PENDULO SIMPLE AMORTIGUADO.docx

0

Péndulo simple amortiguado amortiguado Laboratorio de Física General Escuela de Ingeniería Civil

Integrantes:

Oliva Vilchez, Pablo Reyna León, Andrés Santos Cotrina, Nicole Profesor:

Mario Chávez

22/12/2014

1

1 Resumen En el presente trabajo centramos nuestro estudio en el sistema del péndulo simple amortiguado con el objetivo principal de obtener la ecuación empírica que relacione la  posición (x) y su respectivo tiempo (t). Lo que se realizó experimentalmente, fue grabar el movimiento de nuestro péndulo, para  posteriormente mediante el uso del software Tracker obtener y procesar los datos experimentales de posición y tiempo (también se hallaron datos de componente en x de la velocidad y aceleración así como energía cinética) hallando así las ecuaciones y  parámetros buscados. Una vez obtenidos dichos datos experimentales de posición y tiempo, basados en nuestra teoría sobre movimiento armónico amortiguado, hallamos la ecuación empírica que gobierne sobre el comportamiento de dichas variables, siendo la que se muestra a continuación:

A = (21.572e−. ) cm Un aspecto fundamental se desprende de la ecuación empírica hallada ya que mediante ella podemos hallar el denominado coeficiente de amortiguamiento del aire. Coeficiente de amortiguamiento:

γ

= 0.007 s −

Lo que nos muestra el presente trabajo experimental es que no existe movimiento armónico o sistema idealizado en el que no exista una fuerza disipadora de energía, a  partir de esto y de la ecuación hallada podemos concluir que la amplitud del péndulo en movimiento decae de manera exponencial a través del tiempo.

2 Objetivos 2.1 General 

Construir la ecuación empírica que relacione la amplitud (A) y su respectivo tiempo (t) para un péndulo simple (sistema hilo pabilo  –   esfera plástica) amortiguado por el aire.

2.2 Específicos 

Construir la ecuación posición vs tiempo para el movimiento del péndulo



Calcular el coeficiente de amortiguamiento del aire ( γ ).

3 Fundamento teórico 3.1 Movimiento armónico amortiguado

La amplitud angular de cualquier resorte o péndulo en balanceo reales disminuirá lentamente con el tiempo hasta que las oscilaciones se detengan por completo. La figura 1 muestra una gráfica típica del desplazamiento como función del tiempo. A esto se le llama movimiento armónico amortiguado. Por lo general el amortiguamiento se debe a la resistencia del aire y a la fricción interna dentro del sistema en oscilación.

2

Figura 1.  Movimiento armónico amortiguado. La disminución en la amplitud se indica mediante las curvas punteadas

3.1.1 Péndulo simple amortiguado

En este modelo la amplitud del péndulo en balanceo disminuirá l entamente con el tiempo, aplicando la 2° ley de Newton en la dirección tangencial obtenemos:

x

mg  bv = ma L d x dt 

+

b dx m dt 

g

+

L

→ mgx  bL

+

= mL

T

Movimiento Subamortiguado mg Cos

-bv mg

Figura 2. Péndulo simple amortiguado

cos(ωt + φ )

Si γ2 ˂ ωo2, donde γ es el denominado coeficiente de amortiguamiento y ωo es la frecuencia angular inicial, entonces encontramos que la solución de la ecuación diferencial del movimiento, expresada en función de γ y ω:

(9)

Siendo finalmente la amplitud del movimiento −γ

 

dt 

La solución de la ecuación (8) requiere matemática que tal vez no le sea familiar, así es que simplemente estableceremos la solución, la cual  presenta tres casos: movimiento sobreamortiguado, movimiento críticamente amortiguado y movimiento subamortiguado el cual estudiaremos.

mg Sen

A = A e

d x

(8)

x

−γ

dt 

x=0

L

x = A e

dx

(10)

3

4 Materiales e instrumentos Tabla N°1. Materiales e instrumentos con su respectiva precisión

Materiales 1

Esfera de plástico

1

Hilo pabilo

1

Cámara digital (como

material de filmación)

Instrumentos

Precisión

a) 1 Cronómetro de

a)

0.01 s

cámara digital

 b)

0.1 cm

b) 1 Wincha

c)

0.01 g

c) 1 Balanza digital

d)

0.01 mm

d) 1 Vernier 

5 Método y esquema experimental 5.1 Método.

Experimental: se hace oscilar el péndulo y se recolectan los datos mediante un Software Así mismo el tratado de los datos experimentales fue también mediante el software: tracker. 5.2 Procedimiento:

1° Colocamos el hilo pabilo y la esferita plástica para así formar el sistema oscilante de péndulo simple. 2° Colocamos la cámara digital en perfecta posición para filmar el movimiento del péndulo simple, cuidando de que en la pantalla, la  posición de equilibrio del péndulo y el eje vertical ¨y¨ asumido como la extensión del hilo pabilo coincidan totalmente formando una sola línea. 3° Desviamos el péndulo un determinado ángulo de su posición de equilibrio y lo dejamos oscilar en un plano vertical. Desde ese momento filmamos el movimiento del péndulo hasta que la amplitud angular sea muy pequeña. 4° Una vez obtenida la filmación, la procesamos por medio del software Tracker. Obteniendo mediante él los datos eexperimentales y los  parámetros buscados.

4

5.3 Esquema experimental:



Figura 6. Esquema experimental: momento de la filmación del movimiento

6 Datos experimentales Los datos experimentales de posición, amplitud, tiempo, componente en x de la velocidad, componente en x de la aceleración y energía cinética  fueron obtenidos mediante el software Tracker. Debido a la gran cantidad de datos experimentales que arroja dicho software, en el presente acápite colocaremos un número muy reducido de datos experimentales de posición y tiempo. Los demás datos de las variables mencionadas se muestran en el apartado 1 del anexo. Tabla N°2. Datos experimentales de tiempo y posición

Tiempo t (s) 0 0.05555556 0.11111111 0.16666667 0.22222222 0.27777778 0.33333333 0.38888889 0.44444444 0.5 0.55555556 0.61111111

Posición x (cm) -24.5723444 -24.2503989 -23.0530527 -22.2587084 -20.0696373 -16.8626498 -14.9397578 -10.5749078 -5.72046502 -3.26693581 1.91554076 6.91098388

5

0.66666667 0.72222222 0.77777778 0.83333333 0.88888889 0.94444444 1 1.05555556 1.11111111 1.16666667 1.22222222 1.27777778 1.33333333 1.38888889 1.44444444 1.5 1.55555556 1.61111111 1.66666667 1.72222222 1.77777778 1.83333333 1.88888889 1.94444444 2 2.05555556 2.11111111 2.16666667 2.22222222 2.27777778 2.33333333 2.38888889 2.44444444 2.5 2.55555556 2.61111111 2.66666667 2.72222222 2.77777778 2.83333333 2.88888889 2.94444444 3 3.05555556

9.40412492 13.8355483 17.6303988 19.1373425 21.6505351 22.8429053 23.1643822 22.5064677 20.7448703 19.4478064 16.1286941 11.8451574 9.46959457 4.33427617 -1.03822985 -3.76584155 -8.87440449 -13.3847866 -15.482125 -18.7955756 -20.9545395 -21.6982171 -22.3805615 -22.0213217 -21.5815599 -19.73727 -16.8861253 -15.163772 -11.0602868 -6.33005057 -3.88042406 1.17427879 6.11529919 8.55908923 13.055937 16.8869004 18.4381431 21.0535358 22.4977261 22.8360983 22.4933967 20.9786126 19.7941928 16.5524939

6

Así mismo tenemos: Tabla N°2. Medidas de longitud (hilo), diámetro y masa (esfera)

Longitud del hilo L (cm)

Masa de la esfera m (g)

83.3

Diámetro de la esfera D (cm)

32.4

7 Análisis, resultados y discusión 7.1 Análisis y resultados

Usando el software Tracker obtuvimos las siguientes graficas:

) m c( x n ió ci s o P

Tiempo t (s) Gráfica 1. Posición vs tiempo para el movimiento real de la esfera

3.475

7

) m c( x n ói ci s o P

Tiempo t (s) Gráfica 2. Modelado de la posición en función del tiempo para el movimiento del péndulo

) m c( x n ói ci s o P

Tiempo t (s) Gráfica 3. Superposición de las gráficas posición vs tiempo. El modelo ideal sobre el sistema real para el movimiento del nuestro péndulo simple amortiguado.

8

) m c( A d ut il p m A

Tiem o t (s) Gráfica 4. Amplitud vs tiempo: Modelado del decaimiento exponencial de la amplitud a través del tiempo para el péndulo.

Tiempo t (s) Gráfica 5. Comparación del decaimiento y el sistema real

9

Gráfica 6. Comparación del modelo posición-tiempo y decaimiento

Las demás gráficas se pueden observar en la sección 2 del anexo. Las ecuaciones obtenidas al modelar fueron: A = ( 21.57e−. ) cm

x = 21.57e−. cos(8.994t )

(ecuación de decaimiento de la amplitud)

(ecuación de la posición versus el tiempo)

Estas ecuaciones han sido obtenidas mediante el software Tracker y las unidades de trabajo de este software son por defecto cm y gramos. Además de las ecuaciones empíricas halladas podemos hallar directamente el denominado coeficiente de amortiguamiento.

γ

= 0.007 s−

(Coeficiente de amortiguamiento)

7.2 Discusión 



Tanto la Gráfica 1 como la Gráfica 2 son modelos de movimiento, uno real el otro ideal, respectivamente, al comparar dichos modelos podemos afirmar que el modelo matemático ideal describe con certeza el movimiento del péndulo amortiguado estudiado. Esto se observa en la Gráfica 3 donde los modelos se superponen casi identicamente. Las gráficas 4, 5 y 6 nos muestran el decrecimiento de la amplitud, este decaimiento exponencial, es correcto al ser comparado con el sistema real, y se adecúa perfectamente al modelo ideal que representa el movimiento del péndulo amortiguado.

10 







Las gráficas 7, 8, y 9 del anexo nos muestran seguidamente que la energia cinética del sistema decrece con el tiempo tendiendo a cero, lo hacen tambien la velocidad y la aceleración, nos muestras sus valores para cada instante de tiempo. La gráfica 10 nos muestra la trayectoria seguida de la esfera como péndulo amortiguado. Matemáticamente según nuestra ecuación empírica el valor de la amplitud decaerá pero nunca será cero. Pero podemos interpretar que para un tiempo muy extenso las oscilaciones de la esferita metálica prácticamente serán nulas. El parámetro exponecial de nuestra ecuación empírica hallada nos brinda el valor del coeficiente de amortiguamiento, a su vez si se conociera la masa de la esferita metálica, mediante la relación 2 γ =  b/m, fue posible hallar el denominado  parámetro de amortiguamiento (0.4536) mediante el cual podemos describir la intensidad de la fuerza amortiguadora sobre el péndulo en movimiento. Los errores del experimento pueden ser apreciados en la gráfica 3, la que nos muestra una comparación entre el modelo ideal y el real para la posición en función del tiempo del movimiento del péndulo.

8 Conclusiones 





Concluimos de la ecuación empírica hallada que la relación entre la amplitud y el tiempo para el movimiento del péndulo simple amortiguado es exponencial: ´´La amplitud decae exponencialmente con el tiempo´´. La experiencia nos muestra que no existen los movimientos armónicos o s istemas ideales que oscilen eternamente, ya que siempre está presente una fuerza disipadora de energía la cual hace decrecer la amplitud del movimiento. El valor muy pequeño hallado para el coeficiente de amortiguamiento ( γ =0.007s −) nos indica que el tiempo que tardará en detenerse el sistema es muy amplio tal y como lo verificamos en la experiencia. Luego para un coeficiente de amortiguamiento mayor, menor será el tiempo para el que cesarán las oscilaciones y viceversa.

9 Anexos Apartado 1: Datos obtenidos en el experimento Tiempo t (s)

Posición x (cm)

0

-24.5723444

0.05555556

-24.2503989

0.11111111

-23.0530527

0.16666667

-22.2587084

0.22222222

-20.0696373

0.27777778

-16.8626498

0.33333333

-14.9397578

0.38888889

-10.5749078

0.44444444

-5.72046502

0.5

-3.26693581

11 0.55555556

1.91554076

0.61111111

6.91098388

0.66666667

9.40412492

0.72222222

13.8355483

0.77777778

17.6303988

0.83333333

19.1373425

0.88888889

21.6505351

0.94444444

22.8429053

1

23.1643822

1.05555556

22.5064677

1.11111111

20.7448703

1.16666667

19.4478064

1.22222222

16.1286941

1.27777778

11.8451574

1.33333333

9.46959457

1.38888889

4.33427617

1.44444444

-1.03822985

1.5

-3.76584155

1.55555556

-8.87440449

1.61111111

-13.3847866

1.66666667

-15.482125

1.72222222

-18.7955756

1.77777778

-20.9545395

1.83333333

-21.6982171

1.88888889

-22.3805615

1.94444444

-22.0213217

2

-21.5815599

2.05555556

-19.73727

2.11111111

-16.8861253

2.16666667

-15.163772

2.22222222

-11.0602868

2.27777778

-6.33005057

2.33333333

-3.88042406

2.38888889

1.17427879

2.44444444

6.11529919

2.5

8.55908923

2.55555556

13.055937

2.61111111

16.8869004

2.66666667

18.4381431

2.72222222

21.0535358

2.77777778

22.4977261

2.83333333

22.8360983

2.88888889

22.4933967

2.94444444

20.9786126

3

19.7941928

3.05555556

16.5524939

12

Apartado 2:

Gráfica 7 Componente en x de la aceleración en función del tiempo

Gráfica 8 Energía cinética en función del tiempo

13

Gráfica 9 Componente en x de la velocidad en función del tiempo

Gráfica 10 Trayectoria del movimiento de la esfera

14

10 Bibliografía 





Serway - Jewett, Física para ciencia e ingeniería volumen 1. Séptima edición. México: Cengage learning editores, 2008, p. 436. Giancoli, C. Douglas, Física. Principio con aplicaciones volumen 2. Sexta edición. México: Pearson Education, 2006, p.298. https.// mariochavez1.milaulas.com/cours/view php?id.6 Consultado 13/09/2014