Permutaciones y Combinaciones

 

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

CURSO: CA4-5

ASIGNATURA:: ESTADÍSTICA IIII ASIGNATURA

 TEMA: Permuta! Permuta!"#e$% "#e$% "m&!# "m&!#a!"#e$% a!"#e$% tr!' tr!'#(u)" #(u)" *e +a$ +a$a) a) , e+a#$ e+a#$!.# !.# *e )a $um $uma a *e u# &!# &!#"m!" "m!"

NOMBRE DEL ESTUDIANTE: /a0!er Puru#a1a$

2u!t"% Otu&re 33 *e) 36 Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones: •

Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".

•

Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar

primero y  segundo  segundo a la vez. 1. ermutaciones con repetici!n on las m#s $#ciles de calcular. i tienes n cosas para elegir y eliges r  de  de ellas, las permutaciones posibles son:

 

n × n × ... (r veces) = n r

%orque &ay n posibilidades para la primera elecci!n, '()* &ay n posibilidades para la segunda elecci!n, y así.+ or ejemplo en la cerradura de arriba, &ay 1 n-meros para elegir %,1,...,+ y eliges 3 de ellos: e llos: 10 × 10 × ... (3 veces) = 10 3 = 1000 permutaciones permutaciones

/sí que la $!rmula es simplemente: r

n

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r  de  de ellas (Se puede repetir, el orden importa)

0. ermutaciones sin repetici!n (n este caso, se reduce el n-mero de opciones en cada paso. or ejemplo, c!mo podrías ordenar 12 bolas de billar 'espu4s de elegir por ejemplo la "15" no puedes elegirla otra vez. /sí que tu primera elecci!n tiene 12 posibilidades, y tu siguiente elecci!n tiene 16 posibilidades, despu4s 15, 13, etc. 7 el total de permutaciones sería: 16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,!9,!!!,000

ero a lo mejor no quieres elegirlas todas, s!lo 3 de ellas, así que sería solamente: 16 × 15 × 14 = 3360

(s decir, &ay 3,32 maneras di$erentes de elegir 3 bolas de billar de entre 12. ero c!mo lo escribimos matem#ticamente 8espuesta: usamos la "$unci!n "$unci!n $actorial" $actorial" La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos: •

! "  # $ # % # & " %

•

'! " ' #  #  #  # $ # % # & " **

•

&! " &

 

 +ota: en general se est est de acuerdo en que 0! = 1. -uede que pareca curioso que no multiplicar ningún número d/ &, pero ayuda a yuda a simplificar muc0as ecuaciones.

/sí que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían: 16" = 20,922,!9,!!!,000 20,922,!9,!!!,000

ero si s!lo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar despu4s de 15. 9!mo lo escribimos Hay un buen truco... dividimos entre 13... 16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...

  = 16 × 15 × 14 = 3360 13 × 12 ...

;o ves 16" # 13" = 16 × 15 × 14 ;a $!rmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r  de  de ellas (+o se puede repetir, el orden importa)

(jemplos: Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 12" sería: 16"

16"

< (16$3)"

20,922,!9,!!!,000

<

= 3360

13"

6,22,020,!00

'e cu#ntas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 1 personas 10"

10"

< (10$2)"

3,62!,!00

< !"

= 90 40,320

%que es lo mismo que:  10 × 9 = 90+ Notaci!n (n lugar de escribir toda la $!rmula, la gente usa otras notaciones como:

Combinaciones

 

=ambi4n =a mbi4n &ay dos tipos de co combinaciones mbinaciones %recuerda que a&ora el orden no importa+: •

Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo %6,6,6,1,1+

•

Sin repetición: como n-meros de lotería %0,15,16,0>,3,33+

1. 9ombinaciones con repetici!n (n realidad son las m#s di$íciles de e?plicar, así que las dejamos para luego. 0. 9ombinaciones sin repetici!n /sí $unciona la lotería. ;os n-meros se eligen de uno en uno, y si tienes los n-meros de la suerte %da igual el orden+ @entonces &as ganado ;a manera m#s $#cil de e?plicarlo es: e s: •

imaginemos que el orden sí importa %permutaciones+,

•

despu4s lo cambiamos para que el orden no importe.

Aolviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qu4 3 bolas se eligieron, n no o el orden. 7a sabemos sabemos que 3 de 12 dan 332 permutaciones. ero muc&as de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden. or ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 0 y 3. ;as posibilidades son: (l orden im importa 103 130 013 031 310 301

(l orden no importa

103

/sí que las permutaciones son 2 veces m#s posibilidades. 'e &ec&o &ay una manera $#cil de saber de cu#ntas maneras "1 0 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. ;a respuesta es: 3" = 3 × 2 × 1 = 6

%Btro ejemplo: 5 cosas se pueden ordenar de 4" = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, @prueba t- mismo+ /sí que s!lo tenemos que ajustar nuestra $!rmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos %porque no n o nos interesa ordenarlos+:

 

(sta $!rmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes par4ntesis, así:

n

donde  es el número der cosas que puedes elegir, y eliges  de ellas  de (+o se puede repetir, el orden no importa)

7 se la llama "coe$iciente binomial". Notaci!n /dem#s de los "grandes par4ntesis", la gente tambi4n usa estas notaciones:

(jemplo (ntonces, nuestro ejemplo de bolas de billar %a&ora sin orden+ es: 16"

16"

20,922,!9,!!!,000

< 3"(16$3)"

<

= 560

3"×13"

6×6,22,020,!00

B lo puedes &acer así: 16×15×14

3360

< 3×2×1

= 560 6

/sí que recuerda, &az las permutaciones, despu4s reduce entre " r"" ... o mejor todavía... @8ecuerda la $!rmula (s interesante darse cuenta de que la $!rmula es bonita y sim%trica:

9on otras palabras, elegir 3 bolas de 12 da las mismas combinaciones que elegir e legir 13 bolas de 12.

 

16"

16"

16"

< 3"(16$3)"

< 13"(16$13)"

= 560 3"×13"

1. 9ombinaciones con repetici!n BC, a&ora vamos con este... 'igamos que tenemos cinco sabores de &elado: &anana, c'ocoate, imón, resa * vainia. uedes tomar 3 paladas. 9u#ntas variaciones &ay Aamos a usar letras para los sabores: Db, c, l, $, vE. /lgunos ejemplos son •

Dc, c, cE %3 de c&ocolate+

•

Db, l, vE %uno de banana, uno de lim!n y uno de vainilla+

•

Db, v, vE %uno de banana, dos de vainilla+

%7 para dejarlo claro: &ay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas. (l orden no importa, @y s+ puedes repetir+ Fien, no puedo decirte directamente c!mo se calcula, pero te voy a enseGar una t%cnica especia  para que lo averiges t- mismo. Imagina que el &elado est# en contenedores, podrías decir "s#ltate el primero, despu4s 3 paladas, despu4s s#ltate los 3 contenedores siguientes" @y acabar#s con 3 paladas de c&ocolate  

(ntonces es como si ordenaras a un robot que te trajera &elado, pero no cambia nada, tendr#s lo que quieres.

/&ora puedes escribirlo como

%la $lec&a es saltar saltar,, el círculo es tomar+

(ntonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así: Dc, c, cE %3 de c&ocolate+: Db, l, vE %uno de banana, uno de lim!n y uno de vainilla+: Db, v, vE %uno de banana, dos de vainilla+: BC, entonces ya no nos tenemos que preocupar por di$erentes sabores, a&ora tenemos un problema más simple para resolver: "de cu#ntas maneras puedes ordenar $lec&as y círculos" Jíjate en que siempre &ay 3 círculos %3 paladas de &elado+ y 5 $lec&as %tenemos que movernos 5 veces para ir del contenedor 1K al 6K+. /sí que %en general+ &ay r + (n-1) posiciones, y queremos que r  de  de ellas tengan círculos.

 

(sto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r  de  de ellas". (s decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con n-meros un poco distintos. ;o podrías escribir así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r  de  de ellas (Se puede repetir, el orden no importa)

(s interesante pensar que podríamos &abernos $ijado en $lec&as en vez de círculos, y entonces &abríamos dic&o "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan $lec&as", y la respuesta sería la misma...

Lu4 pasa con nuestro ejemplo, cu#l es la respuesta (53$1)"

"

< 3"(5$1)"

5040

< 3"×4"

= 35 6×24

- trin/uo de asca

)na de las pautas de n-meros m#s interesantes el es tri#ngulo de ascal %llamado así en &onor de Blaise Pascal , un $amoso matem#tico y $il!so$o $ranc4s+. ara construir el tri#ngulo, empieza con "1" arriba, y pon n-meros debajo $ormando un tri#ngulo. 9ada n-mero es la suma de los dos n-meros que tiene encima, menos los e?tremos, que son siempre "1". %/quí est# remarcado que 13 = 4+ Pautas en el triángulo

 

'iagonales ;a primera diagonal es, claro, s!lo "unos", y la siguiente son todos los n-merosconsecutivamente n-meros consecutivamente %1,0,3, etc.+ ;a tercera diagonal son los n-meros triangulares %;a cuarta diagonal, que no &emos remarcado, son los n-meros tetra4dricos.+ tetra4dricos .+

ares e impares i usas distintos colores para los n-meros pares e impares, obtienes un patr!n igual al =ri#ngulo i#ngulo de ierpinsMi del =r

umas &orizontales Notas algo en las sumas &orizontales Hay alg-n patr!n @(s increíble e dobla cada vez %son las potencias de potencias de 0+.

ucesi!n de Jibonacci -rueba esto: empiea con un & de la iquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesi1n de 2ibonacci. (La sucesi1n de 2ibonacci se 0ace sumando dos números para conseguir el

 

imetría El tringulo es  es sim/trico, sim/trico, esto quiere decir que se 3e igual desde la derec0a que desde la iquierda

Usar el triángulo de Pascal

9aras y cruces (l tri#ngulo de ascal te dice cu#ntas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. /sí puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinaci!n. or ejemplo, si tiras una moneda tres veces, s!lo &ay una manera de sacar tres caras %999+, pero &ay tres maneras de sacar dos caras y una cruz %99, 99, 99+, tambi4n tres de sacar una cara y dos cruces %9, 9, 9+ y s!lo una de sacar tres cruces %+. (sta es la pauta "1,3,3,1" en el tri#ngulo de ascal. Tiradas

Resultados posibles (agrupados)

Triángulo de Pascal



7  T

% 

3

77 7T T7  TT

% 3% 

6

4

 

777 77T% 7T7% T77 7TT% T7T% TT7  TTT 7777 777T% 77T7% 7T77% T777 77TT% 7T7T% 7TT7% T77T% T7T7% TT77 7TTT% T7TT% TT7T% TTT7  TTTT  TTT T

% 6% 6% 

% 4% 8% 4% 

999 et 999

u es a pro&a&iidad de sacar eactamente dos caras con 4 monedas

Hay 1O5O2O5O1 < 12 %o 5P5.6R 9ombinaciones (l tri#ngulo tambi4n muestra cu#ntas combinaciones combinaciones de  de objetos son posibles. or ejemplo, si tienes 12 bolas de billar billar,, de cu#ntas maneras puedes elegir tres de ellas %sin &acer di$erencia del orden en que las eliges+ 8espuesta: baja a la $ila 12 %la primera es la $ila +, y mira 3 lugares a la derec&a, allí est# e st# la respuesta, 62. /quí tienes un trozo del tri#ngulo en la $ila 12: 1 1 1

14 15

16

91 105

364 455

560 

120

...

1365

1820

...

4368

...

olinomios (l tri#ngulo de ascal tambi4n te da los coe$icientes en la e?pansi!n de un binomio: Potencia

Expansión polinomial

Triángulo de Pascal

3

 ; 