Pembangkitan Variat Random
May 1, 2019 | Author: Dede Erwani | Category: N/A
Short Description
Pembangkitan Variat Random...
Description
PEMBANGKITAN VARIAT RANDOM 1.
Pendahuluan
2.
Variat Random
Variat random (random variat ) merupakan nilai dari suatu variabel random yang memiliki distribusi probabilitas tertentu.
3.
Metode Umum Pembangkitan Variat Random
Terdapat empat metode umum pembangkitan pembangkitan variat random, yaitu: y aitu: Metode transformasi transformasi invers (inverse transformation method ) Metode komposisi (composition method ) Metode konvolusi (convolution method ) Metode penerimaan-penolakan penerimaan-penolakan (acceptance-rejection method )
4.
Metode Transformasi Transformasi Invers
⟹ −
Misal merupakan bilangan random. Misal suatu variabel random memiliki fungsi distribusi probabilitas kumulatif yang dinyatakan dengan . Secara umum, pembangkitan variat random dengan metode transformasi invers dilakukan dengan hubungan sebagai berikut:
=
=
1
F ( x)
U
x X
F ( x)
U
x X
4.1
Metode Transformasi Invers untuk Variat Random Seragam Kontinyu
− ≤≤
Misal ~ random dinyatakan dengan:
1
=
0
,
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel
;
; yang lain
Fungsi distribusi probabilitas kumulatif dari variabel random dinyatakan dengan:
≤ − − ≤≤ − − − − ≤ −− − −− − − − − − 0
=
;
<
;
=
1
;
Variat random ~ rumusan sebagai berikut:
> ,
dapat dibangkitkan dengan
= =
=
4.2
+
Metode Transformasi Invers untuk Variat Random Eksponensial
Misal ~ dinyatakan dengan:
1
=
0
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel random
;
>0
; yang lain
Fungsi distribusi probabilitas kumulatif dari variabel random dinyatakan dengan:
=
=
Variat random ~ sebagai berikut:
=
=1
=1
= ln 1
=
ln 1
1 0
; >0 ; yang lain
dapat dibangkitkan dengan rumusan
− − − − − ~
Karena
1 ~
~
=
0, 1
mengimplikasikan maka variat random 0, 1 , dapat dibangkitkan dengan hubungan:
ln
Jika parameter distribusi eksponensial dinyatakan dengan = 1 , maka pembangkitan variat random ~ dapat dinyatakan dengan:
ln 1
=
atau
ln
=
4.3
Metode Transformasi Invers untuk Variat Random Weibull
− −−
Misal ~ dinyatakan dengan:
,
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel random
1
=
; >0 ; yang lain
0
Fungsi distribusi probabilitas kumulatif dinyatakan dengan:
− −
− − − −
= 1 0
Variat random berikut:
~
=
=1
=1
; >0 ; yang lain ,
dapat dibangkitkan dengan rumusan sebagai
− − − − − − − − − = ln 1
=
ln 1
1
=
ln 1
1
=
4.4
ln 1
Metode Transformasi Invers untuk Variat Random Bernoulli
Misal ~ dinyatakan dengan:
1
=
0
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel random
; =0 ; =1 ; yang lain
Fungsi distribusi probabilitas kumulatif dari variabel random dinyatakan dengan:
≤ − ≥≤ −− − =
0 = 1 1
;
=1
=1
7. Pembangkitan Variat Random dengan Sifat-Siat Khusus dari Distribusi Probabilitas
Pembangkitan variat random dapat dilakukan menggunakan sifat-sifat khusus dari distribusi probabilitas. 7.1
Pembangkitan Variat Random Lognormal
Pembangkitan variat random lognormal dengan parameter-parameter dapat dibangkitkan berdasarkan hubungannya dengan distribusi normal baku. Misal terdapat variat random normal baku yang saling independen . Variat random yang berdistribusi khikuadrat dengan parameter dapat ditentukan 7.2
Pembangkitan Variat Random Khikuadrat
Pembangkitan variat random khi-kuadrat dengan parameter (derajat kebebasan) dapat dibangkitkan berdasarkan hubungannya dengan distribusi normal baku. Misal terdapat variat random normal baku yang saling independen . Variat random yang berdistribusi khikuadrat dengan parameter dapat ditentukan
⋯ =
2 1
+
2 2
+
+
2
Pembangkitan Variat Random Distribusi- t
Pembangkitan variat random distribusi-t dapat ditentukan berdasarkan hubungannya dengan distribusi normal baku dan khikuadrat. Misal adalah variabel random normal baku dan adalah variabel random khikuadrat dengan derajat kebebasan . Misal dan adalah saling independen. Misal variabel random didefinisikan dengan:
=
Maka, variabel random kebebasan) .
adalah berdistribusi t dengan parameter (derajat
Pembangkitan Variat Random Distribusi F
Misal 1 dan 2 masing-masing adalah variabel random yang memiliki distribusi khikuadrat dengan parameter (derajat kebebasan) 1 dan 2 . Misal 1 dan 2 adalah saling independen. Misal variabel random didefinisikan dengan:
=
1
1
2
2
Maka, variabel random adalah berdistribusi F dengan parameter-parameter (derajat-derajat kebebasan) 1 dan 2 . Beberapa Algoritma Pembangkitan Variat Random
Pembangkitan Variat Random Seragam Kontinyu
− − − − − − − − Misal ~
,
Langkah 1: Langkah 2:
Bangkitkan . Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan = + . Berhenti.
. Algoritma pembangkitan dari
adalah:
Contoh
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
= 5,
= 0,1234. = 5 + 0,1234 10
= 10 .
5 = 5,6170
Pembangkitan Variat Random Segitiga
Misal ~
, ,
. Algoritma pembangkitan dari
adalah:
Pembangkitan Variat Random Eksponensial
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
. Algoritma pembangkitan untuk adalah:
Bangkitkan . Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan = Berhenti. ln 1
Contoh
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2: Karena
=5 .
= 0,1234. = 5 ln 1
0,1234 = 0,6585
~
0, 1 ,
maka 1 ~ 0, 1 . Oleh karena itu, Algoritma pembangkitan untuk juga dapat ditulis sebagai berikut: Langkah 1: Langkah 2:
Bangkitkan . Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan = . Berhenti. ln
Contoh
Misal ~
=5 .
− ⋯ ⋯ ⟹ − − ⟹ − − = 0,1234. = 5 ln 0,1234 = 10,4618
Langkah 1: Langkah 2:
Pembangkitan Variat Random Erlang
Misal ~
Langkah 1:
Langkah 2:
,
. Algoritma pembangkitan untuk adalah:
Bangkitkan , dengan ~ 1, 2, Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan = 1 + 2 + + . Berhenti.
.
Contoh
Misal ~
= 2,
Langkah 1:
1
=5 .
= 0,1234
1
= 0,5678
1
=
2 5
ln 1
0,1234 = 0,3293
ln 1 0,5678 = 2,0972 2 = 0,3293 + 2,0962 = 2,0972
2
Langkah 2:
=
5
Pembangkitan Variat Random Weibull
Misal ~
,
− − − −
Langkah 1:
Langkah 2:
Bangkitkan 2. Tetapkan:
~
0, 1 . Lanjutkan ke langkah
1
=
ln 1
Berhenti.
Contoh
Misal ~ ~ Langkah 1: Langkah 2:
= 3,
=5 .
= 0,1234.
=5
. Algoritma pembangkitan untuk adalah:
ln 1
0,1234
1 3
= 8,2498
− − − ⋯ − ⋯ − − − ~
Karena
0, 1 ,
maka 1 ~ 0, 1 . Oleh karena itu, pembangkitan untuk juga dapat dinyatakan dengan langkah-langkah: Langkah 1: Langkah 2:
Bangkitkan . Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan: 1
=
ln
Berhenti.
Contoh
Misal ~ ~
= 3,
Langkah 1:
= 0,1234.
Langkah 2:
=5
=5 .
1 3
ln 0,1234
= 1,1208
Pembangkitan Variat Random Normal
Misal ~ berikut:
,
. Algoritma pembangkitan untuk
adalah sebagai
Algoritma 1
Langkah 1: Langkah 2:
Bangkitkan 1 , 2 , , 12 dengan Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan:
~
12
=
6
=1
Langkah 3:
Tetapkan
=
+
. Berhenti
Contoh
Misal ~
Langkah 1:
Langkah 2: Langkah 3:
= 10,
=2 .
= 0,0123, 2 = 0,1234, 3 = 0,2345, 4 = 0,3456, 5 = 0,4567, 6 = 0,5678, 7 = 0,6789, 8 = 0,7890, 9 = 0,8901, 10 = 0,9012, 11 = 0,0213, 12 = 0,1324 = 0 ,0123 + 0,1234 + + 0,1324 6 = 08468, = 1 0 + 2 0,8468 = 8,3064
1
0, 1 .
Metode 2
Langkah 1: Langkah 2:
Langkah 3:
−− ~
Bangkitkan 1 dan 2 dengan Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan:
1
=
2
=
2 ln
1
cos 2
2
2 ln
1
sin 2
2
0, 1 .
.
Lanjutkan ke langkah 3. Tetapkan: 1 2
= =
+ +
1
2
Berhenti.
Metode 3
Metode ini memerlukan dua bilangan random. Metode ini menghasilkan dua pasang variat random normal. Langkah 1:
Bangkitkan 1 dan 2 dengan Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan:
−− ≤ − − −
Langkah 2:
1
2
Langkah 3: Langkah 4:
Langkah 5: Langkah 6:
=2 =2
1
2
Tetapkan = Tetapkan 1 = Tetapkan: 2
= =
+ +
2 ln
1
dan
2
1
2
Contoh
Langkah 1:
Langkah 2:
= 10,
2
= 0,0123 = 0,9876
1
= 2 0,0123
1
=2 .
1=
1, lanjutkan ke langkah 4. Jika
. Lanjutkan ke langkah 5. = 2 . Lanjutkan ke langkah 6.
Berhenti.
Misal ~
0, 1 .
1 1
Lanjutkan ke langkah 3 Tetapkan = 12 + 22 . Jika sebaliknya, kembali ke langkah 1.
1
~
0,9754
− −− −
Langkah 3: Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3: Langkah 4: Langkah 5: Langkah 6:
− −− − − −
= 2 0,9876 = 0,9574 1 = 0,2002 2 = 0,7887 1 = 2 0,2002 2 = 2 0,7887 = 0,5996 2
2
1 = 0,9752 + 0,9752 2 = 1,9024 > 1
1 = 0,5996 1 = 0,5774 2 + 0,5774 2 = 0,6929
≤
1
= 2 ln 0,6929 0,6929 = 1,0290 0,5996 1,0290 = 0,6170 1 = 2 = 0,5774 1,0290 = 0,5942 0,6170 = 8,7660 1 =10+2 2 = 1 0 + 2 0,5942 = 11,1883
Pembangkitan Variat Random Lognormal
⋯ − − −
, . Metode pembangkitan untuk variat random Misal ~ didasarkan atas hubungannya dengan distribusi normal. Langkah-langkah adalah sebagai berikut: Langkah 1: Langkah 2:
, Bangkitkan ~ Tetapkan = . Berhenti.
. Lanjutkan ke langkah 2.
Contoh
Misal ~
Langkah 1:
Langkah 2:
= 10,
=2 .
= 0,0123, 2 = 0,1234, 3 = 0,2345, 4 = 0,3456, 5 = 0,4567, 6 = 0,5678, 7 = 0,6789, 8 = 0,7890, 9 = 0,8901, 10 = 0,9012, 11 = 0,0213, 12 = 0,1324 = 0 ,0123 + 0,1234 + + 0,1324 6 = 08468, = 1 0 + 2 0,8468 = 8,3064 = 8,3064 = 4049,7
1
Misal ~ dengan rerata dan simpangan baku . Untuk pembangkitan variat random , nilai-nilai parameter dari distribusi lognormal harus dihitung terlebih dahulu dengan rumusan sebagai berikut:
= ln
=
ln
2
+
2
2
+
2
2
Pembangkitan Variat Seragam Diskret
− − ≤
Misal ~ , . Metode pembangkitan untuk variat random didasarkan atas metode transformasi invers dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1:
Langkah 2:
Bangkitkan ~ 2. Tetapkan = +
0, 1 . Lanjutkan ke langkah
+1
. Berhenti.
Contoh
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
= 0,
= 0,9889. = 0 + 10
= 10 .
0 + 1 0,9889
= 10.
Pembangkitan Variat Random Bernoulli
Misal . Metode pembangkitan untuk variat random ~ didasarkan atas metode transformasi invers dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1: Langkah 2:
Bangkitkan Jika Berhenti.
. Lanjutkan ke langkah 2. , tetapkan = 1. Sebaliknya, tetapkan
Contoh 1
Misal ~
Langkah 1:
= 0,7 .
= 0,2345.
= 0.
≤ ⟹ ⟹ ⋯ ⋯ ≤≤ ⟹⟹ ≤ ⟹⟹ ⟹
Langkah 2:
= 0,2345
= 0,7
= 1.
Contoh 2
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
= 0,7 .
= 0,9876. = 0,9876 >
= 0,7
= 0.
Pembangkitan Variat Random Binomial
Misal ~ , . Metode pembangkitan untuk variat random didasarkan atas metode konvolusi dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1: Langkah 2:
Bangkitkan 1 , 2 , , dengan yang saling ~ independen dan berdistribusi identik. Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan = 1 + 2 + + . Berhenti.
Contoh
Misal ~
Langkah 1:
Langkah 2:
= 5,
= 0,1234 2 = 0,0246 3 = 0,9753 > 4 = 0,0369 5 = 0,8574 > = 1+ 2+
1
= 0,7 .
= 0,7 = 0,7 = 0,7 = 0,7 = 0,7 3 + 4 +
=1 2 =1 3 =0 4 =1 5 =0 = 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3. 1
5
Pembangkitan Variat Random Geometrik
Misal ~ . Misal probabilitas terjadi “sukses” dinyatakan dengan . Variat random yang dibangkitkan di sini menunjukkan jumlah “gagal” sebelum diperoleh “sukses” pertama. Metode 1
− − − − − − − ≤
Metode pembangkitan untuk variat random didasarkan atas metode transformasi invers dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1:
Langkah 2:
Bangkitkan ~ 2. Tetapkan = ln 1
0, 1 . Lanjutkan ke langkah
ln 1
. Berhenti.
Contoh
~ geometrik
= 0,7
= 0,1403. = ln 1 0,1403
Langkah 1: Langkah 2:
= 0.
0, 1 ,
maka 0, 1 . Oleh karena itu, Algoritma pembangkitan dapat dinyatakan dengan:
1
~ untuk ~
Langkah 2:
0,7
~
Karena
Langkah 1:
ln 1
Bangkitkan ~ 2. Tetapkan = ln
0, 1 . Lanjutkan ke langkah
ln 1
. Berhenti.
Contoh
~ geometrik
Langkah 1: Langkah 2:
= 0,7
= 0,1403. = ln 0,1403
ln 1
0,7
= 1.
Algoritma 2
Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3:
Tetapkan = 0. Lanjutkan ke langkah 2. Bangkitkan ~ 0, 1 . Lanjutkan ke langkah 3. Jika , tetapkan = dan berhenti. Sebaliknya, tetapkan
≤ ⟹ ≤ ⋯ ⋯ ⟹⟹ −− = + 1 dan kembali ke langkah 2.
Contoh 1
~
Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3:
= 0,7
= 0. = 0,1403. = 0,1403
= 0,7
=0
Contoh 2
~
Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3: Langkah 2: Langkah 3:
= 0,7
= 0. = 0,6506. Karena = 0,9809 > = 0,7, maka = + 1 = 0 + 1 = 1 . = 0,1706. Karena = 1706 = 0,7, maka = 1.
Pembangkitan Variat Random Binomial Negatif
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
,
Bangkitkan 1 , langkah 2. Tetapkan =
. Algoritma pembangkitan untuk adalah:
2,
1
,
+
~ geometrik
dengan
2
+
+
. Lanjutkan ke
. Berhenti.
Contoh
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
= 2,
= 0,7 .
= 0,1234 1 = ln 0,1234 ln 1 2 = 0,8574 2 = ln 0,1234 ln 1 = 1+ 2 =1+0=1
1
0,7 0,7
=1 =0
Pembangkitan Variat Random Poisson
Misal ~
Langkah 1:
. Algoritma pembangkitan untuk adalah:
Tetapkan
= 1 dan = 0. Lanjutkan ke langkah 2.
− − ⟹ ≥− ⟹ − ≥ ⟹ − ⟹
Langkah 2:
Langkah 3:
Bangkitkan 0, 1 . Lanjutkan ke +1 ~ langkah 3. Tetapkan = , tetapkan = dan berhenti. < +1 . Jika Sebaliknya, tetapkan = + 1 dan kembali ke langkah 2.
Contoh 1:
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3:
=1 .
= 1 dan = 0 1 = 0,1717 = 1 = 1 0,1717 = 0,1717. = 0,1717 < = 0,3679 = =0
Contoh 2:
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3: Langkah 2: Langkah 3: Langkah 2: Langkah 3:
=1 .
= 1 dan = 0 1 = 0,6812 = 1 = 1 0,6812 = 0,6812 = 0,6812 = 0,3679 = +1=0+1=1 2 = 0,9807 = 1 = 0,6812 0,9807 = 0,668 = 0,6681 = 0,3679 = +1=1+1=2 2 = 0,2209 = 1 = 0,6681 0,2209 = 0,1476 = 0,1476 < = 0,3679 = =2
Pembangkitan Variat Random Empiris Diskret
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
Langkah 3:
Contoh
. Algoritma pembangkitan untuk adalah:
−
Tetapkan = 1 dan = 0. Lanjutkan ke langkah 2. Bangkitkan +1 ~ seragam kontinyu 0, 1 . Lanjutkan ke langkah 3. Tetapkan = , tetapkan = dan berhenti. < +1 . Jika Sebaliknya, tetapkan = + 1 dan kembali ke langkah 2.
Misal ~ empiris diskret
= 0,3 0,6 0,1
0 1 2
0 1 2
Langkah 1: Langkah 2:
= 5342 = 5342
( ) 0,3 0,6 0,1
( ) 0,3 0,9 1,0
View more...
Comments
