PERMEABILIDAD EJERCICIOS

PERMEABILIDAD:

Fig. 05

Kh = Coeficiente de permeabilidad horizontal al promedio para la filtración de agua, en sentido paralelo a los planos de estratificación horizontal. Kv=

H h1 h2 hn + +… … ..+ K1 K2 KN

Kv = Coeficiente de permeabilidad vertical promedio para la filtración de agua, en sentido perpendicular de los planos estratificación. Tabla 3, Rango de valores de coeficiente de permeabilidad de los suelos.

1.2.1 ALTURA DE ASCENSION CAPILAR (hC) hc=

0.3 D

EJERCICIO Nº 1.- Hallar la relación de la permeabilidad de la muestra, de las fig. (I) y (II), sabiendo que el gradiente hidráulico es el mismo y la velocidad de filtración, son también iguales.

Solución: i.) Por dato del problema:

i I =i II V f ( 1 )=V f ( II ) … … … … … … … ….. ..(α)

Vf =

V K xi = ; reemplazando en (∝) n n

K I i I K II i II K K = ; comoi I =i II → I = II nI n II n I n II eI K I nI 1+ e I e I (1+ e II ) 0.507( 1+ 0.697) = = = = K II n II e II e II (1+ e I ) 0.697( 1+ 0.507) 1+e II KI =0.82 K II EJERCICIO Nº 2.- En el permeámetro de carga hidráulica constante de la figura se ensayó una muestra de arena. La cantidad de agua que se ha filtrado durante un periodo de 4 min. Es de 1,466 gr. Sabiendo que la muestra seca pesa 2,006 gr. y Ss = 2.65. Se pide hallar: a) El coeficiente de permeabilidad, y el gasto “Q” de esta arena. b) La velocidad de flujo en el punto II de la figura.

Solución: a) Para parámetros de carga constante, el coeficiente de permeabilidad está dado por: K=

V xL A xh x t V= 1,466 cm3; L = 12.5 cm. t = 4 min = 240 seg. 10.2 2 =81.71cm 2. 2

( )

A=π∗

Reemplazando obtenemos: K=

(1.466)(12.5) cm =0.01087 ( 81.67)( 86)(240) seg

El gasto “Q” es: Q=

V O 1 1.466 cm3 = =6.11 . t 240 seg

b) Velocidad de flujo en el punto “II”. (VII) v 1−e V II = =v … … … … … … …(1) n e

( )

Q 6.11 cm v= = =0.075 . A 81.67 seg También:

e=

Vv … … … … … … … (2) Vs

Por dato, WS = 2,006 gr. V 01 m= A × L=( 81.67)(12.5)=1,020.88 cm3

Ss=

Ws Ws 2006 =¿ V s= =W s= =765.98 cm3 V s∗V s S s∗γ w (2.65)∗(1) 3

V v =V 01 m−V s =263.9 cm

Reemplazando valores en (2), obtenemos el valor de “e”: e=

263.9 756.98

e=0.35 Reemplazando valores en (1), obtenemos la velocidad en el punto II: V II =0.075(

1+0.35 ) 1.35

V II =0.289

cm . seg

EJERCICIO Nº 3.- Un ensayo de permeabilidad a carga constante, ha sido hecha sobre una muestra de arena de 25 cm. de longitud y 30 cm 2 de área. Bajo una carga de 40 cm. se encontró que la descarga es de 200 cm3 en 116 seg. Y la proporción de vacíos =0.506. Determine: a) El coeficiente de permeabilidad. b) La velocidad de descarga. c) La velocidad de filtración.

Solución: a) Coeficiente de permeabilidad: V xL K= A xh x t Donde: V = 200 cm3 t = 116 seg. h = 40 cm. A = 30 cm2 Reemplazando obtenemos: K = 3.6×10−2 cm./seg. b) Velocidad de descarga: Q V 200 v= = = A A x t (30)(116) v =0.0575

cm . seg

c) Velocidad de filtración: v∗1+ e 1+ 0.506 v f= =0.0575( ) e 0.506 v f =0.171

cm . seg

EJERCICIO Nº 4.- Determinar la permeabilidad media horizontal y vertical de un suelo estratificado, cuyas características se indican en la figura sabiendo que la permeabilidad horizontal es 3 veces mayor que la vertical.

Solución: i.) La permeabilidad vertical promedio está dado por: Kv=

Kv=

H h1 h2 hn + +… … ..+ K1 K2 Kn 1.900 560 700 640 + + −7 −5 −3 2.5 x 10 2.8 x 10 1.9 x 10

Kv=8.39 x

cm s eg

ii.) Permeabilidad horizontal promedio: Por condición del problema:

K H = 3 Kv −6

K H =3 ( 8.39 x 10−7 ) =2.52 x 10

cm seg

EJERCICIO Nº 5. Para una muestra representativa de suelo, se realiza un ensayo con el permeámetro de carga constante mostrado en la figura mostrada. Las dimensiones del permeámetro son: L = 350 mm. A = 125 cm2 �h = 420 mm. Además se sabe que: El índice de vacíos de la muestra de suelo es de: 0.61 el permeámetro en 3 minutos es de 580 cm. Determine: a) La conductividad hidráulica de la arena en cm/s.

b) El caudal, la velocidad de descarga y de flujo en cm/s. c) La pérdida de carga necesaria, para tener un caudal de 5 cm.

Permeámetro de carga constante. a) Conductividad hidráulica de la arena: La conductividad hidráulica será: V xL K= A x Δ hx t Reemplazando los valores de: V = 580 cm3 L = 35 cm. �h = 42 cm. A = 125 cm2 t = 180 seg. (Convertido a segundos) Se tiene que: 580 x 35 K= 125 x 42 x 180 La conductividad hidráulica será: −2

K=2.14 x 10 b) Velocidad de descarga y de flujo en cm/s.

cm/seg.

PASO 1. El gradiente hidráulico será: i=

h1−h 2 L

i=

Δh L

Reemplazando los valores de: �h = 42 cm. L = 35 cm. Se tiene que: 42 i= 35 El gradiente hidráulico será: i = 1.2 PASO 2. Para el sistema, el caudal de descarga será: q ¿k xi Reemplazando los valores de: −2 k ¿ 2.14 x 10 cm/ s

i = 1.2 Se tiene que: q=2.14 x 10−2∗1.2 El caudal de descarga será: q = 2.56 cm3/s. PASO 3. La velocidad de descarga será: V ¿Kxi Reemplazando los valores de: k = 2.14x10-2 cm3/s.

i = 1.2 Se tiene que: −2 V ¿ 2.14 x 10 ∗1.2

La velocidad de descarga será: −2 V ¿ 2.56 x 10 cm/s

PASO 4. Determinación de la porosidad Relación del índice de vacíos con la porosidad, está es: e=

n 1−n

Reemplazando el valor de: e = 0.63 Se tiene que: n 0.63= 1−n La porosidad será: n = 0.38

PASO 5. La velocidad de flujo será: V Vs= n Reemplazando los valores de: −2 v = 2.56x 10 cm/s.

n = 0.38 Se tiene que: 2.56 x 10−2 Vs= 0.38 La velocidad de flujo será: Vs=6.73 x 10−2 cm/ s c) Pérdida de carga necesaria para un caudal de 120 cm3/s

El caudal de descarga será: V Q= t Por lo tanto, el caudal que se precisa es 5 cm3/s, por lo que se tendrá: V =5 t La conductividad hidráulica, para el ensayo de carga constante es: L ∗V Δh∗A k= t

………………(1)

Reemplazando la ecuación [1], en esta expresión se tiene que: k=

L ∗5 Δh∗A

Reemplazando los valores de: L = 35 cm. A = 125 cm2 k = 2.14x10-2 cm/s. Se tiene que: 2.14 x 10−2 =

35 ∗5 Δh∗125

La pérdida de carga necesaria será: Δh=65.42 cm. EJERCICIO Nº 6. Para la figura, determine el caudal en m3/s/m, que circula a través del estrato permeable de suelo. Para los valores de: H = 4 m, H1 = 2 m, h = 3.1 m, L = 30 m, α = 14º y k = 0.05 cm/s. Datos. H = 4 m, H1 = 2 m, h = 3.1 m, L = 30 m,

α = 14º k = 0.05 cm/s.

Flujo de agua en un estrato de suelo. Con las ecuaciones referidas se determina el caudal que circula por el estrato permeable de suelo. En base al criterio de la figura, se determina correctamente el gradiente hidráulico y el área de la sección transversal. PASO 1. Determinación del gradiente hidráulico y el área de la sección transversal. El gradiente hidráulico, siempre debe ser calculado con respecto a la dirección del flujo. De la gradiente hidráulica será:

Reemplazando los valores de: h = 3.1 m. L = 30 m. Se tiene que:

El gradiente hidráulico será: i = 0.1 El área de la sección transversal, para 1 m, será:

Reemplazando: A = 2·cos 14º Por lo cual, el área de la sección transversal es: A = 1.94 m2 PASO 2. Determinación del caudal. El caudal que circula por el estrato permeable será: q = k·i·A Reemplazando los valores de: k = 0.05 cm/s. i = 0.1 A = 1.94 m2 Se tiene que: q = 5x10-4·0.1·1.94 El caudal será: q = 9.7x10-5 m3/s. El gradiente hidráulico y el área de la sección transversal, siempre son Determinados con respecto a la dirección del flujo. PROBLEMA Nº 7.- El canal “A” corre paralelo al canal “B” en una longitud de 2,000 m. Si la permeabilidad de la arena es de 2.5 x 10-2; se desea saber que cantidad de agua filtra del caudal “A” al caudal “B”, para el estrato de arena durante una hora.

Datos: L = 2,000m. Longitud K = 2.5 x 10-2. Permeabilidad de la arena. Solución: Q = A× K × i = A× K × h/L............... (1) h = 20 m. L = 120/ Cos 30º = 138.5 m. A=(2,000)∗(150)=3,000 m2=3 x 107 cm2 Reemplazando datos en (1): −2 2.5∗10 ∗20 cm3 Q= ∗3∗107=108,303.25 138.5 seg . 6

1 m3=1 x 10 cm

37

1 hora = 3,600seg Q = 390 m3 por hora.

EJERCICIO Nº 8.- Para el permeámetro de la figura hallar la velocidad del agua por el punto “C”.

Solución: El gasto “Q” está dado por: Q = V × A................ (a) Q = V 1 × A 1 ................ (b) V1 = Velocidad en un punto interior de la muestra, tal como el pto. “C” VV = A1 x L (Volumen de vacíos) V = A1 x L (Volumen total) Igualando (a) y (b) V x A=V 1 x V 1 →−V 1=

Vv Como, n= V V V1 = n

vx A L vxV x = A1 L Vv