjatkan atas kemudahan yang diberikan-Nya selama penulisan modul. Tak lupa juga, penulis mengucapkan terima kasih kepada Dosen Pembimbing kami Bapak Hri Suhendri, M.Pd yang telah memberikan tugas modul ini yang insyaallah bermanfaat bagi banyak orang terutama bagi penulis. Modul ini terdiri dari 10 BAB diantaranya: 1. Pendahuluan Persamaan Diferensial; 2. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah; 3. Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial Variabel Terpisah; 4. Persamaan Diferensial Homogen; 5. Persamaan Diferensial Tak Homogen; 6. Persamaan Diferensial Eksak; 7. Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial Eksak; 8. Persamaan Diferensial Linier Orde 1; 9. Persamaan Diferensial Bernoulli; 10. Masalah Nilai Awal (Solusi Khusus). Masing-masing bab dilengkapi oleh materi yang mana tiap materi diberikan contoh soal dan pembahasan ditambah latihan soal pada bagian akhir modul ini. Demikian yang dapat penulis sampaikan. Penulis berharap adanya kritik dan saran yang membangun guna terciptanya modul yang lebih mendekati kesempurnaan. Semoga modul ini dapat bermanfaat dan dapat dijadikan modul pegangan pada mata kuliah persamaan diferensial 1. Amiin…. Wassalamuallaikum Wr. Wb

Jakarta,

- A -

Juni 2012

BAB 1

BAB 2

BAB 3

KATA PENGANTAR …………………………………………………….

A

DAFTAR ISI ………………………………………………………………

B

PENDAHULUAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ……………………

1

1.1.

Definisi Persamaan Diferensial …………………………………….

1

1.2.

Bentuk Umum Persamaan Diferensial ……………………………..

1

1.3.

Orde (Tingkat) dan Degree (Derajat)……………………………….

1

1.4.

Mencari Solusi Persamaan Diferensial ……………………………..

2

1.5.

Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 2

PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL TERPISAH ……………

4

2.1.

Persamaan Diferensial Variable Terpisah ………………………….. 4

2.2.

Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 4

REDUKSI KE BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL 6 TERPISAH ……………………………………………………………….. 3.1.

Materi Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial Variabel 6 Terpisah …………………………………………………………….

3.2.

BAB 4

Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 6

PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN ………………………….. 4.1.

8

Langkah-langkah Menentujan Penyelesaian Umum Persamaan 8 Diferensial Homogen ……………………………………………….

4.2.

Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 8

- B -

BAB 5

BAB 6

BAB 7

PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK HOMOGEN ……………………

10

5.1.

Persamaan Diferensial dengan M (x,y) dan N (x,y) ………………..

10

5.2.

Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 11

PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK ……………………………….

14

6.1.

Sifat-Sifat Dasar ……………………………………………………. 14

6.2.

Metode Solusi ………………………………………………………

6.3.

Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 15

14

REDUKSI KE BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK 18 (FAKTOR INTEGRASI) …………………………………………………

BAB 8

BAB 9

BAB 10

7.1.

Macam-macam faktor integrasi …………………………………….

7.2.

Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 18

18

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU………………..

21

8.1.

Metode Solusi ………………………………………………………

21

8.2.

Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 21

PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI …………………………

23

9.1.

Metode Solusi ………………………………………………………

23

9.2.

Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 23

MASALAH NILAI AWAL (SOLUSI KHUSUS) ……………………….

26

10.1.

Pengertian …………………………………………………………..

26

10.2.

Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 26

LATIHAN SOAL …………………………………………………………. 27 LAMPIRAN ……………………………………………………………….

C

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………….

D

- B -

BAB 1

1.1. Definisi Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu sehausnya disebut “persamaan turunan”, namun istilah “persamaan diferensial” (aequatio differentialis) yang diperkenalkan Leibniz dalam tahun 1676 sudah umum digunakan (Finizio Ladas:2:1988) Sebagai contoh: y’ + xy = 3

………………………………(1)

y” – 5y’ + 6y = cos x 2

2

2

y” = (1+y’ ) (x +y ) 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2

𝜕2𝑢

- 𝜕𝑥 2 = 0

………………………………(2) ………………………………(3) ………………………………(4)

Pada persamaan (1) sampai (3) menyatakan turunan pertama dan kedua dari fungsi y(x) terhadap x yang disebut persamaan diferensial biasa. Dalam persamaan (4) memuat turunan-turunan parsial yang disebut persamaan diferensial parsial.

1.2. Bentuk Umum Persamaan Diferensial Adapun bentuk umum persamaan diferensial yaitu:

𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 . 𝑑𝑦 = 0

1.3. Orde (Tingkat) dan Degree (Derajat) Orde (tingkat) adalah turunan tertinggi dalam persamaan diferensial. Degree (derajat) adalah derajat dari orde tertinggi Contoh: Page | 1

𝑑3𝑦 𝑑𝑥 3

2

-

𝑑2𝑦

3

𝑑𝑥 2

+ 2xy = 6

Pada persamaan diatas memiliki orde 3 dan derajat 2.

1.4. Mencari Solusi Persamaan Diferensial Langkah-langkah: 

Hitunglah banyaknya konstanta sembarang yang ada di dalam persamaan garus lengkung (kurva) yang akan dicari persamaan diferensialnya.



Hilangkan semua konstanta sembarang ada n maka untuk mengeliminasi semua konstanta sembarang itu. Jika banyaknya konstanta sembarang ada n, maka untuk mengeliminasi semua konstanta sembarang yang ada dubutuhkan n + 1 persamaan. Untuk mendapatkan n + 1 persamaan, persamaan garis lengkung (kurva) semula didiferensialkan sampai turunan ke n.



Banyaknya konstanta sembarang menunjukan orde tertinggi dari turunan dalam persamaan diferensial yang dicari.

1.5. Contoh Soal dan Pembahasan 1) Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung: a. y = A sin 2x + B cos 2x ; A dan B adalah konstanta sembarang b. y = x3 +A x2 + B x + C ; A, B, dan C adalah konstanta sembarang Pembahasan: a. Karena ada 2 (dua) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 3 persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 2. Persamaan 1

: y = A sin 2x + B cos 2x , turunan terhadap x

Persamaan 2

:

Persamaan 3

:

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2

= 2A cos 2x – 2B sin 2x, turunan terhadap x = - 4A sin 2x – 4B cos 2x

Masukan persamaan (1) ke (3) didapatkan bahwa : 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2

= - 4A sin 2x – 4B cos 2x = - 4(A sin 2x + B cos 2x)  y = A sin 2x + B cos 2x = - 4y

Jadi, persamaan diferensial yang dicari adalah

𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒙𝟐

+ 4y = 0 Page | 2

b. Karena ada 3 (tiga) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 4 persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 3. Persamaan 1

: y = x3 +A x2 + B x + C , turunan terhadap x

Persamaan 2

:

Persamaan 3

:

Persamaan 4

:

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑3𝑦 𝑑𝑥 3

= 3x2 + 2Ax + B , turunan terhadap x = 6x + 2A , turunan terhadap x =6

Jadi, persamaan diferensial yang dicari adalah

𝑑3𝑦 𝑑𝑥 3

=6

2) Carilah persamaan diferensial dari berkas kardiola r = a (1-cos 𝜃), a = konstanta sembarang. Pembahasan : Karena ada 1 (satu) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 1. Persamaan 1 : r = a (1-cos 𝜃) , turunan terhadap x Persamaan 2 :

𝑑𝑟 𝑑𝜃

= a sin 𝜃 𝑟

Dari persamaan (1) didapat a = 1−cos 𝜃 Eliminir a dalam persamaan (2), di dapatkan 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑟

= 1−cos 𝜃 sin 𝜃

Jadi, persamaan diferensialnya adalah: 1 − cos 𝜃 dr – r sin 𝜃 𝑑𝜃 = 0

Page | 3

BAB 2

2.1. Persamaan Diferensial Variable Terpisah Suatu persamaan diferensial variable terpisah ditandai oleh fakta bahwa dua peubah dari persamaan itu bersama-sama masing-masing didiferensianya, dapat ditempatkan di ruas yang berlawanan. Dengan manipulasi aljabar, memunkinkan kita menuliskan persamaan diferensial terpisah dalam bentuk implisit : 𝑃(𝑥)

y’ = 𝑄 (𝑥) , atau dalam bentuk eksplisit : 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑃(𝑥)

=

𝑄 (𝑥)

Untuk memperoleh penyelesaian umum suatu persamaan diferensial terpisah, pertamatama kita pisahkan kedua peubah dan kemudian integralkan kedua ruas. Awal

 Q (y) dy = P (x) dx

Integral



P (x) dx = Q (y) dy + C dimana C = Konstanta sembarang

Note: bisa dilakukan hanya pada variable yang sama. Contoh :

Hanya mengandung variable y



𝑦+1 𝑦 2 +4

dy = -x dx 

Hanya mengandung variable x

2.2. Contoh Soal dan Pembahasan Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini: 1) y2 dy = (x + 3x2) dx , bilamana x = 0 dan y = 6  bentuk eksplisit 2) xyy’ + x2 + 1 = 0

 bentuk implisit

Page | 4

Pembahasan: 1) y2 dy = (x + 3x2) dx , syarat harus mengandung variable yang sama pada tiap ruas. 

Integralkan kedua ruas y 2 dy = (x + 3x 2 ) dx 𝑦3 3

+C1

=

y3

=

2

+ x 3 + C2

3𝑥 2

+ 3x 3 + (3C2 – 3C1)

2

= y

𝑥2

=

3𝑥 2

+ 3x 3 + C

2

3𝑥 2

3

; C = 3C2 – 3C1

+ 3x 3 + C

2

3

3𝑥 2



Maka, solusi umumnya adalah: =



Menghitung konstanta C, kita menggunakan persyaratannya bilamana x = 0 dan

2

+ 3x 3 + C

y = 6, maka akan menghasilkan: 6=

3

𝐶

C = 216 

Solusi khususnya adalah: y

3

=

3𝑥 2 2

+ 3x 3 + 216

2) xyy’ + x2 + 1 = 0 

Ubah ke dalam eksplisit 𝑑𝑦

xy 𝑑𝑥 + x2 + 1 = 0 

Bagi tiap-tiap ruas y dy = −



dx

𝑥

Integralkan masing-masing ruas y dy 𝑦2 2 𝑦2 2



x2 + 1

x2 + 1

=−

+C

=−

+C

=−

dx

𝑥 1

𝑋 + 𝑥 dx x2 2

+ 𝐿𝑛 |𝑥| + C

𝑦2

= − x 2 − 2 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐

y

= − x 2 − 2 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐

Maka, solusi umumnya adalah: y

= − x 2 − 2 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐 Page | 5

BAB 3

3.1. Materi Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Tidak semua persamaan diferensial mudah untuk didapatkan solusinya. Pada saat persamaan diferensial memiliki bentuk:

f1 (x) g1 (y) dx ± f2 (x) g2 (y) dy

Maka dibutuhkan reduksi dengan menggunakan faktor integrasi

1 g1 y F2 (x)

, yang

kemudian akan menjadi: f1 (x) f2 (x) f1 (x) f2 (x)

dx ±

g1 (y) g2 (y)

dx = ±

dy

g1 (y) g2 (y)

=0

dy

Pengitegralan masing-masing ruas: f1 (x) f2 (x)

dx = ±

g1 (y) g2 (y)

dy

3.2. Contoh Soal dan Pembahasan Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut: 1) (x3y + yx2) dx + (y3x2 + 2x2y) dy = 0 2) (x2-1) dx – (2x+xy) dy = 0 Pembahasan 1) (x3y + yx2) dx + (y3x2 + 2x2y) dy = 0 y (x3 + x2) dx + x2 (x2 + 2y) dy = 0 1

faktor integrasi : yx 2

Page | 6

1 yx 2

[y (x3 + x2) dx + x2 (x2 + 2y) dy] = 0

(x3 + x2) dx + (x2 + 2y) dy = 0 Karena sudah memiliki variable yang sama, langkah selanjutnya adalah integralkan. (x3 + x2) dx + 𝑥4 4

+

𝑥3 3

+

𝑦4 4

(x2 + 2y) dy = 0

+ 𝑦2 + C = 0 x 12

3x4 + 4x3 + 3y4 + 12 y2 = C Maka, Solusi umumnya adalah 3x4 + 4x3 + 3y4 + 12 y2 = C 2) (x2-1) dx – (2x+xy) dy = 0 (x2-1) dx – x (2+y) dy = 0 1

faktor integrasi : 𝑥 1 𝑥

[(x2-1) dx – x (2+y) dy] = 0

x 2 −1 𝑥

dx – (2+y) dy = 0

x 2 −1 𝑥 𝑥2 2

dx –

-Ln |x| - 2y -

(2+y) dy = 0 𝑦2 2

=0 x2

𝑥 2 - 2 Ln |x| - 4y - 𝑦 2 = 0 𝑥 2 - 𝑦 2 - 2 Ln |x| - 4y = 0 Maka, solusi umumnya adalah 𝑥 2 - 𝑦 2 - 2 Ln |x| - 4y = 0

Page | 7

BAB 4

f (x,y) dikatakan homogen berderjat n jika: f (𝛼x,𝛼y) = 𝛼 n f (x,y) M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 Syarat persamaan diferensial diatas dikatakan homogeny jika M (x,y) dan N (x,y) adalah homogeny dan berderajat sama.

4.1. Langkah-langkah Menentujan Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen 

Gunakan tranformasi: y = u x  dy = x du + u dx, atau x = u y  dy = y dy + u du



Persamaan diferensial homogeny tereduksi ke Persamaan Diferensial terpisah



Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk mendapatkan solusi umum persamaan diferensial.



Gantilah u =

𝑦 𝑥

𝑥

jika menggunakan transformasi y = u x, dan u = 𝑦 jika menggunakan

transformasi x = u y untuk mendapatkan kembali variable semula.

4.2. Contoh Soal dan Pembahasan Buktikan bahwa persamaan tersebut adalah persamaan homogen! 1) y’ =

𝑥3+ 𝑦3 𝑥𝑦 2

2) (2x2y + y3) dx + (xy2 – 2x3) dy = 0

Pembahasan: 1) y’ =

𝑥3+ 𝑦3 𝑥𝑦 2



𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑥3+ 𝑦 3 𝑥𝑦 2

xy2 dy – (x3+y3) dx = 0

Page | 8



fungsi M (x,y) dx M (x,y) dx = -x3-y3  = - 𝛼 3 𝑥 3 - 𝛼 3 𝑦 3 = 𝛼 3 (−𝑥 3 −𝑦 3 ) M (𝛼x,𝛼y) = 𝛼 3 [M (x,y)]



fungsi N (x,y) dy N (x,y) dy = xy2



= 𝛼𝑥𝛼 3 𝑦 3 = 𝛼 3 (x𝑦 2 )

N (𝛼x,𝛼y) = 𝛼 3 [N (x,y)] 

didapatkan 𝛼 3 , maka TERBUKTI persamaan diferensial diatas merupakan persamaan diferensial homogeny berderajat 3.

2) (2x2y + y3) dx + (xy2 – 2x3) dy = 0 

fungsi M (x,y) dx M (x,y) dx = 2x2y + y3 

= 2𝛼 2 x2 𝛼 y + 𝛼 3 y3 = 𝛼 3 (2x2y + y3)

M (𝛼x,𝛼y) = 𝛼 3 [M (x,y)] 

fungsi N (x,y) dy N (x,y) dy = xy2 – 2x3 

= 𝛼 x𝛼 2 y2 – 2𝛼 3 x3 = 𝛼 3 (xy2 – 2x3)

N (𝛼x,𝛼y) = 𝛼 3 [N (x,y)] 

didapatkan 𝛼 3 , maka TERBUKTI persamaan diferensial diatas merupakan persamaan diferensial homogeny berderajat 3.

Page | 9

BAB 5

5.1. Persamaan Diferensial dengan M (x,y) dan N (x,y) Persamaan ini merupakan persamaan linier tetapi tidak homogen. Pandang bentuk persamaan diferensial dibawah ini: ( ax + by + c ) dx + ( px + qy + r ) dy = 0 Dimana a,b,c,p,q,r merupakan suatu konstanta. Ada 3 (tiga) kemungkinan yang dapat terjadi:

1)

𝑎 𝑝

𝑏

𝑐

=𝑞=𝑟=𝛼

Langkah-langkah penyelesaian: 𝑎

𝑏

𝑐

𝑝

𝑞

𝑟

Karena = = = 𝛼 , maka menggunakan transformasi px + qy + r = u, yang berarti bahwa ax + by + c = 𝛼u Bentuk persamaan tereduksi menjadi persamaan dengan variable terpisah dan kemudian selesaikanlah.

2)

𝑎 𝑝

𝑏

𝑐

=𝑞 ≠𝑟

Langkah-langkah penyelesaian: Gunakan transformasi px + qy = u, dan dari sini berarti dy =

𝑑𝑢 −𝑞 𝑑𝑦 𝑞

, atau

𝑑𝑢 −𝑞 𝑑𝑦

dx=

𝑝 𝑎

𝑏

Misalkan 𝑝 = 𝑞 = 𝛽, maka ax + by = 𝛽 u Persamaan tereduksi menjadi persamaan variable terpisah. (𝛽 x + C) dx + (u + r)

𝑑𝑢 −𝑝 𝑑𝑥 𝑞

= 0, atau (𝛽 x + C)

𝑑𝑢 −𝑝 𝑑𝑥 𝑞

+ (u + r) 𝑑𝑦 = 0

Selesaikan persamaan variable terpisah ini dan kemudian gantilah x = px + qy untuk mendapatkan solusi umumnya.

Page | 10

3)

𝑎 𝑝

𝑏

≠𝑞

Langkah-langkah penyelesaian: 

Gunakan Transformasi ax + by + c = u  a dx + b dy = du px + qy + r = v  p dx + q dy = dv dari dua persamaan diatas diperoleh bahwa: dx =

𝑞 𝑑𝑢 −𝑏 𝑑𝑣 𝑎𝑞 −𝑏𝑝

, dan dy =

𝑎 𝑑𝑢 −𝑝 𝑑𝑣 𝑎𝑞 −𝑏𝑝

selesaikan persamaan diferensial diatas dan kemudian gantilah kembali u dan v dengan tranformasi semula untuk mendapatkan solusi umum persamaan diferensial semula.

5.2. Contoh Soal dan Pembahasan Tentukan solusi umum persamaan diferensial dibawah ini! 1) (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0 2) 3)

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

1−2𝑦−4𝑥 1+𝑦+2𝑥 6𝑥−2𝑦−7

= 2𝑥+3𝑦−6

Pembahasan: 1) (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0 a b 𝑎 𝑝

c

2

q

1

= −4 = - 2

p ;

𝑏 𝑞

𝑎

𝑏

𝑐

1

𝑝

𝑞

𝑟

2

Maka, = = = 𝛼 = -

r −5

1

= 10 = - 2

;

𝑐 𝑟

2

1

= −4 = - 2

Penyelesaian: 

px + qy + r = u ax + by + c = 𝛼 u 1

=-2u 

(2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0 1

-2u

dx +

u

dy = 0 xu

1

-2

dx +

dy = 0 Page | 11

1

-2

dx +

dy

=0

1

-2x +y=C 1

Maka Solusi umumnya adalah - 2 x + y = C

2)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

1−2𝑦−4𝑥 1+𝑦+2𝑥

(1 − 2𝑦 − 4𝑥) dx = (1 + 𝑦 + 2𝑥) dy = 0 c b 𝑎 𝑝

a

r

−4

= −2 = 2

;

𝑏 𝑞

q

p

−2

= −1 = 2

;

𝑐 𝑟

=

−7 6

Maka, 𝑎 𝑝

𝑏 𝑐

≠𝑞

𝑟

=𝛽=2

Penyelesaian: 



px + qy = u

ax + by = 𝛽 u -4x – 2y = 2u

-2x+(-y) = u -2x – y = u 

Pengganti dx atau dy 

-2x –y = u x = dx =



𝑢 +𝑦

-2x –y = u y = - (u + 2x)

−2

dy = - du – 2dx

𝑑𝑢 +𝑑𝑦 −2

Solusi umum (1 − 2𝑦 − 4𝑥) dx = (1 + 𝑦 + 2𝑥) dy = 0 (1 – 2u)

𝑑𝑢 +𝑑𝑦 −2

- (1 – u) dy = 0 x2

(1 – 2u) (𝑑𝑢 + 𝑑𝑦) - 2 (1 – u) dy = 0 du + dy + 2udu + 2udy – 2dy + 2udy = 0 du – dy + 2 udu + 4udy = 0 (1 + 2u) du + (4u – 1) dy = 0 : (4u – 1) 1+2𝑢 4𝑢−1

du + dy = 0

Page | 12

1+2𝑢 4𝑢−1 1 4𝑢−1

du +

dy = 0 2𝑢

du +

du +

4𝑢−1

dy = 0

Ln |4𝑢 − 1| + 2u Ln |4𝑢 − 1| + y = C 

3)

Maka, solusi umumnya adalah: Ln |4𝑢 − 1| + 2u Ln |4𝑢 − 1| + y = C

𝑑𝑦 𝑑𝑥

6𝑥−2𝑦−7

= 2𝑥+3𝑦−6

(6𝑥 − 2𝑦 − 7) dx – (2𝑥 + 3𝑦 − 6) dy = 0 a

b

c

p

q

r

maka didapatkan 𝑎 𝑝 𝑎 𝑝

6

= −2 = - 3

;

𝑏 𝑞

−2

2

= −3 = 3

;

𝑐 𝑟

1

= −1 = -1

𝑏

≠𝑞

Penyelesaian: (qu – pv) du + (qv – bu) dv = 0 (-3u + 2v) du + (bv + 2u) dv = 0  Persamaan Diferensial Homogen Subtitusi: 𝑢

z = 𝑣 , atau u = zv  du = v dz + z dv Solusi Umum: (-3u + 2v) du + (bv + 2u) dv = 0 (-3 zv + 2v) (v dz + z dv) + (bv + 2 zv) dv = 0 v2 (-3z + 2) dz + v (-3z2 + 4z + 6) dv = 0 : v2 (-3z + 2) −3𝑧+2 −3z2 + 4z + 6

dz + v dv = 0

−3𝑧+2 −3z2 + 4z + 6 −3𝑧 −3z2 + 4z + 6

dz + dz +

v dv = 0 2 −3z2 + 4z + 6

1

dz + 2 v2 dv = 0 1

−3𝑧 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 2 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 2 v2 dv = C x2 2

−6𝑧 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 4 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + v dv = C Maka, Solusi Umumnya adalah: −6𝑧 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 4 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + v2 dv = C Page | 13

BAB 6

6.1. Sifat-Sifat Dasar Suatu persamaan diferensial dengan bentuk: M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 Dikatakan persamaan diferensial eksak, jika ada suatu fungsi f(x,y) yang diferensial totalnya sama dengan M (x,y) dx + N (x,y) dy, yaitu (dengan meniadakan lambang x dan y): df = M dx + N dy uji kepastian

:

Jika M dan N merupakan fungsi kontinu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada sebuah segiempat bidang xy, maka M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 adalah eksak hanya jika:

𝜕𝑀 𝜕𝑦

=

𝜕𝑁 𝜕𝑥

6.2. Metode Solusi Untuk menentukan solusi dari M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0, maka secara implicit diberikan oleh penyelesaian umum f (x,y) = c. Langkah-langkah menemukan suatu fungsi f (x,y) adalah: 

Langkah 1 Perhatikan bahwa: 𝜕𝑓 𝜕𝑥



= M (x,y), dan

𝜕𝑓 𝜕𝑦

= N (x,y)

Langkah 2 Integrasikan (mencari integral) dari M (x,y) terhadap x dengan y tetap. 𝜕𝑓 𝜕𝑥

dx = M (x,y) dx

f (x,y) = [

𝑥

M (x, y) dx ] + ∅(𝑦)

dimana ∅𝑦 adalah fungsi sembarang dari y saja. 

Langkah 3 Fungsi f (x,y) pada langkah ke-2, didiferensialkan parsial terhadap y yang selanjutnya akan diperoleh: Page | 14

𝜕𝑓 𝜕𝑦



𝜕

= 𝜕𝑦 [

𝑥

𝜕∅

M (x, y) dx ] + 𝜕𝑦

Langkah 4 Karena

𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕∅ 𝜕𝑦

= N (x,y) maka, 𝑥

𝜕

= N (x,y) - 𝜕𝑦 [

M (x, y) dx ]

Dari sini ∅(𝑦) akan diperoleh. 

Langkah 5 ∅(𝑦) yang baru saja diperoleh, disubtitusikan ke f (x,y) dalam langkaj ke-2. Dengan demikian f (x,y) = C dapat diperoleh.

6.3. Contoh Soal dan Pembahasan Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial di bawah ini dan buktikan keeksakanya! 1) (2xy + x2) dx + (x2 + y2) dy = 0 2) 3x2y2 dx + (2x3y + 4y3) dy = 0

Pembahasan: 1) (2xy + x2) dx + (x2 + y2) dy = 0 

Pembuktian Persamaan Diferensial Eksak M (x, y) = 2xy + x2 

𝜕𝑀

N (x, y) = x2 + y2

𝜕𝑁

Karena

𝜕𝑀 𝜕𝑦

=

𝜕𝑁 𝜕𝑥



= 2𝑥

𝜕𝑦 𝜕𝑥

= 2𝑥

, maka persamaan diferensial diatas merupakan persamaan

diferensial eksak. 

Mencari Solusi Umum Langkah 2 (mencari f (x,y)) f (x,y)

=[ =

𝑥 𝑥

M (x, y) dx ] + ∅(𝑦)

(2xy + x2) dx + ∅(𝑦) 1

= x2y + 3 x3 + ∅(𝑦)

Page | 15

Langkah 3 𝜕𝑓

=

𝜕𝑦

=

𝜕

𝑥

[

𝜕𝑦 𝜕

𝑥

[

𝜕𝑦

𝜕∅

M (x, y) dx ] + 𝜕𝑦

𝜕∅

(2xy + x2) dx ] + 𝜕𝑦

𝜕

= x2 + 𝜕𝑦 ∅(𝑦) Langkah 4 (mencari ∅(𝑦)) 𝜕𝑓 𝜕𝑦

= N (x,y) 𝜕

x2 + 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = x2 + y2 𝜕 𝜕𝑦

∅(𝑦) = x2 + y2 - x2 y 2 dy

∅(𝑦) = =

1 3

y3 + k

Langkah 5 (Solusi Umum) f (x,y)

1

= x2y + 3 x3 + ∅(𝑦) 1

1

= x2y + 3 x3 + 3 y 3 = k x3 = 3x y + x + y 3 = 3k 2

3

Maka solusi umumnya adalah 3x2y + x3 + y 3 = C dengan nilai C=3k 2) 3x2y2 dx + (2x3y + 4y3) dy = 0 

Pembuktian Persamaan Diferensial Eksak M (x, y) = 3x2y2



𝜕𝑀

N (x, y) = 2x3y + 4y3



𝜕𝑁

Karena

𝜕𝑀 𝜕𝑦

𝜕𝑁

=

𝜕𝑥

𝜕𝑦 𝜕𝑥

= 6𝑥 2 𝑦 = 6𝑥 2 𝑦

, maka persamaan diferensial diatas merupakan persamaan

diferensial eksak. 

Mencari Solusi Umum Langkah 2 (mencari f (x,y)) f (x,y)

=[ =

𝑥 𝑥

M (x, y) dx ] + ∅(𝑦)

3x 2 y 2 dx + ∅(𝑦)

= x3y2+ ∅(𝑦) Page | 16

Langkah 3 𝜕𝑓

=

𝜕𝑦

=

𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑦

[ [

𝑥 𝑥

𝜕∅

M (x, y) dx ] + 𝜕𝑦 𝜕∅

3x 2 y 2 dx ] + 𝜕𝑦 𝜕

= 2x3y + 𝜕𝑦 ∅(𝑦) Langkah 4 (mencari ∅(𝑦)) 𝜕𝑓 𝜕𝑦

= N (x,y)

2x3y +

𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑦

∅(𝑦) = 2x3y + 4y3 ∅(𝑦) = 2x3y + 4y3 - 2x3y ∅(𝑦) =

4y 3 dy

= y4 + k Langkah 5 (Solusi Umum) f (x,y)

= x3y2+ ∅(𝑦) = x3y2+ y 4 = k

Maka solusi umumnya adalah x3y2+ y 4 = C dengan nilai C = k

Page | 17

BAB 7

Secara umum persamaan M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 tidak eksak. Terkadang adalah mungkin mengubah menjadi persamaan diferensial eksak melalui perkalian yang eksak. Oleh karena itu, fungsi untuk mengubah Persamaan Diferensial tiadk eksak ke bentuk persamaan diferensial eksak adalah factor integrasi (Faktor pengkali/ Gabung).

7.1. Macam-macam faktor integrasi Ada beberapa macam faktor integrasinya, yaitu: 

Jika,

𝜕𝑀 𝜕𝑦

𝜕𝑁 𝜕𝑥

− 𝑁

= f(x) dimana f(x) merupakan fungsi dari x saja

Faktor Integrasinya: 𝑒 

Jika,

𝜕𝑀 𝜕𝑦

𝜕𝑁 𝜕𝑥

−

−𝑀

= g(y) dimana g(y) merupakan fungsi dari y saja

Faktor Integrasinya: 𝑒 

f x dx

g y dy

Jika, M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 merupakan Persamaan Diferensial Homogen dan xM + yN ≠ 0 1

Faktor Integrasinya: xM + yN 

Jika, M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 dapat diubah ke bentuk y f(x,y) dx + x g(x,y) dy = 0 dan f(x,y) ≠ g(x,y) 1

Faktor Integrasinya: xM − yN 

Dan sebagainya

7.2. Contoh Soal dan Pembahasan Tentukan Faktor Integrasi kemudian tentukan solusi umumnya! 1) 3x2y2 dx + (4x3y – 12) dy = 0 2) (2y – x3) dx + x dy = 0

Page | 18

Pembahasan: 1) 3x2y2 dx + (4x3y – 12) dy = 0 M = 3x2y2



𝜕𝑀

N = 4x3y – 12



𝜕𝑀

Karena 

𝜕𝑀 𝜕𝑦

𝜕𝑀 𝜕𝑦 𝜕𝑁 𝜕𝑥

−

−𝑀

𝜕𝑁

≠ =

= 12x2y

𝜕𝑦

maka, bukan merupakan persamaan diferensial eksak

𝜕𝑥

16𝑥 2 𝑦 −12𝑥 2 𝑦 −3𝑥 2 𝑦 2

Faktor Integrasi: 𝑒 

= 6x2y

𝜕𝑦

=

−2 𝑦

g y dy

4

+𝑦=

=𝑒

2 dy 𝑦

2 𝑦

= 𝑒 2 ln 𝑦 = y2

Faktor Integrasi f(x) y2 [3x2y2 dx + (4x3y – 12) dy] = 0 3x2y4 dx + (4x3y3 – 12 y2) dy = 0 M = 3x2y4



𝜕𝑀

N = 4x3y3 – 12 y2



𝜕𝑀

Karena 

𝜕𝑀 𝜕𝑦

𝜕𝑁

=

𝜕𝑥

𝜕𝑦 𝜕𝑦

= 12x2y3 = 12x2y3

maka, merupakan persamaan diferensial eksak

Solusi Umum Mencari f(x,y) dengan mengintegralkan M f (x,y)

=[

𝑥 𝑥

=

M (x, y) dx ] + ∅(𝑦)

3x 2 y 4 dx + ∅(𝑦)

= x3y4+ ∅(𝑦) Mencari ∅(𝑦) dengan mendiferensialkan f(x,y) = N 𝜕𝑓 𝜕𝑦

= N (x,y)

4x3y3 +

𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑦

∅(𝑦) = 4x3y3 – 12 y2 ∅(𝑦) = 4x3y3 – 12 y2 - 4x3y3 ∅(𝑦) = −

12 y 2 dy

= - 4 y3 + k Masukan ke persamaan f(x,y) f (x,y)

= x3y4+ ∅(𝑦) = x3y4 − 4 y 3 = k

Maka solusi umumnya adalah x3y4 − 4 y 3 = C dengan nilai C = k Page | 19

2) (2y – x3) dx + x dy = 0 M = 2y – x3



𝜕𝑀

N=x



𝜕𝑀

Karena 

𝜕𝑀 𝜕𝑦

𝜕𝑀 𝜕𝑦 𝜕𝑁 𝜕𝑥

− 𝑁

𝜕𝑁

≠ =

=

𝑥

=1

1 𝑥

Faktor Integrasi: 𝑒 

𝜕𝑦

=2

maka, bukan merupakan persamaan diferensial eksak

𝜕𝑥

2−1

𝜕𝑦

f x dy

=𝑒

1 𝑥

dx

= 𝑒 ln 𝑥 = x

Faktor Integrasi f(x) x [(2y – x3) dx + x dy] = 0 (2xy – x4) dx + x2 dy = 0 M = 2xy – x4



𝜕𝑀

N = x2



𝜕𝑀

Karena 

𝜕𝑀 𝜕𝑦

𝜕𝑁

=

𝜕𝑥

𝜕𝑦 𝜕𝑦

= 2x = 2x

maka, merupakan persamaan diferensial eksak

Solusi Umum Mencari f(x,y) dengan mengintegralkan M f (x,y)

=[

𝑥 𝑥

=

M (x, y) dx ] + ∅(𝑦)

(2xy – x 4 ) dx + ∅(𝑦) 1

= x2y − 5 x 5 + ∅(𝑦) Mencari ∅(𝑦) dengan mendiferensialkan f(x,y) = N 𝜕𝑓 𝜕𝑦

= N (x,y)

x2 +

𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑦

∅(𝑦) = x2 ∅(𝑦) = x2 – x2 ∅(𝑦) =

0 dy

= k Masukan ke persamaan f(x,y) f (x,y)

1

= x2y − 5 x 5 + ∅(𝑦) 1

= x2 y − x 5 = k 5

1

Maka solusi umumnya adalah x2y − 5 x 5 = C dengan nilai C = k Page | 20

BAB 8

8.1. Metode Solusi Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum 𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ P(x) y = Q(x) dengan syarat ruas kanan ≠ 0 P x dx

Factor integrasi: 𝑒 Solusi umum 𝑒

P x dx

P x dx

Q(x) 𝑒

y=

+ 𝐶

8.2. Contoh Soal dan Pembahasan Tentukan solusi umum dari: 1)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 4y = x -2x2

2) 𝑦 ′ + 𝑦 = (1 + 𝑥)2

Pembahasan: 1)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 4y = x -2x2 ; Q(x) = x – 2x2

P(x) = 4

Faktor Integrasi: 𝑒

P x dx

4 dx

=𝑒

= 𝑒 4𝑥

Solusi Umum: 𝑒

P x dx

𝑒 4𝑥 y = y= y= y=

Q(x) 𝑒

y=

P x dx

+ 𝐶

x – 2x 2 𝑒 4𝑥 + 𝐶 𝑥−2𝑥 2 4

−

1−4𝑥 16

−

4𝑥−8𝑥 2 −1+4𝑥−1 16 4𝑥−4𝑥 2 −1 8

1 16

𝑐

+ 𝑒 4𝑥 𝑐

+ 𝑒 4𝑥

𝑐

+ 𝑒 4𝑥

Page | 21

2) 𝑦 ′ + 𝑦 = (1 + 𝑥)2 𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑦 = (1 + 𝑥)2 ; Q(x) = (1 + 𝑥)2

P(x) = 1

Faktor Integrasi: 𝑒

P x dx

=𝑒

1 dx

= 𝑒𝑥

Solusi Umum: 𝑒

P x dx

y=

Q(x) 𝑒

P x dx

+ 𝐶

𝑒 𝑥 y = (1 + 𝑥)2 𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥 y = 𝑒 𝑥 (1 + 𝑥)2 − 2𝑒 𝑥 (1 + 𝑥) + 2𝑒 𝑥 + C y=[ 1+𝑥

2

𝑐

− 2 1 + 𝑥 + 2 + 𝑒𝑥

Page | 22

BAB 9

9.1. Metode Solusi 

Bentuk umum dari persamaan diferensial Bernoulli adalah: 𝑑𝑦 𝑑𝑥



+ P(x) y = Q(x) yn

Persamaan Bernoulli akan tereduksi ke persamaan linier orde satu dengan Transformasi: z = y-n+1 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑑𝑦

= (-n + 1) y-n. 𝑑𝑥 𝑑𝑧

= (1 – n) yn. 𝑑𝑥

Persamaan linier orde satu 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥

= (1 – n) P(x) y-n = (1 – n) Q(x) = (1 – n) P(x) z = (1 – n) Q(x)

Dengan faktor integrasi: 𝑒 

1 – n P x dx

Solusi umum 𝑒

1 – n P x dx

z = (1 – n) Q(x) 𝑒

1 – n P x dx

𝑑𝑥 + C

9.2. Contoh Soal dan Pembahasan Cari solusi dari: 1) 2)

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑦

+𝑥=

𝑦2 𝑥

+ y = xy3

Pembahasan: 1)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑦

+𝑥= 1

P(x) = 𝑥

𝑦2 𝑥 1

; Q(x) = 𝑥

;n=2

Page | 23

z = y-n+1 z = y-2+1 z = y-1 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦

= - y-2. 𝑑𝑥 𝑑𝑧

= - y2. 𝑑𝑥 𝑦

+𝑥= 𝑑𝑧

- y2.

𝑑𝑥

𝑦2 𝑥 𝑦

𝑦2

𝑥

𝑥

+ =

: - y2 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥

1

1

- 𝑥 𝑦 −1 = − 𝑥 1

1

- 𝑥 − 𝑧 = − 𝑥  Persamaan Linier Orde Satu 1

1

P(x) = − 𝑥

; Q(x) = − 𝑥

solusi umum: 1 – n P x dx

𝑒 1 𝑥 1 𝑥

1

z = −𝑥

z = (1 – n) Q(x) 𝑒

1 𝑥

1 – n P x dx

𝑑𝑥 + C

𝑑𝑥 + C

z = 𝑥 −1 + C

𝑥 −1 + 𝐶 𝑧= 1 𝑥 1

Maka, Solusi Umumnya adalah 𝑦 = 1 + Cx

3)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ y = xy3 ; Q(x) = xy3

P(x) = 1

;n=3

z = y-n+1 z = y-3+1 z = y-2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= =

1

𝑑𝑧

𝑛−1 𝑑𝑥 1

𝑑𝑧

−2 𝑑𝑥

Persamaan Diferensial Orde Satu 𝑑𝑧 𝑑𝑥

+ (1 – n) z p(x) = (1 – n) Q(x) Page | 24

𝑑𝑧 𝑑𝑥

+ -2y-2 = -2x

Solusi Umum: 𝑒

1 – n P x dx

𝑒

−2 dx

y-2 =

−2x 𝑒

−2𝑥 𝑦 −2 = −2𝑥 𝑦 −2 =

z = (1 – n) Q(x) 𝑒 −2 dx

1 – n P x dx

𝑑𝑥 + C

𝑑𝑥

4x 2 dx 4 3

𝑥3 + k x3

−6𝑥 𝑦 −2 = 4𝑥 3 + 3k 6𝑥 𝑦 −2 + 4𝑥 3 = C Maka, Solusi umumnya adalah 6𝑥 𝑦 −2 + 4𝑥 3 = C ; C =3k

Page | 25

BAB 10

10.1. Pengertian Soal Nilai Awal merupakan suatu persamaan diferensial bersama dengan kondisikondisi tambahan terhadap fungsi yang dicari dan turunannya yang semuanya diberikan pada nilai variable independen yang sama. Masalah Nilai awal adalah mencari solusi khusus dari kondisi awal. Solusi khusus adalah ketika persamaan diferensial hanya memiliki satu solusi saja. Misalnya (y’)4 + y2 = 0. Persamaan ini hanya memiliki satu solusi yaitu y = 0. Dan tidak mengandung nilai C

10.2. Contoh Soal dan Pembahasan Tentukan solusi umum dan solusi khusus persamaan diferensial dibawah ini! 1) 3x2 + (2y - 1) dy = 0, dimana y=2 2) xy3 dx + (2y + 1) x2 dy = 0, dimana y=10 Pembahasan: 1) 3x2 + (2y - 1) dy = 0, dimana y=2 3x2 + (2y − 1) dy = 0 x3 + y2 + y = C

 Solusi Umum

x3 + (2)2 + 2 = C x3 = -6

 Solusi Khusus

2) xy3 dx + (2y + 1) x2 dy = 0, dimana y=10 xy3 dx + (2y + 1) x2 dy = 0 : y3 x2 𝑥

dx +

𝑥2 𝑥

𝑥2

(2y + 1)

dx +

𝑦3

dy = 0

(2y + 1) 𝑦3

dy = 0

𝐿𝑛 𝑥 + 2y + 1 𝐿𝑛 𝑦 3 = 𝐶

 Solusi Umum

𝐿𝑛 𝑥 + 21 𝐿𝑛 1000 = 𝐶 𝐿𝑛 𝑥 = −145

 Solusi Khusus Page | 26

Tentukan orde dan carilah persamaan diferensial dari: 𝑑2𝑥

= y2 + 1

1)

y

2)

y

3)

s

4)

𝑦" + 3𝑦 − 𝑥𝑦 = 0

5)

𝑥𝑦 ′ + 3𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 = 0

𝑑𝑦 2

𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑2𝑡 𝑑𝑠 2

= x2 + 1 𝑑𝑠

+ s t 𝑑𝑡 = s

Manakah diantara persamaan diferensial berikut yang merupakan persamaan diferensial variable terpisah? 6)

(x2 – y2) 𝑦 ′ + xy = 0

7)

(x2 y2 – y2) 𝑦 ′ + x = 0

8)

(x sin y – x2) 𝑦 ′ + cos x = 0

9)

(x sin y – xy) 𝑦 ′ + (x2 + 1) y = 0

10) xy 𝑦 ′ + x2 + 1= 0

Tentukan solusi persamaan diferensial variable terpish dengan mereduksinya! 11) (x2 – 1) 𝑦 ′ + y2 + 1 = 0 12) (1 + 2y) 𝑑𝑥 + (x – 4) dy = 0 13) xy dx + (1 + x2) dy = 0 14) (xy + x) dx + (xy – y) dy = 0 15)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

4𝑦

= 𝑥𝑦 −3𝑥

Page | 27

Buktikan bahwa persamaan di bawah ini adalah persamaan diferensial homogeny kemudian, carilah solusi umumnya! 16) 2xy dy = (x2 – y2) dx 𝑦

𝑦

17) x sin 𝑥 (y dx + x dy) + y cos 𝑥 (x dy – y dx) = 0 18) (x2 – 2y2) dy – 2xy dx = 0 19) 20)

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= =

𝑥+𝑦 𝑥 4𝑦 −3𝑥 2𝑥−𝑦

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial tak homogeny dibawah ini! 21) 22)

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

6𝑥−2𝑦−7

= 2𝑥+3𝑦−6 =

1−2𝑦−4𝑥 1+𝑦+2𝑥

23) (2x – 3y +5) dx + (24y – 8x – 40) dy = 0 24) (x – 5y +2) dx + (2x – 10x – 4) dy = 0 25) (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0

Tunjukkan bahwa PD berikut eksak dan tentukan selesaian umumnya! 26) (x+2y)dx + (y2+2x)dy = 0 27) 2y(x-y)dx + x(x-4y)dy = 0 28) (xsiny-y2)dy – cosy dx = 0 29) (3+y+2y2sin2x)dx – (ysin2x-2xy-x)dy = 0 30) xcos(xy)dy + (2x+ycos(xy))dx = 0

Tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan adalah suatu faktor integrasi dan selesaikan PD nya: 31) 2ydx+xdy = 0, x 32) sinydx+cosydy=0, 1/x2 33) y2dx+(1+xy)dy=0, exy 34) 2dx-ey-xdy = 0 35)

(y+1)dx-(x+1)dy = 0

Page | 28

Selesaikan PD linier orde satu! 36)

y’+(2x-1)y = xy2+(x-1)

37) y’+(2x4-1/x))y = x3 y2+x5 38) y’-2y/x = -y2/x+x2 39) y’+(2-1/x)y = y2-2/x 40) y’+2y+y2=0.

Tentukan Solusi Umum dari PD Bernoulli! 41) y’ + y = xy3 42) y’ = y (1 + xy) 𝑥

43) y - 2 y’ = 𝑦 44) 2xyy’ + y2 = x 45) Y’ – y = xy6

Tentukan Solusi khusus dari persamaan diferensial dibawah ini! 46) y'(t) = 3y + 5 , y(0) =1 47) y'(t) = ty +1 , y(0) = 0 48) y'= z, z'= -y , y(0) =1, z(0) = 0 1

49) y'(t) = − 1+ 𝑦 2 , y(0) =1 50) y” + 5y’ + 6y = 0, y(0) = 1

Page | 29

Lampiran

Basic Forms (1)

(2)

(3)

(4)

Integrals of Rational Functions (5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Integrals with Roots (17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28 )

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37 )

(38)

(39)

(40)

(41)

Integrals with Logarithms (42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51 )

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

Integrals with Exponentials (58)

(59) erf

(60)

(61)

where erf

(62)

(63)

(64)

(65) d

(66) where

(67) erf

(68) erf

(69)

(70) erf

d

Integrals with Trigonometric Functions (71)

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

(89)

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

Products of Trigonometric Functions and Monomials (102)

(103)

(104)

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110)

(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

(116)

Products of Trigonometric Functions and Exponentials (117)

(118)

(119)

(120)

(121)

(122)

Integrals of Hyperbolic Functions

(123)

(124)

(125)

(126)

(127)

(128)

(129)

(130)

(131)

(132)

(133)

(134)

SM. Nababan.2005.Persamaan Diferensial Biasa (Edisi Satu). Jakarta:Universitas Terbuka

Finizio and Ladas. 1988.Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern (Edisi Kedua).Jakarta:Erlangga Schaum’s.2007.Persamaan Diferensial (Edisi Ketiga).Jakarta: Erlangga

Varberg, Purcell, Rigdom.2003.Kalkulus Jilid 1. Jakarta: Erlangga

Sitanggang, Curmentyna.2003.Kamus Matematuka (Cetakan ketiga).Jakarta:Balai Pustaka

Soal Ujian Tenga Semester (UTS).2012.Persamaan Diferensial 1.Jakarta.Universitas Indraprasta PGRI

http://uuniquee.files.wordpress.com/2010/09/persamaan_differensial_-_dr-_st_budi_waluya.pdf

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195804011985031ASEP_SYARIF_HIDAYAT/PERSAMAAN_DIFERENSIAL_I.pdf

http://math.ipb.ac.id/~files/tpb/9PersamaanDiferensialPrint_Mhs.pdf

http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-v-masalah-nilai-awal-persamaan-diferensial.pdf

http://dora.student.fkip.uns.ac.id/uncategorized/tutorial-maple-persamaan-differensialdifferential-equations/

http://staff.ui.ac.id/internal/131611668/material/mod-02.pdf

- D -