Penyelesaian Soal Tugas 1 MK Teori Grup 2020
August 31, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Penyelesaian Soal Tugas 1 MK Teori Grup 2020...
Description
SOAL-SOAL TUGAS I TEORI GRUP
1. 1. Bila A suatu himpunan, dan A . Buktikan bahwa A = Bukti:
A A. (diketahui) ( himpunan koson kosongg adalah himpunan bagian dar darii setiap himpunan) Karena A dan A maka A = 2. 2. Misal A, B, dan C masing-masing adalah himpunan, buktikan bahwa jika x C maka x ( A − B )
A C B dan
∈() ∈ ∈∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ( ), Jadi terbukti bahwa ∈ ∈ ∈ ∈ Bukti: Andaikan hasilnya maka dan Karena dan x C maka Karena dan A C B maka kontradiktif karena , maka pemisalan hasilnya Jadi seharusnya hasilnya x ( A − B) jika A C B dan x C maka x ( A − B)
3. 3. Misalkan
dan
x A ,
buktikan jika
x D ,
maka
x B
Bukti: Andaikan hasilnya . Karena x A dan , maka Karena dan , maka kontradiktif karena x D , maka pemisalan hasilnya Jadi seharusnya hasilnya x B Jadi terbukti bahwa jika , x A , dan x D , maka 4. Buktikan bahwa jika
A B dan A C ,
maka
Jadi seharusnya hasilnya B C Jadi terbukti bahwa jika A B dan
A C ,
, SALAH
x B
B C
Bukti: Andaikan hasilnya . Karena A B dan , maka kontradiktif karena A C , maka pemisalan hasilnya
maka
, SALAH
B C
5. 5. Apakah berikut ini fungsi-fungsi injektif, surjektif, dan atau bijektif? Apabila bukan buatlah syarat nya agar fungsi ters tersebut ebut injektif, ssurjektif, urjektif, dan atau bijektif a. a. dan b. b. dan dan c.
:: → () = 3 24 ℎ: n 2 : → ℎ() = 2 si23
:: → () = 3 24 , ∈ ( ) =() 3 24=3 24 = 3= 0 3 ( )( ) = 0 ( ) > 0 ( ) = 0 = () =() = ∈ () = 3=24= =24 13 8 = 13 8 ∈ (domain) ∀∈,∃= 8 ∈∋() = : → () = 23 , ∈ () =() 23 23= 2= 2 22 =0 (2)± (2)± ( (2) 2) 4(1)(2 ) = 2(1) 2±484 = 2
Penyelesaian: a. a. dan i. i. Injektif Ambil (domain)
(definit positif), maka maka berarti fungsi injektif
Karena
Karena jika
ii. ii. Surjektif Ambil
(kodomain)
Karena
berarti fungsi surjektif.
iii. iii. Bijektif Karena fungsi injektif dan fungsi surjektif, maka fungsi bijektif b. b. (Untuk di UIN no. 5b di anulir/SKIP) dan i. i.
Injektif Ambil
(domain)
2 ± 2 ( (1) 1) ==1 ±(1) 2 = =2 () =() = =2 ∈ ( ) = 23= 23=0 (2)± (2)± ( (2) 2) 4(1)(3) = 2(1) 4 8 =±±√ 2√ ±−− 248 =1∈,== ∋ () = ℎ: → ℎ() = 2 sin 2 , ∈ ( ) ℎ =ℎ() 2 sin2=sin2 sin2=2 sin2 = = 2=2.2 =. ℎ() =ℎ()2=2 =. ∈ ( ) ℎ = 2sin2= sin2= 2 >2∈, ∋ () =
atau
Karena jika
ii. Surjektif Ambil
maka
atau
berarti bukan fungsi injektif
(kodomain)
Karena untuk surjektif.
berarti bukan fungsi
iii. iii. Bijektif Karena bukan fungsi injektif dan bukan fungsi surjektif, maka bukan fungsi bijektif c. c. i. i.
dan
Injektif Ambil
(domain)
atau atau maka atau
Karena jika injektif
ii. ii. Surjektif Ambil
berarti
bukan fungsi
(kodomain)
Karena untuk iii. iii. Bijektif
berarti fungsi surjektif.
Karena bukan fungsi injektif dan bukan fungsi surjektif, maka bukan fungsi bijektif
6. 6. Tentukanlah invers dari fungsi pada nomor 5, dan tentukan syaratnya agar merupakan suatu fungsi.
:: → () = 3 24 = 33 24 3==24 1 31 8 = 3 8 − ()= 13 8 () = 3 24 −()= 8 −()= 8 : → () = 23 = 23 23=0 (2)± (2)± ( (2) 2) 4(1)(3) = 2(1) 4 8 = 2 ± 248 4 8 −()= 2 ± 248 − −()= −−√ √ −− () = 23 −()= ++√ √ − = () = 23
Penyelesaian: a. a. dan
Jadi invers fari fungsi
adalah
bijektif maka b. b.
karena fungsi
merupakan fungsi.
dan
Jadi invers fari fungsi
adalah
Grafik fungsi
atau
seperti berikut
.
2 1
Agar fungsi bijektif, maka domainnya {x |
≥1
} dan kodomainnya {y |
≥2
}
c. c.
ℎ: → ℎ() = 2 sin 2 = 2 sisin 2 sin2= 2 2= sin− 2 − = 2 1 s si i n 1 ℎ−()= 2 ssiin−22− − ℎ() = 2 sin 2 ℎ ()= ssiin = ℎ() = 2 ssiin 2 dan
Jadi invers fari fungsi
adalah
Grafik fungsi
seperti berikut
2
2≤≤2
4
Agar fungsi bijektif, maka domainnya {x | {y | }
4 ≤ ≤ 4
} dan kodomainny kodomainnyaa
7. 7. (Dianulir karena sulit mencari invers dari fungsi berderajat 6)
∶ → ∶ → ([[( )(())]=[ =]=[( ( ())()]()) ( ) =() ( )()() = ( )()()) ==
8. 8. Jika dan masing-masing fungsi bijektif, buktikan bahwa fungsi bijektif pula. pula.
adalah fungsi
Penyelesaian: Misal dan dan masing-masing fungsi bijektif, berarti dan masing-masing fungsi injektif, dan dan masing-masing fungsi surjektif,
Injektif
Karena fungsi injektif maka
Karena fungsi injektif maka
Jadi jika
maka
, berarti
fungsi injektif
( [)( )(()]) == )] = ∈∋ () = = () ∈, ()() ∈ ∋ [ ()]= ∀∈ ∃ ∈ ∋ ( )()()= ( ) : : → : → =31 ( ) = 3 ( )() ==[9(6193=9 0] = (31) = (31) 3(31) 154 (J adi ()()())(=)( ≠( 33) ))(=3) ( 33)) 1 = 33 91
Surjektif
Ambil
sedemikian hingga
Karena fungsi surjektif maka ada Misalkan karena fungsi surjektif maka ada Jadi ini berarti fungsi surjektif Karena fungsi injektif dan fungsi surjektif maka fungsi bijektif
9. 9. Tunjukkan bahwa komposisi fungsi tidak komutatif. Penyelesaian : Ambil dua buah fungsi dan
dan
yangdidefinisikan dengan
10. Tentukanlah himpunan-himpunan ekuivalen “~” yang artinya “selisihnya habis dibagi 5” dari himpunan bilangan bulat dengan relasi Penyelesaian: Bilangan bulat bila dibagi 5 sisanya adalah 0, 1, 2, 3, atau 4. Sehingga himpunan ekuivalen itu memuat sisa pembagian dengan 5, yaitu {…,-10, -5, 0, 5, 10, 15, …} {…,-9, -4, 1, 6, 11, 16, …} {…,-8, -3, 2, 7, 12, 17, …} {…,-7, -2, 3, 8, 13, 18, …} {…,-6, -1, 4, 9, 14, 19, …}
View more...
Comments
