Pensamiento Logico y Matematico

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Sociales, Artes y Humanidades Programa de Psicología Pensamiento lógico y matemático

PENSAMIENTO LOGICO Y MATEMATICO

ACTIVIDAD COLABORATIVA N°2

INTEGRANTES NATALIA ANDREA ARBOLEDA ORTIZ CODIGO 1.113.684.805 LEIDY YOHANNA GALEANO LARA CODIGO: 1.118.293.197 LINA MARCELA MEJIA SANCHEZ CODIGO: 1.116.241.660 GRUPO: 200611_294

TUTOR: HILDER MOSCOTE

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA VALLE DEL CAUCA 18/ABRIL/2016 1

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INTRODUCCION

En este trabajo veremos como La lógica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma como elemento básico de análisis a la proposición, es un enunciado del cual se puede dar un valor de verdad. Para simplificar la escritura de argumentos lógicos complicados, crea un lenguaje simbólico artificial. Es importante tener en cuenta que las proposiciones representan oraciones declarativas, las cuales contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado y una conjugación del verbo ser estas son:

•

Proposiciones Simples

•

Proposiciones Compuestas

De igual manera hemos dominado las Tablas de verdad que no son más que una representación esquemática de las relaciones entre proposiciones; Esta sirve para determinar los valores de verdad de proposiciones compuestas, las cuales dependen de los conectivos utilizados y de los valores de verdad de sus proposiciones simples. Podemos afirmar que en la elaboración de una tabla de verdad, los términos de enlace tales como la negación (~), la disyunción (V) y la conjunción (Λ) se consideran conectores fundamentales; por tal razón, sus valores de verdad constituyen base para establecer bajo qué condiciones una proposición compuesta es verdadera o falsa

Este trabajo es realizado por las estudiantes de la Universidad Abierta y a distancia del curso pensamiento lógico y matemático grupo 200611_294

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OBJETIVOS

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Presentar los conceptos básicos de la lógica proposicional.

•

Aprender a identificar las clases de proposiciones que se pueda encontrar en un enunciado.

•

Entender la aplicación y el efecto que tienen los términos de enlace en las proposiciones.

•

Analizar proposiciones en nuestro idioma para determinar su validez.

•

Analizar e interpretar proposiciones para simbolizarlas.

•

Comprender los principios de las operaciones de la lógica proposicional y sus aplicaciones en otras áreas de la carrera.

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Aporte número 1

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NATALIA ANDREA ARBOLEDA

Tablas de la verdad: Permite analizar la validez de una formula o premisa planteada. Fue desarrollada por Charles Sanders Pierce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatuslogico-philosophicus, publicado en 1921. Tiene como objetivo nos permite mostrar la validez de un suceso, las tablas de verdad se utiliza en lógica simbólica para establecer la validez de las proposiciones. Tabla de verdad de la disyunción: La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas. Un ejemplo cotidiano sería:

*si voy al parque

; no voy al parque es falso

.

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EJEMPLOS: p =” El número 2 es par” q =” la suma de 2 + 2 es 4″ pvq: “El número 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″

p =” La raíz cuadrada del 4 es 2” q =” El número 3 es par″ pvq: “La raíz cuadrada del 4 es 2 o el número 3 es par Tabla de Vedad de la Conjunción La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad V ER D A D ER O cuando ambas proposiciones son verdaderas, y FA L S O en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas.

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p ^ q (se lee:” p y q”) EJEMPLOS: p =” El número 4 es par” q =”Siempre el residuo de los números pares es 2″ p^q: “El número 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2″

p =” El númeromás grande es el 34” q =”El triángulo tiene 3 lados″ p^q: “El númeromás grande es el 34 y El triángulo tiene 3 lados”

Tabla de verdad de la Negación La negación es un operador que se ejecuta. Sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

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EJEMPLOS p: “4 + 4 es igual a 9” -p: “4 + 4 no es igual a 9″

p: “El 4 es un numero par” -p: “El 4 no es un numero par”

Tabla de la verdad del condicional El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad F A LS O sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y V ER D A D ER O en cualquier otro caso. La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q

EJEMPLOS p: “llueve” 7

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q: “hay nubes” p→q: “si llueve entonces hay nubes”

p: “Hoy es miércoles” q: “Mañana será jueves” p→q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves”

Tablas de la verdad del bicondicional El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad V ER D A D ER O cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

EJEMPLOS p: “10 es un número impar” q: “6 es un número primo” p↔q: “10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo” 8

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p: “3 + 2 = 7” q: “4 + 4 = 8” p↔q: “3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8″

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LEIDY YOHANNA GALEANO LARA

CONCEPTO DE PROPOSICIÓN LÓGICA Una proposición es una oración con valor referencial o informativo, de la cual se puede predicar su veracidad o falsedad, es decir, que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es la expresión lingüística del razonamiento, que se caracteriza por ser verdadera o falsa empíricamente, sin ambigüedades. Son proposiciones las oraciones aseverativas, las leyes científicas, las fórmulas matemáticas, las fórmulas y/o esquemas lógicos, los enunciados cerrados o claramente definidos. No son proposiciones las opiniones y suposiciones; los proverbios, modismos y refranes; los enunciados abiertos no definidos; las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, desiderativas y dubitativas; las interjecciones en general; ni las operaciones aritméticas.

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CLASES DE PROPOSICIONES

Existen dos clases de proposiciones: PROPOSICIONES SIMPLES: Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones (“no”) o términos de enlace como conjunciones (“y”), disyunciones (“o”) o implicaciones (“sí. . . entonces”). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones. También denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. Ejemplos: El cielo es azul. La ballena es roja. La raíz cuadrada de 16 es 4. Gustavo es alto. Teresa va a la escuela

PROPOSICIONES COMPUESTAS: Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes. También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Ejemplos: 10

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Fui al banco, pero el banco estaba cerrado. Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios. Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto. Aprenderé Matemáticas si y sólo si estudio mucho.

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LINA MARCELA MEJIA Silogismos categóricos.

Un silogismo es un argumento deductivo en el que se infiere una conclusión a partir de dos premisas. El silogismo contiene exactamente tres términos, cada uno de los cuales sólo aparece en dos de las proposiciones que lo constituyen. Se dice que un silogismo está en forma estándar cuando sus premisas y conclusión están arregladas en cierto orden específico. La conclusión de un silogismo de forma estándar es una proposición que contiene dos de los tres términos del silogismo. El término que aparece como predicado de la conclusión se llama el término mayor del silogismo, y el término que aparece como sujeto de la conclusión es el término menor del silogismo. Así, en el siguiente silogismo: • • •

Ningún héroe es cobarde Algunos soldados son cobardes Por lo tanto, algunos soldados no son héroes.

El término “soldados” es el término menor y el término “héroes”, es el término mayor. El tercer término del silogismo que no aparece en la conclusión, y que aparece en cambio en ambas premisas se llama el término medio. En nuestro ejemplo, el término “cobardes” es el término medio. Los términos mayor y menor de un silogismo en forma estándar aparecen, cada uno, en una premisa diferente. La premisa que contiene el término menor se llama premisa menor y la premisa que contiene el término mayor se llama 11

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premisa mayor. Una característica definitoria de un silogismo de forma estándar consiste en que la premisa mayor se enuncia primero, en seguida la premisa menor y al final la conclusión. El modo de un silogismo de forma estándar está determinado por las formas de las proposiciones categóricas de forma estándar que contiene. Es decir, el silogismo se Representa por tres letras, la primera de las cuales nombra la forma de la premisa mayor del silogismo, la segunda la de la premisa menor y la tercera la de la conclusión. Por ejemplo, en el caso del silogismo precedente, puesto que su premisa mayor es una proposición E, su premisa menor es una proposición I y su conclusión una proposición O; el modo del silogismo es EIO. El modo sólo describe parcialmente la forma de un silogismo, pues silogismos con el mismo modo pueden diferir en sus formas, dependiendo de las posiciones relativas de los términos medios. La forma de un silogismo se puede describir por completo enunciando su modo y su figura, donde la figura indica la posición del término medio en las premisas. Es claro que hay cuatro posibles figuras distintas que pueden tener los silogismos. El término medio puede ser el sujeto de la premisa mayor y el predicado de la premisa menor, o puede ser el predicado de ambas premisas, o puede ser el sujeto de ambas premisas, o puede ser el predicado de la premisa mayor y el sujeto de la premisa menor. Estas diferentes posiciones posibles del término medio constituyen las cuatro figuras del silogismo

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MP

PM

MP

PM

SM

SM

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MS

SP

SP

SP

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SP

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Silogismo válido Diagrama de ven

Unsilogismo resulta inválido al no cumplir al menos una de estas reglas: • El silogismo debe tener tres términos: mayor, menor y medio. • Los términos no deben tener mayor extensión en la conclusión que en las premisas1 • El término medio nunca debe pasar a la conclusión. • El término medio debe ser universal por lo menos una vez. • Dos premisas afirmativas, no pueden dar conclusión negativa. • Dos premisas negativas, no dan conclusión. 13

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• Dos premisas particulares no dan conclusión. • La conclusión siempre sigue la parte más débil (particular y negativa). Reglas de figuras • Primera figura: mayor universal, menor afirmativa. • Segunda figura: mayor universal, una negativa. • Tercera figura: menor afirmativa, conclusión particular. • Cuarta figura: si la mayor es afirmativa, la menor debe ser universal. • Cuarta figura: si la menor es afirmativa, la conclusión debe ser particular. • Cuarta figura: si alguna premisa es negativa, la mayor debe ser universal

Aporte número 2

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NATALIA ANDREA ARBOLEDA

Rafael siempre quiso ser actor de teatro, pero no logró cumplir su sueño porque se dedicó a trabajar para buscar su sustento diario. Pero ha llegado una felicidad a Rafael y es el hecho de que su hija Sofía quiere ser actriz de teatro y pensando en su hija construye en su mente el siguiente pensamiento: “No es cierto que: si mi hija Sofía estudia los libretos,obtiene representar el papel protagónico en la obra de Teatro. Si no estudia, lo pasa divertido en el ensayo. Si no obtiene el papel protagónico no lo pasa bien en el ensayo. Así pues, mi hija Sofía obtiene el papel protagónico. 14

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De acuerdo al resultado en la tabla de verdad justifique si el pensamiento de Rafael con relación a su hija es coherente o incoherente.

PREMISA 1 a:Sofía estudia los libretos PREMISA 2 b: Obtiene representar el papel protagónico PREMISA 3 c:Lo pasa divertido en el ensayo

¬a: Sofía No estudia ¬b: Sofía No obtiene representar el papel protagónico ¬c: No la pasa bien en el ensayo

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a

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¬(a

b)

(¬a c)

(¬a ¬c)

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¬(a

b)Λ(¬a c)Λ (¬a ¬c)

POR SU RESULTADO VERDADERO Y SEGÚN LA DEFINICION OBTENEMOS QUE ESTE PROBLEMA ES UNA CONTINGENCIA

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LINA MARCELA MEJIA SANCHEZ

En el Fondo de empleados de una empresa desean premiar a los asociados más antiguos con un viaje para dos personas con todo pago a la isla de San Andrés, los asociados más antiguos son Alberto, Javier, Camilo y los hermanos Luis y Carlos. En la Junta para determinará a quien otorgar el premio se hace la siguiente consideración con relación a los ahorros: “Si Alberto posee mayor cantidad de ingresos que Javier, Javier posee mayor cantidad de ingresos que Luis. Camilo posee mayor cantidad de ingresos que Carlos el hermano de Luis, si Javier posee mayor cantidad de ingresos que Luis. Por lo tanto, Si Alberto posee mayor cantidad de ingresos que Javier, Camilo es quien posee mayor cantidad de ingresos que Carlos”. ¿Es correcto o contradictorio el análisis?

Premisa 1:

P = Alberto posee mayor cantidad de ingresos que Javier A$>J

Premisa 2: Q = Javier posee mayor cantidad de ingresos que Luis

J$>L

Premisa 3: R = Camilo posee mayor cantidad de ingresos que Carlos C$>CAR

((p->q) & (q->r))-> (p->r)

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P

Q

r

(p->q)

&

(q->r)

->

(p->r)

V

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V

El análisis demuestra que es una tautología por cuanto el resultado final todo es verdadero

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LEIDY GALEANO

Francisco es estudiante del curso de Herramientas Digitales para la Gestión del Conocimiento junto con Luis. Luis en un aporte individual para el Trabajo Colaborativo Uno escribe en el foro la siguiente idea: “Si Francisco mi compañero de curso, aprende Cmaptools y realiza los mapas conceptuales, entonces Francisco aprende Cmaptools, entonces el realiza mapas conceptuales o reconoce una red de conceptos y Francisco no realiza mapas conceptuales y el no reconoce una red de conceptos”. ¿Qué se puede decir de esta información? PREMISA 1 P = aprende Lógica Proposicional PREMISA2 Q = Reconoce una Tautología (P∧Q) → (P→Q) V (P∧~Q) ∧~P P V V F F

Q V F V F

(P∧Q) → (P→Q) V (P∧~Q) ∧~P V V V V

Este problema de Lógica Proposicional corresponde a una

Tautología

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Aporte número 3

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NATALIA ANDREA ARBOLEDA

Todos los egresados de programas del SENA pueden estudiar por convenio en la UNAD. Algunos jóvenes técnicos no pueden estudiar por convenio en la UNAD. Algunos jóvenes técnicos no son egresados del SENA

PREMISA UNIVERSAL AFIRMATIVA A: Todos Los egresados de programa SENA pueden estudiar por convenio en la UNAD PREMISA PARTICULAR NEGATIVA B:: Algunos no pueden estudiar por convenio en la UNAD PREMISA PARTICULAR NEGATIVA C: Algunos jóvenes técnicos no son egresados del SEN SENA

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LEIDY GALEANO

Ningún empleado puede ser Gerente y Tesorero al mismo tiempo. Jacobo es un empleado. Jacobo no puede ser Gerente y Tesorero al mismo tiempo. Encontramos tres proposiciones categóricas. 1 Ningún empleado puede ser gerente y tesoreroal mismo tiempo Universal y afirmativa 2 Jacobo es un empleado Particular y afirmativa 3 Jacobo no puede ser empleado y tesorero al mismo tiempo Particular negativa silogismo ferio Hay que tener en cuenta que tipo de proposiciones encontramos si verdaderas o falsas ya que si esto pasa estaríamos hablando de una contingencia A: Jacobo empleado. B: Jacobo comoempleado y gerente. C: Jacobo como empleado y tesorero.

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LINA MARCELA MEJIA

Algunos docentes en Licenciados son de la Universidad UNAD. Todos los docentes de Matemáticas son de la Universidad UNAD. Algunos docentes de Matemáticas no son docentes en Licenciados.

Premisa Universal: A Todos los Docentes de matemáticas son de la universidad UNAD Premisa Particular Negativa: B Algunos docentes en Licenciados son de la Universidad UNAD Premisa Particular Negativa: C Algunos docentes de Matemáticas no son docentes en Licenciados

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PROBLEMA GRUPAL

Si Andrés estudia Economía, entonces participará en la convocatoria de una beca para especialización. Pero, no participará en la convocatoria, si reprobó el curso de Fundamentos de Administración y no aprobó el curso de Finanzas. Si Andrés no reprobó el curso de Fundamentos de Administración o aprobó el curso de Finanzas, entonces participará en la convocatoria de una beca para especialización. Por lo tanto, participará en la convocatoria si y solo si evidencia un promedio de 4,3 en todos sus estudios.

Premisas.

P Andrés estudia economía Q Andrés participara en la convocatoria de una beca para especialización. R reprobó el curso de fundamentos de administración S aprobó el curso de finanzas T evidencia un promedio de 4,3 en todos sus estudios. Expresión Booleana

(p>q) & ¬q>(¬r&~ s) (r>q) &(q=t)

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TABLA DE VERDAD CON EL SIMULADOR TRUTH

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Conclusiones

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Este trabajo nos ha permitido profundizar los conocimientos del uso de la lógica para la resolución de problemas o la representación de la realidad a nivel de proposiciones.

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Las tablas de verdad son un mecanismo que ayuda al individuo a mostrar la validez de un planteamiento por medio de premisas. Estas tablas de verdad se clasifican de acuerdo a los conectores por el cual están unidas varias oraciones, cada uno de ellos le da un sentido diferente a la oración.

•

El trabajo nos retoma la importancia de tener soluciones claras ya que nos es de ayuda en el momento de responder con claridad ante un problema de investigación ya que se podría sustentar racionalmente, manejando reglas y estrategias adecuadas mediante lenguajes simbólicos y así pasar de una información a una respuesta concreta y correcta en este caso de la lógica proporcional

•

Con ayuda del Simulador de tablas de verdad pudimos comprobar la validez de nuestro resultado en las tablas realizadas con respecto a los problemas que se presentaron en la guía de actividades.

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Referencias Bibliográficas

Domingo A., Lógica matemática, recuperado de http://cmapspublic3.ihmc.us/rid=1KF3RZJ6C-8F09MCWM7/TABLAS%20DE%20VERDAD.pdfz

Núñez H., García A., Proposiciones compuestas (Disyunción, Conjunción, Negación, Condicional, Bicondicional), recuperado de https://matedisunidad3.wordpress.com/2011/10/18/proposiciones-compuestas-disyuncion-conjuncion-negacion-condicionalbicondicional/

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