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Combinatoria y Permutaciones
Estimados Alumnos Olímpicos: Esta es la Tercera Semana y última semana de entrenamiento, y nos toca Combinatoria. Para esta sesión no les envío problemas como las dos semanas anteriores, más bien les envío ejercicios acompañados de teoría, con la intención de que identifiquen y clarifiquen la diferencia entre Combinatoria y Permutación, cuando pueden utilizar una y otra. Los ejercicios los deben de resolver y justificar en hojas blancas, explicando todo su proceso de solución, tal y como lo hicieron en las dos sesiones anteriores, de modo tal que el sábado 1 de marzo que nos veamos en la Técnica 1 de Tlaxcala, ustedes lleven las soluciones de sus ejercicios, para que revisemos sus procesos y analicemos otras estrategias de solución. En total son 44 ejercicios, TODOS SON PARA LOS CUATRO NIVELES, es decir, desde primaria hasta secundaria deben resolver el mayor número de ejercicios que puedan. Finalmente, les recuerdo que el sábado 8 de marzo será el examen selectivo final. Aplíquense con todas sus ganas para ganarse un lugar para la Olimpiada Nacional. Les envió un saludo y les deseo el mejor de los éxitos Mauro Cote Moreno
Permutaciones y Combinaciones Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
COMBINACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. PERMUTACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación. Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario. b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero). Tesorero) . Solución:
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Combinatoria y Permutaciones
a) Suponga que por unanimidad se ha ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente). ¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas? Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos. b) Suponga que se han nombrado nombrad o como representantes del de l salón a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuación: CAMBIOS PRESIDENTE: Daniel
Arturo
Rafael
Daniel
SECRETARIO: Arturo
Daniel
Daniel
Rafael
TESORERO:
Rafael
Arturo
Arturo
Rafael
Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la misma representación? Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, ¿importa el orden de los elementos en los arreglos?. La La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones. A continuación obtendremos las fórmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas. n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n. n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n Ejemplo. 10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800 8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320 6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc. Obtención de fórmula de permutaciones. Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.
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¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes? Solución: Haciendo uso del principio multiplicativo, 14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar. Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces. 14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1) si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces = n x (n – 1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)! = n!/ (n – r)! Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:
Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes. Entonces, ¿qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta? Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces. nPn= n!/ (n – n)! = n! / 0! = n! / 1 = n! Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces nPn= n!
Ejemplos: 1)
¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.
Solución: Por principio multiplicativo:
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25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc. Por Fórmula: n = 25, 25P5
r=5
= 25!/ (25 – 5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)=
= 6,375,600 maneras de formar la representación 2) a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno? Solución: a. Por principio multiplicativo: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera Por Fórmula: n = 8, r = 8 8P8=
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida ......etc., etc.
b. Por principio multiplicativo: 8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera Por fórmula: n =8, r = 3 8P3 =
8! / (8 – 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera 3)
¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.
Solución: a. Por fórmula n = 6, 6P3 =
r=3 6! / (6 – 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles
Nota: este inciso también puede ser resuelto por el principio multiplicativo b. Por el principio multiplicativo 6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles ¿Cuál es la razón por la cual no se utiliza en este caso la fórmula?. No es utilizada debido a que la fórmula de permutaciones sólo se usa cuando los objetos no se repiten, esto quiere decir que en el inciso Prof. Mauro Cote Moreno Programa de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático SEP-ANPM http://www.septlaxcala.gob.mx www.anpmtlaxcala.com.mx
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a. Los puntos generados siempre van a tener coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden tener valores diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas las coordenadas un mismo valor ejem. (1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc. 4)
a. ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel José Esparza?, c. ¿Cuántas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar Luna?
Solución: a. Por fórmula: n = 12, r = 5 12P5 =
12! / (12 – 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones
de juego
a. Por principio multiplicativo: 1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego Por fórmula: 1 x 11P4 = 1 x 11! / (11 – 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9 x 8 = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel José en una determinada posición a. Por principio multiplicativo 1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego Por fórmula: 1 x 1 x 10P3 = 1 x 1 x 10! / (10 – 3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel José y Omar Luna en posiciones previamente definidas 5)
Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números, c. ¿Cuántas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el número 6?, d. ¿Cuántas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar?
Solución: a. Por principio multiplicativo: 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves de acceso Por fórmula: 26P2 x 10P5 =
a.
26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6=19,656,000 claves de acceso
Por fórmula:
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1 x 25P1 x 9P4 x 1 = 1 x 25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de acceso que empiezan por la letra A y terminan por el número 6 b.
Por fórmula:
1 x 1 x 9P4 x 5 = 1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120 claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar.
Permutaciones UNA COM I DA GRATI S
Diez jóvenes decidieron celebrar la terminación de sus estudios en la escuela secundaria con un almuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el orden en que habían de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocación fuera por orden alfabético; otros, con arreglo a la edad; otros, por los resultados de los exámenes; otros, por la estatura, etc. La discusión se prolongaba, la sopa se enfrió y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcilió el camarero, dirigiéndoles las siguientes palabras: - Jóvenes amigos, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continuó: - Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y así sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo les convidaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos y escogidos. La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos distintos, posibles, de colocación alrededor de la mesa, con el objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas. Sin embargo, no lograron llegar hasta ese día. Y no porque el camarero no cumpliera su palabra sino porque el número total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande. Éstas son exactamente 3’628,800. Es fácil calcular, que este número de días son casi 10,000 años.
Principios básicos de conteo A menudo nos encontramos con preguntas del tipo ¿Qué proporción de...? ¿Cuál es la probabilidad de...? ¿De cuántas maneras se puede...? Muchas veces, para responder, se necesita un pensamiento sistemático y un poco de información adicional; por ejemplo, ¿Cuántas rutas diferentes puedo usar para ir de Mérida a México? o ¿De cuántas maneras pueden quedar los 3 primeros puestos en una carrera de 6 caballos? Hay técnicas y principios matemáticos útiles en situaciones variadas, pero muchas preguntas se pueden responder directamente, contando en forma sistemática, es decir, listando todos los posibles resultados en un orden sistemático, para luego contar cuántos son, o desarrollando reglas de conteo. Algunas Prof. Mauro Cote Moreno Programa de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático SEP-ANPM http://www.septlaxcala.gob.mx www.anpmtlaxcala.com.mx
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soluciones parecen ingeniosas cuando se ven por primera vez (y muchas veces lo son) pero, como decía Juerguee Polya, cuando podemos aplicar nuevamente estos métodos ingeniosos en problemas similares y en situaciones relacionadas entre sí, hemos desarrollado una técnica. Enunciaremos algunos principios que nos ayudarán a resolver muchísimos problemas de conteo, daremos ejemplos de cómo usar estos principios y finalmente veremos algunos métodos menos rutinarios y más ingeniosos.
Principio de Adición. Ejemplo 1: Cinco empresas de transporte terrestre tienen servicio diario entre Mérida y México. Tres empresas de aviación tienen vuelo diario entre Mérida y México. En consecuencia, hay 5+3 maneras de ir de Mérida a México en avión o en autobús. En los problemas de conteo, la palabra "o" se traduce en suma. El principio general es: “Si dos operaciones son mutuamente excluyentes (es decir, si solo una de ellas puede ocurrir) y si la primera se puede hacer de n maneras diferentes y la segunda operación se puede hacer de m maneras diferentes, entonces hay n + m maneras de realizar la primera o la segunda operación.”
Ejemplo 2: Si tengo una moneda de $50, una de $100, una de $200 y una moneda de $1000, ¿Cuál es el número total de precios que puedo pagar usando alguna o todas mis monedas? Este es un buen ejemplo de una situación en la que se necesita un listado sistemático. Como tenemos 4 monedas, debemos considerar 4 casos. Éstos son, los precios que podemos cubrir con 1 moneda, con 2 monedas, con 3 monedas y con 4 monedas. Debemos examinar cada uno de estos casos y luego aplicar el principio de adición.
Con 1 moneda podemos tener 4 precios: $50, $100, $200 y $1000.
Con 2 monedas, podemos listar sistemáticamente las combinaciones: Las que tienen $50 son: $50 + $100 = $150, $50+$200 = $250, $50 + $1000 = $1050 Las que tienen $100 y no hemos listado aún: $100 + $200 = $300, $100+$1000 = 1100 Y las que tienen $200 y tampoco hemos listado: $200 + $100 = $1200
Con 3 monedas, listamos todas las combinaciones (una para cada moneda que falta): $50 + $100 + $200 = $350 (falta la de $1000) $100 + $200 + $1000 = $1300 (falta la de $50) $50 + $200 + $1000 = $1250 (falta la de $100) $50 + $100 + $1000 = $1150 (falta la de $200)
Con las cuatro monedas $ 50 + $100 + $200 + $1000 = $1350
Todos los precios obtenidos son diferentes, luego la respuesta es 4+6+4+1=15 precios posibles.
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EJERCICIOS 1. ¿Cuántos grupos de 2 o más personas se pueden formar con 4 personas? 2. ¿Cuántos son los números enteros positivos de dos o tres dígitos?
Principio de Multiplicación. “Si una operación se puede hacer de n maneras
diferentes y si en cada caso, una segunda operación se puede hacer de m maneras diferentes, entonces hay mn (m por n) maneras de realizar las dos operaciones”
Ejemplo 1. El menú de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. ¿De cuántas maneras se puede elegir un almuerzo de 1 plato caliente y 1 postre? Podríamos hacer una lista de todas las posibilidades, pero será mucho más cómodo aplicar el principio de la multiplicación: Hay 3 maneras de elegir el plato caliente y para cada una de ellas hay 4 maneras de elegir el postre. Por lo tanto, hay 3 4 12 comidas posibles.
Ejemplo 2. ¿Cuántos códigos de una letra y un número de un dígito se pueden formar con las 26 letras del alfabeto y los números 0, 1, 2,...,9? Podríamos listar todas las posibilidades: A0 A1 .... A9 B0 B1 .... B9
Z0
Z1
hasta obtener 26 filas de 10 códigos en cada una:
.... Z9
26 10
260.
Es más simple utilizar el principio de multiplicación: hay 26 maneras de elegir la letra y para cada una de ellas hay 10 maneras de elegir el número, de modo que son 26 10 260 códigos.
Observemos que en los 2 ejemplos hay total libertad de elegir el segundo elemento, no importa cómo se eligió el primero. Es decir, el segundo elemento es independiente del primero. Elegido el plato caliente, podemos elegir cualquiera de los 4 postres. Elegida la letra podemos agregarle cualquiera de los 10 números. Este principio es útil cuando se puede descomponer el proceso de recuento en pasos independientes.
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Ejemplo 3. Del problema inicial de los 10 comensales, posiblemente a ustedes les parecerá increíble que 10 personas puedan colocarse en un número tan elevado de posiciones diferentes. Comprobemos el cálculo. Ante todo, hay que aprender a determinar el número de combinaciones distintas, posibles. Para mayor sencillez empecemos calculando un número pequeño de objetos, por ejemplo, tres. Llamémosles A, B y C. Deseamos saber de cuántos modos diferentes pueden disponerse, cambiando mutuamente su posición. Hagamos el siguiente razonamiento. Si se separa de momento el objeto C, los dos restantes, A y B, pueden colocarse solamente en dos formas. Ahora agreguemos el objeto C a cada una de las parejas obtenidas. Podemos realizar esta operación tres veces: 1. Colocar C detrás de la pareja, 2. Colocar C delante de la pareja, 3. Colocar C entre los dos objetos de la pareja. Es evidente que no son posibles otras posiciones distintas para el objeto C, a excepción de las tres mencionadas. Como tenemos dos parejas, AB y BA, el número total de formas posibles de colocación de los tres objetos será: 2 3 6 Ahora hagamos el cálculo para 4 objetos, llamémosles A, B, C y D, y separemos de momento uno de ellos, por ejemplo, el objeto D. Efectuemos con los otros tres todos los cambios posibles de posición. Ya sabemos que para tres, el número de cambios posibles es 6. ¿En cuántas formas diferentes podemos disponer el cuarto objeto en cada una de las 6 posiciones que resultan con tres objetos? Evidentemente, serán cuatro. Podemos: 1. Colocar D detrás del trío, 2. Colocar D delante del trío, 3. Colocar D entre el 1º y de 2º objetos, 4. Colocar D entre el 2º y 3º.
Obtenemos en total: 6 4 24 posiciones, pero teniendo en cuenta que 6 2 3 y que 2 1 2 , entonces podemos calcular el número de cambios posibles de posición haciendo la siguiente multiplicación: 1 2 3 4 24
Razonando de manera idéntica, cuando haya 5 objetos, hallaremos que el número de formas distintas de colocación será igual a: 1 2 3 4 5 120 Para 6 objetos será: 1
2 3 4 5 6
720
y así sucesivamente.
Volvamos de nuevo al caso antes citado de los 10 comensales. Sabremos el número de posiciones que pueden adoptar las 10 personas alrededor de la mesa, si nos tomamos el trabajo de calcular el producto siguiente: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Resultará el número indicado anteriormente: 3’628,800. El cálculo sería más complicado, si de los 10 comensales, 5 fueran muchachas y desearan sentarse a la mesa alternando con los muchachos. A pesar de que el número posible de combinaciones se reduciría en este caso considerablemente, el cálculo sería más complejo. Supongamos que se sienta a la mesa, indiferentemente del sitio que elija, uno de los jóvenes. Los otros cuatro pueden sentarse, dejando vacías para las muchachas las sillas intermedias, adoptando 1 2 3 4 24 formas diferentes. Como en total hay 10 sillas, el primer joven puede ocupar 10 sitios distintos. Esto significa que el número total de combinaciones posibles para los muchachos es de 10 24 240 .
¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en las sillas vacías, situadas entre los jóvenes las 5 muchachas? Evidentemente serán:
1 2 3 4 5 120
Combinando cada una de las 240 posiciones de los muchachos, con cada una de las 120 que pueden adoptar las muchachas, obtendremos el número total de combinaciones posibles, o sea 240 120 28,800 . Este número, como vemos, es muchas veces inferior al que hemos citado antes y se necesitaría un total de 79 años. Los jóvenes clientes del restaurante, que vivieran hasta la edad de cien años, podrían asistir a una comida, servida gratis, sino por el propio camarero, al menos por uno de sus descendientes.
EJERCICIOS 1. ¿De cuántas maneras se pueden formar en fila 5 estudiantes? 2. ¿De cuántas maneras puede resultar un sorteo que consta de un primer premio y un segundo premio en una clase de 25 alumnos? 3. ¿Cuántos enteros entre 100 y 999 tienen todos sus dígitos distintos? 4. ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar usando sólo los dígitos 3, 7 y 8? (Incluir todos los números con dígitos repetidos).
SELECCIONES Con frecuencia cada uno de los pasos en que se divide un proceso de recuento puede interpretarse como una elección o selección de k objetos elegidos entre los elementos de un conjunto de n objetos. Dado un conjunto de “n” elementos puede ocurrir: 1.
Que los elementos sean distintos; en este caso, a los grupos se les denomina agrupaciones simples.
2.
Que algunos elementos sean iguales; en este caso, a los grupos se les denomina agrupaciones con repetición.
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Considerando la naturaleza de los elementos (que sean iguales o distintos), las agrupaciones recibirán el nombre de permutaciones o combinaciones simples cuando no se repite ningún elemento y permutaciones o combinaciones con repetición cuando algún elemento se repite. Antes de continuar debemos explicar un concepto muy útil al trabajar con estas agrupaciones o conjuntos: el concepto de factorial .
Definición de factorial. Para un entero n 1, n factorial , expresado n!, se define por: n!
n
n
1
n
2
... 3 2 1
¿Y cual es el factorial de cero? El factorial de cero se define así: 0! = 1 Gran parte de los problemas de combinatoria pueden plantearse como una serie de pasos cada uno de los cuales consiste en elegir unos cuantos de entre ciertos elementos dados. Es conveniente remarcar que, al hacer dicha selección, hay ocasiones en las que podremos repetir dos veces el mismo objeto (por ejemplo, queremos escribir una palabra de 4 letras, entonces debemos elegir cuatro de entre las 28 letras posibles, pero obviamente podemos repetir dos veces la misma letra, como ocurre con la palabra "CASA") y otras ocasiones en las que esto no será posible (si quiero elegir tres amigos para ir a cenar, no puedo escoger tres veces al mismo). Así mismo y dependiendo de la situación, el orden en que escojo los elementos a veces es importante y a veces no. Por ejemplo, si quiero escribir una palabra de 4 letras, el orden de las mismas influye (no es lo mismo CASA que SACA), mientras que si quiero ir a cenar con tres amigos, da igual el orden en que se los diga. En general, siempre es más fácil resolver problemas en los que el orden es importante. Veamos a continuación cómo se puede calcular el número de elecciones en cada caso.
PERMUTACIONES CASO 1.- NO PODEMOS REPETIR (PERMUTACIÓN SIMPLE U ORDINARIA) Se llama permutación simple de n elementos tomados de k en k (k < n) a los distintos grupos formados por k elementos de forma que:
Los k elementos que forman el grupo son distintos (no se repiten)
Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que están colocados (influye el orden).
Aquí, no se utilizan todos los elementos.
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Si elegimos un primer elemento, lo podemos hacer de n formas. Quitamos el elemento elegido y elegimos otro de entre los n-1 que quedan. Esto podrá hacerse de n-1 formas. Quitamos también este elemento y nos quedamos con n-2, de entre los que elegimos el tercero. Esto lo podremos hacer de n-2 formas... Según la regla del producto, las maneras de escoger k elementos de entre un total de n según un determinado orden, será igual al producto de: n n 1 n 2 ... n k 1
Notación. Pn,k denota el número de permutaciones de n elementos distintos tomados de k en k . Para llegar a una versión simplificada se opera así: n(n 1)(n 2)(n 3)...(n (k 1))
n - k n - k 1 ... 321 n! P n - k n - k 1 ... 321 n - k ! n,k
Ejemplo 1. P 10,4 son las permutaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos: P 10, 4
10!
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
(10 4)!
6 5 4 3 2 1
5,040
Entonces podemos formar 5,040 subgrupos diferentes de 4 elementos a partir de los 10 elementos.
Ejemplo 2. ¿Cuántas banderas diferentes, de tres franjas horizontales de igual ancho y de colores distintos, pueden confeccionarse a partir de siete colores diferentes? Solución: P 7 ,3
7!
4!
210
Ejemplo 3. ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal? Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse: P 9,3
9 8 7
504
Por tanto, se pueden formar 504 números. En el caso especial en que n = k , se llama permutacion es de n . Se llaman permutaciones de n elementos a las diferentes agrupaciones de esos n elementos de forma que:
En cada grupo intervienen los n elementos sin repetirse ninguno (intervienen todos los elementos).
Dos grupos son diferentes si el orden de colocación de alguno de esos n elementos es distinto (influye el orden).
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Notación: Pn denota el número de permutaciones de n elementos distintos. P n
n!
n
n!
n!
0!
n!
Ejemplo 4. P10 son las permutaciones de 10 elementos: P 10
10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
3'628,800
Es decir, tendríamos 3’628,800 formas diferentes de agrupar 10 elementos.
Ejemplo 5. Una madre tiene 3 hijos ¿de cuántas maneras distintas, nombrándolos uno por uno, puede llamarlos a cenar? Solución: P 3 = 3! = 6 Ejemplo 6. Calcular las maneras posibles de colocar las letras a, b, c. P = 3! = 6
abc
acb
bac
bca
cab
cba
Ejemplo 7. Con las letras de la palabra DISCO ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar? Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos. P 5
5!
5 4 3 2 1
120
Por tanto, se pueden formar 120 palabras.
CASO 2.- PODEMOS REPETIR Este caso es análogo al Caso 1, sin más modificación que no quitar en cada paso los elementos ya escogidos. Razonando igual se llega a que el número de posibles elecciones es: n n n
...
n
n
k
Se llaman Permutaciones con repetición de n elementos tomados de k en k a los distintos grupos formados por k elementos de manera que: Prof. Mauro Cote Moreno Programa de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático SEP-ANPM http://www.septlaxcala.gob.mx www.anpmtlaxcala.com.mx
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Los elementos que forman los grupos pueden estar repetidos.
Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que éstos están colocados (influye el orden)
Notación. PR n, k denota el número de permutaciones con repetición de n elementos distintos tomados de k en k PRn k
n
k
,
Ejemplo 1. ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 1 y 2? Solución: 23 = 8 Ejemplo 2. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal? Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas", luego sí pueden repetirse. Por tanto, se pueden formar 729 números: PR9,3
9
3
729
Ejemplo 3. ¿Cuántas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b? Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse. PR10, 2
10
2
1024
Por tanto, se pueden formar 1024 palabras. CASO 3.- PODEMOS REPETIR Y EXISTEN ELEMENTOS REPETIDOS Son permutaciones con repetición de n elementos, no todos distintos. Todas las agrupaciones de n elementos, formadas por aquellos, están dispuestos linealmente y sin que ninguno haga falta. El número de permutaciones con repetición que pueden realizarse con n elementos, donde existen α1, α2, α3,... αm elementos iguales entre sí (de una misma clase) y el resto distintos entre sí y distintos también a los anteriores es: Pn
1,2 ,3 ,..., m
n!
!
! ... m !
1 2
Ejemplo 1. Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones: Prof. Mauro Cote Moreno Programa de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático SEP-ANPM http://www.septlaxcala.gob.mx www.anpmtlaxcala.com.mx
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10
P 2,3
10! 2!3!
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302,400
Es decir, tendríamos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos.
Ejemplo 2. ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 1, 1, 2, 2 y 3? Solución:
6! 3!2!
60
Ejemplo 3. ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = k, es decir colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas para colocar: 9! 4!3!2!
1260
Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas.
COMBINACIONES CASO 1.- EL ORDEN NO IMPORTA PERO NO SE PUEDEN REPETIR ELEMENTOS. Vamos a deducir la fórmula basándonos en el Caso 1. Tomamos las n n 1 n 2 ... n k 1 posibilidades y las partimos en clases, de forma que en cada clase estén aquellas elecciones que sean la misma salvo el orden. Como he escogido k elementos, la forma de ordenarlos será k! y, así, en cada clase tendré exactamente k! casos. Por tanto, el número de clases, es decir, el número de posibilidades de escoger k elementos sin importar el orden y sin repetir será n·(n 1) .... (n k 1) k!
n! k !(n k )!
Este número suele conocerse como el número de combinaciones de n elementos tomadas de k en k y se denota por: Prof. Mauro Cote Moreno Programa de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático SEP-ANPM http://www.septlaxcala.gob.mx www.anpmtlaxcala.com.mx
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n n! C n.k k k !(n k )!
Se llama combinaciones de n elementos tomados de k en k (k n) a todas las clases posibles que pueden hacerse con los n elementos de forma que:
Cada agrupación está formada por n elementos distintos entre sí
Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden.
Ejemplo 1. Un alumno decide rendir tres de los cinco exámenes finales ¿De cuántas maneras distintas puede elegir esas tres pruebas? Solución:
C 5,3
5! 3!2!
10
Ejemplo 2. ¿Cuántas combinaciones de 6 aciertos existen en la lotería primitiva? C 49,6
49 49! 13,983,816 6 6 ! 49 6 !
Es decir, que tendríamos que echar 13’983,816 apuestas de 6 números para tener la seguridad al 100% de que íbamos a acertar.
Ejemplo 3. ¿Cuántos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase? (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno) No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición. C 30,5
30 30! 30 29 28 27 26 25! 142,506 5 5 ! 30 5 ! 5 ! 25 !
Por tanto, se pueden formar 142,506 grupos distintos. n
En general, calcular por la fórmula anterior implica calcular varios factoriales, lo que hace que no k
sea muy útil en la práctica. Un método alternativo viene dado por las siguientes propiedades:
Proposición.
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n n
1) 1 n 0 n
n 1 n 1 k
2) k k 1
CASO 2.- EL ORDEN NO IMPORTA Y SÍ SE PUEDE REPETIR (COMBINACIONES CON REPETICIÓN). Una combinación con repetición de tamaño k es una selección no ordenada de k objetos elegidos entre tipos diferentes de objetos, habiendo una cantidad ilimitada de cada tipo. n Una combinación con repetición puede describirse diciendo que elegimos x1 objetos de tipo 1, x2 objetos de tipo 2,..., xn objetos de tipo n para alguna n-pla (x1, x2,..., xn). Cada uno de los enteros x1, x2,..., xn es no negativo y x x ... x k . Así pues, las combinaciones con repetición de tamaño k se corresponden con las soluciones enteras no negativas de la ecuación: x x ... x k 1
n
2
1
2
n
El número de combinaciones de tamaño k con repetición ilimitada elegidas entre n tipos diferentes de objetos es: R
C n ,k
n 1 k k
Cada combinación con repetición se representa por una palabra en el alfabeto {0,1} del siguiente modo: Los 0’s son las marcas que separan los objetos de cada tipo y los 1’s indican los objetos que hay de cada uno de los tipos entre dos marcas consecutivas. Si hay n tipos de objetos se necesitan n - 1 marcas para separar los tipos y, por tanto, las palabras de 0’s y 1’s tienen longitud n - 1 + k . Así se convierte cada combinación con repetición de tamaño k en una combinación de k objetos (las posiciones de los 1’s) elegidos entre un conjunto de n - 1 + k elementos (las posiciones). Se llama combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k, a los distintos grupos formados por k elementos de manera que:
Los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos.
Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden.
Ejemplo 1. C 10, 4 son las combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar repetidos: R
R
C 10, 4
13! 4!9!
13 12 1110 9 8 7 6 5 4 3 2 1
4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1
715
Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.
Ejemplo 2. Las combinaciones con repetición de los elementos {a, b, c, d} tomados de dos en dos son: aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd Prof. Mauro Cote Moreno Programa de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático SEP-ANPM http://www.septlaxcala.gob.mx www.anpmtlaxcala.com.mx
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Ejemplo 3. En una bodega hay 12 botellas de ron, 12 de ginebra y 12 de anís. Un cliente compró 8 botellas en total. ¿Cuántas posibilidades hay? R
C 3,8
120
Ejemplo 4: En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles? No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles del mismo tipo en un grupo, luego con repetición. R
C 5, 4
5 4 1 8! 8 7 6 5 4! 70 4!4! 4 4!5 1!
Por tanto, se pueden elegir 4 pasteles de 70 formas distintas.
SELECCIONES (de k elementos entre n ) ORDENADAS
SIN REPETICIÓN
CON REPETICIÓN
NO ORDENADAS
n 2 ... n k 1
n n 1
n
k
n k n 1 k k
ENTRADAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Si en cada agrupación figuran todos o algunos de los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones.
Si en cada agrupación figuran todos o algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones.
EJERCICIOS Prof. Mauro Cote Moreno Programa de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático SEP-ANPM http://www.septlaxcala.gob.mx www.anpmtlaxcala.com.mx
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1. ¿Cuántas parejas diferentes compuestas por una mujer y un hombre se podrían formar a partir de 6 hombres y 5 mujeres? 2. ¿Cuántos tríos diferentes compuestos por un hombre, una mujer y un niño se pueden formar a partir de 4 hombres, 5 mujeres y 3 niños? 3. En una canasta hay 5 frutas diferentes y en otra canasta hay 3 verduras distintas. ¿De cuántas maneras se puede elegir una fruta y una verdura? 4. ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin significado, se pueden formar con las letras: A, L, E y C, sin que ninguna letra se repita ni falte? 5. ¿Cuántas permutaciones simples (sin repetición) pueden hacerse con las letras de la palabra LEGAR? a. ¿Cuántas de esas permutaciones comenzarán con una consonante? b. ¿Cuántas comenzarán con una vocal? c. ¿Cuántas comenzarán con la letra A? 6. Se tienen 10 bolitas de igual tamaño, 3 son de color rojo, 2 de color azul y 5 de color verde. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en fila esas 10 bolitas? a. ¿Cuántas de esas permutaciones comenzará con una bolita verde? b. ¿Cuántas terminarán con una bolita roja? c. ¿Cuántas comenzarán con una bolita azul y terminarán con una bolita verde? 7. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5? 8. ¿Cuántas palabras de 3 letras diferentes, con o sin significado, pueden formarse con las letras de la palabra COMA? 9. Una empresa ferroviaria tiene 6 estaciones. ¿Cuántos tipos diferentes de boletos, donde se indique la estación de salida y de llegada, deben imprimirse? 10. ¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con los dígitos: 5, 6, 7, 8 y 9 (con repetición)? 11. ¿Cuántos números de 2 cifras pueden formarse con los diez dígitos, sin repetición? 12. ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir una comisión de 5 miembros a partir de 8 de personas? a. Si una persona determinada debe estar siempre incluida b. Si una persona determinada debe estar siempre excluida c. Si una persona determinada debe estar siempre incluida y otra siempre excluida d. Si dos personas determinadas nunca deben estar juntas en esa comisión 13. ¿Cuántas diagonales pueden trazarse en un polígono convexo de n lados? 14. ¿Cuántas comisiones diferentes, compuestas por 2 hombres y 3 mujeres, pueden formarse, a partir de 10 hombres y 12 mujeres? Prof. Mauro Cote Moreno Programa de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático SEP-ANPM http://www.septlaxcala.gob.mx www.anpmtlaxcala.com.mx
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15. ¿Cuántas palabras de 7 letras distintas ( 4 consonantes y 3 vocales ), con o sin significado, pueden formarse a partir de 6 consonantes y 5 vocales, todas diferentes? 16. Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan primeros (sin importar cual de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero). 17. Y si hubiera que acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su entrada en meta. 18. Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(B) y otro de cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se pueden ordenar en un estante. 19. Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno. 20. ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BONDAD? 21. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS? 22. Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias. ¿Cuántas ternas se podrán formar? 23. ¿De cuántas maneras pueden entrar cuatro alumnos en tres aulas, si no se hace distinción de personas?
Principio de las Casillas El principio de conteo más útil es desde luego el más sencillo. Aquí lo presentamos y se basa en la siguiente idea, si hay tres canicas que se reparten entre dos niños, a un niño le tocan dos (quizás las tres, pues se admite que un niño puede quedar con cero canicas). Una primera versión de éste principio se puede enunciar de la siguiente manera: "Si (n + 1) objetos se deben de acomodar en n casillas, en alguna de las casillas hay más de un objeto".
Este resultado se conoce como el Principio de las casillas, también es llamado el Principio de Dirichlet, o Principio de las palomas. Peter Dirichlet fue el primero en utilizarlo en teoría de números en el siglo XIX. Su validez es evidente, pero si desea uno convencerse, piense qué pasaría si en cada casilla hay lo más un objeto, entonces tendríamos que en las casillas hay acomodados a lo más n objetos, lo que es una contradicción si consideramos que se han repartido los n + 1 objetos. La mayoría de las veces, este resultado ayuda a resolver problemas de existencia; de garantizar si dentro de una serie de hechos (finitos o infinitos) hay la certeza de que sucede alguna situación especial. Así el principio es una afirmación puramente existencial; sin embargo, no da indicaciones de cómo llegar a la situación especial que se garantiza la existencia. Reconocer cómo y cuándo deberá usarse el principio requiere de cierta práctica que intentaremos dirigir en esta serie de ejercicios y problemas. Detectar quiénes serán los objetos y quiénes serán las casillas, es la parte central para utilizar el principio. Desde luego hay situaciones claras de quiénes son los objetos y quiénes las casillas, veamos algunos ejemplos. Prof. Mauro Cote Moreno Programa de Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático SEP-ANPM http://www.septlaxcala.gob.mx www.anpmtlaxcala.com.mx
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En un grupo de tres personas hay dos del mismo sexo. En un grupo de 13 personas hay dos que nacieron el mismo mes. En un grupo de 366 personas hay dos que tienen el mismo día de cumpleaños.
En los tres casos los objetos son las personas y las casillas, evidentemente son, los dos sexos, los doce meses del año, y los 365 días del año respectivamente.
Ejemplo 1. 5 palomas vuelan hacia un palomar de 4 agujeros, entonces en uno de los agujeros hay dos o más palomas. En general, si (n+1) palomas están en n agujeros, por lo menos uno de los agujeros contiene dos o mas palomas. Ejemplo 2. Una línea no puede cortar internamente a los tres lados de un triángulo. Solución: Este ejemplo es el primero donde hay una primera dificultad: debemos decir quiénes son los objetos y quiénes son las casillas. Las casillas son los dos semi- planos que determina la línea, los objetos serán los vértices del triángulo. Observemos que si dos vértices del triángulo se encuentran en uno de los semiplanos, el segmento (lado del triángulo) que ellos determinan no será cortado por la línea.
Pidamos primero que la línea no pase por alguno de los vértices del triángulo. Por el Pri ncipio de las casil las hay dos puntos en alguno de los semiplanos (quizás los tres), luego alguno de los lados no será cortado por la línea. Si la línea pasa por alguno de los vértices, esta podrá cortar a lo más a uno de los lados.
Ejemplo 3. De cinco puntos dentro o sobre los lados de un triangulo equilátero de lado 2 hay dos cuya distancia entre ellos es menor o igual a 1 .
Solución: Aquí la situación es un poco más delicada. Aquí hay que crear las casillas; los objetos son los cinco puntos y buscamos dos de ellos a una distancia menor o igual que uno. Si dividimos en casillas de manera que: dos en una casilla garanticen que su distancia es menor o igual que uno, terminamos. Se sugiere entonces crear cuatro casillas, al dividir los lados del triángulo con sus puntos medios y al unir estos con segmentos de línea se forman cuatro triángulos congruentes de lado 1.
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Por el Principio de las casillas, de los cinco puntos dados, hay dos puntos en alguno de los triángulos pequeños, estos dos puntos son los buscados.
Ejemplo 4. De entre cinco puntos del plano con coordenadas enteras hay dos cuyo punto medio también tiene coordenadas enteros.
Primero observemos que el punto medio (
a c
2
,
b
2
d
), de dos puntos de coordenadas enteras (a,b) y
(c,d), tendrá también coordenadas enteras, si a y c son ambos pares o ambos impares, esto es si tienen la misma paridad, también b y d deben tener la misma paridad. Dividamos a los puntos de coordenadas
enteras de acuerdo a la paridad de sus coordenadas, esto generará cuatro clases que representaremos así: (P, P), (P, I), (I , P), ( I, I ), y que son las clases de puntos de coordenadas enteras donde sus coordenadas son las dos pares, la primera par y la segunda impar, la primera impar y la segunda par, y las dos coordenadas impares, respectivamente. Estas clases serán las casillas. Desde luego todo punto de coordenadas enteras pertenece a una de las casillas. Por el Principio de las casillas hay dos puntos de los cinco en la misma casilla, por lo que dos de los puntos tienen la primera coordenada de la misma paridad y tiene la segunda coordenada de la misma paridad, por tanto su punto medio será de coordenadas enteras. Hemos señalado que el usar y explotar el Principio de las casillas, requiere cierta habilidad que la práctica va dando. Los problemas que presentamos aquí buscan eso, practicar.
Ejercicios 1. En un triángulo de área 4 se colocan 9 puntos. Muestre que hay tres de ellos que forman un triángulo de área menor o igual que 1. 2. Demuestre que un triángulo equilátero de lado 1 no puede ser cubierto totalmente con dos triángulos equiláteros de lados menores que 1. 3. Con los vértices de una cuadrícula de 6 x 9 se forman 24 triángulos. Muestre que hay dos triángulos que tienen un vértice común. 4. En un triángulo equilátero de lado 3 se colocan 4 puntos. Muestre que hay dos de ellos a una distancia menor o igual a 3 . 5. En un cubo de lado 10 se colocan 999 puntos. ¿Es posible encontrar un cubo de lado 1 dentro del cubo de lado 10 que no contenga alguno de los puntos?
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6. ¿Pueden las casillas de un tablero de 3 x 3 llenarse con números del conjunto { -1, O, 1}, de manera que la suma de los números en cada renglón, en cada columna y en cada diagonal sean diferentes? 7. Cumpleaños en el estadio. A un estadio de fútbol han asistido 3700 espectadores. ¿Cuántos de ellos, como mínimo, cumplen años el mismo día? 8. El once. Si del subconjunto de números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 extraemos 6 números, con seguridad habrá dos que suman 11. 9. En un grupo de 8 personas, demostrar que hay al menos 2 cuyos cumpleaños caen el mismo día de la semana. 10. Se sortean 11 números telefónicos para un premio. Mostrar que hay al menos 2 números que coinciden con el ultimo dígito. 11. Pongo más de 100 monedas en 2 bolsas. Demostrar que al menos una de las bolsas tiene más de 50 monedas. 12. Se seleccionan 3 números enteros positivos que suman 19. Demostrar que al menos uno de ellos es mayor o igual que 7. 13. En una caja hay 10 libros en francés, 20 en castellano, 8 en alemán, 15 en ruso y 25 en italiano. ¿Cuantos debo sacar para estar seguro de que tengo 12 en un mismo idioma? 14. En un bar hay 95 mesas y un total de 465 sillas. ¿Podemos asegurar que hay una mesa con 6 sillas? 15. ¿Cuantas veces hay que tirar un dado para asegurarse de sacar por lo menos 2 veces el mismo número?
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