Perancangan Root Locus (Kelompok 3)

PENERAPAN ROOT LOCUS PADA PERANCANGAN SISTEM KONTROL TEKNIK ELEKTRO B KELOMPOK 3

1510631160012 1510631160039 1510631160053 1510631160058 1510631160061 1510631160101 1510631160102 1510631160103

AMALINA AMALIN A ALM ALMAS AS  DONNI ANGG  DONNI ANGGER ER BASUKI BASUKI  H ART  HAR TONO SET SETIA IAW WAN  HENDRO GUNO HADINOTO  HENDRO  HERYANTO  HERYANTO  RIZKI AWALUDIN FIRDAUS  RIZKI  RIZKI RAMADHAN  RIZKI  RIZQI ANDIKA PRASETY  RIZQI PRASETYO O

 – 

 – 

ANGGOTA KELOMPOK

 – 

 – 

 – 

 – 

 – 

 – 

Kompensator adalah suatu alat / cara yang digunakan untuk untu k kompensasi, yaitu memodifikasi suatu system dinamik sehingga mempunyai spesifikasi yang kita kehendaki tanpa merubah bentuk fisik sistem itu sendiri.

Kompensator digunakan untuk memperbaiki steady state stat e error dan transient response.

Kompensator dibagi menjadi dua tipe :

KOMPENSATOR SERI

KOMP OMPENS ENSA ATOR PARA ARALEL LEL

(a) Series Compensation Kompensator yang di seri dengan plant

(b) Parallel or Feedback Compensation Kompensator yang diparalel dengan plant atau memiliki feedback 

Efek penambahan zero

Efek penambahan pole

Dalam desain kompensator di seri, dikenal ada tiga jenis kompensator : •

• •

Kompensator Lead (Lead Compensator ), Kompensator Lag (Lag Compensator ), dan Kompensator Lead-Lag (Lead-Lag Compensator )

KOMPENSATOR LEAD

Kompensator ini dinamakan kompensator lead karena apabila diaplikasikan untuk input sinusoidal, phasa output yang dihasilkan akan mendahului (leading ) phasa input.

Rangkaian elektronik lead compensation dengan R1C1 > R2C2

KOMPENSATOR LEAD

Dimana,

Transfer Function

KOMPENSATOR LEAD Dari fungsialihtersebut, terlihatbahwakompensator lead menambahkansatu pole dansatuzero padasistem. Satu pole pada s = −

1 

dan satu zero pada s = – 1/T.

Denganbertambahnyapole dan zero padasistemini, menyebabkanbentuk root-locus  berubah. Justrudenganperubahaninidiharapkanspesifikasitanggapanwaktu yang kitainginkandapattercapai.

Kompensator lead secara umum akan mempercepat tanggapan sistem dan meningkatkan stabilitas sistem

KOMPENSATOR LEAD Example Diberikan suatu sistem yang ditunjukkan dalam Gambar. Diinginkan sistem tersebut memiliki spesifikasi n = 4 dan  = 0.5.

KOMPENSATOR LEAD

Spesifikasi awal dari sistem dapat dicari dengan perhitungan berikut :

dari kesetaraan di atas, didapatkan n = 2 dan = 0.5. Hal ini berarti kita hanya akan mengubah n dari 4 menjadi 2 dengan menjaga  relatif tetap.

KOMPENSATOR LEAD

Pole-pole fungsi alih loop terbuka terletak pada s = 0 dan s = – 2. Fungsi alih loop tertutupnya diberikan oleh :

sehingga pole-pole loop tertutupnyaterletakpada s = -1+ j

3dan s

= -1- j

3

KOMPENSATOR LEAD Diinginkan n menjadi 4 dengan menjaga  tetap senilai 0.5. Pole-pole loop tertutup yang baru bisa didapatkan dari  n dan  yang baru ini. Perhatikan Gambar untuk  membantu mendapatkan pole-pole loop tertutup yang baru.

KOMPENSATOR LEAD

maka pole-pole loop tertutup yang baruterletakpada s = - 2 + 2 2 3

3dan

s=-2-

KOMPENSATOR LEAD Untuk kepentingan menggeser pole-pole loop tertutup dari titik semula ke titik yang diinginkan, disisipkan kompensator lead, sehingga fungsi alih loop terbukanya menjadi :

dimana G’(s) adalah fungsi alih loop terbuka yang telah memenuhi spesifikasi yang diinginkan. Adanya pergeseran pole-pole loop tertutup dari tempat aslinya akan membuat perubahan pada root-locus. Dan karena pole-pole loop tertutup tetap harus terletak pada root-locus, maka penjumlahan sudut G’(s) pada titik uji pole-pole loop tertutup yang baru harus sama dengan penjumlahan sudut G(s) pada titik uji pole-pole loop tertutup yang lama.

KOMPENSATOR LEAD Sudut G(s) pada titik uji pole-pole loop tertutup yang baru diberikan oleh :

KOMPENSATOR LEAD  Nilai sudut total yang benar adalah 180ᵒ (2k + 1), k = 0, 1, 2, … . Fungsi dari kompensator lead adalah menambahkan pole dan zero sehingga sudut total yang terjadi untuk titik uji tersebut menjadi 180ᵒ (2k + 1), k = 0, 1, 2, … . Hal ini diperlihatkan pada Gambar 

Penempatan pole dan zero dari kompensator lead sembarang, yang penting kita dengan mudah dapat menentukan sudut-sudut yang dihasilkannya dari titik uji pole-pole loop tertutup yang diinginkan. Cara menentukan pole dan zero tersebut sebagai berikut :  Pilih salah satu dari pole atau zero yang dengan mudah dapat kita ukur sudutnya. Misalkan seperti yang ditunjukkan pada Gambar, dipilih sebuah zero pada titik s= –  4, sehingga sudut yang dihasilkan oleh zero ini adalah 270 ᵒ – 30ᵒ = 240ᵒ (3)  Menentukan sudut dari pole :

KOMPENSATOR LEAD nilai 4 yang paling tepat untuk Gambar adalah 210 .  Menentukan titik pole tersebut. Dari Gambar, dengan menerapkan aplikasi rumusrumus trigonometri sederhana, didapatkan letak pole dari kompensator lead pada s = –  8. Kita telah dapatkan pole dan zero dari kompensator lead, yaitu pole pada s = – 8, dan zero pada s = – 4, sehingga persamaan fungsi alih dari kompensator lead diberikan oleh :

Maka fungsi alih loop terbuka yang baru menjadi :

KOMPENSATOR LEAD Karena magnitude dari G’(s) pada titik uji pole-pole loop tertutup yang diinginkan harus sama dengan satu, maka :

 persamaan tersebut ekivalen dengan persamaan :

dimana :

maka :

Fungsi alih loop terbuka dari sistem dengan spesifikasi yang telah kita tentukan menjadi :

KOMPENSATOR LEAD Fungsi alih ini memberikan gambar root-locus seperti ditunjukkan pada Gambar.  Nilai-nilai dari resistor dan kapasitor pada rangkaian elektronik kompensator lead disesuaikan dengan fungsi alih kompensatornya :

 Nilai  dapat dicek :

Terlihat bahwa nilai  tetap berada antara 0 dan 1, yang merupakan ciri dari kompensator lead.

KOMPENSATOR LEAD

KOMPENSATOR LAG

Kompensator ini dinamakan kompensator lag karena apabila diaplikasikan untuk input sinusoidal, phasa output yang dihasilkan akan tertinggal ( lagging ) dari phasa input.

Rangkaian elektronik lag compensation dengan R1C1 < R2C2

KOMPENSATOR LAG

Dimana,

Transfer Function

kompensator lag akan menaikkan akurasi steady-state dari sistem, tetapi cenderung

KOMPENSATOR LAG

Perancangan kompensator lag mirip dengan perancangan kompensator lead. Yang  perlu ditekankan dalam hal ini adalah bahwa fungsi kompensator lag ini berkaitan erat dengan perbaikan kinerja tanggapan steady-state sistem. Artinya penggunaan kompensator lag ini memang sejak semula berbeda dari kompensator lead. Hal  prinsip yang harus dipenuhi dalam perancangannya adalah nilai  yang harus lebih  besar dari satu, karena inilah satu-satunya perbedaan mendasar dari kompensator  lead.

KOMPENSATOR LAG Prosedur

1. Anggap kompensator lag:

KOMPENSATOR LAG

Tentukan K melalui konstanta error statik yang diinginkan.

KOMPENSATOR LAG

KOMPENSATOR LAG

KOMPENSATOR LAG

KOMPENSATOR LEAD-LAG Bila kita ingin mengembangkan sistem kontrol yang bagus spesifikasinya pada tanggapan transien dan tanggapan steady-state sekaligus, maka penggabungan kedua prinsip kompensator ini menjadi pilihan yang cukup bagus.

Rangkaian elektronik lead-lag compensation

KOMPENSATOR LEAD-LAG

Dimana,

Transfer Function

KOMPENSATOR LEAD-LAG Fungsi alih dari kompensator lead-lag dinyatakan oleh :

KOMPENSATOR LEAD-LAG

Dalam perancangan kompensator lead-lag ini, dibagi menjadi dua metode perancangan : Cara pertama :  ≠  , prosedur perancangannya adalah sebagai berikut : 1. Dari spesifikasi yang diinginkan, tentukan pole-pole loop tertutup dominannya (biasanya merupakan pasangan konjugate-kompleks). 2. Dengan menggunakan fungsi alih yang belum terkompensasi G(s), tentukan kekurangan jumlah sudut  pada titik uji pole-pole loop tertutup yang diinginkan. Sudut dari bagian lead dari kompensator lead-lag digunakan untuk menutupi kekurangan ini.

KOMPENSATOR LEAD-LAG

3. Diasumsikan kita nanti akan memilih nilai T2 yang besar sehingga magnitude dari  bagian lag mendekati satu. Pilih nilai T1 dan  sehingga sudut dari bagian lead memenuhi kekurangan sudut sebesar . Kemudian nilai K dicari dengan perhitungan :

dimana nilai s adalah pole-pole loop tertutup dominan yang diinginkan (ambil salah satunya).

KOMPENSATOR LEAD-LAG 4. Jika konstanta kesalahan kecepatan statik (Kv) diketahui, nilai  dapat dihitung sebagai berikut :

KOMPENSATOR LEAD-LAG

 Nilai KC dan  telah ditentukan pada langkah 3, sehingga bila nilai Kv diketahui,maka nilai  dapat dicari. Kemudian dengan nilai  ini nilai T2 dapat dicari sehingga memenuhi syarat-syarat :

KOMPENSATOR LEAD-LAG Cara kedua :  = , prosedur perancangannya adalah sebagai berikut : 1. Dari spesifikasi yang diinginkan, tentukan pole-pole loop tertutup dominannya (biasanya merupakan pasangan konjugate-kompleks). 2. Jika konstanta kesalahan kecepatan statik (Kv) diberikan, nilai KC dapat dicari dari  persamaan berikut :

3. Dengan menggunakan fungsi alih yang belum terkompensasi G(s), tentukan kekurangan jumlah sudut  pada titik uji pole-pole loop tertutup yang diinginkan. Sudut dari bagian lead dari kompensator lead-lag digunakan untuk menutupi kekurangan ini.

KOMPENSATOR LEAD-LAG

4. Diasumsikan kita nanti akan memilih nilai T2 yang besar sehingga magnitude dari bagian lag mendekati satu. Pilih nilai T1 dan β sehingga magnitude dan sudut memenuhi persamaan :

KOMPENSATOR LEAD-LAG

5. Dengan menggunakan nilai  kita dapat mencari nilai T2 sehingga memenuhi syarat-syarat :

KOMPENSATOR LEAD-LAG

Example

KOMPENSATOR LEAD-LAG

KOMPENSATOR LEAD-LAG

KOMPENSATOR LEAD-LAG

KOMPENSATOR LEAD-LAG

Transfer Function:

PARALEL COMPENSATION

Persamaan karakteristik :

Maka menjadi :

 Jika persamaan karakteristik  dibagi dengan unsur yang tidak  memiliki Gc, menjadi :

 Jika didefinisikan,

KOMPENSATOR PARALEL Velocity Feedback System Velocity Feedback System (Tachometer Feedback System) merupakan contoh kompensator paralel. Pengontrol (Kompensator) dalam sistem ini adalah elemen gain. Elemen gain dari feedback harus ditentukan dengan benar sehingga dapat memenuhi spesifikasi desain yang diberikan.