Permutasi Dan Kombinasi

 

PERMUTASI DAN KOMBIN OMBINASI ASI

 

PERMUTASI

1. Permut er mutasi asi n unsur unsur dari dari n unsur unsur yang berbeda Permutasi n unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Pnn atau nPn) adalah banyak cara menyusun n unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia. tersedia. R um umus us :

nPn

= n!

 

PERMUTASI

Contoh 1. Tentukan banyak cara penyusunan kata dari huruf D I A N Penyelesain n = 4 maka R um umus us :

nPn

= n! : 4P4 = 4 X3 X2 X1 = 24 Penyusunan yang mungkin ada :

DIAN

INDA

NADI

ANDI

DINA

INAD

NAID

ANID...

= 4 X3 X 2X 1 = 24 DANI

IAND

...

...

DAIN

IADN

...

...

DNAI

...

...

...

DNIA

...

...

...

 

PERMUTASI

Contoh 2. Tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dari angka 5, 7, dan 9, jika tidak boleh ada angka yang sama ! Penyelesaian n = 3 maka nPn

= n! = 3P3

=3x2x1=6

Susuan angka yang mungkin adalah : 579

795

957

597

759

975

 

Permutasi susunan yang dibentuk dari anggota ang gota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari susunan n! n

 P  r 



n



r 

!

 

•

Contoh Himpunan {a,b,c} diambil 3 anggota, diperoleh susunan: abc; acb; bac; bca; cab; cba

3

 P 2

3! 

 

3







6

3 !

diambil 2 anggota, diperoleh susunan: ab; ba; bc; cb; ac; ca  P 2

3

3! 

 

3





2 !



6

 

•

  Contoh

Berapa banyak carakah carakah cabang dari PII menjadwalkan 3 pembicara untuk 3 pertemuan yang berbeda bila mereka hadir pada masing-masing dari 5 janji yang mungkin? Penyelesaian:

Jumlah total jadwal yang mungkin adalah

 P 3

5

5!   



2!

 5  4  3



60

 

Contoh : Banyaknya Banyakn ya ccara ara pen penyusunan yusunan pengurus yang terdiri terdiri dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara yand diambil dari 5 orang calon adalah .....

Penyelesaian : Banyak calon pengurus 5 orang, n = 5 Banyak pengurus yang akan dipilih 3, r = 3 Maka nPr = n! (n-r)! . r! = 5! = 5.4 .3! =

(5-3)!.3! 10 cara

2!. 3!

 

PERMUTASI memuat unsur yang  sama •

Permutasi dari sebagian anggota yang sama. Banyakny Bany aknya a permutasi yang berlainan berla inan dari n sampel bila n1 berjenis I, n2 berjenis II, …, nk berjenis k diberikan oleh n! k1! . k2! . k3!

 

PERMUTASI Contoh Berapa kata bisa disusun dengan semua huruf pada kata matematika. Penyelesaian : Matematika : semua huruf 10 buah, huruf yang sama Matematika adalah m = 2 huruf, huruf, huruf a ada 3, dan huruf t ada 2 Maka Permutasi dengan beberapa unsur yang sama = nPk1,k2,k3 = n! = =

k1! . k2! . k3! 10! = 2! . 3! . 2!

= 10.9.8.7.6.5.4.3! = 10.9.8.7.6.5 = 151.200 (2x1). 3! (2x1)

 

 ermut si siklis

Permutasi siklis dari n unsur yang berbeda memp me mper erti timb mban angk gkan an temp tempat at kedu kedudu duka kan n u nsu r dni uns lingskur arters anrseb tebu erh p upat nsu r la seba eb ab un te ua td da item itempa tkan ka ninnya seca se cara ra meli meling ngka karr. Bany Banyak ak perm permut utas asii sikl siklis is dari n un unsur adalah sebagai berikut : R um umus us :

nP(siklis)

= (n  – 1)!

 

PERMUTASI siklis Contoh Suatu ra Sua rapa patt diha dihad diri ole oleh 5 oran orang g pese pesert rta a yang ang dudu duduk k melin eling gkar. ar. Denga ngan bera berap pa cara ara merek ereka a dapa dapatt dudu duduk k deng de ngan an ur urut utan an yang yang berb berbed eda a   ….   enyeles i n 5P(siklis)

= (5  – 1) !

5P(siklis)

= 4 ! = 4. 3. 2 = 24 cara

 

PERMUTASI siklis Contoh 2. Tuj ujuh uh oran orang g term termas asuk uk si A, B B,, da dan n C dudu duduk k meng mengel elil ilin ingi gi me meja ja bu bund ndar ar.. Ada Ada bera be pa fo form rmas asii du dudu duk k be berb rbed eda a ji jika ka A, B, d dan an C se sela lalu lu du dudu duk k be berd rdam ampi ping ngan an ….rapa

Penyelesaian  Ada 7 orang tapi 3 orang selalu berdampingan berdampingan n = 5 1 Bany Ba nyak akny nya a cara cara me mere reka ka dudu duduk k adal adalah ah 5P(siklis) 5P(siklis)

= (5  – 1) ! = 4 ! = 4. 3. 2 = 24 cara

A B

2

C 3

4

Oleh karena A,B,C selalu duduk berdampingan maka mereka mempunyai cara bersusun bersusun 3 ! = 3 x 2 x 1 = 6 cara. Maka Banyaknya Banyaknya cara bersus bersusun un 7 orang dimana 3 orang selalu berdampingan adalah 5P(siklis)

= (5  – 1) ! . 3 ! = 24 x 6 = 144 cara

 

Kombinasi susunan yang dibentuk dari anggota ang gota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan tanpa memberi arti pada urutan anggota dari susunan  n  n! C r      n  r  r !n  r !     Contoh: himpunan {a,b, {a,b,c} c} diambil 2 anggota, diperoleh susunan: ab; bc; ca {Permutasi {Permut asi ab = ba; bc = cb; ca = ac}

 

Contoh : Banyaknya Banyakn ya ccara ara pen penyusunan yusunan pengurus yang terdiri terdiri dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara yand diambil dari 5 orang calon adalah .....

Penyelesaian : Banyak calon pengurus 5 orang, n = 5 Banyak pengurus yang akan dipilih 3, r = 3 Maka nCr = n! r!.. (n r! (n-r -r)! )! = 5! = 5.4 .3! =

3!. (5-3)! 10 cara

3!. 2!

 

Contoh

Seorang siswa diharus ruskan mengerjakan 7 dari 10 soal, tetapi nomor 1 sampai 5 wajib dikerjakan . Banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa adalah…. Peny Pe nyel eles esai aian an : .

Dearrai r1 airsuas udnitkuekrja mppaai i 1d0e,nbgearnar5 b ti 0yasnogaltehrs dk ipailnih N no o 61 ssaam ti 5 dipilih 2 Maka : nCr =

n (n-r)! . r !

= 5C2 =

5! (5-2)!. 2!

= 5 x4 x 3!

= 10

(5-2)! . 2!

Jadi ada 10 kombinasi dapat dikerjakan untuk memilh soal yang akan dikerjakan dikerjakan

 

Cont Co ntoh oh so soal al USOP

KAMI SIAP MENGIKUTI UJIAN HARI INI!!!

 Jika guru penguji akan memanggil 2 orang sekaligus untuk di uji. Banyak susunan yang mungkin adalah?

 Analisis:  Jika guru penguji memanggil Sanji dan Nami untuk  mengikuti ujian, hal ini sama saja dengan guru tersebut memanggil Nami dan Sanji. Kasus ini adalah jenis kasus  yang tidak memperhatikan urutan.

 

 Jawab : Ban Ba nyak yak susu susuna nan n ber erbe beda da yang mungk ngkin da dap pat kit ita a data data sep seperti erti ini ini : 1. Sanji-Nami

2. Sanji-Luffy 

5. Nami-Luffy 

8. Luffy-Zorro

6. Nami-Zorro

9.

7. Nami-Usop

10. Zorro-Usop

Luffy-Usop

3. Sanji-Zorro

4. Sanji-Usop

 Jadi banyak susunan berbeda yang mungkin adalah 10 susunan

 

Sekali lagi, cara mendata demikian akan membutuhkan  waktu yang cukup lama, apalagi bila objeknya banyak. Maka sebaiknya gunakanlah Rumus Umum Kombinasi :

Sehingga menjadi

 Jadi banyak susunan berbeda yang mungkin adalah 10 susunan

 

Ada be Ada berrapa apa ba ban nyak cara ara un untu tuk k3p pri ria, a, 5 w wan anit ita, a, 4 pemu mud da dan 4 gadis dapat dipilih dari 7 pria ia,, 9 wanita, wanit a, 5 pem pemuda uda,, dan 5 g gadi adiss jik jika: a: a. Se Semu mua ao orran ang gb beb ebas as pa pada da masi masing ng-ma -masi sing ng kelompok b. Seo Seorrang pri pria, a, 1 wa wanit nita, a, 1 pem pemuda uda,, d dan an 1 or orang ang gadis ttidak: boleh dipilih. Penyelesaian a. Se Semu mua ao orran ang gb beb ebas as pa pada da masi masing ng-ma -masi sing ng kelompok Banyak Bany ak cara == 7C3 * 9C5 * 5C4 * 5C 5C4 4= 35*126*5*5 110250 cara. b. Seorang pria, 1 wanita, 1 pemuda, dan 1 orang gadis tidak boleh dipilih Banyak akcar cara =Bany 1120 cara. a. = 6C3 * 8C5 * 4C4 *4C4= 20*56*1*1

 

Tugas !!! 1. Di sebuah kantor terdapat empat orang staff yang ya ng dica dirsi calo an untu tuk ktuka meng me ngisi isinyak keko keak koso song ngan anng du dua a ku kurs i lonk peja penkan jaba battun .T Ten entu kan n ba bany cara ca ra ya yang bisa dipakai untuk mengisi kekosongan  jabatan tersebut? 2. Sebuah tim basket memiliki 11 orang pemain. Dala Da lam m suat suatuu pe pert rtaand ndin inggan ak akan an dipi dipililihh 6 ora rang ng seba se baga gaii pema pemain in cada cadang ngan an.. Be Bera rapa pa ba bany nyak ak cara ca raka kahh untuk ntuk memi memililihh pem emaain cada cadang ngaan

 

3. Dalam sebuah ujian seorang mahasiswa wajib

mengerjakan 5 soal dari 8 soal yang tersedia. Berapa banyak carakah yang mungkin untuk memilih soal yang akan dikerjakan?