Perkalian Dot Dan Cross

PERKALIAN SKALAR (DOT PRODUCT) DUA VEKTOR Perkalian dua vektor dapat diedakan !en"adi perkalian titik (dot produ#t) $an% ia&a di&eut perkalian &kalar' dan perkalian &ilan% (#ro&& produ#t) $an% ia&a di&eut perkalian vektor Perkalian &kalar atau perkalian titik antara dua vektor !en%a&ilkan nilai &kalar &edan%kan perkalian &ilan% antara dua vektor !en%a&ilkan vektor pula Perkalian titik dua vektor dide*eni&ikan &ea%ai &uatu &akalar $an% nilain$a &a!a den%an a&il kali antara e&ar kedua vektor den%an #o&inu& &udut apitn$a Perkalian &kalar dua vektor dapat dika"i &e#ara %eo!etri& ataupun &e#ara al"aar +a&il $an% diperole erda&arkan dua !etode ter&eut adala &a!a e&ar ,erikut ru!u& perkalian &kalar Perkalian Skalar Se#ara .eo!etri& Se#ara %eo!etri&' perkalian &kalar antara dua vektor adala a&il kali antara e&ar vektor perta!a den%an pro$ek&i vektor kedua Untuk lei "ela&n$a peratikan %a!ar di a/a ini Se#ara !ate!ati& perkalian &kalar dua vektor dapat ditentukan den%an ru!u& a   0 1a111 #o& 2 Den%an 1a1 0 e&ar vektor a 1 1 0 e&ar vektor  2 0 &udut antara vektor a dan  3i&al dua vekto vektorr A dan , din$ataka din$atakan n den%an den%an - A 0 a4 5 6 5 #  k , 0 k4 5 !6  5 n  k 3aka perkalian &kalar antara A dan , adala ⇒ A.B = |A|.|B| cos θ ⇒ A.B = √a2 + b2 + c2.√k2 + m2 + n2 cos θ

Rumus perkalian skalar di atas biasanya digunakan untuk menentukan besar sudut antara dua vektor dengan menggunakan hasil kali erda&arkan peritun%an al"aar Selain itu' ru!u& ini "u%a di%unakan untuk !enentukan nilai variael dala! vektor "ika &udut apitn$a diketaui Conto Diketaui Diketaui vektor vektor A 0 74 5 86 5 9  k dan , 0 4 5 76  : ;  k Sudut Sudut antara antara A dan , adala adala  A =o E ;=o C 8;o Pe!aa&an - ,erda&arkan ru!u& perkalian &kalar ⇒ A.B = |A|.|B| cos θ ⇒ 2!  2! + "# + $  k%! %! + 2# & '  k% = |A|. |A|.|B |B|| cos cos θ

⇒ 2(% + "2% + $%)'% = |A|.|B| cos θ ⇒ 2 + (* & (2 = |A|.|B| cos θ ⇒ * = |A|.|B| cos θ ⇒ cos θ = * ⇒ θ = *o

,a-aban  A /iketahui vektor a = 2! + $# & n  k dan B = ! + 2# + 2  k. ,ika kedua vektor tersebut saling tegak lurus0 maka nilai n adalah ..... A. (** m D ??8 ! , ?=8 ! E ?78 ! C ??= ! Pe!aa&an ,erda&arkan kon&ep perkalian &kalar &e#ara %eo!etri& ⇒ a.b = |a|.|b| cos θ ⇒ a.b = |a|.|b| cos *o ⇒ 2! + $# & n  k%.! + 2# + 2  k% = |a|.|b| *% ⇒ 2(% + $2% + )n%2% = * ⇒ 2 + 1 & 2n = * ⇒ (* & 2n = * ⇒ )2n = )(* ⇒ n = " erkalian 3kalar

3ecara Al4abar 5isal dua vektor  A dan , din$atakan den%an A 0 a4 5 6 5 #  k , 0 k4 5 !6  5 n  k 3aka perkalian &kalar antara A dan , adala ⇒ A.B = ak% + bm% + cn%

6ontoh  7ektor a dan b diberikan sebagai berikut  a = 7 dan  0 9 @? 7 @; @? Tentukan a&il perkalian &kalar antara a dan  Pe!aa&an ⇒ a.b = ak% + bm% + cn% ⇒ a.b = 2! & # & '  k%$! + 2# &  k% ⇒ a.b = 2$% + )(%2% + )'%)(%

⇒ a.b = 1 & 2 + ' ⇒ a.b = <

Su!er- ttp-aanela"ar&ekolalo%&pot#oid7=?8=8perkalian@&kalar@dot@ produ#t@dua@vektort!lBen Content i& Courte&$ o* aanela"ar&ekolalo%&pot#o!

Perkalian Vektor Dan Contoh Soal Saturday, November 8th 2014. | rumu !iika

Perkalian Vektor " #emarin kita telah bela$ar tentan% &en$umlahan dan &en%uran%an vektor . 'uk kita beran$ak ke &erkalian vektor. (earan vektor bia dikalikan den%an bearan vektor mau&un bearan kalar. )da * ma+am &erkalian vektor. (erikut ulaan len%ka&nya.

1. Perkalian Skalar dengan Vektor  Skalar bia dikalikan den%an ebuah vektor. ial obat &unya nih vektor ( yan% meru&akan hail &erkalian dari kalar k den%an vektor ) maka

B = kA k adalah bilan%an -kalar. /adi vektor ( adalah vektor yan% bearnya 4 kali vektor ) dan arahnya earah den%an vektor ). Perkalian kalar den%an vektor &unya i!at ditributi! 

k (A+B) = k A + kB ni $u%a berlaku untuk untuk bentuk vektor kom&onen 2 dimeni atau ti%a dimeni.

r

=

xi

+

yj

kr = kx i + ky j  2. Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian titik antara dua vektor ).( dide!iniikan eba%ai uatu kalar yan% ama den%an hail kali dari bear kedua vektor den%an +oinu udut a&itnya. /ika obat maih bin%un% ederhananya e+ara %eometri &erkalian titik dari 2 buah vektor adalah hail kali vektor 1 den%an &royeki vektor 2 den%an den%an vektor 1. Contoh

 

Perhatikan %ambar vektor ) dan ( di ata. Pan%kal keduanya membentuk udut ebear  maka

Simbol dari &erkalian titik adalah -. yan% erin% diebut &erkalian titik - dot product . #arenan &erkalian titik ini men%hailkan kalar maka erin% diebut $u%a den%an scalar product.

Perkalian itik mem&unyai i!at ditributi! ehin%%a

 A.(B+C) = A.B + A.C  Pada &erkalian titik $u%a berlaku i!at komutati! 

 A.B = B.A (erikut bebera&a hal yan% &entin% dalam &erkalian titik a.

Pada &erkalian titik dua vektor berlaku i!at ditributi! eba%aimana di$elakan di ata.

b.

/ika

kedua

vektor

)

dan

( saling

tegak

lurus -udut

a&it

teta

3

05

maka

 ).( 3 0 +.

/ika

kedua

vektor searah )

dan

(

-udut

a&it

teta

3 05

maka

 ).( 3 )( d.

/ika

kedua

vektor

)

dan

( berlawan

arah -udut

a&it

teta

3

1805

maka

 ).( 3 6)( Perkalian Titik Menggunakan Vektor Satuan 7ntuk melakukan &erkalian titik dari vektor atuan terlebih dahulu kita nyatakan vektor ) dan ( dalam kom&onen6kom&onennya. vektor ) dan ( kita uraikan dulu  A –> A x     Ay  j   Az  k� ( "9 B x     By  j   Bz  k� Sekaran% kita +ari tahu hail &erkalian vektor kom&onen dari ) dot ( kemudian kita uraikan &erkaliannya. karena vektor kom&onen i,  , dan adalah vektor kom&onen yan% alin% te%ak luru den%an �    � k� membentuk udut 05 maka &erkalian titiknya i x i = j x j = k x k = (1) . (1) cos ! = 1 ("er#i$%it) i x j = i x k = j x k = (1).(1) cos &! =  (tegak lurus)

 ).(

3

(A x   , Ay  j  , Az  k�  -B x     By  j   Bz  k� )

 ).(

3

): ; < (: ;  ): ; < (y =  ): ; < (> k  )y = < (: ;  )y = < (y = )y = k  )> k < (: ;  )> k < (y =  � � � �

 ).(

3

): ; < (: ;  0 0  0  )y = < (y = 0  0�  0  )>

 ).(

3

� � ): ; < (: ;  )y = < (y =  )> k < (> k

< (> k k � �

3

): ; < (: ;  )y = < (y =  )> k < (> k � �  "9 karena i : i 3 $ : $ 3 k : k 3 -1 . -1 +o 05 3 1 maka

A.B

= ABx� ! A"B# ! A$B$

%. Perkalian Silang (&ro'' Product) Perkalian ilan%a ) : ( &ada vektor dide!iniikan eba%ai uatu vektor yan% arahnya te%ak luru &ada bidan% dimana vektor ) dan ( berada dan men%ikuti aturan tan%an kanan, ementara bearnya vketor terebut ama den%an hail kali dari bear kedua vektor den%an inu udut a&it antara kedua vektor terebut. Se+ara matemati dirumukan

 A x B = A sin '  (erikut adalah hal6hal &entin% dalam &erkalian ilan% dua buah vektor  a.

Nilia 05 Pada &erkalian titik dua vektor berlaku 'iat di'triuti   eba%aimana di$elakan di ata.

b.

Perkalian

ilan%

beri!at anti

ko*utati  

A  B = +B  A +.

/ika kedua vektor ) dan ( alin% tegak lurus yaitu udut a&it teta 3 05 maka A  B = AB

d.

/ika kedua vektoe ) dan ( e%ari -teta 3 05 da&at earah atau verla?anan maka AB=-

7ntuk lebih memahami &erkalian vektor dan $u%a &enentuan arah men%%unakan kaidah tan%an kanan ilahkan &erhatikan ilutrai berikut ialnya &erkalian ilan% dua vektor ) dan vektor ( kita tulikan eba%ai ) : ( -) ilan% (. Perkalian ilan% ini hailnya adalah beru&a vektor C. #arena beru&a vektor maka ia &unya bear dan $u%a arah. Be'ar Vektor a'il Perkalian Silang

Seuai rumu di ata, kita da&at menyim&ulkan bearnya hail &erkalian ilan% vektor ) dan ( -) : ( adalah hail kali vektor ) den%an kom&onen vektor ( yan% te%ak luru dan ebidan% den%an vektor ).

 A x B = A (B sin ') = AB sin '  (a%iaman

kalau

kita

balik

men$adi

&erkalian

ilan%

vektor

(

den%an

vektor

)@

#ita buat ilutrainya terlebih dahulu e&erti %ambar di ba?ah ini

Dari %ambar di ata &erkalian ilan% antara vektor ( dan vektor ) adalah hail kali bear vektor ( den%an kom&onen vektor ) yan% te%ak luru dan ebidan% den%an vektor (.

B x A = B (A sin ') = BA sin '   Ara# Vektor asil Perkalian Silang  Sekaran% ba%aimana menetukan arah dari hail &erkalian ilan% vektor ) : ( dan ( : )@ Ara/

a'il

Perkalian

Silang

A



B

Se&erti diebutkan ebelumnya &erkalian ilan% hailnya adalah vektor bukan kalar. /adi ia $u%a &unya arah. (earnya hail &erkalian udah kita temukan rumunya di ata, ekaran% kita akan bela$ar ba%aimana menentukan arahnya. #ita %ambar dulu kedua vektor ) dan ( -vektor ) dan ( ada bidan% datar yan% ama

#ita mialkan hail &erkalian ilan% ) : ( adalah vektor C. )rah vektor C nih te%ak luru den%an bidan% vektor ) dan (. 7ntuk menentukan arahnya kita bia men%%unakan kaida tan%an kanan. #ita men%%unakan tan%an den%an em&at $ari di%en%%amkan dan ibu $ari yan% dia+un%kan. #ita %en%%amkan $ari earah den%an arah dari ) ke ( -karena &erkalian ilan% ) : ( ehin%%a arahnya akan berla?anan den%an arah $arum $am. #ita te%akkan ibu $ari dan arah yan% ditun$ukkan oleh ibu  $ari terebut adalah arah vektor C. bu $ari menun$uk ke ata.

Ara/ a'il Perkalian Silang B  A Caranya e&erti ebelumnya karena ( : ) maka arah %en%%aman $ari -elain ibu $ari euai arah ( ke ). )rahnya adalah earah den%an arah $arum $am. aka ibu $ari menun$uk keba?ah. Simak ilutrai berikut.

Perkalian Silang dengan Vektor Satuan #ita da&at men%hitun% &erkalian ilan% $ika kita men%etahui kom&onen vektor yan% diketahui. Cara dan urutannya miri& &ada &erkalian titik. Perta*a #ita lakukan &erkalian ilan% vektor atuan i, $, dan k. -in%ar &erkalian ilan% ) : ( 3 )( in . #arena keti%a vektor atuan alin% te%ak luru maka i : i 3 ii in 05 3 0  $ : $ 3 $$ in 05 3 0 k : k 3 kk in 05 3 0

maka i : i 3 $ : $ 3 k : k 3 0 untuk &erkalian ilan% vektor atuan yan% berbeda men%%unakan atura iklu erikut

Aturann"a  $ika

&erkalian

menurut

urutan

i

69

$

69

k

maka

hailnya

&oiti!

-euai

iklu

 $ika &erkalian berkebalikan k69 $ 69 i maka hailnya adalah ne%ati! -berla?anan iklu 0edua #ita nyatakan vektor ) dan ( dalam kom&onen6kom&onennya, men%uraikan &erkaliannya dan men%%unakan &erkalian dari vektor6vektor atuannya. A < B 3 - A x     Ay  j   Az  k�  < -B x     By  j   Bz  k� A < B

 3

A x   

 <

B x   

 

A x   

 <

By  j 

 

A x   

 <

Bz  k�

+Ay  j 

 <

B x   

 

Ay  j 

 <

By  j 

 

Ay  j 

 <

Bz  k�

+Az  k�

 <

B x   

 

Az  k�

 <

By  j 

 

Az  k�

 <

Bz  k�

nah etelah ini obat bia &akai aturan iklu &ada %ambar ebelumnya. A < B

 3

A x By  k�

 A

A x Bz  j 

 A

Ay B x  k�

 

Ay Bz   

 

Az B x  j 

 A

Az By   

dan taraaaa ketemu deh rumu &erkalian ilan% untuk vektor atuan A < B 3 - Ay Bz  A Az By     - Az B x  A A x Bz  j   - A x By  A Ay B x  k�

Sekian dulu materi ba%aimana ih &erkalian vektor. /ika ada yan% belum $ela $an%an ra%u6ra%u untuk menanyakannya le?at kolom komentar di ba?ah ya.

Contoh Soal Vetor dan Pembahasannya Soal No. 10 Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8 satuan, B = 10 satuan. Kedua vektor ini membentuk sudut 37°. entukan hasil dari! a" A  B b" A # B ⋅

Pembahasan a" A  B adalah $erkalian titik %dot" antara vektor & dan vektor ' (ntuk $erkalian titik berlaku A  B = A B )os * +ehingga A  B = A B )os 37° = %8"%10"%0,8" =  satuan ⋅

⋅

⋅

b" A # B adalah $erkalian silang %)ross" vektor & dan vektor ' (ntuk $erkalian silang berlaku A # B = A B sin * +ehingga A # B = A B sin 37° = %8"%10"%0," = 8 satuan

Soal No. 11 +ebuah gaya F = %i / 3 j"  melakukan usaha dengan titik tangka$nya ber$indah menurut r = % i / a j" m dan vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu  dan sumbu y $ada koordinat kartesian. 'ila u saha itu bernilai  2, maka nilai a sama den gan... &.  '.  4. 7 D. 8 5. 1 +umber! +oal (6 ahun 11 Pembahasan +oal ini adalah soal $enera$an $erkalian titik %dot product " antara vektor gaya F dan vektor $er$indahan r dengan kedua vektor dalam bentuk i dan 9 atau vektor satuan. 'esaran yang dihasilkan nantinya adalah skalar %usaha termasuk besaran skalar, hanya memiliki besar, tan$a arah". (saha dilambangkan dengan : dari kata work. : = F  r  = %i / 39" ⋅ %i / a9" ⋅

4ara $erkalian titik dua vektor dalam bentuk i,9 adalah yang i kalikan i, yang 9 kalikan 9, hingga se$erti berikut  = 8 / 3a 3a =  ; 8 a = 18