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Matemáticas Financieras

Rentas Perpetuas: Definición, Valor Presente, Valor Futuro, Costos Capitalizados, Costos Equivalente.

Rentas Perpetuas Es una anualidad cuyo plazo no tiene fin. Valores de las Rentas Perpetuas simples: 1. Cálculo del Valor Futuro de una renta perpetua 2. Cálculo del Valor Presente de una renta perpetua simple ordinaria 3. Cálculo del Valor Presente de las Rentas perpetuas simples anticipadas. 4. Valor Presente de las Rentas Perpetuas por pagar al final de cada cierto número de períodos de capitalización.

Valor Futuro de una renta perpetua

Debido a que nunca cesarán los pagos de una renta perpetua, resulta imposible calcular su valor futuro

Cálculo del Valor Presente de una renta perpetua simple ordinaria
 Sea la renta perpetua de $A, pagadera al final de cada período, a la tasa i por período:

Se deduce que el valor presente de la renta perpetua es aquella cantidad P que, en un período produce como intereses la suma A, es decir: A = P*i donde P = A * 1/i El factor 1/i es el valor presente de una renta

La fórmula anterior se puede obtener como: P = lim A 1-(1+i)-n n!∞ i P= lim A 1- 1/(1+i)n n!∞ i Como lim 1/(1+i)n = 0 n!∞

Valor Presente de las Rentas perpetuas simples anticipadas Cuando el pago de la renta perpetua es de inmediato, al dibujar el diagrama se observa que el valor actual es equivalente al de una renta perpetua vencida, aumentada en el primer pago que debe efectuarse de inmediato

De lo anterior se deduce que el valor presente de la renta perpetua anticipada es aquella cantidad P que, disminuida en la primera cuota A, produce como intereses la suma A, es decir: (P-A)*i = A De este modo, P = A/i + A Si el pago que debe efectuarse de inmediato es W

Ejemplo 1

En el testamento de una persona se establece que parte de sus bienes se invertirán de modo que el hospital de ancianos a perpetuidad, una renta P = A*reciba, 1/i A= 1.000.000 de $1.000.000 cada fin de año. Si la tasa de interés es del 8%, hallar el i=0,08 valor actual de la donación P = 1.000.000 /0,08 P = 12.500.000

Ejemplo 2

Al fallecer, una persona deja un legado a un Hospital, estipulando lo siguiente: $600.000 para la adquisición de ciertos equipos y $800.000 anuales para su mantenimiento. Hallar el valor actual del legado, si la tasa es del 8%.

Valor Presente de las Rentas Perpetuas por pagar al final de cada cierto número de períodos de capitalización

F = A [ (1+i)n -1] i Se reemplaza F = W , n=k W= A [ (1+i)k -1] i P = A * 1/i P= W*i [ (1+i)k -1]

* 1 i

El valor W de cada pago puede considerarse como el valor futuro de k pagos de valor A, efectuados al final de cada período de capitalización.

Ejemplo

Un municipio toma la decisión de crear un fondo para proveer a perpetuidad las reposiciones de un puente de madera cuyo costo es de $9.000.000. Los ingeniero estiman que será necesario reemplazarlo cada 12 años, a un costo de $5.460.000. Encontrar el valor requerido para el fondo a fin de proveer los reemplazos futuros, si la tasa de interés es del 7%

W= 5.460.000 i= 7% k=12 P= W [ (1+i)k -1] P = 5.460.000 (1+0,07)12 -1 P = 5.460.000 = 4.360.355

Capitalización

Esta expresión se acostumbra a utilizarse como sinónimo de valor presente en las rentas perpetuas. Por ejemplo, el valor capitalizado de un terreno arrendado en $1.500.000 mensuales por mes anticipado, a una tasa del 12% capitalizable mensualmente, es: A=1.500.000 P = A + A/i j=0,12 P= 1.500.000 + 1.500.000/0,01

Ejercicio

En una localidad, las inversiones rinden el 14%, con capitalización semestral. Un comerciante que muestra en sus libros una utilidad semestral de $25.000.000, en promedio de los últimos balances, ofrece en venta su negocio por $350.000.000. Determinar si es o no una oferta atractiva, e indicar el precio máximo que puede pagarse por el negocio

P = A* 1/i A=25.000.000 j=0,14 m=2 i=0,07 P= 25.000.000* 1/0,07

Costos Capitalizados

Es la suma de su costo original más el valor presente de la renta necesaria para la renovaciones futuras. La vida útil del activo se mide en períodos de capitalización de las inversiones. Sean: K= costo capitalizado C= costo original o inicial W= costo de cada reposición k= número de períodos de vida útil

El costo capitalizado es:

K=C+P = Cvalor + P presente de la renta perpetua, Donde P esK el K = las C +renovaciones W necesaria para futuras. [ (1+i)k -1]

Si W = C, se tiene: K=C+

C [ (1+i)k -1]

K = C[ (1+i)k – 1 + 1] [ (1+i)k -1] K= C*(1+i)k [ (1+i)k -1]

= C[(1+i)k -1] + C [ (1+i)k -1]

Ejemplo 1

Encontrar el costo capitalizado de una máquina que se compra por $4.000.000, si su vida útil es de 12 años, al final de los cuales debe reemplazarse al mismo costo inicial. El precio del dinero tiene una tasa efectiva del 8%.

K= C*(1+i)k [ (1+i)k -1] C=W= 4.000.000 k=12 i=8% K = 4.000.000*(1+0,08)12 = 10.072.680,47 [(1+0,08)12 -1] 1,51817012

Ejemplo 2

Encontrar el costo capitalizado de la maquina anterior, si al final de su vida útil tiene un valor de salvamento igual al 15% de su costo inicial. En este caso, el costo de reposición es igual al costo inicial menos el valor de salvamento.

K=C+

W [ (1+i)k -1]

C= 4.000.000 W=4.000.000*(0.85)=3.400.000 k=12 i=8% K= 4.000.000 + 3.400.000/(1,51817012)

K=6.239.538

Ejemplo 3

Un municipio debe tomar la decisión de construir un puente para lo cual tiene 2 alternativas: 1. construir un puente de madera con un costo de $6.000.000, cuya vida útil es de 10 años, al cabo de los cuales se debe reemplazar, al mismo costo 2. Construir un puente de madera y hierro con un costo de $10.000.000, cuya vida útil es de 25 años, al cabo de los cuales se debe reemplazar, con un costo de $8.000.000.-

Alternativa 1 K= C*(1+i)k [ (1+i)k -1]

C=6.000.000 i=8% K= 6.000.000*(1,08)10 [(1,08)10 -1] K= 12.953.549,98 1,15892500

k=10

Alternativa 2 K=C+

W [ (1+i)k -1]

C=10.000.000 W=8.000.000 k=25 K= 10.000.00 + 8.000.000 [(1,08)25 -1]

i=8%

Costos Equivalentes

Por medio de ecuaciones de costos equivalentes se puede dar respuesta a las preguntas: ¿Cuánto puede pagarse por un activo que prestará el mismo servicio que otro, si son diferentes sus vidas útiles y sus costos, tanto iniciales como de reposición? ¿Se justifica o no cierto gasto adicional, para prolongar la vida de un activo?

Ejemplo

Un equipo tiene un costo inicial de $2.400.000 y una vida útil de 10 años, al cabo de los cuales se debe sustituir, con el mismo costo. ¿Cuánto puede pagarse por un equipo similar que tiene una vida útil de 8 años y un costo de reposición igual al costo inicial, si la tasa efectiva es del 6%?

K= C*(1+i)k [ (1+i)k -1] K= 2.400.000(1,06)10 / (1,06)10 -1 K= 4.298.034,473 / 0,79084770 = 5.434.718,329 K = C (1,06)8 / (1,06)8 -1 K= C*1,59384808/0,59384808 K= C*2,68393238

Ejercicio 1

Un hospital recibió como legado una renta perpetua mensual de $200.000. Si la tasa de interés para las inversiones es del 6%, hallar el valor por el cual puede ceder sus derechos a la renta perpetua.

Ejercicio 2

Hallar el valor actual de una renta perpetua de $600.000 semestral con un primer pago inmediato, si la tasa de interés nominal es del 14%.

Ejercicio 3

Hallar el valor actual de una renta perpetua de $500.000 por año vencido, si la tasa de interés es del 8% capitalizable semestralmente.