Permitividad electrica

Permitividad Kevin Rojas y Francisco Iturralde 16 de octubre de 2015

Resumen En esta pr´ actica se obtendr´ a experimentalmente el valor de la permitividad del aire presente entre dos placas met´ alicas que act´ uen como capacitores y ejercen una fuerza el´ectrica en la balanza de coulomb. A partir de esto se har´ a un balance de torques y se comprobar´a el valor experimental de la permitividad del aire con los valores te´oricos y se obtendr´a el error pocentual y estad´ıstico del experimento en base a la teor´ıa planteada.

1.

Introducci´ on

El experimento se basa en el equilibrio mec´anico que se produce con el balance de varios torques, uno de ellos producido por fuerza gravitatoria y el otro por una fuerza el´ectrica que se determina a trav´es del potencial el´ectrico. Como se sabe de la mec´anica newtoniana, el equilibrio rotacional se produce cuando la suma de torques es igual a cero, en la ecuaci´on 1. Στ = 0

(1)

Para realizar esto se utilizar´ a la balanza de coulomb, balanza configurada de manera que los torques entre los dos lados cambien en relaci´ on al voltaje inducido al sistema tal y como se muestra en la figura 1. En el equipo denominado balanza de Coulomb, presente en la figura 1, los torques generado por el peso de las masas se puede controlar aumentando o disminuyendo el peso o cambiando la distancia del portapesas con respecto al eje de rotaci´on o cambiando el potencial el´ectrico que se induce el sistema. Si se conoce el peso aplicado, el voltaje, las constantes geom´etricas de las placas y los brazos de palanca de cada fuerza, es posible determinar la constante de permitividad el´ectrica, ya que por t´erminos de capacitancia se puede determinar el valor de las constantes. mg · b = Fe · b = E · q · a

Figura 1: Balanza de Coulomb 1

(2)

2.

Metodolog´ıa

Se sabe que el potencial el´ectrico total entre dos placas de carga opuesta se puede escribir como la ecuaci´ on 3. Z

d

Z dr −

Vt = E( 0

0

dr)

(3)

d

Entonces, en campo el´ectrico se puede escribir como se muestra en la ecuaci´on 4 a para dos placas paralelas. V (4) 2d Tambi´en se sabe que para una carga q = CV , debido a la definici´on de un capacitor, se tiene que la carga puede ser expresada como la ecuaci´on 5. E=

εAV (5) d Reemplazando los datos que tenemos en las ecuaciones 4 y 5, podemos reemplazar lo que sabe en 2 como se muestra en la ecuaci´ on 6 q=

εaAV 2 2d2 Despejando la f´ ormula 6 se tiene la f´ormula 7 para la permitividad del aire mgb =

(6)

2mgbd2 (7) aAV 2 Una vez que los datos sean obtenidos y organizados los datos experimentales, se proceder´a a calcular los datos del error porcentual y estad´ıstico con las f´ormulas 8 y 9 respectivamente. ε=

eporc =

|xexp − xteo | · 100 % xteo

(8)

σ √ · 100 % µ n

(9)

eest =

3.

Resultados

Mediante la utilizaci´ on de la ecuaci´ on 6 y de los datos obtenidos en el laboratorio. Calculamos la permitividad el´ectrica para cada uno de las 80 mediciones. En el anexo 1 encontramos todos los datos obtenidos en el laboratorio y en el cuadro 1 que se presenta a continuaci´on, presentamos el valor promedio obtenido, tanto para la permitividad el´ectrica como para la constante de Coulomb

Cuadro 1: Valores promedio de la permitividad el´ectrica del aire y de la constante de Coulomb Valor Experimental Valor Te´orico Permitividad el´ectrica del aire 8, 110 × 10−12 8, 854 × 10−12 Constante de Coulomb 10820093792 8987551787 −1 Permitividad el´ectrica relativa 9, 16 × 10 1 Con la desviaci´ on est´ andar y el promedio de todos los 80 datos obtenidos experimentalmente para la permitividad el´ectrica del aire, se calcula el error porcentual de nuestra medici´on mediante la ecuaci´ on 9. El error porcentual obtenido se muestra a continuaci´on: e = 3, 104 % Finalmente, considerando el valor te´ orico aceptado de la permitividad el´ectrica del aire que es de 8, 85×10−12 y considerando el valor experimental obtenido en el laboratorio, mediante la utilizaci´on

2

de la ecuaci´ on 8 calculamos el error porcentual de nuestra medici´on, el mismo que presentamos a continuaci´ on: epor = 8, 40 %

3.1.

An´ alisis

Sobre el valor obtenido de la constante de la permitividad el´ectrica del aire, de la constante de Coulomb y de la permitividad el´ectrica relativa del aire y de la cercan´ıa con los valores aceptados te´ oricamente puede concluirse que en metodolog´ıa se obtuvieron de manera adecuada las ecuaciones que relacionaban los datos obtenidos y que permitieron llegar a la respuesta. Del c´ alculo del error estad´ıstico, se puede concluir que la recolecci´on de los datos que permitieron obtener los valores de la permitividad el´ectrica del aire fue muy satisfactoria dado que este error es inferior al cinco por ciento. Esto nos indica que a´ un cuando se modificaron las condiciones del experimento varias veces, se pudo mantener un est´andar adecuado en cuanto a la toma de las medidas. Este bajo porcentaje de error estad´ıstico puede deberse a que se utiliz´o una gran cantidad de datos para el experimento(80), y por definici´on el error estad´ıstico tiende a la baja cuando seg´ un aumenta la cantidad de datos conglomerados en un punto. Tambi´en puede deberse a la precisi´on con la que fueron tomadas las medidas una a una. Finalmente, el error porcentual obtenido, inferior al diez por ciento permite corroborar una vez m´ as el hecho de que existe mucha cercan´ıa entre el dato obtenido experimentalmente y el dato te´ orico aceptado.

4.

Conclusiones

Dados los resultados que se obtuvieron, y considerando que la metodolog´ıa de la pr´actica se sigui´ o correctamente, se puede considerar que la pr´actica fue exitosa. Se pudo calcular de manera experimental y con mucha aproximaci´ on los valores de la constante de la permitividad el´ectrica del vac´ıo as´ı como de la constante de Coulomb que son muy conocidas y utilizadas en electromagnetismo. Sobre la experimentaci´ on se puede concluir que tanto el instrumental como la medici´on fue correcta porque facilit´ o la obtenci´ on de los datos solicitados.

Referencias [1] Purcell Edward and David J. Morin. Electricity and Magnetism, Massachusetts, 3rd. Edition, 2013. [2] Raymond A. Serway and John W. Jewett, Jr., Physics for Scientist and Engineers, 7th. edition (Thomson Brooks/Cole, Belmont, CA, 2008).

3