Persamaan Diferensial Orde n

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE n

A. Persamaan Linear Orde n Bentuk umum PD orde n :

 

  

  

 

              

Dapat diasumsikan fungsi-fungsi        dan G adalah fungsi-fungsi kontinu  bernilai real pada interval       Pada persamaan ini  

  

  



  

  dalam interval ini.

    

 

     dibagi

dengan   sehingga diperoleh :

  O pertator

  

  

  

    

 

    

persamaan diferensial linear L dengan orde n dalam persamaan

 

  

  

  

    

 

    

adalah sama operator orde dua yang telah dipelajari sebelumnya. Karena persamaan mempunyai n buah turunan datri  y maka diperlukan n   buah integrasi untuk  memnyelesiakan

persamaan  

  

   

  

    

 

   

 dan setiap integralnya akan memuat sebuah konstanta sebarang. Ada sebuah solusi tunggal dari persamaan dengan n buah kondisi, yaitu :   

               dimana  sebarang titik pada interval  I  dan      adalah nilai-nilai konstanta. Maka akan terdapat sebuah solusi yang tunggal seperti teorema berikut ini :

Teorema 4.1.1. Jika

fungsi-fungsi

       

adalah kontinu pada interval terbuka I maka

terdapat tepat sebuah solusi     dari persamaan diferensial  

  



 

  

    

 

     yang memenuhi kondisi awal   

yang terdapat pada interval I.                

Persamaan

1.

Diferensial Linear Orde n meliputi :

Persamaan

Homogen

                 Jika

fungsi-fungsi

      

adalah

solusi

persamaan

   

            maka kombinasi linear                 , dimana        adalah sebarang konstanta yang juga merupakan solusi

                . Khususnya untuk  , dan untuk sebarang        , sehingga dapat 

sebarang  

menententukan        merupakan persamaan :

             ,              , . . . 

 



      

Terpenuhi.



Persamaan  



   

, 

      



   

mempunyai

  penyelesaian tunggal jika determinan dari koefisiannya tidak nol. Dilain pihak    jika determinan dari koefisien sama dengan nol, maka sangat mungkin untuk  memilih 

 

nilai

        

   

sehingga

persamaan

tidak mempunyai sebuah solusi.



  Oleh

karena itu syarat 

cukup dan syarat perlu untuk keberadaan solusi persamaan   

 



   

    

    

untuk sebarang nilai        adalah workskian. 

Tidak

sama dengan nol untuk    . Karena  sebarang titik pada I , maka perlu

dan cukup bahwa Terdapat

       

tidak nol pada setiap titik pada interval.

juga dalam persamaan linear orde dua, dapat ditunjuk bahwa jika

      

solusi-solusi

      , maka

         

persamaan

       

adalah

nol untuk setiap

t 

dalam interval I atau tidak nol.

Teorema 4.1.2. Jika

fungsi-fungsi       dan  g  adalah kondisi pada interval I,   jika funisi-

fungsi        solusi dari persamaan         

       dan jika

       

  untuk paling tidak 

sebuah titik dalam interval  I, maka setiap solusi persamaan    

           

dapat

dinyatakan

sebagai

kombinasi linear dari solusi-solusi        .

Himpunan

solusi-solusi

      

dari

persamaan

   

            yang Wronskiannya tidak nol disebut sebagai fundamental dari solusi-solusi. Keberadan dari himpunan fundamental dari solusi-solusi dapat dinyatakan dengan cara yang sama seperti   persamaan

orde

dua.

Karena

semua

           

solusi

persamaan

dalam

   

bentuk       

        , kita menggunakan pengertian solusi umum untuk  menyatakan sebuah sebarang kombinasi linear dari sebarang himpunan fundamental solusi persamaan

   .

           

2.

Persamaan

Tak Homogen

Persamaan tan homogen :

 

 

  



Jika  

 



  

    

 

    .

adalah sebarang solusi persamaan  

  

  

  



     merupakan solusi persamaan homogen  



               . Kerana setiap solusi dari   persamaan homogen dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari himpunan fundamental dari solusi      , maka sebarang solusi persamaan  

 

  

    

 

  



     dapat ditulis sebagai :

                  Dimana

 



adalah suatu solusi khusus dari persamaan tak homogen  

  

    

 

    .

Kombinasi

linear 

  





               disebut solusi umum persamaan tak  homogen  

B.

  

  

  

    

 

    .

Persamaan Linear dengan Koefisien Konstan Persamaan diferensial linear orde n :

                 Dimana        adalah konstanta real. Pada persamaan linear orde dua

   merupakan solusi                   untuk suatu nilai r . Gantilah nilai y dengan   , maka hasilnya :

                   , Untuk semua r dengan

             Untuk nilai r dimana    maka     dan    merupakan solusi  persamaan

                .

Polinomial

 

disebut polinimial karakteristik dan persamaan     disebut persamaan

karakteristik

dari

persamaan

diferensial

         

      . Sebuah polynomial berdarajat n mempunyai n akar, katakan        beberapa mungkin sama sehingga bisa dinyatakan polynomial karakteristiknya adalah sebagai berikut :

                

1. Akar-akar Real dan Tak Sama Jika

akar-akar persamaan karakteristik adalah real tidak sama maka dipunyai n

solusi

berbeda

        

dari

persamaan

    

            . Jika fungsi-fungsi ini bebas linear maka solusi umum persamaan                  

 adalah :              

2. Akar-akar Komplek  Jika

akar-akar persamaan karakteristik mempunyai akar-akar komplek, maka

harus terjadi juga pada pasangan konju gatenya.

    

karena koefisien-

koefisien      adalah bilanagn real. Solusi umum dari persamaan 

              

masih

dalam

bentuk   

             . Akan tetapi seperti dalam persamaan linear  orde dua bisa diganti solusi-solusi berniali komplek   dan  dengan solusi-solusi bernilai real.

     Yang

diperoleh dari bagian real dan imajiner dari  . Jadi meskipun

sebagian dari akar-akar persamaan karakteristik bernilai komplek, masih memungkinkan untuk menyatakan solusi umum persamaan     

             sebagai kombinasi linear dari solusisolusi bernilai real.

3.

Akar-akar Berulang Jika

akar-akar persamaan karakteristik tidak berbeda, yakni mempunyai

  beberapa akar yang berulang, maka persamaan            

  

bukab

merupakan

solusi

umum

persamaan     

            . Jika  adalah akar yang berulang untuk    persamaan linear orde dua           maka dua solusi yang  bebas adalah  



dan    . Untuk sebuah persamaan orde n, jika sebuah akar  

dari    , katakan    mempunyai s buah    maka :

              Adalah

solusi

yang

bersesuaian

dengan

persamaan     

            . Jika akar komplek     berulang s kali, maka komplek  konju gatenya



  juga akan berulang s kali.

Oleh

karena itu dari 2s solusi komplek kita temukan 2s solusi bernilai real dengan catatan bagian real dan imajiner dari                 juga solusi yang bebas linear, yakni

            

C.

Metode Koefisien Tak Tentu Sebuah solusi

Y

dari persamaan linear tak homogeny orde ke n dengan

koefisien konstanta