Perangkat Pembelajaran Lengkap FISIKA SMA “Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar".

PERANGKAT PEMBELAJARAN LENGKAP FISIKA SMA “Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar” (Berdasarkan Kurikulum 2013) KELAS XI SEMESTER I

Diajukan guna memenuhi salah satu tugas Media Pembelajaran Fisika pada semester Juli-Desember 2013

Disusun oleh :

MIRA RESTUTI 1106306 PENDIDIKAN FISIKA (RM)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2013 Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 1

KATA PENGANTAR

Puji syukur, alhamdulillah penyusun panjatkan ke hadirat Allah SWT, atas kemurahanNya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan perangkat pembelajaran. Perangkat ini dibuat dengan maksud agar dapat dijadikan bahan ajar mata pelajaran fisika dan untuk merencanakan pembelajaran Fisika yang mendidik. Perangkat ini dibuat sebagai acuan bagi para guru untuk melakukan peer-teaching, microteaching dan implementasinya dalam pembelajaran nyata melalui kegiatan belajar sehingga diperoleh hasil belajar kognitif, afektif, dan psikomotorik. Hasil belajar kognitif Fisika meliputi produk dan proses, hasil belajar afektif terdiri dari perilaku berkarakter dan keterampilan sosial, hasil belajar psikomotorik berupa keterampilan dalam melaksanakan aktivitas kerja ilmiah. Dengan demikian perangkat pembelajaran ini merupakan contoh perangkat RPP dan kelengkapannya yang melatihkan keterampilan berpikir, keterampilan proses, keterampilan sosial, dan menumbuhkembangkan perilaku berkarakter. Perangkat ini terdiri dari: silabus, MINDMAP, Bahan Belajar, Kegiatan Belajar Siswa, LKS, Ringkasan materi, Jobsheet dan Kunci Jobsheet. Mudah-mudahan perangkat ini memberikan kemudahan bagi guru Fisika dalam mengelola pembelajaran sehingga memberikan ruang yang amat luas bagi peserta didiknya untuk mengembangkan keterampilan berpikir, keterampilan proses, keterampilan sosial, dan mewujudkan perilaku berkarakter.

Padang, Oktober 2013 Penyusun

Mira Restuti

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 2

DAFTAR ISI

Cover………………………………………………………… 1 Kata Pengantar……………………………………………... 2 Daftar Isi…………………………………………………….. 3 Kompetensi Yang Ingin Dicapai…………………………… 4 1. BAB / SUBBAB……………………………………….. 5 2. MINDMAP……………………………………………. 6 3. Bahan Belajar (Materi)………………………………. 7 4. Kegiatan Belajar Siswa………………………………. 44 5. Lembar Kerja Siswa…………………………………. 50 6. Ringkasan Materi……………………………………. 60 7. Jobsheet………………………………………………. 62 8. Kunci Jawaban Jobsheet……………………………. 69 9. Power Point Lengkap………………………………… Terlampir Kepustakaan………………………………………………..

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

84

Hal 3

KOMPETENSI YANG INGIN DICAPAI

A. Kompetensi Inti KI.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

KI.2 Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan social dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI. 3 Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan factual, konseptual, procedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan procedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

KI. 4 Mengolah, menalar dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya disekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

B. Kompetensi Dasar : 1.1 Menyadari kebesaran Tuhan yang menciptakan dan mengatur alam jagat raya melalui pengamatan fenomena alam fisis dan pengukurannya. 2.1 Menunjukkan perilaku ilmiah (memiliki rasa ingin tahu; objektif; jujur; teliti; cermat; tekun; hati-hati; bertanggung jawab; terbuka; kritis; kreatif; inovatif; dan peduli lingkungan) dalam aktivitas sehari-hari sebagai wujud implementasi sikap dalam melakukan percobaan, melaporkan dan berdiskusi. 3.1 Menganalisis gerak parabola dan gerak melingkar dengan menggunakan vector. 4.1 Mengolah dan menganalisis data hasil percobaan gerak parabola dan gerak melingkar.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 4

BAB / SUBBAB

Gerak Satu Dimensi

Percepatan

Gerak Dua Dimensi

KINEMATIKA Kecepatan

Vektor

Gerak Parabola

Gerak Melingkar

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 5

MINDMAP

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 6

BAHAN BELAJAR KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

Pernahkah Anda menjentikkan uang logam dengan jari Anda? Jika Anda pernah melakukannya dan dapat mengamati bentuk lintasan yang dibentuk saat uang logam itu bergerak, anda akan dapat melihat bahwa lintasan tersebut berbentuk parabola. Bentuk lintasan uang logam yang berbentuk parabola tersebut dapat difoto menggunakan stroboscope. Di Kelas X, Anda telah mempelajari gerak lurus dan gerak melingkar. Dalam materi bab ini, Anda akan mempelajari tentang gerak secara keseluruhan, yaitu gerak lurus, gerak parabola, dan gerak melingkar dengan menggunakan analisis vektor, perhitungan diferensial, dan integral. Setelah mempelajari materi bab ini, Anda akan memahami bahwa gerak parabola dapat dianalisis melalui perpaduan antara gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) yang arahnya saling tegak lurus. Dapatkah Anda menyebutkan contoh-contoh gerak keseharian lain yang lintasannya berbentuk parabola?

A. Persamaan Gerak Benda Apakah yang dimaksud dengan gerak? Banyak definisi telah dikemukakan oleh para ilmuwan untuk mendeskripsikan gerak. Namun, secara Fisika Anda dapat menyatakan bahwa gerak ditentukan karena adanya kelajuan, kecepatan, dan percepatan benda. Seluruh kajian tentang gerak benda yang Anda pelajari akan berhubungan dengan kedudukan benda, kecepatan, percepatan, dan waktu. Dalam membahas tentang gerak benda, seringkali benda dimisalkan sebagai partikel atau benda titik, yaitu benda yang ukurannya diabaikan dan memiliki massa tetap (konstan). Hal ini dimaksudkan untuk memudahkan dalam mempelajari gerak benda tersebut. Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang gerak lurus dan gerak melingkar, serta hubungan antara gaya dan percepatan. Dalam bab ini, Anda akan mempelajari materi tentang gerak dengan lebih dalam menggunakan perhitungan vektor, diferensial, dan integral. 1. Vektor Posisi Di Kelas X, Anda telah mempelajari bahwa besaran dalam Fisika digolongkan ke dalam dua kelompok, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Bandingkanlah kedua pernyataan berikut. Mobil Ali bergerak dengan kecepatan 60 km/jam ke utara. Mobil Budi bergerak dengan kelajuan 60 km/jam. Manakah dari dua pernyataan tersebut yang merupakan

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 7

besaran vector ? Kecepatan memiliki besar dan arah sehingga disebut sebagai besaran vektor, sedangkan kelajuan hanya memiliki besar saja sehingga disebut sebagai besaran skalar. Apabila benda dianggap sebagai benda titik, atau partikel, posisi benda tersebut pada suatu bidang dapat dinyatakan dengan vektor posisi r, yaitu sebuah vektor yang ditarik dari titik asal sampai ke posisi titik tersebut berada. Vektor posisi r suatu partikel pada bidang xy dapat dinyatakan sebagai berikut :

r = xi + yj

(1–1)

dengan (x, y) adalah koordinat partikel, sementara i dan j adalah vektor satuan yang menyatakan arah pada sumbu-x dan sumbu-y. Vektor satuan memiliki nilai 1 satuan.

Gambar 1. Vektor satuan i pada arah sumbu-x dan vektor satuan j pada arah sumbu-y.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 8

Gambar 2. Posisi titik A dinyatakan dalam vektor posisi dengan rA = xi + yj . Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah Gambar 3. berikut.

Gambar 3. Posisi titik A apabila dinyatakan dalam vektor posisi rA=(5i + 3j) cm.

Posisi partikel A di bidang xy adalah pada x = 5 cm dan y = 3 cm, atau pada koordinat (5, 3). Vektor posisi partikel A dinyatakan sebagai berikut :

rA = xAi + yAj = (5i + 3j) cm.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 9

2. Perpindahan Perpindahan adalah perubahan posisi (kedudukan) suatu benda dalam waktu tertentu. Sebuah partikel berpindah dari titik P ke titik Q menurut lintasan kurva PQ, seperti pada Gambar 4.

Gambar 4. Garis putus-putus menyatakan lintasan partikel. Perpindahan posisi partikel dari posisi awal di titik P ke posisi titik Q dinyatakan dengan Δr. Apabila posisi titik P dinyatakan sebagai rP dan posisi titik Q dinyatakan sebagai rQ maka perpindahan yang terjadi dari titik P ke titik Q tersebut adalah vektor Δ r, yaitu :

Δr = rQ – rP

(1–2)

Persamaan (1–2) jika diubah dalam kalimat dapat dinyatakan bahwa perpindahan suatu benda sama dengan posisi akhir benda dikurangi posisi awal. Bagaimanakah cara menentukan besar perpindahan yang dilakukan oleh partikel tersebut? Setiap benda membutuhkan waktu untuk berpindah atau mengubah kedudukannya. Dalam kasus perpindahan tersebut, pada saat t = t1, partikel berada di titik P dengan vektor posisinya rP. Pada saat t = t2, partikel berada di titik Q dengan vektor posisinya rQ.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 10

Kemudian, apabila rP= (xPi + yPj) dan rQ = (xQi + yQj), Persamaan (1–2) dapat dituliskan menjadi rPQ = (xQi + yQj) – (xPi + yPj) = (xQ – xP)i + (yQ – yP)j. Apabila xQ – xP = Δx dan yQ – yP = Δy, serta perpindahan yang dilakukan partikel rPQ dinyatakan sebagai Δr, Persamaan (1–2) berubah menjadi :

Δr = Δxi + Δyj

(1–3)

Oleh karena besar perpindahan partikel Δr sama dengan panjang vektor Δr maka dapat dituliskan :

Arah perpindahan partikel dapat ditentukan dari besar sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x. Perhatikanlah Gambar 5 berikut.

Gambar 5. Perpindahan vektor Δ r menurut sumbu-x adalah sebesar Δ x dan menurut sumbu-y sebesar Δ y. Apabila sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x adalah θ , arah perpindahan vektor Δr dinyatakan sebagai :

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 11

Contoh Soal 1 : Sebuah titik materi bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di titik P dan di titik Q. Hitunglah vektor perpindahan dari titik P ke titik Q serta besar dan arah vektor perpindahan tersebut. Penyelesaian: Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11, 8). Vektor posisi di titik P (rP) dan vektor posisi di titik Q (rQ) adalah : rP = 3i + 2j rQ = 11i + 8j Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang diperoleh sebagai berikut : Δr = rQ – rP = (11i + 8j) – (3i + 2j) Δr = 8i + 6j Besar vektor Δr adalah : Arah perpindahan vektor itu adalah : tanθ = Δy / Δx = 6/8 = 3/4 sehingga θ = 37° Jadi, vektor perpindahan adalah Δr = 8i + 6j, panjang perpindahannya 10 satuan, dan sudut arah perpindahannya 37° terhadap arah sumbu-x positif. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah gambar berikut.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 12

3. Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat Secara matematis, kecepatan didefinisikan sebagai perubahan posisi per satuan waktu. Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang kecepatan yang terbagi atas kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. Sekarang, Anda akan membahas analisis mengenai kedua jenis kecepatan tersebut ditinjau dari perhitungan vektor.

a. Kecepatan Rata-Rata Perhatikanlah Gambar 6. Posisi benda di titik P pada saat t dinyatakan sebagai r. Kemudian, benda tersebut berpindah selama selang waktu Δt sejauh Δr sehingga pada saat t + Δt, benda berada di titik Q dengan posisi r + Δr.

Gambar 6. Sebuah benda berpindah secara linear dari titik P ke titik Q. Berdasarkan Persamaan (1–3) dapat dituliskan perpindahan posisi benda adalah sebagai berikut.

Δr = (r + Δr) – r

Berdasarkan definisi matematis kecepatan, dapat dituliskan :

(1-6)

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 13

dengan :

disebut kecepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-x dan sumbu-y dapat dicari dengan cara memasukkan nilai Δr dari Persamaan (1–3) sebagai berikut :

(1–7)

Perhatikanlah Gambar 7. Gambar tersebut menunjukkan grafik perpindahan benda dari titik P ke titik Q menurut sumbu-x.

Gambar 7. Apabila gerak benda hanya pada arah sumbu-x maka kecepatan rata-rata benda v x adalah kemiringan garis yang menghubungkan titik P dengan titik Q, yaitu Δx/Δt. Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa selama selang waktu Δt, benda berpindah sejauh Δx. Oleh karena itu, kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-x, yaitu Δx/Δt dituliskan dengan lambang . Apabila benda tersebut juga berpindah menurut sumbu-y, kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-y, yaitu Δy/Δt. dituliskan dengan lambang .Dengan demikian, kecepatan rata-rata sebuah benda pada bidang xy dapat dituliskan sebagai berikut :

(1–8) Besar kecepatan rata-rata benda dapat dihitung menggunakan persamaan berikut. (1–9)

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 14

b. Kecepatan Sesaat Kecepatan sesaat suatu benda dapat diketahui dengan cara menghitung kecepatan rata-rata benda tersebut untuk selang waktu yang sangat singkat atau Δt mendekati nol. Penulisannya secara matematis adalah sebagai berikut :

(1–10)

Perhatikanlah Gambar 8. berikut.

Gambar 8. Grafik x terhadap t untuk selang waktu Δt yang semakin kecil. Dari gambar tersebut, dapat Anda lihat bahwa kemiringan garis yang menyatakan kecepatan rata-rata suatu benda akan semakin curam apabila selang waktu perpindahannya semakin kecil. Oleh karena itu, kecepatan sesaat dapat didefinisikan sebagai kemiringan garis tangensial pada titik P, yaitu turunan posisi terhadap waktu.

Pada Gambar 8, kecepatan sesaatnya secara matematis dituliskan sebagai berikut. (1–11)

Dalam kajian vektor, kecepatan sesaat benda yang bergerak menurut sumbu-x dan sumbu-y dinyatakan sebagai berikut. (1–12)

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 15

Oleh karena dx/dt = vx dan dyx/dt = vy maka Persamaan (1–12) dapat dituliskan menjadi :

v = vxi + vyj

(1–13)

Besarnya kecepatan sesaat atau kelajuan rata-rata benda dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut.

(1–14)

Perhatikanlah Gambar 9. Dari grafik kecepatan terhadap waktu benda di titik P yang memiliki kecepatan v, arah kecepatan benda di titik tersebut terhadap sumbu-x dinyatakan dengan θ .

Gambar 9. Arah percepatan v di titik P terhadap sumbu-x positif. Besar θ secara matematis, dapat diperoleh sebagai berikut :

(1–15) dengan: vx = v cosθ ; vy = v sinθ.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 16

Tokoh Fisika : Galileo Galilei (1564–1642)

Galileo lahir di Pisa, Italia. Pada umur 19 tahun, ia mempelajari matematika dan mengembangkan penelitiannya tentang gerak mekanik, terutama mengenai gerak di bidang miring, gerak pendulum, dan gerak jatuh bebas. Saat mengajar di Universitas Padua, ia menjadi penyokong teori Copernicus mengenai sistem Matahari, yang bertentangan dengan teori yang diakui saat itu. Saat menerbitkan karyanya, ia disidang untuk menyangkal hasil penelitiannya, namun ia tetap yakin dengan penelitiannya dan tidak mau menyerah. Setelah ia dijatuhi hukuman tahanan rumah, ia meninggal pada umur 78 tahun. Walaupun begitu, ia menyelesaikan penelitiannya mengenai gerak. Karya tulisnya, kemudian diselundupkan dari Italia dan diterbitkan di Belanda. (Sumber: www.hao.ucar.edu).

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 17

Contoh Soal 2 : Sebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang dengan sumbu koordinat x dan y. Posisi partikel berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah: a. perpindahan partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon; b. besar kecepatan rata-rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon; c. besar dan arah kecepatan partikel pada saat t = 2 sekon. Penyelesaian : Diketahui: vektor posisi partikel, yaitu r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j. a. t1 = 0 sekon adalah r1 = [6 + (3)(0)]i + [8 + (4)(0)]j = (6i + 8j) meter. t2 = 2 sekon adalah r2 = [6 + (3)(2)]i + [8 + (4)(2)]j = (12i + 16j) meter. Perpindahan partikel dari t1 = 0 sekon hingga t2 = 2 sekon adalah : Δr = r2 – r1 = (12i + 16j) – (6i + 8j) = (6i + 8j) meter Besar vektor Δr adalah : b. Kecepatan rata-rata partikel adalah :

Besar kecepatan rata-rata partikel adalah :

Vektor kecepatan partikel sebagai fungsi waktu ditentukan sebagai berikut. vx = dx/dt = d/dt (6 + 3t) = 3 m/s vy = dy/dt = d/dt (8 + 4t) = 4 m/s Dengan demikian, diperoleh vektor kecepatan sesaat partikel adalah : v = vxi + vyj = (3i + 4j) m/s. Besar kecepatan sesaat partikel adalah :

Arah vektor kecepatan sesaat terhadap sumbu-x adalah θ dengan : tanθ = vy / vx = 4/3 θ = 53°.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 18

4. Menetukan Posisi dari Fungsi Kecepatan Fungsi posisi suatu benda, yaitu koordinat benda (x, y) dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan persamaan kecepatan benda sebagai fungsi waktu. Dalam arah sumbu-x, fungsi posisi benda diturunkan sebagai berikut :

vx = dy/dt atau dy = vxdt

Posisi x ditentukan dengan :

Dalam arah sumbu-y, fungsi posisi benda diturunkan sebagai berikut.

vy = dy/dt atau dy = vydt

Posisi y ditentukan dengan :

(x0, y0) menyatakan koordinat posisi awal benda, sedangkan (x, y) menyatakan koordinat posisi benda setelah bergerak dalam selang waktu t.

Apabila dituliskan dalam bentuk vektor, posisi benda dapat dituliskan sebagai berikut:

r = xi + yj

(1–16)

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 19

atau

(1–17)

Secara matematis, integral adalah penjumlahan yang kontinu. Dengan demikian, posisi benda dapat ditentukan dengan metode grafik sebagai berikut. Apabila kecepatan sebuah benda dinyatakan dengan persamaan vx = 2t + 5, posisi benda adalah :

Misalkan, batas integral adalah dari t = 0 sampai dengan t = 2. Dengan memasukkan nilai batas integral, didapatkan perpindahan benda adalah :

Cara lain untuk menentukan perpindahan benda adalah dengan menghitung luas daerah di bawah kurva v(t).

Gambar 10. Luas daerah yang diarsir menyatakan besar perpindahan yang dilakukan benda dalam selang waktu t = 0 sampai dengan t = 2.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 20

Contoh Soal 3 : Sebuah mobil dengan kecepatan 36 km/jam direm mendadak sehingga terbentuk bekas di jalan sepanjang 20 m. Waktu pengereman yang dibutuhkan sampai mobil tersebut berhenti adalah .... Penyelesaian : Diketahui: v0 = 36 km/jam = 10 m/s Δr = luas segitiga maka, 20 = (½) (t) (10) t=4s

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa besar perpindahan benda sama dengan luas di bawah kurva kecepatan sebagai fungsi waktu v(t). Secara matematis dituliskan sebagai berikut.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 21

Contoh Soal 4 : Sebuah benda bergerak pada bidang xy. Pada posisi awal, benda berada pada koordinat (3,2) m. Komponen-komponen kecepatan benda memenuhi persamaan vx = 12 + 4t dan vy = 9 + 3t dengan vx dan vy dalam m/s, dan t dalam sekon. Tentukanlah: a. persamaan umum vektor posisi benda, b. posisi benda pada saat t = 3 sekon, dan c. perpindahan benda antara t = 1 sekon dan t = 3 sekon. Penyelesaian : Diketahui: posisi awal benda (3, 2) m, vx = 12 + 4t, dan vy = 9 + 3t. a. Posisi awal benda (3,2) m maka x0 = 3 m dan y0 = 2 m. Dengan demikian, diperoleh :

r = (3 + 12t + 2t2)i + (2 + 9t + 3/2 t2)j b. Posisi benda pada saat t = 3 sekon adalah : x = 3 + (12) (3) + (2) (32) = 57 m y = 2 + (9) (3) + (3/2) (32) = 42,5 m Jadi, pada saat t = 3 sekon vektor posisi benda dapat dituliskan sebagai r = (57i + 42,5j ) meter. c. Pada t1 = 1 sekon maka r1 = [3 + (12)(1) + (2)(12)]i + [2 + (9)(1) + (3/2 )(12)]j = (17i + 12,5j) meter Pada t2 = 3 sekon maka r2 = [3 + (12)(3) + (2)(32)]i + [2 + (9)(3) + (3/2)(32)]j = (57i + 42,5j) meter Perpindahan partikel dari t1 = 1 sekon hingga t2 = 3 sekon adalah Δr = r2 – r1 = (57i + 42,5j) – (17i + 12,5j) = (40i + 30j) meter Besar vektor Δr adalah :

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 22

5. Percepatan Rata-Rata dan Percepatan Sesaat Percepatan adalah perubahan kecepatan per satuan waktu. Perubahan kecepatan per satuan waktu yang bernilai positif disebut percepatan, sedangkan yang bernilai negatif disebut perlambatan. Sebagaimana halnya dengan kecepatan, pembahasan percepatan juga terbagi atas dua, yaitu percepatan rata-rata dan percepatan sesaat.

a. Percepatan Rata-Rata Perhatikanlah Gambar 12.

Gambar 12. Grafik percepatan.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 23

Grafik kecepatan terhadap waktu pada gambar tersebut menyatakan gerak benda yang berpindah dengan kecepatan tertentu setiap saatnya. Apabila pada saat t kecepatan benda adalah v dan pada saat t +Δt kecepatannya v + Δv, percepatan ratarata benda tersebut (ā) dinyatakan sebagai berikut.

(1–19)

Penulisan Persamaan (1–19) dalam bentuk vektor dalam arah sumbu-x dan sumbu-y adalah sebagai berikut.

(1–20)

Oleh karena :

Persamaan (1–20) dapat ditulis menjadi : (1–21) Besar percepatan rata-rata dinyatakan sebagai :

(1–22) Arah percepatan rata-rata dapat dituliskan sebagai berikut.

(1–23)

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 24

b. Percepatan Sesaat Percepatan sesaat merupakan kecepatan rata-rata untuk selang waktu Δt yang sangat kecil atau mendekati nol. Secara matematis, persamaannya dituliskan sebagai berikut. (1–24)

Apabila vektornya disesuaikan menurut arah sumbu-x dan sumbu-y, Persamaan (1– 24) berubah menjadi :

(1–26)

Oleh karena v = dr/dt maka Persamaan (1–25) dapat dituliskan sebagai berikut :

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 25

TAHUKAH ANDA ? Jatuh Bebas

Dahulu orang percaya pada gagasan Aristoteles mengenai benda jatuh, yaitu benda yang lebih berat

akan

lebih

dulu

mencapai

tanah

dibandingkan benda yang lebih ringan. Melalui percobaannya dengan mengukur waktu tempuh bola-bola yang digelindingkan pada suatu bidang miring, Galileo membantah gagasan Aristoteles tersebut.

Dari

hasil

percobaannya,

Galileo

berkesimpulan bahwa waktu yang dibutuhkan kedua benda jatuh untuk mencapai tanah adalah sama. (Sumber: Jendela Iptek, 1997)

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 26

Contoh Soal 5 : Sebuah partikel bergerak dengan fungsi kecepatan v(t) = 2t2 – 3t + 10 jika v dinyatakan dalam m/s dan t dalam sekon, tentukanlah: a. percepatan rata-rata partikel untuk selang waktu t = 2 sekon sampai t = 4 sekon, b. percepatan awal partikel, dan c. percepatan partikel pada saat t = 6 sekon. Penyelesaian : Diketahui: v(t) = 2t2 – 3t + 10. a. Untuk menghitung percepatan rata-rata, tentukan lebih dahulu Δv dan Δt sebagai berikut.

Persamaan umum kecepatan adalah v(t) = 2t2 – 3t + 10 sehingga : untuk t2 = 4 sekon, v2 = 2(4)2 – 3(4) + 10 = 30 m/s untuk t1 = 2 sekon, v1 = 2(2)2 – 3(2) + 10 = 12 m/s Diperoleh :

b. Persamaan umum percepatan sesaat diperoleh sebagai turunan pertama dari fungsi kecepatan, yaitu: Percepatan awal partikel adalah percepatan pada t = 0 sehingga : a = 4(0) – 3 = –3 m/m2. c. Percepatan partikel pada saat t = 6 sekon adalah a = 4(6) – 3 = 21 m/m2.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 27

6. Menentukan Kecepatan dari Fungsi Percepatan Fungsi kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metode integral, yaitu :

atau :

Secara matematis, integral adalah penjumlahan yang kontinu. Metode yang digunakan untuk memeroleh nilai kecepatan dari fungsi percepatan dapat dilakukan dengan analogi pada cara untuk mendapatkan nilai perpindahan dari fungsi kecepatan. Perhatikan Gambar 13. Kecepatan partikel secara grafik dapat ditentukan sebagai berikut.

Gambar 13. Luas daerah yang diarsir menyatakan besar kecepatan yang dilakukan benda dalam selang waktu t. Besar kecepatan = luas daerah di bawah kurva a (t)

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 28

Contoh Soal 6 : Sebuah benda bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s. Jika benda mengalami percepatan a (t) = (4t –2) m/s2, tentukanlah: a. persamaan kecepatan benda, dan b. kecepatan benda pada t = 2 sekon. Kunci Jawaban : Diketahui: vo = 3 m/s dan a(t) = (4t – 2) m/s2. a. Kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metode integral. v = v0 + ∫ a dt = 3 + ∫ (4t – 2) dt = (3 + 2t2 – 2t) m/s2. b. Kecepatan benda pada saat t = 2 sekon adalah v = 3 + (2)(2)t2 – (2)(2) = 7 m/s.

7. Gerak Lurus Beraturan dan Gerak Lurus Berubah Beraturan

Di Kelas X, Anda telah mengenal dan mempelajari dua jenis gerak lurus, yaitu gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Pada gerak lurus beraturan, kecepatan gerak benda tetap dan percepatan benda sama dengan nol. Persamaan geraknya diperoleh melalui persamaan:

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 29

Pada GLB, nilai v tetap dan tidak bergantung pada waktu sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi:

s = s0 + vt

(1–28)

dengan s0 merupakan jarak tempuh benda pada saat t = 0.

Pada gerak lurus berubah beraturan (GLBB), benda bergerak dengan percepatan tetap. Persamaan geraknya diperoleh melalui :

Pada GLBB, nilai a tetap dan tidak bergantung waktu sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi :

Dengan demikian, diperoleh persamaan sebagai berikut.

vt = v0 + at

(1–29)

atau, (1–30)

Apabila Persamaan (1–29) diintegralkan, akan diperoleh jarak tempuh benda, yaitu :

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 30

Oleh karena v(t) = v0 + at maka :

(1–31) Jika s0 = 0, akan diperoleh persamaan :

Kemudian, jika Persamaan (1–30) disubstitusikan ke Persamaan (1–32) diperoleh :

2as = 2v0 vt – 2v02 + vt2 – 2v0 vt + v02

vt2 = v02 + 2as

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

(1–33)

Hal 31

B. Gerak Parabola

Perhatikanlah lintasan yang dibentuk oleh bola basket yang dilemparkan ke dalam ring pada Gambar 14.

Gambar 14. Lintasan bola basket saat dilemparkan ke dalam ring akan berbentuk parabola. Lintasan bola basket tersebut berbentuk parabola. Gerak yang lintasannya berbentuk parabola disebut gerak parabola. Contoh umum gerak parabola adalah gerak benda yang dilemparkan ke atas membentuk sudut tertentu terhadap permukaan tanah. Gerak parabola dapat dipandang dalam dua arah, yaitu arah vertikal (sumbu-y) yang merupakan gerak lurus berubah beraturan (GLBB), dan arah horizontal (sumbux) yang merupakan gerak lurus beraturan (GLB). Perhatikan Gambar 15. berikut.

Gambar 15. Arah gaya pada lintasan gerak parabola.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 32

Gerak pada sumbu-x (horizontal) adalah gerak lurus beraturan karena kecepatan benda di setiap titik bernilai konstan dan berlaku persamaan

vx = v0x = v0 cos α

(1–34)

Adapun, jarak mendatar yang ditempuh oleh sebuah benda ditentukan oleh persamaan :

x = vx t = v0 cos α t

(1–35)

Gerak pada sumbu-y (vertikal) adalah gerak lurus berubah beraturan, karena benda mengalami perubahan kecepatan akibat percepatan gravitasi Bumi. Dalam hal ini, arah gerak benda vertikal ke atas sehingga persamaan kecepatan geraknya pada setiap titik adalah :

vy = v0y – gt

(1–36)

oleh karena v0y = v0 sinα , Persamaan (1–36) dapat dituliskan menjadi :

vy = v0 sinα – gt

(1–37)

Posisi benda pada sumbu-y (menurut ketinggian) dapat dituliskan dengan persamaan berikut :

(1–38) atau :

(1–39)

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 33

1. Kecepatan dan Arah Kecepatan Benda di Sembarang Titik Pada gerak parabola, benda memiliki kecepatan pada komponen sumbu-x dan sumbu-y sehingga besar kecepatan benda di sembarang titik secara matematis, dirumuskan sebagai berikut. (1–40)

Arah kecepatan benda terhadap sumbu mendatar (sumbu-x) dirumuskan sebagai berikut. (1–41)

Oleh karena nilai vx selalu positif maka positif atau negatifnya sudut θ bergantung pada nilai vy. 2. Beberapa Persamaan Khusus pada Gerak Parabola Persamaan-persamaan khusus gerak parabola ini hanya berlaku untuk gerak parabola dengan lintasan dari tanah, kemudian kembali lagi ke tanah seperti pada Gambar 16.

Gambar 16. Lintasan gerak parabola benda dengan titik tertinggi di B dan titik terjauh di C. Pada contoh gerak parabola tersebut, suatu benda bergerak dari titik A dengan kecepatan awal v0 dan sudut θ . Benda tersebut mencapai titik tertinggi di titik B dan jarak terjauh di titik C. a. Waktu untuk Mencapai Titik Tertinggi (Titik B) Pada saat benda yang melakukan gerak parabola mencapai titik tertinggi, kecepatan benda pada komponen vertikal (sumbu-y) vy = 0. Persamaannya adalah sebagai berikut.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 34

vy = v0y – gtAB 0 = v0 sinα – gtAB gtAB = v0 sinα

(1–42)

Ketinggian benda di titik tertinggi adalah H = ½ g(tBC)2. Sifat simetri grafik parabola memperlihatkan bahwa waktu yang diperlukan benda untuk mencapai titik tertinggi dari posisi awal (tAB), sama dengan waktu tempuh benda dari titik tertinggi ke jarak terjauh (tBC). Dengan demikian, akan diperoleh persamaan :

(1–43)

b. Tinggi Maksimum (H) Tinggi maksimum benda yang melakukan gerak parabola dapat ditentukan dari penurunan Persamaan (1–43) sebagai berikut.

dikuadratkan menjadi :

(1–44) c. Jarak Terjauh (X ) Waktu tempuh untuk mencapai titik terjauh (titik C) sama dengan dua kali waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi (tAC = 2 tAB). Jarak terjauh yang dicapai benda pada sumbu-x (dilambangkan dengan X) adalah :

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 35

Menurut trigonometri, 2 sinα cosα = sin2α sehingga persamaan untuk jarak terjauh yang dapat dicapai benda dapat dituliskan :

(1–45) Perbandingan antara jarak terjauh (X) dan tinggi maksimum (H) akan menghasilkan persamaan :

(1–46)

Contoh Soal 7 : Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 60 m/s dan sudut elevasi 30°. Ketinggian maksimum yang dicapai peluru adalah .... Kunci Jawaban : Diketahui: v0 = 60 m/s α = 30° g = 10m/s2

H = 45 m

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 36

TAHUKAN ANDA ? Loncat Batu Pulau Nias

Loncat Batu Pulau Nias (KOMPAS/MOHAMMAD HILMI FAIQ) Penduduk di Pulau Nias memiliki tradisi unik. Seorang pemuda Nias dewasa atau menginjak dewasa harus mampu meloncati batu yang tingginya sekitar 2 meter, sebagai tanda keberanian, kedewasaan, dan kesatriaan. Gerak yang dilakukan oleh pemuda Nias ini merupakan salah satu contoh gerak parabola yang telah dikenal sejak dulu oleh para penduduk Nias. Dalam menyelesaikan tantangan loncat batu ini, loncatan yang dibuat peloncat harus memiliki kecepatan awal tertentu, tinggi maksimum, dan rentang maksimum, sebagaimana yang telah Anda pelajari dalam materi gerak parabola. (Sumber: www.geocities.com)

3. Persamaan Vektor Gerak Parabola

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 37

Menurut analisis vektor, persamaan-persamaan gerak parabola dapat dituliskan sebagai berikut. Vektor posisi pada gerak parabola adalah :

r = xi + yj r = (v0 cosα t)i + (v0 sinα t –½ gt 2)j

(1–47)

Vektor kecepatan gerak parabola adalah

v = vxi + vy j v = (v0 cosα )i + (v0 sinα – gt 2)j

(1–48)

Dalam kehidupan sehari-hari, Anda banyak menjumpai contoh gerak melingkar. Bumi berputar mengelilingi Matahari dalam orbit yang mendekati lingkaran, demikian juga satelit-satelit yang bergerak dalam orbit melingkar mengelilingi Bumi. Mobil yang bergerak mengitari suatu sudut juga bergerak dalam busur melingkar. Kajian tentang gerak melingkar telah Anda pelajari di Kelas X. Dalam subbab ini, pembahasan gerak melingkar akan ditinjau secara umum menggunakan fungsi turunan dan integral.

C. Gerak Melingkar

Di kelas X, Anda telah mempelajari bahwa suatu partikel dikatakan bergerak melingkar beraturan, jika partikel tersebut bergerak dalam lintasan berbentuk lingkaran atau busur lingkaran dengan kelajuan konstan. Walaupun kelajuan partikel tersebut tidak berubah, namun partikel tersebut tetap memiliki percepatan. Mengapa demikian? Anda tentu telah memahami bahwa percepatan partikel (perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu) merupakan perubahan kelajuan partikel tersebut. Namun, Anda tidak boleh lupa bahwa kecepatan merupakan besaran vektor. Oleh karena kecepatan merupakan besaran vektor, perubahan arah kecepatan saja (besar kecepatan tetap) akan menimbulkan percepatan, seperti yang terjadi pada gerak melingkar beraturan.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 38

Perhatikanlah Gambar 17. berikut.

Gambar 17. Arah vektor kecepatan dan percepatan pada gerak melingkar. Pada gambar tersebut ditunjukkan hubungan antara vektor kecepatan dan percepatan pada gerak melingkar beraturan. Besar kecepatan dan percepatan pada gerak melingkar beraturan tidak berubah-ubah, namun arahnya selalu berubah-ubah setiap saat. Arah kecepatan selalu menyinggung lintasan lingkaran (tangensial terhadap lingkaran), sedangkan percepatan selalu mengarah ke pusat lingkaran sehingga disebut percepatan sentripetal. Perhatikanlah Gambar 18.

Gambar 18. Partikel P bergerak melingkar berlawanan arah jarum jam.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 39

Vektor kecepatannya (v) selalu berubah-ubah terhadap waktu, walaupun besar vektor kecepatannya tetap. Suatu partikel yang bergerak melingkar beraturan di titik P dengan jari-jari lingkaran r. Oleh karena arah kecepatan selalu tegak lurus jari-jari r (tangensial terhadap lingkaran), sudut θ yang dibentuk oleh v terhadap garis vertikal di titik P akan sama besar dengan sudut θ yang dibentuk oleh jari-jari r terhadap sumbu-x. Vektor kecepatan di titik P tersebut dapat diuraikan menjadi vektor komponennya menurut sumbu-x dan sumbu-y, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 19 berikut.

Gambar 19. Kecepatan v dan komponen vektornya menurut sumbu-x dan sumbu-y.

Dengan demikian, dapat dituliskan :

v = vxi + vyj

(1–49)

atau

v= (–v sinθ )i + (v cosθ )j

(1–50)

Perhatikan kembali Gambar 18. Dari gambar tersebut, Anda dapat mengganti sinθ dengan yp r dan cosθ dengan xp/r Persamaan (1–50) dapat ditulis menjadi :

(1–51)

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 40

Percepatan gerak melingkar beraturan dapat ditentukan dari turunan pertama Persamaan (1–51) sebagai berikut.

(1–52)

Oleh karena :

dan

serta vx = -v sinθ dan vy = -v cosθ maka Persamaan (1–52) dapat ditulis menjadi :

(1–53)

Vektor percepatan dan komponen vektornya menurut sumbu-x dan sumbu-y ditunjukkan oleh Gambar 20.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 41

Gambar 20. Percepatan a dan komponen vektornya menurut sumbu-x dan sumbu-y. Berdasarkan uraian gambar tersebut, dapat ditentukan besar percepatan sentripetal melalui persamaan berikut.

Sedangkan, arah vektor percepatan, φ , dapat ditentukan dari persamaan :

tanφ = tanθ

(1–55)

Dari Persamaan (1–54) dan Persamaan (1–55), terbukti bahwa percepatan sentripetal a = v2/r dan arahnya selalu menuju pusat lingkaran (φ θ = ).

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 42

Contoh Soal 8 : Berapakah percepatan sentripetal, dalam satuan g, yang dirasakan oleh seorang pilot yang menerbangkan pesawatnya dengan kelajuan v = 2.500 km/jam dalam lintasan lingkaran berjari-jari r = 5,8 km? Kunci Jawaban : Diketahui: v = 2.500 km/jam dan r = 5,8 km. Berdasarkan persamaan percepatan sentripetal, didapatkan :

Contoh Soal 9 : Sebuah bola yang terikat bergerak dalam lingkaran horizontal yang berjari-jari 2 m. Bola membuat satu putaran dalam 3 s. Berapakah percepatan sentripetal bola tersebut? Kunci Jawaban : Diketahui: r = 2 m dan T = 3 s. Untuk menentukan percepatan sentripetal, tentukan kecepatan linear terlebih dahulu dengan cara membagi panjang lintasan dengan waktu yang dibutuhkan untuk menempuh lintasan tersebut. Dalam kasus ini panjang lintasannya berupa keliling lingkaran dengan jari-jari r.

v = 4,19 m/s. Jadi, besar percepatan sentripetal bola adalah :

a = 8,78 m/s 0,9 g.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 43

KEGIATAN BELAJAR SISWA

A. Membandingkan Waktu Tempuh Benda pada Gerak Jauh Bebas dan Gerak Parabola 1. PENGAMATAN Proyektil dan Gesekan udara Ketika gesekan udara cukup besar bekerja pada sebuah proyektil ringan, gesekan udara akan secara dramatic mempengaruhi lintasan. Proyektil tidak akan menempuh busur parabola simetris, sebagai gantinya proyektil akan menukik jauh lebih tajam. Ambil kertas tisu persegi berukuran 5 cm atau 6 cm, remas-remas hingga kertas membentuk gumpalan halus dengan diameter kira-kira 1,2 cm. Lempar kertas ke udara pada sudut kira-kira 45 derajat dengan kelajuan sebesar mungkin. (hambatan udara sebanding dengan kuadrat kelajuan). Gumpalan akan mencapai suatu ketinggian maksimum dan kemudian jatuh hampir tegak lurus kebawah. Ambil kembali gumpalan kertas, remas-remas lagi supaya menggumpal. Lempar kembali kertas ke udara tetapi kali ini kurangi kelajuan lempar anda. Apa yang terjadi ?

2. PERTANYAAN a. Apakah yang akan terjadi ? b. Kenapa demikian ? c. Bagaimana bentuk lintasan yang ditempuh kertas tersebut ? d. Berapa besar percepatanny ? e. Berapa besar kecepatannya ? f. Mengapa mengalami perbedaan hasil pada kedua percobaan ? g. Apa saja factor-faktor yang mempengaruhinya ?

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 44

3. EKSPLORASI/ EKSPERIMEN

Sediakan penggaris plastic, karton tebal, dua uang logam (koin) dan selotip

(a) Karton tebal yang telah dilipat. (b) Lipatan karton tebal yang telah dipasangkan pada penggaris dan ditempati 2 keping uang logam. (c) Penggaris yang dilengkungkan sebelum dilepaskan.

1. Lipatlah karton tebal menjadi seperti huruf ''T'' terbalik dan pasangkan pada penggaris plastik dengan menggunakan selotip. Kemudian, letakkan satu uang logam (koin) di setiap sisi karton. Perhatikanlah gambar. 2. Lengkungkanlah penggaris plastik, kemudian lepaskan. Koin yang berada di depan akan mengalami gerak parabola, sedangkan koin yang berada di belakang akan mengalami gerak jatuh bebas. 3. Dengarkanlah bunyi yang timbul saat kedua koin tersebut jatuh dari penggaris plastik. Apakah yang dapat Anda simpulkan? 4. Diskusikanlah kesimpulan Anda dengan teman sebangku dan guru Fisika Anda. TABEL DATA PERCOBAAN

NO

KOIN

1

Koin yang didepan

2

Koin yang di belakang

HASIL PENGAMATAN

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 45

4. ASOSIASI Lakukan analisis sesuai dengan data yang kamu peroleh : a. Jelaskan apa yang terjadi dengan koin yang ada didepan (koin 1), bagaimana lintasan geraknya ? b. Jelaskan apa yang terjadi dengan koin yang ada dibelakang (koin 2), bagaimana lintasan geraknya ? c. Bagaimana waktu tempuh dengan koin 1 dan koin 2, yaitu dengan mengamati bunyi yang terdengar saat kedua koin tersebut terjatuh ke lantai ?

5. KOMUNIKASI a. Presentasikan hasilnya di depan kelompok lain! b. Buatlah laporan hasil percobaan tersebut setelah dipresentasikan kemudian serahkan kepada guru untuk dinilai!

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 46

B. Mengamati Penyebab Terjadinya Gerak Parabola 1. PENGAMATAN Gerakan bola saat ditendang oleh pen jaga gawang. Bagaimana lintasan bola ketika ditendang penjaga gawang untuk di oper kan kepada temannya yang ada di posisi depan? Tampak bola tidak bergerak lurus, namun melengkung seperti tampak pada gambar 1.9. Mengapa lintasan bola berbentuk melengkung? Ternyata lintasan gerak yang melengkung terjadi akibat adanya pengaruh gerak dipercepat beraturan pada sumbu vertikal. Gerakan tersebut disebut gerak parabola. Dengan demikian gerak parabola adalah gerak yang lintasannya berbentuk parabola atau melengkung. Contoh gerak parabola selain lintasan bola yang ditendang dalam permainan sepak bola, juga gerak peluru yang ditembakkan ke atas dengan sudut tertentu terhadap arah mendatar. Untuk lebih memahami gerak parabola, lakukan kegiatan berikut! Gerak parabola merupakan perpaduan antara gerak lurus beraturan dan gerak lurus berubah beraturan. Perhatikan gambar 1.10 di samping! Pada sumbu X, gerak yang dialami benda merupakan gerak lurus beraturan. Gerak benda tersebut tidak dipengaruhi oleh gaya gravitasi sehingga tidak mengalami percepatan. Pada arah vertikal (sumbu Y) gerak yang dialami benda merupakan gerak lurus berubah beraturan. Gerak benda tersebut dipengaruhi oleh gaya gravitasi sehingga mengalami perlambatan Oleh karena kecepatan awal dari gerak parabola membentuk sudut terhadap bidang datar maka kecepatan awal itu diuraikan dalam komponen horisontal dan vertikal. Komponen vertikal digunakan untuk mencari waktu geraknya saat di udara dan komponen horisontalnya digunakan untuk mencari jarak yang ditempuh. Sehingga dalam persamaan yang diperoleh akan diuraikan pada sumbu X dan sumbu Y Beberapa persamaan yang berhubungan dengan gerak parabola adalah: Sedangkan persamaan kecepatan dan arah gerak benda dirumuskan: Sumbu X: vox = vo. cosϴ vx = vo. cos ϴ x = vx. t = vo. Cos ϴ. T

y = vo. sin ϴt – .1/2 g .t2

Sumbu Y: voy = vo. sin ϴ vy = vo. sin ϴ– g . t

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 47

tan α = vy/vx Keterangan: vo : kecepatan awal (m/s) vox : kecepatan awal pada sumbu X (m/s) voy : kecepatan awal pada sumbuY (m/s) vx : kecepatan pada sumbu X (m/s) vy : kecepatan pada sumbu Y (m/s) v : kecepatan pada suatu saat (m/s) x : kedudukan atau posisi pada sumbu X (m) y : kedudukan atau posisi pada sumbu Y (m) : arah gerakan benda : sudut elevasi g : percepatan gravitasi bumi (m/s2)

2. PERTANYAAN Setelah melakukan percobaan ini, anda diharapkan dapat : 1. Menjelaskan analisa terhadap gerak parabola ? 2. Menentukan penyebab terjadinya gerak parabola ?

3. EKSPERIMEN Sediakan : a) Bola pingpong 2 buah b) Meja 1 buah

Langkah Percobaan 1). Ambil dua buah bola pingpong dan letakkan di tepi sebuah meja yang cukup tinggi! 2). Jatuhkan kedua bola tersebut secara bersamaan dengan ketentuan sebagai berikut! a. Bola pertama jatuh bebas dari tepi meja. b. Bola kedua diberi kecepatan mendatar sejajar meja.

4. ASOSIASI Lakukan analisis sesuai dengan data yang kamu peroleh :

1. Catat waktu yang diperlukan bola pertama dan kedua untuk sampai di tanah! Buatlah perbandingannya!

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 48

2. Analisislah gerakan kedua bola tersebut dan buatlah kesimpulan!

5. KOMUNIKASI 1. Diskusikan hasil pengamatanmu di depan kelas! Beri kesempatan kepada kelompok lain untuk menanggapi! 2. Kembalikan semua peralatan ke tempat semula! Jagalah kebersihan lingkungan dan tubuhmu!

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 49

LEMBAR KERJA SISWA

NAMA : KELOMPOK : KELAS : TANGGAL :

Satuan Pendidikan

: SMA NEGERI 5 BINTAN

Mata Pelajaran

: Fisika

Kelas / Semester

: XI / 1

Materi Pokok

: Analisa Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Pertemuan ke-

: 1, 2, 3

Alokasi Waktu

: 12 JP (3 x 4 JP)

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 50

Lembar Diskusi Siswa 1 (Berpasangan 2 Siswa)

Materi/waktu : Penerapan Konsep Kinematika Dengan Analisis Vektor / 40 menit

1. Gambarlah ruang kelasmu dalam sebuah kertas milimeter blok dan tunjukkan posisi meja masing-masing temanmu! Selanjutnya, tentukan jarak dan perpindahan meja temantemanmu dalam satu kelas terhadap meja guru! 2. Titik N pada t = 0 berada pada posisi (2,5) m, kemudian pada t = 2 s berada pada posisi (2,8) m. Tentukan besar vektor kecepatan rata-ratanya! 3. Partikel W melakukan perpindahan sesuai vektor perpindahan: r = ( 3 t2 i + 4 t j ) m. Tentukan: a. vektor kecepatan sebagai fungsi waktu, b. besar vektor kecepatan saat t = 2 s. 4. Titik A melakukan gerakan pada arah mendatar dengan vector kecepatan v = ( 4 t i + 2j) m/s. Jika posisi awal titik berada di posisi 3 m, tentukan vektor posisi titik saat t = 2 s. 5. Benda T bergerak pada arah tertentu dengan persamaan kecepatan v = (t2 – 2 ) m/s. Tentukan perpindahan dan jarak dari t = 0 s hingga t = 4 s. 6. Titik materi melakukan gerak sesuai grafik berikut. Tentukan: a. jarak yang ditempuh setelah t = 2 s, b. jarak yang ditempuh setelah t = 4 s, c. jarak yang ditempuh setelah t = 5 s, d. d. jarak yang ditempuh setelah t = 6 s, e. e. jarak yang ditempuh setelah t = 7 s.

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 51

Lembar Kerja Siswa 2

Materi/waktu : Gerak Parabola / 60 menit

STANDAR KOMPETENSI 1. Menganalisis gejala alam dan keteraturannya dalam cakupan mekanika benda titik KOMPETENSI DASAR 1.1 Menganalisis gerak lurus gerak melingkar dan gerak parabola dengan menggunakan vector. INDIKATOR Kognitif: a. Produk 1. Menganalisis gerak parabola 2. Menetukan penyebab terjadinya gerak parabola 3. Menentukan koefisien muai panjang 3 jenis logam berbeda pada percobaan pemuaian panjang 4. Membuat laporan percobaan pemuaian panjang secara tepat dan sistematis b. Proses 1. Melakukan dan memodifikasi percobaan tentang analisa gerak parabola 2. Melakukan pengamatan, pengelompokan, pengukuran, dan menggunakan alat dalam percobaan 3. Mengkomunikasikan hasil percobaan melalui presentasi dan diskusi Afektif: 1. Karakter: Berpikir kreatif, kritis, dan logis; bekerja teliti, jujur, dan bertanggungjawab; serta berperilaku santun 2. Keterampilan sosial: bekerjasama, menyampaikan pendapat, menjadi pendengar yang baik, dan menanggapi pendapat orang lain

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 52

TUJUAN PEMBELAJARAN Kognitif a. Produk: 1. Dihasilkan analisa terhadap gerak parabola. 2. Ditentukan penyebab terjadinya gerak parabola. b. Proses 1. Disediakan bahan, siswa dapat melakukan dan memodifikasi percobaan tentang analisa gerak parabola. 2. Melalui percobaan, siswa dapat melakukan pengamatan, pengelompokan, pengukuran, dan menggunakan alat dalam percobaan Afektif: 1. Terlibat aktif dalam pembelajaran dan menunjukkan karakter berpikir kreatif, kritis, dan logis; bekerja teliti, jujur, dan berperilaku santun 2. Bekerjasama dalam kegiatan praktik dan aktif menyampaikan pendapat, menjadi pendengar yang baik, dan menanggapi pendapat orang lain dalam diskusi

Psikomotorik: Terampil dalam menyusun alat dan menggunakan bahan dalam percobaan gerak parabola.

MASALAH Bagaimanakah terjadinya gerak para bola?

HIPOTESIS Rumuskan suatu hipotesis untuk menjawab permasalahan di atas dan dapat diuji menggunakan alat dan bahan di bawah ini. ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 53

ALAT DAN BAHAN 1. Bola pingpong 2 buah 2. Meja 1 buah TEORI DASAR Gerakan bola saat ditendang oleh pen jaga gawang. Bagaimana lintasan bola ketika ditendang penjaga gawang untuk di oper kan kepada temannya yang ada di posisi depan? Tam pak bola tidak bergerak lurus, namun melengkung seperti tampak pada gambar 1.9. Mengapa lintasan bola berbentuk melengkung? Ternyata lintasan gerak yang melengkung terjadi akibat adanya pengaruh gerak dipercepat beraturan pada sumbu vertikal. Gerakan tersebut disebut gerak parabola. Dengan demikian gerak parabola adalah gerak yang lintasannya berbentuk parabola atau melengkung. Contoh gerak parabola selain lintasan bola yang ditendang dalam permainan sepak bola, juga gerak peluru yang ditembakkan ke atas dengan sudut tertentu terhadap arah mendatar. Untuk lebih memahami gerak parabola, lakukan kegiatan berikut! Gerak parabola merupakan perpaduan antara gerak lurus beraturan dan gerak lurus berubah beraturan. Perhatikan gambar 1.10 di samping! Pada sumbu X, gerak yang dialami benda merupakan gerak lurus ber aturan. Gerak benda tersebut tidak dipe ng aruhi oleh gaya gravitasi se hingga tidak mengalami percepatan. Pada arah vertikal (sumbu Y) gerak yang dialami benda merupakan gerak lurus berubah beraturan. Gerak benda tersebut dipengaruhi oleh gaya gravitasi sehingga mengalami perlambatan Oleh karena kecepatan awal dari gerak parabola membentuk sudut terhadap bidang datar maka kecepatan awal itu diuraikan dalam komponen horisontal dan vertikal. Komponen vertikal digunakan untuk mencari waktu geraknya saat di udara dan komponen horisontalnya digunakan untuk mencari jarak yang ditempuh. Sehingga dalam persamaan yang diperoleh akan diuraikan pada sumbu X dan sumbu Y Beberapa persamaan yang berhubungan dengan gerak parabola adalah: Sedangkan persamaan kecepatan dan arah gerak benda dirumuskan: Sumbu X: vox = vo. cosϴ vx = vo. cos ϴ x = vx. t = vo. Cos ϴ. T

Sumbu Y: voy = vo. sin ϴ vy = vo. sin ϴ– g . t y = vo. sin ϴ. t – .1/2

g .t2

Vektor Untuk Gerak Parabola Dan Gerak Melingkar (MIRA RESTUTI)

Hal 54

tan α= vy/vx Keterangan: vo : kecepatan awal (m/s) vox : kecepatan awal pada sumbu X (m/s) voy : kecepatan awal pada sumbuY (m/s) vx : kecepatan pada sumbu X (m/s) vy : kecepatan pada sumbu Y (m/s) v : kecepatan pada suatu saat (m/s) x : kedudukan atau posisi pada sumbu X (m) y : kedudukan atau posisi pada sumbu Y (m) g : percepatan gravitasi bumi (m/s2) Setelah melakukan percobaan ini, anda diharapkan dapat : a. Menjelaskan analisa terhadap gerak parabola b. Menentukan penyebab terjadinya gerak parabola VARIABEL PERCOBAAN Beberapa variabel yang perlu diukur dalam eksperimen ini adalah:  Waktu yang diperlukan bola pertama dan kedua untuk sampai di tanah!

PROSEDUR PERCOBAAN Persiapan 1) Perhatikan kelengkapan alat dan bahan yang digunakan dalam percobaan, apakah sudah lengkap atau belum, jika masih ada kekurangan hubungi asisten/dosen. 2) Pahami langkah percobaan yang akan dilakukan

Langkah Percobaan 3) Ambil dua buah bola pingpong dan letakkan di tepi sebuah meja yang cukup tinggi! 4) Jatuhkan kedua bola tersebut secara bersamaan dengan ketentuan sebagai berikut! c. Bola pertama jatuh bebas dari tepi meja. c. Bola kedua diberi kecepatan mendatar sejajar meja. 5) Catat waktu yang diperlukan bola pertama dan kedua untuk sampai di tanah! Buatlah perbandingannya! 6) Analisislah gerakan kedua bola tersebut dan buatlah kesimpulan! Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 55

7) Diskusikan hasil pengamatanmu di depan kelas! Beri kesempatan kepada kelompok lain untuk menanggapi! 8) Kembalikan semua peralatan ke tempat semula! Jagalah kebersihan lingkungan dan tubuhmu!

TUGAS 1. Pada bola pertama terjadi satu gerak, gerak apakah itu? Jelaskan! 2. Pada bola ke dua terjadi perpaduan antara GLB dan GLBB. Manakah yang dimaksud gerak GLb dan GLBB pada percobaan bola ke dua? 3. Disebut gerak apakah, gerak yang terjadi pada bola kedua? Jelaskan ! 4. Jika kita misalkan kecepatan yang kita berikan pada bola ke dua adalah 20 m/s dan percepatan grafitasi bumi 10 m/s2, Tentukan passamaan kecepatan mendatar vx bola dan kecepatan vertical vy bola.

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 56

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 57

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 58

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 59

RIN

RINGKASAN MATERI 1. Persamaan gerak adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara posisi, kecepatan, percepatan, dan waktu. Posisi suatu partikel pada sebuah bidang dapat dinyatakan dalam bentuk vektor posisi, yaitu

r = xi + yj 2. Kecepatan adalah perubahan posisi (perpindahan) terhadap waktu sehingga dapat ditentukan dari turunan pertama fungsi posisi terhadap waktu :

v = dr/dt 3. Percepatan merupakan perubahan kecepatan terhadap waktu sehingga dapat ditentukan dari turunan pertama fungsi posisi, atau turunan kedua fungsi posisi terhadap waktu :

4. Gerak parabola adalah gerak gabungan antara gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) a. Persamaan pada arah sumbu-x:

vx = v0 cosα x = v0 cosα t b. Persamaan pada arah sumbu-y:

vy = v0 sinα – gt y = v0 sinα t –½ gt2

c. Waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi :

d. Waktu yang diperlukan untuk mencapai titik terjauh :

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 60

e. Titik tertinggi yang dapat dicapai benda :

f. Titik terjauh yang dapat dicapai benda :

5. Gerak melingkar adalah gerak benda pada suatu lintasan yang berbentuk lingkaran.

a) Kecepatan benda yang bergerak melingkar dinyatakan dengan persamaan

v = vxi + vyj dan besar kecepatannya dinyatakan dengan :

b) Percepatan sentripetal adalah percepatan gerak benda saat melakukan gerak melingkar yang arahnya selalu menuju pusat lingkaran.

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 61

JOBSHEET KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR Gunakan buku-buku yang sudah ditentukan dalam silabus mata pelajaran Fisika dan sumber lain yang relevan untuk menjawab pertanyaan berikut No. Pertanyaan Jawaban/Solusi 1. Sebuah titik materi bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di titik P dan di titik Q. Hitunglah vektor perpindahan dari titik P ke titik Q serta besar dan arah vektor perpindahan tersebut ? 2.

Sebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang dengan sumbu koordinat x dan y. Posisi partikel berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah: a. perpindahan partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon; b. besar kecepatan rata-rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon; c. besar dan arah kecepatan partikel pada saat t = 2 sekon.

3.

Perhatikan grafik kedudukan (x) terhadap waktu (t) berikut.

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 62

Tentukanlah kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu: a. antara t = 0 sampai t = 3 s; b. antara t = 3 sampai t = 8 s; dan c. antara t = 8 sampai t = 12 s. 4.

Sebuah mobil dengan kecepatan 36 km/jam direm mendadak sehingga terbentuk bekas di jalan sepanjang 20 m. Waktu pengereman yang dibutuhkan sampai mobil tersebut berhenti adalah

5.

Sebuah benda bergerak pada bidang xy. Pada posisi awal, benda berada pada koordinat (3,2) m. Komponen-komponen kecepatan benda memenuhi persamaan vx = 12 + 4t dan vy = 9 + 3t dengan vx dan vy dalam m/s, dan t dalam sekon. Tentukanlah: a. persamaan umum vektor posisi benda, b. posisi benda pada saat t = 3 sekon, dan c. perpindahan benda antara t = 1 sekon dan t = 3 sekon.

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 63

6.

Sebuah partikel bergerak dengan fungsi kecepatan v(t) = 2t2 – 3t + 10 jika v dinyatakan dalam m/s dan t dalam sekon, tentukanlah: a. percepatan rata-rata partikel untuk selang waktu t = 2 sekon sampai t = 4 sekon, b. percepatan awal partikel, dan c. percepatan partikel pada saat t = 6 sekon.

7.

Sebuah mobil bergerak dengan grafik kecepatan (v) terhadap waktu (t) seperti terlihat pada gambar

di

bawah

ini.

Tentukanlah: a. percepatan rata-rata benda antara t = 0 sekon sampai t = 4 sekon, dan b. percepatan rata-rata benda antara t = 4 sekon sampai t = 8 sekon 8.

Sebuah benda bergerak dengan kecepatan awal 3

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 64

m/s. Jika benda mengalami percepatan a (t) = (4t –2) m/s2, tentukanlah: a. persamaan kecepatan benda, dan b. kecepatan benda pada t = 2 sekon. 9.

Besar kecepatan suatu partikel yang mengalami perlambatan konstan ternyata berubah dari 30 m/s menjadi 15 m/s setelah menempuh jarak sejauh 75 m. Setelah menempuh jarak berapa lagi partikel tersebut berhenti?

10.

Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 60 m/s dan sudut elevasi 30°. Ketinggian maksimum yang dicapai peluru adalah ?

11.

Dari titik A di tanah, sebuah bola dilemparkan dengan kecepatan awal 20 m/s dan sudut elevasi 37° (sin 37° = 0,6). Jika g = 10 m/s2, hitunglah: a. komponen kecepatan awal dalam arah horizontal dan vertikal, b. kecepatan bola setelah 0,4 sekon, c. posisi bola setelah 0,4 sekon, d. tinggi maksimum yang dapat dicapai bola, dan e. jarak lemparan terjauh yang dicapai bola.

12.

Sebuah benda dilemparkan dari puncak sebuah gedung yang tingginya 40 m. Kecepatan awal benda 20 m/s dengan sudut elevasi 30°. Tentukan jarak terjauh dalam arah mendatar yang dapat dicapai benda, dihitung dari dasar gedung

13.

Sebuah mobil hendak menyeberangi sebuah parit yang lebarnya 4 m. Perbedaan tinggi antara kedua sisi parit itu adalah 15 cm, seperti ditunjukkan pada gambar. Jika percepatan gravitasi 10 m/s2, berapakah kelajuan (v) minimum agar penyeberangan mobil dapat tepat berlangsung?

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 65

14.

Posisi peluru yang ditembakkan di atas bidang datar dengan sudut elevasi tertentu dinyatakan oleh persamaan r = [80ti + (60t – 5t2)j] m. Jika i dan j menyatakan vektor satuan dalam arah x dan y, serta t dalam sekon, tentukanlah: a. kecepatan awal peluru, b. sudut elevasi tembakan, c. kecepatan peluru di titik tertinggi, d. waktu untuk mencapai jarak maksimum, dan e. jarak mendatar maksimum tembakan.

15.

Berapakah percepatan sentripetal, dalam satuan g, yang dirasakan oleh seorang pilot yang menerbangkan pesawatnya dengan kelajuan v = 2.500 km/jam dalam lintasan lingkaran berjarijari r = 5,8 km?

16.

Sebuah bola yang terikat bergerak dalam lingkaran horizontal yang berjari-jari 2 m. Bola membuat satu putaran dalam 3 s. Berapakah percepatan sentripetal bola tersebut?

17.

Sebuah mobil mengelilingi sebuah kurva berjarijari 30 m. Jika percepatan sentripetal maksimum yang dapat diberikan oleh gesekan roda mobil adalah 5 m/s2, berapakah kelajuan maksimum mobil tersebut dalam km/jam?

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 66

18.

Untuk menyalurkan bantuan kemanusiaan, sebuah pesawat kargo harus menjatuhkan kapsul besar berparasut kepada serombongan pengungsi. Jika hambatan udara sebelum parasut mengembang (yakni setelah 5 sekon dijatuhkan) diabaikan, ketinggian terbang minimal pesawat agar parasut kapsul telah mengembang di ketinggian 100 m sebelum mencapai permukaan adalah .... (g = 10 m/s2)

19. Nambuhan menaiki motor dengan persamaan

kecepatan v = ( 2 t2 i + 8 t j ) m/s. Tentukan: a. vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s, b. komponen sumbu X percepatan ratarata dari t = 1 s hingga t = 3 s, c. komponen sumbu Y percepatan ratarata t = 1 s hingga t = 3 s, d. besar percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s, e. arah percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s. 20. Sebuah bola ditendang oleh Tambunan dengan

sudut elevasi 45° dan kecepatan awal 20 m/s. Tentukan: a. posisi saat t = 1 s, b. koordinat titik tertinggi, c. koordinat titik terjauh, d. kecepatan saat t = 1 s, e. arah kecepatan saat t = 1 s. 21. Kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam

t2 + t ) rad/s. Tentukan: a. kecepatan sudut saat t = 1 s, b. kecepatan sudut saat t = 4 s, c. percepatan sudut rata-rata dari t = 1 s hingga t = 4s d. percepatan sudut saat t =5 s, Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 67

e. posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 2 rad

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 68

KUNCI JAWABAN JOBSHEET

1) Kunci Jawaban : Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11, 8). Vektor posisi di titik P (rP) dan vektor posisi di titik Q (rQ) adalah : rP = 3i + 2j rQ = 11i + 8j Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang diperoleh sebagai berikut : Δr = rQ – rP = (11i + 8j) – (3i + 2j) Δr = 8i + 6j Besar vektor Δr adalah :

Arah perpindahan vektor itu adalah : tanθ = Δy / Δx = 6/8 = 3/4 sehingga θ = 37° Jadi, vektor perpindahan adalah Δr = 8i + 6j, panjang perpindahannya 10 satuan, dan sudut arah perpindahannya 37° terhadap arah sumbu-x positif. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah gambar berikut.

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 69

2) Kunci Jawaban :

Diketahui: vektor posisi partikel, yaitu r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j. a. t1 = 0 sekon adalah r1 = [6 + (3)(0)]i + [8 + (4)(0)]j = (6i + 8j) meter. t2 = 2 sekon adalah r2 = [6 + (3)(2)]i + [8 + (4)(2)]j = (12i + 16j) meter. Perpindahan partikel dari t1 = 0 sekon hingga t2 = 2 sekon adalah : Δr = r2 – r1 = (12i + 16j) – (6i + 8j) = (6i + 8j) meter Besar vektor Δr adalah :

b. Kecepatan rata-rata partikel adalah :

Besar kecepatan rata-rata partikel adalah :

Vektor kecepatan partikel sebagai fungsi waktu ditentukan sebagai berikut. vx = dx/dt = d/dt (6 + 3t) = 3 m/s vy = dy/dt = d/dt (8 + 4t) = 4 m/s Dengan demikian, diperoleh vektor kecepatan sesaat partikel adalah : v = vxi + vyj = (3i + 4j) m/s. Besar kecepatan sesaat partikel adalah : Arah vektor kecepatan sesaat terhadap sumbu-x adalah θ dengan : tanθ = vy/vx = 4/3 θ = 53°.

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 70

3) Kunci Jawaban : Diketahui: grafik x–t dan kecepatan rata-rata adalah :

a. Kecepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 3 s adalah :

b. Kecepatan rata-rata benda antara t = 3 sampai t = 8 s adalah :

c. Kecepatan rata-rata benda antara t = 8 sampai t = 12 s adalah :

4) Kunci Jawaban : Diketahui: v0 = 36 km/jam = 10 m/s Δr = luas segitiga maka, 20 = (½) (t) (10) t=4s

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 71

Jawab: d Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa besar perpindahan benda sama dengan luas di bawah kurva kecepatan sebagai fungsi waktu v(t). Secara matematis dituliskan sebagai berikut.

5) Kunci Jawaban :

Diketahui: posisi awal benda (3, 2) m, vx = 12 + 4t, dan vy = 9 + 3t. a. Posisi awal benda (3,2) m maka x0 = 3 m dan y0 = 2 m. Dengan demikian, diperoleh :

r = (3 + 12t + 2t2)i + (2 + 9t + 3/2 t2)j b. Posisi benda pada saat t = 3 sekon adalah : x = 3 + (12) (3) + (2) (32) = 57 m y = 2 + (9) (3) + (3/2) (32) = 42,5 m Jadi, pada saat t = 3 sekon vektor posisi benda dapat dituliskan sebagai r = (57i + 42,5j ) meter. c. Pada t1 = 1 sekon maka r1 = [3 + (12)(1) + (2)(12)]i + [2 + (9)(1) + (3/2 )(12)]j = (17i + 12,5j) meter Pada t2 = 3 sekon maka r2 = [3 + (12)(3) + (2)(32)]i + [2 + (9)(3) + (3/2)(32)]j = (57i + 42,5j) meter Perpindahan partikel dari t1 = 1 sekon hingga t2 = 3 sekon adalah Δr = r2 – r1 = (57i + 42,5j) – (17i + 12,5j) = (40i + 30j) meter Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 72

Besar vektor Δr adalah :

6) Kunci Jawaban : Diketahui: v(t) = 2t2 – 3t + 10. a. Untuk menghitung percepatan rata-rata, tentukan lebih dahulu Δv dan Δt sebagai berikut.

Persamaan umum kecepatan adalah v(t) = 2t2 – 3t + 10 sehingga : untuk t2 = 4 sekon, v2 = 2(4)2 – 3(4) + 10 = 30 m/s untuk t1 = 2 sekon, v1 = 2(2)2 – 3(2) + 10 = 12 m/s Diperoleh :

b. Persamaan umum percepatan sesaat diperoleh sebagai turunan pertama dari fungsi kecepatan, yaitu: Percepatan awal partikel adalah percepatan pada t = 0 sehingga : Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 73

a = 4(0) – 3 = –3 m/m2. c. Percepatan partikel pada saat t = 6 sekon adalah a = 4(6) – 3 = 21 m/m2.

7) Kunci Jawaban : Diketahui: grafik v – t. a. Percepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 4 sekon, yaitu :

b. Percepatan rata-rata benda antara t = 4 sampai t = 8 sekon, yaitu :

8) Kunci Jawaban : Diketahui: vo = 3 m/s dan a(t) = (4t – 2) m/s2. a. Kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metode integral. v = v0 + ∫ a dt = 3 + ∫ (4t – 2) dt = (3 + 2t2 – 2t) m/s2. b. Kecepatan benda pada saat t = 2 sekon adalah v = 3 + (2)(2)t2 – (2)(2) = 7 m/s.

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 74

9) Kunci Jawaban : Diketahui: v0 = 30 m/s vt1 = 15 m/s vt2 = 0 m/s s = 75 m

10) Kunci Jawaban : Diketahui: v0 = 60 m/s α = 30° g = 10m/s2

H = 45 m

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 75

11) Kunci Jawaban : Diketahui: v0 = 20 m/s, α = 37°, dan g = 10 m/s2. a. Komponen kecepatan awal 1) Dalam arah horizontal v0x = v0 cosα = (20 m/s)(cos 37°) v0x = (20 m/s)(0,8) = 16 m/s. 2) Dalam arah vertikal v0y = v0 sinα = (20 m/s)(sin 37°) v0y = (20 m/s)(0,6) = 12 m/s. b. Kecepatan bola setelah 0,4 s (t = 0,4 s) 1) Kecepatan dalam arah horizontal tetap, yaitu vx = v0x = 16 m/s. 2) Kecepatan dalam arah vertikal vy = v0y – gt = 12 m/s – (10 m/s2)(0,4 s) = 8 m/s. Dengan demikian diperoleh :

c. Posisi bola setelah 0,4 s 1) Posisi pada arah horizontal x = vxt = (16 m/s)(0,4 s) = 6,4 m. 2) Posisi pada arah vertikal :

y = (12 m/s)(0,4 s) – (½)(10 m/s2)(0,4 s)2 Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 76

y = 5,6 m. Dengan demikian, posisi bola setelah 0,4 s berada pada koordinat (6,4 m ; 5,6 m). d. Tinggi maksimum yang dicapai bola

e. Jarak lemparan terjauh yang dicapai bola

X = = 38,4 m

12) Kunci Jawaban : Diketahui: h= 40 m, v0 = 20 m/s, dan θ = 30°. Perhatikan gambar.

Untuk menentukan jarak terjauh dalam arah mendatar (X), lebih dahulu Anda hitung waktu yang diperlukan benda untuk bergerak dari A ke B. Waktu ini bisa dihitung dari gerak vertikal ke atas (sumbu-y) sebagai berikut:

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 77

v0y = v0 sin 30° = (20 m/s) (½) = 10 m/s

–40 = 10t – () (10)t2; bagi 5 –8 = 2t – t2 0 = t2 – 2t – 8 0 = (t + 2) (t – 4) Diperoleh : t = –2 s (tidak digunakan) t=4s Dari gerak horizontal (sumbu -x), diperoleh x = v0t cos 30°

13) Kunci Jawaban : Perhatikan kembali gambar. Dari gambar diketahui: y = 0,15 m, x = 4 m, v0x= v, v0y = 0, dan g = 10 m/s2. Pada kasus tersebut, gerak mobil merupakan perpaduan antara GLB pada arah mendatar dan GLBB (gerak jatuh bebas) dalam arah vertikal. Oleh karena itu, diperoleh 1) Dari gerak jatuh bebas diperoleh waktu untuk tiba di sisi parit bagian bawah sebagai berikut:

y = 0,173 s.

2) Dari gerak horizontal diperoleh kelajuan v sebagai berikut : Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 78

Jadi, kelajuan minimum agar penyeberangan mobil dapat tepat berlangsung adalah v = 23 m/s.

14) Kunci Jawaban : Diketahui: r [80ti + (60t – 5t2)j] m a. Kecepatan awal peluru (t = 0), v = dr/dt = 80i + (60 – 10t)j Pada t = 0 diperoleh : v0 = 80i + 60j

b. Sudut elevasi tembakan (α )

α =37° c. Kecepatan peluru di titik tertinggi vy = 0 sehingga peluru hanya memiliki komponen kecepatan sumbu-x v = v0x = 80 m/s. d. Waktu untuk mencapai jarak maksimum (X) diperoleh apabila y = 0 (60t – 5t2) = 0 dan diperoleh t = 12 sekon e. Jarak mendatar maksimum tembakan X = v0xt = 80t = (80)(12)= 96 m. Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 79

15) Kunci Jawaban : Diketahui: v = 2.500 km/jam dan r = 5,8 km. Berdasarkan persamaan percepatan sentripetal, didapatkan :

16) Kunci Jawaban : Diketahui: r = 2 m dan T = 3 s. Untuk menentukan percepatan sentripetal, tentukan kecepatan linear terlebih dahulu dengan cara membagi panjang lintasan dengan waktu yang dibutuhkan untuk menempuh lintasan tersebut. Dalam kasus ini panjang lintasannya berupa keliling lingkaran dengan jari-jari r.

v = 4,19 m/s. Jadi, besar percepatan sentripetal bola adalah :

a = 8,78 m/s 0,9 g.

17) Kunci Jawaban : Diketahui: r = 30 m dan v = 5 m/s2.

vmaks = 12,2 m/s

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 80

Jadi, kelajuan maksimum mobil dalam satuan km/jam adalah :

18) Kunci Jawaban : Diketahui: t = 5 s, hp = 100 m, dan g = 10 m/s2.

Selisih ketinggian sebelum parasut mengembang (t = 5 s):

ht = 125 m Ketinggian minimal pesawat: hmin = ht + hp hmin = 125 m + 100 m hmin = 225 m

Jawab: d

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 81

19) Jawab:



 



v v2  vt 2  32 i  8  3 j  2  12  8  1 j    8i  8 j m / s 2 t t2  t1 3 1 2 b. a x  8m / s a. a 

c. ay  8m / s 2 d.

a  82  82  8 2m / s 2

e. tan  

5 maka   450 5

20) Jawab: a.

x  v0 . cos .t  20. cos450.1  10 2m / s 1 1 y  v0 . sin  .t  g.t 2  20. sin 450.1  .10.12  10 2  5 m / s 2 2 Jadi bola setelah satu second adalah 10 2 ,10 2  5 m / s









b. Pada titik tertinggi vy=0, sehingga:

vy = vo. sin ϴ – g . t 0 = 20 . sin 45° – 10 . t t=s Nilai t tersebut kemudian dimasukkan pada x = vo. cos ϴ t = 20 . cos 45° . = 20 m/s y = vo. sin ϴ t – 1/2. g . t2 = 20 . sin 45° . 2 –1/2 . 10 . ( 2 )2 = 10 m/s Jadi, posisi bola pada titik tertinggi adalah (20,10) m/s.

c. Pada titik terjauh y = 0 sehingga:

y = vo. sin ϴ t –1/2 . g . t2 0 = 20 . sin 45° . t –1/2 . 10 . t2 0 = 20 .1/2 2 . t – 5 . t2 0 =10 2 t – 5 t2 0 = t(10 2 -5t) t = 0 atau 10 2 – 5 t = 0 5 t =10 2 t =2 2 maka diperoleh nilai t = 0 atau t = 2 2 s. Gunakan t = 2 2 s x = vo. cos ϴ t = 20 . cos 45° . 2 . 2 = 40 m Jadi, posisi bola di titik terjauh adalah (40,0) m. Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 82

d. vx = vo. cos ϴ

cos 45° = 10 2 m/s vy = vo. sin ϴ – g . t = 20 . sin 45° – 10 . 1 vy = (10 2 – 10) m/s

10 2   10 2  10   10 5  2 2 m / s 10 2  10  0,293 = m/s maka   16,3  2

v  vx2  v y2 

vy

e. tan  

vx

2

0

10 2

21) Jawab: a. ω = (3 (1)2 + 1 ) = 4 rad/s b. ω = (3 (4)2 + 4 ) = 52 rad/s d 52  4 c.     16rad / s dt 4 1 d 3t 2  t  d.    6t  1 maka saaat t =5s dt   65  1  31rad / s





e.   0   3t 2  t dt 1 2

  2  t 3  t 2 maka pada saa t =2s diperoleh

  12rad

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 83

KEPUSTAKAAN

Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga

Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I, Terjemahan, Jakarta : Penerbit Erlangga

Ingersoll, L. R, Martin, M, J, dan Rouse, T. A, Experiment in Physics. Margenau, H, W, R, Waston dan C. G.

Kanginan, Marthen. 2007. FISIKA untuk SMA Kelas XI. Penerbit Erlangga : Jakarta

file:///E:/TUGAS%20KULIAH%20SEMESTER%205/MEDIA%20PEMBELAJARAN% 20FIS/Persamaan%20Gerak%20Benda%20Dua%20Dimensi,%20Parabola,%20Melingka r,%20Vektor,%20Kecepatan,%20Percepatan%20_%20Perpustakaan%20Cyber_files/inde x.htm

Saripudin, A, D. Rustiawan K., dan A. Suganda. 2009. Praktis Belajar Fisika 1 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah Program Ilmu Pengetahuan Alam. Pusat Perbukuan Departemen Nasional, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 234.

http://rahmatcurtim.blogspot.com/ http://www.slideshare.net/intanthatha/kinematika-dengan-analisis-vektor Siswanto, sukaryadi.. 2009. Kompetensi Fisika : Untuk SMA/MA Kelas XI. Jakarta : Pusat Pembukuan, Departemen Pendidikan Nasional

Analisis Vektor Untuk Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

Hal 84