persamaan-bessel-i

Persamaan Bessel dan Fungsi-fungsi Bessel Jenis Pertama Salah satu dari persamaan-persamaan diferensial yang terpenting dalam penerapan matematika adalah persamaan diferensial Bessel x2 y t + xy d + (x2 ± v 2) y = 0

(*)

di mana parameter v merupakan bilangan yang diberikan. Persamaan ini timbul dalam soal-soal tentang getaran (vibrasi), medan elektrostatik, rambatan (konduksi) panas, dan sebagainya, pada sebagian besar kasus persoalan tersebut menunjukkan sifat simetri silinder. Kita asumsikan bahwa parameter v di dalam persamaan diferensial di atas (*) adalah   bilangan riil dan taknegatif. Perhatikan bahwa persamaan diferensial ini mempunyai titik singular reguler di x = 0. Jadi Persamaan (*) mempunyai penyelesaian yang  berbentuk  g

 y(x) =  x r  § a m x m m! 0

g

=

§a

 x

m  r 

dengan a0 { 0

m

m !0

turunan-turunannya turunan-turunannya adalah g

 y d(x) =

§

g

§ (m  r   1)a

(m  r ) a m x m  r 1 !

m !1

x

m  r 

m !0

g

 y t(x) =

m 1

§ (m  r   1)(m  r ) a

 x

m  r  2

m

m !2

g

! § (m  r   1)( m  r   2)a

m 1

x

m  r 

m !0

substitusikan y, y d dan y t ke persamaan diferensial di atas, diperoleh g

§ [(r   m)(r   m  1)  (r   m)  ( x

2

 v 2 )]a

m

 x

m  r 

!0

m !0

Bagi persamaan ini dengan xr dan kemudian kumpulkan koefisien dari xm, maka didapat g

(r2

±

v 2)a0

+ [(r +

1)2

±

v 2]

a1x +

§[((r   m)

2

 v 2 )a  a m

m 2

]x m = 0

m !2

(r2 ± v 2)a0 = 0 [(r + 1)2 ± v 2] a1 = 0

Fungsi Bessel I.

1

g

§[((r   m)

2

 v 2 )a  a m

m 2

]= 0

m !2

karena a0 { 0, dari (r2 ± v 2)a0 = 0 diperoleh persamaan penunjuk  r2 ± v 2 = 0  r = ± v   begitu pula dari [(r + 1) 2 ± v 2] a1 = 0 di dapat a1 = 0. g

Sedangkan dari persamaan

§[((r   m)

2

 v 2 )a  a m

m2

] = 0 didapat rumus rekursi

m!2

(r + m ± v)(r + m + v) am = - am-2, untuk m = 2, 3, «

(1)

selanjutnya kita tinjau kasus r = v. Penyelesaian Terhadap Akar r1 = v  Untuk r = r1 = v maka rumus rekursi menjadi m(2v + m) am = - am-2, untuk m = 2, 3, « karena a1 = 0, maka diperoleh a3 = 0, a5 = 0, «, a2k-1 = 0, untuk k = 1, 2, « dengan syarat 2v + m { 0 untuk m = 2, 3, «. Gantikan m dengan 2m dalam rumus (1) memberikan a2m = 

1 2

2

m( v

 m)

a 2m  2

, untuk m = 1, 2, 3, «

(2)

dengan syarat v { - m. Dari (2) kita peroleh koefisien-koefisien a2, a4, « secara berurutan. ganti m dengan m-1 dalam (2), sehingga diperoleh a2m-2 = 

1 2 (m  1)(v  m  1) 2

a 2 m 4

dengan demikian a2m =

(1) 2 2 4 m(m  1)(v  m)(v  m  1)

a 2 m 4

apabila proses ini dilanjutkan, maka didapat a2m =

(1) m a 0 2 2 m m!(v  m)(v  m  1)...(v  1)

, untuk m = 1, 2, 3, «.

(3)

a0 masih sembarang, biasanya diambil

Fungsi Bessel I.

2

a0 =

1 2 +(v  1) v

dimana + adalah fungsi Gamma. Untuk keperluan di sini cukup kita ketahui bahwa +(E) didefinisikan oleh integral g

+(E ) ! ´ e t t E 1 dt 

(E > 0)

0

dengan integrasi parsial diperoleh g

+(E  1) ! ´ e

 t  E

t  dt  !

e

t 

g

A E ´ e

 t  E g 0

0

 t  E 1

t 

dt 

0

pernyataan pertama di ruas kanan adalah nol dan integral di ruas kanan adalah +(E). Ini menghasilkan hubungan dasar

+(E+1) = E +(E)

(4)

karena g

+(1) =

´e

 t 

dt  ! 1

0

kita simpulkan dari (4) bahwa

+(2) = +(1) = 1 !,

+(3) = 2+(2) = 2!,

«.

dan umumnya

+(k+1) = k!

untuk k = 0, 1, 2, «.

Ini menunjukkan bahwa fungsi gamma dapat dipandang sebagai generalisasi dari fungsi faktorial yang diketahui dari kalkulus elementer. Kita kembali pada masalah yang kita tinjau, (v+m)(v+m-1) « (v+1) +(v+1) = +(v+m+1)  jadi rumus untuk a2m pada (3) menjadi a 2m

a 2m

! !

(1) m 2 2m m!(v  m)(v  m  1)...(v  1)+ (v  1).2 v (1) m 2 v  2 m m!+(v  m  1)

Fungsi Bessel I.

, m = 0, 1, 2, «.

(5)

3

g

Dengan menentukan r = v dan substitusikan (5) ke y(x) =  x

r 

§a

 x

m

m

dan mengingat a2m-

m! 0

1

= 0, untuk m = 1, 2, «, maka didapat g

 y(x) =  x

v

§a

(1) m

g

2 m x

2m

=  x

v

m! 0

§2

m !0

v2 m

m!+ (v

 m  1)

 x

2m

fungsi ini dikenal sebagai fungsi Bessel jenis pertama orde v  dan ditulis dengan notasi J v (x). Jadi (1) m

g

J v (x) =  x v §

2

m !0

v2 m

m!+ (v

 m  1)

 x

2m

(6)

atau 2 4 « »  x  x J v (x) = ¬1  2(2v  2)  2.4(2v  2)( 2v  4)  ...¼ 2 +(v  1) ½

 x

v

v

dan berlaku untuk v yang bukan bilangan bulat negatif, atau (1) m

g

Jn(x) =  x

n

§2

m !0

n2 m

m!( n  m)!

 x

2m

Deret di ruas kanan pada (6) konvergen mutlak untuk setiap x (uji dengan tes hasil   bagi). Fungsi ini merupakan solusi persamaan diferensial (6) untuk v bukan bilangan  bulat negatif. Khususnya untuk v = 0, dari (6) diperoleh J0(x) = 1 

 x

2

2

2



 x

4

2

2 .4

2



2

2

x

6

4

2

6

2

 ...,

 yaitu fungsi Bessel orde nol. Sekarang kita tinjau kasus r = - v . Penyelesaian J-v  dari Persamaan Bessel Dengan mengganti v dengan ±v di (6), kita peroleh J-v (x) =

 x

v

(1) m

g

§2 m !0

Fungsi Bessel I.

2m v

m!+( m

 v  1)

 x

2m

(7)

4

Karena persamaan Bessel memuat v 2, maka fungsi-fungsi J v  dan J-v  merupakan penyelesaian-penyelesaian dari persamaan Bessel untuk v yang sama. Bila v bukan  bilangan bulat, maka J v  dan J-v  adalah bebas linear karena suku pertama di (6) dan suku pertama di (7) berturut-turut adalah kelipatan hingga yang tak nol dari x v  dan x-v . Ini memberikan hasil berikut. Teorema 1. (Penyelesaian umum persamaan Bessel) Jika v bukan bilangan bulat, maka penyelesaian umum persamaan Bessel untuk setiap x {

0 adalah

 y(x) = c1 J v (x) + c2 J-v (x). Tetapi jika v suatu bilangan bulat, maka y(x) = c1 J v (x) + c2 J-v (x) bukan penyelesaian umum. Ini diperoleh dari teorema berikut. Teorema 2. (Kebergantungan linear fungsi-fungsi Bessel J n dan J-n) Untuk bilangan bulat v = n, fungsi-fungsi Bessel J n(x) dan J-n(x) adalah bergantung linear karena J-n(x) = (-1) n Jn(x)

untuk n = 1, 2, 3, «.

Mohon untuk diingat: Fungsi eksponensial dapat digunakan untuk menyatakan fungsi-fungsi Jn(x). kita tahu  bahwa g

1

§ n! n!0

g

1

§ n!

(

 xt 

2

(

n!0

xt 

)n ! e 2

 xt 

2

)n ! e

 x2t 

 bila kedua deret itu kita perkalikan maka diperoleh  x

e

2

( t  1 ) t 

g

!

§  J  ( x) t 

n

n

n ! g

= J0(x) + J1(x) t + J2(x) t2 + J-1(x) t-1 + J-2(x) t-2 + «.   berlaku untuk setiap x dan t { 0. Jadi Jn merupakan koefisien dari uraian fungsi elsponensial di atas.

Fungsi Bessel I.

5