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PENDULE DE TORSION

1. BUT On souhaite déterminer la valeur de la constante de torsion C de fils métalliques de natures caractéristiques dimensionnelles différentes . Pour cela , on utilisera une méthode statique et une méthode dynamique . On s’attachera bien sûr à comparer les résultats des 2 méthodes , en particulier en recherchant pour chacune les sources d’erreur et en les comparant . Enfin , on essaiera d’extraire de ces mesures une caractéristique propre à chaque matériau , appelé module de Coulomb noté ici G .

2. DISPOSITIF EXPERIMENTAL pinces

potence fil de torsion longueur l diamètre φ aiguille de lecture barre de torsion pied de fixation

Matériel annexe :

cadran gradué orientable

chronomètre 2 masses coulissantes de 150g chacune 2 dynamomètres 7 autres fils de torsion

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3. UN PEU DE THEORIE … Considérons la barre horizontale (b) mobile autour de l’axe de rotation ∆ par l’intermédiaire du fil de torsion (f) . La position de la barre (b) par rapport à sa position d’équilibre sera repérée dans le plan horizontal de son mouvement par l’angle θ . Le centre de la barre mobile est repéré par le point O . Nous symboliserons cet ensemble par le schéma de principe suivant :

barre horizontale (b) mobile autour de ∆ fil de torsion (f) m2 θ

position de la barre (b) au repos

O ∆

m1

Les masses m1 et m2 sont supposées identiques en géométrie et en masse. La position d’une masse mi sera repérée par la distance xi séparant son centre de gravité Ai du point O : ∆ lame (l) δ barre (b) de masse mb de longueur Lb de largeur a d’épaisseur e

h

m1 A1

m2 x1

2R

O Lb

(

)

Le moment d’inertie de (b) par rapport à ∆ est

J b = 1 mb Lb + a2 12

Le moment d’inertie d’une masse mi par rapport à δ est

 R2 h2  J mi = mi  +   4 12 

2

On en déduit le moment d’inertie total de l’ensemble (b + m1 + m2) en appliquant le théorème de Huygens : J = Jb + Jm1 + Jm2 + m1x12 + m2x22 = Jb + 2Jm + 2mx2 en supposant les masses identiques et à la même distance de O Remarque : l’inertie J ne tient pas compte de la totalité de l’équipage mobile … Physique expérimentale C. PASSARD

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3.1 Etude statique Pour cette étude on utilisera la barre (b) seule , c’est-à-dire débarrassée des masses m1 et m2 . Supposons que l’on exerce une force F constante en un point P d’une des extrémités de la barre (b) . Celle-ci va alors tourner dans un plan horizontal autour de O et s’écarter d’un angle θ par rapport à sa position d’équilibre . En réaction , le fil de torsion va imposer une force de rappel FR perpendiculaire à la barre (b) pour la ramener à sa position de repos . La barre (b) se trouve alors en équilibre sous l’action de 2 moments : le moment de la force F et le moment de torsion exercé par FR . On peut écrire : ∑ (moments des forces)/ ∆ = 0 Rappel : moment M / ∆ d’une force F par rapport à un axe ∆ ∆ A

M / ∆ = F ∧ OA

α

M / ∆ = F .OA. sin α

de module

F

O

La force F sera ici imposée par un dynamomètre gradué . ∆ (f) aiguille de lecture disque gradué en degrés

θ

(b)

FR

O position de (b) au repos

α

P

F dynamomètre

Le moment du couple de rappel exercé s’écrit CR = -Cθ avec C constante de torsion du fil (f) θ déviation angulaire de (b) par rapport à la position au repos

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3.2 Etude dynamique Supposons que l’on écarte l’ensemble (b + m1 + m2) d’un angle θ0 par rapport à sa position au repos puis qu’on l’abandonne ensuite sans vitesse initiale . La barre se met alors en mouvement oscillatoire autour de sa position d’équilibre . On rappelle que J désigne le moment d’inertie de (b + m1 + m2) par rapport à ∆ , C est la constante de torsion du fil (f) et θ la position angulaire de la barre (b) par rapport à sa position au repos . L’équation du mouvement se détermine en appliquant le principe fondamental de la dynamique à l’instant t quelconque : d 2θ ∑ (moments des forces)/ ∆ = J dt 2 La seule action exercée sur la barre est celle du couple de torsion CR = -Cθ soit : d 2θ d 2θ C avec − Cθ = J 2 qui s’écrit aussi + ω 2θ = 0 ω2 = 2 J dt dt C’est l’équation d’un oscillateur harmonique dont la solution est de la forme : θ (t ) = θ m cos(ωt + ϕ ) θm et ϕ sont à déterminer en fonction des conditions initiales

La période T de ce mouvement oscillatoire est alors : J 2π T= = 2π ω C Remarque : on a considéré ici le cas d’un mouvement non amorti sous l’action des forces de frottements ; les oscillations sont alors toutes de même amplitude et peuvent durer indéfiniment … Si on considère l’existence de frottements on a une équation du type : d 2θ dθ − λt +β + ω '2 θ = 0 ⇒ θ (t ) = e cos(ω ' t + ϕ ') β,λ constantes 2 dt dt les oscillations sont exponentiellement amorties (leur amplitude diminue de façon exponentielle au cours du temps) et la période d’oscillation mesurée est alors : 2π T '= ≈ T (1 + γ 2 ) γ constante ω' Plus l’amortissement est fort (les oscillations disparaissent d’autant plus vite !) plus γ est grand et plus la mesure de T’ est différente de T On appelle alors T la « période propre » du système oscillant et T’ est sa « pseudo-période » . Si l’amortissement est faible (les oscillations disparaissent au bout d’une dizaine de périodes environ) , on pourra considérer T’ ≈ T .

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3.3 Caractéristique du matériau utilisé En théorie , la constante de torsion C d’un fil cylindrique se calcule par :

C=

4 π φ

. .G 2 l

φ , l rayon et longueur du fil G

module d’élasticité transversale ou module de Coulomb

En effet , en résistance des matériaux , le moment du couple de torsion se calcule par : Mt = C.∆θ = G.α.I0 avec α angle unitaire de torsion .∆θ = α. l πD 4 I0 moment quadratique d’inertie , ici I 0 = 32 D diamètre du fil D = 2φ Le module de Coulomb est une caractéristique propre à chaque matériau . Il s’exprime en N.m-2 et se calcule par : E G= E module de Young du matériau 2(1 + ν ) ν coefficient de Poisson Les valeurs correspondantes sont donnés dans le tableau suivant :

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4. ETUDE EXPERIMENTALE 4.1 Préliminaires a) masses additionnelles Mesurer (au pied à coulisse) l’une des masses pour déterminer R , h et m. En déduire le moment d’inertie Jm des masses

m1 = m2 = m =

R=

h=

Jm = b) barre (b) Mesurer les dimensions Lb , a et e de la barre (b) . Estimer la masse mb de cette barre sachant qu’elle est en aluminium dont la masse volumique est ρalu = 2,7 g/cm3 . En déduire son moment d’inertie Jb .

Lb =

a=

e=

mb =

c) méthode statique On se réfère au schéma du paragraphe 3.1 . Pour quelle valeur de l’angle α le moment exercé par maximal ? Justifier .

F

Jb =

sur (b) sera-t-il

Ecrire la relation liant les moments des forces à l’équilibre et en déduire une expression de la constante de torsion C de la lame (l) en fonction de M , g , de la distance OP = x et de la déviation angulaire ∆θ = θréf - θmes où l’on note ∆θ la déviation angulaire de la barre par rapport à sa position de repos .

C=

car à l’équilibre :

Préciser l’unité de C :

C s’exprime en

d) méthode dynamique On suppose que la barre oscille librement et sans frottement autour de sa position d’équilibre avec une période T . Expliquer comment on pourra faire varier l’inertie totale J de notre système et exprimer C en fonction de T et J .

C= 4.2 Etude statique On souhaite réaliser , pour chaque fil , une série de mesures de ∆θ en réalisant la manipulation décrite dans le paragraphe 3.1 et ceci pour différentes masses M et différentes distances OP = x . -

Mode opératoire : retirer les masses m1 et m2 de la barre (b) , placer le fil bien verticalement à l’aide de la vis située sous le cadran , ajuster sa position pour lire θréf = 0 faire passer la boucle d’un dynamomètre dans une des pointes de la barre

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tirer sur le dynamomètre de la quantité voulue en le maintenant perpendiculaire à (b) pour écarter la barre de sa position d’équilibre et relever l’angle obtenu θmes calculer la déviation angulaire correspondante ∆θ = θréf - θmes

Les intensités des forces à utiliser sont laissées à votre appréciation . Attention cependant à na pas trop déformer les fils pour ne pas les endommager . Les différentes distances OP à utiliser sont définies de la façon suivante : x1

(∆) x2

(b) x3

P1

P2

P3 O

pointe intérieure pointe du milieu pointe extérieure Les mesures sont à présenter dans des tableaux du type : Fil en l= φ= F1=

N

F2=

N

F3=

N

x1 =

cm

x2 =

cm

x3 =

cm

∆θ =

rad

∆θ =

rad

∆θ =

rad

∆θ =

rad

∆θ =

rad

∆θ =

rad

∆θ =

rad

∆θ =

rad

∆θ =

rad

C [N.m/rad] En déduire la valeur moyenne Cmoy de la constante de torsion ainsi que l’écart type σ des mesures :

σ=

Cmoy =

Rappel : les angles sont mesurés en degrés mais doivent être exprimés en radians pour les calculs ; de même , les masses sont à convertir en kg et les distances en m avant de faire les calculs On reprendra la même étude pour les autres fils de longueur l = 500 mm et de diamètre φ = 2 mm (4 matériaux disponibles : acier , aluminium , cuivre , laiton) . A chaque changement de fil , on aura soin de vérifier que celui-ci est bien vertical (parallèle à la potence) et de faire pivoter le cadran de lecture pour que l’aiguille soit sur 0 au repos . Il faudra également vérifier que l’aiguille retourne bien sur 0 entre les mesures , sinon il faudra diminuer l’intersité de la forece appliquée (hystérésis mécanique) . Physique expérimentale C. PASSARD

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4.3 Etude dynamique Pour cette étude , on utilise tout d’abord le fil en Aluminium de caractéristiques l = 500 mm et φ = 2 mm . a) isochronisme des oscillations Les oscillations sont dites « isochrones » si leur période T ne dépend pas de la déviation initiale imposée au système . Faire coulisser les masses symétriquement le long de la barre de torsion comme indiqué ci-dessous : (∆)

(b)

x1

m2 O

m1 Ecarter (b) de sa position d’équilibre d’un angle ∆θ (à noter) , déclencher le chronomètre au moment de lâcher (b) sans vitesse initiale et mesurer la durée ∆t que met ce pendule pour décrire 6 périodes . Effectuer la même mesure 3 fois . Reprendre les mêmes mesures en changeant la position de départ du pendule . Compléter le tableau de mesure suivant : ∆θ = 20°

Compter 6 périodes ∆t1 [s]

∆θ = 35°

∆θ = 50°

∆t2 [s] ∆t3 [s] ∆t moyen

[s]

Peut-on considérer que les oscillations sont isochrones ? Justifier . Calculer la période d’oscillation moyenne correspondant (attention aux unités !)

T’

et l’écart type

σ’

σ’ =

T’ =

Calculer le moment d’inertie total J1 correspondant à cette position :

J1 = Jb + 2Jm + 2mx12 = En déduire la constante de torsion C’ pour cette expérience

C’ = Comparer C’ et la valeur obtenue par la méthode statique et conclure. Physique expérimentale C. PASSARD

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b) oscillations libres d’un fil en Aluminium On souhaite à présent étudier le comportement de l’Aluminium en utilisant des fils de différentes longueurs et différents diamètres réalisés dans ce même métal . Pour cela on utilisera la méthode dynamique . On reprendra donc la méthode précédente , en positionnant les masses au même endroit . On déterminera ainsi la valeur moyenne du module de Coulomb de ce matériau . Aluminium

∆t1 [s]

l = 500 mm φ = 2 mm ∆θ = 35°

l = 500 mm φ = 3 mm ∆θ = 30°

l = 500 mm φ = 4 mm ∆θ = 20°

l = 400 mm φ = 2 mm ∆θ = 50°

l = 300 mm φ = 2 mm ∆θ = 60°

∆t2 [s] ∆t3 [s] ∆t moyen [s]

T C G

[s]

[Nm/rad] [N/m²] GmoyAlu = 4.4 Synthèse Calculer la valeur de la constante G pour les différents matériaux utilisés . Comparer aux valeur théoriques et conclure (expliquer les différences) . Matériau

E

[Mpa]

ν

GTHEORIQUE [N/m²]

GMESURE [N/m²]

Acier Cuivre Laiton Aluminium

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