Pendulo Físico V

Laboratorio de Física II UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

Péndulo Físico

FC y T

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Laboratorio de Física II PÉNDULO FÍSICO 1. OBJETIVOS  Determinar el valor del radio de giro k de un péndulo físico respecto de su centro de masa.  Determinar el valor de la aceleración de la gravedad local. 2. FUNDAMENTO TEORICO Cualquier cuerpo rígido suspendido de un eje fijo que no pasa por el centro de masa recibe el nombre de péndulo físico. En la Figura A se muestra un cuerpo de forma irregular, que se encuentra en su posición de equilibrio, donde el centro de masa C y el eje de oscilación O se encuentra sobre la misma línea vertical. En la Figura B el cuerpo a partir de esa posición empezara a oscilar formando un péndulo físico donde: la distancia del centro de masa al eje de oscilación en b, además I es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje O.



coo c bb

mg mg Figura B Figura A

La fuerza restauradora del movimiento oscilatorio se debe a la componente tangencial de la fuerza gravitacional, que está dada por el troqué:

1    Mgb sin  La ecuación (1) no cumple la condición del movimiento armónico simple, pero si se considera desplazamientos angulares pequeños es válida la aproximación sin θ ≈ θ, de manera que la ecuación será: FC y T

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Laboratorio de Física II  2    Mgb

 3   I

d 2  2 dt

Además el torque para un sólido está dado por:

Dónde:

 4

Reemplazando las ecuaciones (2) y (4) en la ecuación (3) e igualando a cero se obtiene: d 2 Mgb  5 dt 2  I   0

La forma de la ecuación (5) corresponde al caso del movimiento armónico simple, a partir de esta ecuación se expresa el periodo (T) de un péndulo físico como:

 6

T  2

I mgb

k 2  b2 T  2 gb

Aplicando el teorema de Steiner I = Icm + mb2 = mk2 + mb2, donde k es el radio de giro del péndulo físico respecto a un eje fijo que pasa por su centro de masa. La ecuación (6) también se puede escribir como:

 7

La ecuación (7) también se puede expresar como: FC y T

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Laboratorio de Física II  8

b2 

g bT 2  k 2 4

Comparando la ecuación (7) con el periodo del péndulo simple L, se obtiene: k 2  b2  9 L  b

La longitud de la ecuación (9) se denomina la longitud equivalente del péndulo simple. El comportamiento del periodo (T) en función a la distancia (b) se ilustra en la figura (2), donde el periodo es mínimo para una distancia igual al radio de giro.

b1 b2 b  m T  s  k

k 2  b1b2

Se denominan puntos conjugados aquellos puntos para los cuales se tiene el mismo periodo T (b1) = T (b2), observado la figura existen infinitos puntos conjugados. Es fácil demostrar que los puntos conjugados satisfacen la siguiente relación:

L  b1  b2

Así mismo la longitud equivalente del péndulo simple para los puntos conjugados será:

3. EQUIPOS Y MATERIALES FC y T

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Laboratorio de Física II - Soporte del equipo - Péndulo físico - Soporte y eje graduable de suspensión en forma de cuchilla - Cronómetros - Flexo metro

3.1. Procedimiento 1.- Con mucho cuidado nivelamos horizontalmente el soporte del equipo, utilizando los tornillos de apoyo y un nivel. 2.- Ubicamos el centro de masa (marcando con un cero) del péndulo físico formado por una esfera soldada al extremo de una varilla. 3.- Registramos el número de péndulo utilizado que se encuentra en el extremo libre de la varilla. 4.- Colocamos el péndulo físico sobre el soporte sujetándolo con la cuchilla a 5 cm sobre el centro de masa, de manera que la esfera se encuentre en la parte inferior. 5.- Desplazamos la esfera a partir de su posición de equilibrio ángulos menores a 10º y soltamos la esfera, produciendo un movimiento armónico simple. 6.- Determinamos el periodo de oscilación (T), y registramos la distancia del eje de rotación al centro de masa (b) 7.- Incrementamos gradualmente la distancia (b) en 5 cm y determina el periodo (T) en cada caso. FC y T

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Laboratorio de Física II 8.- Hallamos teóricamente el momento de inercia de la barrilla. 4. TABLA DE DATOS Y RESULTADOS 4.1. Registro de Datos 4.1.1. Tiempos de 10 oscilaciones a una distancia b Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b [m] 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

t1 [s] 28,94 20,70 17,83 16,46 15,93 15,78 15,88 16,07 16,30 16,68

Tabla 1 t2 [s] 28,97 20,72 18,00 16,53 15,91 15,85 15,72 16,16 16,35 16,59

4.2. RESULTADOS 4.2.1. Parámetros de la Linealización

 

A    0,098  0,001 m 2 ; 1.4%

 s  ; 0.7%

B   0,250  0,002  m

2

r  0,9997

4.2.2. Ecuación de ajuste b2 = ƒ(T2b)

b 2  0,098  0,250  T 2 b k   0,313  0,002  m ; 0,7% 4.2.3. Radio de giro FC y T

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t3 [s] 28,75 20,87 17,78 16,53 16,03 15,85 15,94 16,07 16,34 16,60

t4 [s] 28,94 20,47 17,81 16,53 15,89 15,66 15,75 16,07 16,37 16,59

t5 [s] 28,84 20,72 18,00 16,59 16,03 15,85 15,88 16,09 16,35 16,97

Laboratorio de Física II

4.2.4Aceleración de la gravedad

 s  ; 0.7%

g   9,87  0,06  m

2

5. GRAFICOS Y CALCULOS 5.1. Datos del tiempo, periodo y la distancia Tabla 2 Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t [s] 28,89 20,70 17,85 16,53 15,96 15,80 15,83 16,09 16,34 16,69

b [m] 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

5.2. Grafico de Periodo VS Longitud

FC y T

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T [s] 2,89 2,07 1,78 1,65 1,60 1,59 1,58 1,61 1,63 1,67

Laboratorio de Física II 3 2.5 2

T [s]

1.5 1 0.5 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

b [m]

g  T 2b 2 4 2 b  A  B  T 2b b 2  k 2 

La grafica no presenta un comportamiento lineal, ni exponencial, ni potencial. Para linealizar, a partir de la ecuación (7), encontramos una expresión para b2 la cual es:

A  k 2 B

g 4 2

Dónde:

5.3. Datos para la ecuación de ajuste Nº 1 2 3 4 5 6 7 FC y T

Tabla 3 T b[s m] 0,41731605 0,42849 0,47793375 0,5464818 0,636804 0,74892 0,87706115 2

2

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b2 [m2] 0,0025 0,01 0,0225 0,04 0,0625 0,09 0,1225

Laboratorio de Física II 8 9 10

1,0355524 1,2014802 1,3927805

0,16 0,2025 0,25

5.4. Grafica de la ecuación de ajuste

y = - 0,0979+ 0,2501x 0.3 0.25 0.2 b2 [m2]

0.15 0.1 0.05 0 0.2

0.4

0.6

0.8

1

T2b [s2m]

5.5. Relación funcional b2 = ƒ(T2b)

n  10

A  0,09787659

 b  0,962500 B  0,250072254  T b  7,76281985   0,001382449  0,001  b  T b   1,00976726188   0,00164342  0,002 r  0,9997  T b   7,07621712 A    0,098  0,001  m  ; 1.4%   b   0,15833125 B   0,250  0,002  m  ; 0.7%  di  0,0000335964 s 2

2

A

2

2

B

2

2

2

2

2 2 2

  10,4818863

b 2  0,098  0,250  T 2 b

FC y T

 2  0,00000419956

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1.2

1.4

1.6

Laboratorio de Física II

Calculado el error de la gravedad g  4 2  39,4784176 B  g   g     B   B 

2

 g  0,06487962106  0,06 5.6. Aceleración de la gravedad g 4 2 g  4 2 B

B

g  9,872456875

 s  ; 0.7%

g   9,87  0,06  m

2

Calculando el error del Radio de Giro k 1   1,596474255 A 2  A  k   k     A   A 

2

 k  0,00220942725  0,002

FC y T

A  k 2 k A k  0,3128523454

k   0,313  0,002   m ; 0,7%

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5.7. Radio de Giro

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6.CONCLUSIONES Finalizando el análisis de nuestra práctica experimental llegamos a las siguientes conclusiones:  El movimiento oscilatorio del péndulo físico es muy similar al del péndulo simple, ambos exigen las mismas condiciones matemáticas para generar la oscilación. Pero el análisis es distinto debido a que en uno solo se consideran las fuerzas y en el otro los torques.  Con ambos sistemas físicos se puede hallar la gravedad local con una apreciable precisión.  En el movimiento oscilatorio del péndulo físico es necesario hallar el radio de giro con la relación del periodo con el brazo. 7. RESPUESTAS AL CUESTIONARIO 1.- Calcula la diferencia porcentual entre los valores encontrados para la aceleración de la gravedad del péndulo simple respecto al péndulo físico. g% 

9.87  9.77 gF  gS * 100  g %  * 100  1% gF 9.87

R.- Sea la gravedad obtenida con el péndulo simple gS = 9,77 [m/s2] y la obtenida con el péndulo físico gF = 9,87 [m/s2].

Existe una diferencia del 1% con respecto de la gravedad obtenida con el péndulo físico. 2.- Calcular teóricamente el momento de inercia del péndulo físico, respecto a su centro de masa. (Sugerencia: medir la longitud de la varilla y el radio de la esfera del péndulo físico utilizado). I PF=I V + I esf

FC y T

I PF=

( 121 m L + m w )+( 52 m 2

V

2

V

esf

R2 +mesf z2

L=Longitud de lavarilla

w=Distancia del CM V al CM PF

R=Radio de la esfera

z=Distancia del CM esf al CM PF

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)

Laboratorio de Física II 3.-Calcular experimentalmente el momento de inercia del péndulo físico respecto a su centro de masa. Sugerencia: Utilizar el valor encontrado del radio de giro K respecto al centro de masa.

I CM =M T k

0.313 ¿ ¿ I CM =(0.6941)¿

2

I CM =( 0.0680 ± 0.0009 ) Kg∗m2 ; 1.3 M T =Masa del Péndulo Físico

k =Radio de Giro respectoal CM

T b1   T b2  2

k 2  b1 k 2  b2 2  2 gb1 gb2 2



k 2  b1 k 2  b2  gb1 gb2 2

2

 

b2 k 2  b1  b1 k 2  b2 2

2

2



2

k 2b2  k 2b1  b1b2  b1 b2 k 2  b2  b1   b1b2  b2  b1  k 2  b1b2 4.-Demostrar que : k2 =b1b2, donde k es el radio de giro y b1 y b2 son puntos conjugados.

5. Demostrar que la longitud equivalente para el péndulo físico está dada por: L = b1 + b2, donde b1 y b2 son puntos conjugados.

FC y T

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Laboratorio de Física II 2

2

L k 2  b1  2 g gb1 2

L k 2  b1  g gb1

Reemplamos el valor de k obtenido anterior mente 2

L L

b1b2  b1 b1

b1  b1  b2  b1

L  b1  b2

FC y T

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