Pembahasan Soal SBMPTN 2015 Matematika IPA Kode 522 (Full Version)

Pembahasan Soal

SBMPTN 2015 SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS

Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK) Disusun Oleh :

Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan Soal SBMPTN 2015 TKD SAINTEK Matematika IPA Kode Soal 522 By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) 1.

Misalkan titik dan pada lingkaran singgung lingkaran di titik dan berpotongan di melalui dan pusat lingkaran adalah 12, maka A. B. 0 0 C. D. E.

TRIK SUPERKILAT:

Jarak pusat ke titik C adalah 5, padahal luas layanglayang 12. Layang-layang tersusun oleh dua segitiga kongruen, sehingga luas satu segitiga PAC adalah 6. Kita coba-coba segitiga siku-siku menggunakan tripel Pythagoras 3, 4, 5 jadi luas segitiga adalah 6. Lho kok separuh dari luas layang-layang. Berarti benar bahwa segitiga siku2 berpola 3, 4, 5. Jadi jari-jari kemungkinan 3 atau 4.

sehingga garis . Jika luas segiempat yang

....

Dari bentuk umum lingkaran diperoleh jari-jari: Untuk

, maka:

Untuk

, maka:

Pembahasan:

Perhatikan bahwa tantangan soal disini adalah bagaimana membuat ilustrasi dari soal sehingga diperoleh langkah pengerjaan yang mungkin saja bisa lebih sederhana. Oke kita kumpulkan dulu informasi pada soal: - Lingkaran memiliki pusat misalkan . - Pada lingkaran terdapat dua titik dan . - Ingat sifat garis singgung selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran. Buat garis singgung lewat tegak lurus , buat garis singgung lewat tegak lurus . - Dua garis singgung lingkaran berpotongan di . Kita tahu bahwa ilustrasinya seperti berikut: A

C

P

B

Perhatikan, titik

dapat dicari dari bentuk umum lingkaran:

diperoleh

dan

, sehingga pusat lingkaran adalah titik

yaitu:

Sedangkan, panjang jari-jari lingkaran adalah:

Karena Misal

dan , maka pada

maka panjang berlaku teorema Pythagoras berikut:

Sekarang perhatikan, diberikan luas segiempat tersusun dari 2 buah segitiga siku-siku yang kongruen

Padahal, luas segitiga

adalah 12. Padahal dan , sehingga:

adalah:

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 1

Sehingga, dari

dan

diperoleh:

Sehingga, panjang jari-jari lingkaran yang mungkin adalah 3 atau 4. (karena, panjang tidak mungkin negatif) Untuk

, maka:

Untuk

, maka:

Jadi, nilai

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 2

2.

Jika A.

dengan

, maka nilai

adalah ....

TRIK SUPERKILAT: Kita coba dengan

B. Jadi

C. D.

Setelah dicoba ternyata yang benar B.

E.

Pembahasan: Ingat,

Perhatikan bahwa tantangan soal disini adalah bagaimana menciptakan bentuk dari . Oke kita tahu bahwa Diberikan

, maka representasinya pada segitiga siku-siku adalah:

Jadi,

Sehingga,

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 3

3.

Misalkan lebih kecil dari A. B. C. D. E.

atau atau

dan , sehingga panjang vektor proyeksi , maka nilai yang mungkin adalah ....

terhadap

TRIK SUPERKILAT: Dengan mudah kita tahu bahwa panjang adalah maka dengan mudah pula kita tahu bahwa hasil perkalian titik dari dan harus kurang dari 9.

,

Pembahasan: Ingat, Misal adalah proyeksi vektor

pada vektor , maka panjang vektor adalah:

Perhatikan,

Sehingga panjang vektor proyeksi

terhadap

lebih kecil dari

, dapat dituliskan

sebagai:

Penyelesaiannya dapat dilihat pada garis bilangan berikut:

Jadi, nilai yang mungkin adalah

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 4

4.

Pencerminan garis A. B. C. D. E.

terhadap garis

menghasilkan garis ....

TRIK SUPERKILAT:

Kedua garis pastinya berpotongan di . Oke? Perhatikan sketsa disamping untuk lebih jelasnya. Jadi ketika maka diperoleh nilai Jadi saat nilai , Yang hanya dipenuhi oleh (jawaban A) Gampang kan???

entah apakah fungsinya yang jelas garis ini berpotongan dengan di titik g g y ….

garis miring ke kiri karena gradien negatif

Pembahasan: Ingat, Bayangan titik

oleh pencerminan terhadap garis

adalah

oleh pencerminan terhadap garis

adalah

.

Perhatikan, Bayangan titik

.

Jadi, diperoleh:

Sehingga,

Jadi, bayangan garis .

oleh pencerminan terhadap garis

adalah

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 5

5.

Pada kubus . , adalah pada dengan dan titik pada dengan . Perpanjangan dan berpotongan di perpanjangan di titik . Jika panjang rusuk kubus adalah 6, maka volume . adalah .... TRIK SUPERKILAT: Ingat perbandingan volume adalah pangkat tiga perbandingan panjang!!!!

Kita tahu bahwa dua bangun tersebut sebangun, dimana perbandingan panjang rusuknya adalah 1 : 3, maka perbandingan volume kedua bangun adalah 1 : 27. Sehingga, volume . adalah 26 kali volume bangun .

A. B. C. D. E.

52 54 66 76 96

.

.

Pembahasan: Perhatikan, Karena

, maka

, sehingga

Karena

, maka

, sehingga

Perhatikan

, karena

sejajar

Sehingga, karena

, maka

, maka

.

sebangun dengan

, sehingga:

, jadi

Perhatikan bangun limas segitiga .

dan bangun

Dapat disimpulkan bahwa, volume

.

.

.

berikut:

dapat diperoleh dari:

Jadi, .

.

.

.

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 6

6.

Sisa pembagian ....

oleh

adalah

. Nilai

adalah

A. 2 B. 1 C. 0 D. E. Pembahasan: Ingat, rumus pembagian suku banyak berikut: dimana, yang dibagi pembagi hasil bagi sisa Perhatikan, Sisa pembagian sebagai:

oleh

Kita tahu pembuat nol Untuk

L

…. L

Untuk B g

adalah

adalah

atau

dapat dituliskan

, sehingga:

, diperoleh:

..

….. gg

g…L M

IPA SBMPTN

g

y

…

…..

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 7

7.

Nilai yang memenuhi .... A. B. C. D. E.

TRIK SUPERKILAT – LOGIKA PRAKTIS:

Kita tahu apabila pilihan jawaban digambar dalam garis bilangan akan berbentuk seperti ini.

A B C

D E 33

Pembahasan:

27

29

31

Ingat,

Coba

, sehingga:

Jadi, jawaban pasti memuat Pasti jawabannya C. K B C g A g A B C g Ya kan???

(tanda pertidaksamaan dibalik) (tanda pertidaksamaan tetap) Perhatikan,

y S

g

y

gg

Perhatikan, diperoleh bentuk pertidaksamaan , dimana representasi pertidaksamaan tersebut dapat dilihat pada sketsa grafik berikut: Jadi, dari grafik tersebut dapat dipahami bahwa: - nilai memenuhi pertidaksamaan eksponen pada soal hanya untuk beberapa nilai tertentu saja saat nilai berada di atas titik puncak grafik . - nilai memenuhi pertidaksamaan eksponen pada soal untuk setiap nilai saat nilai selalu berada di bawah titik puncak grafik . Perhatikan, dari

dimana

dan

.

Sehingga, untuk semua nilai nilai yang memenuhi adalah saat nilai berada di bawah titik puncak, sehingga nilai dapat dituliskan sebagai atau dapat juga dituliskan sebagai Hm, kita pilih

. , karena ga perlu menghitung diskriminan

g

…

?

Jadi,

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 8

. … …

Cara Alternatif: Perhatikan,

y S

Dan

y

gg

Sehingga, diperoleh bentuk bentuk fungsi kuadrat dengan sifat definit positif Dimana

g

, yaitu bentuk tersebut adalah .

, diperoleh: , adalah bentuk definit positif. Artinya,

dan

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 9

8.

Jika

adalah akar-akar

di mana A. B. C. D. E.

g

, maka

….

TRIK SUPERKILAT:

27 24 18 12 06

Kita tahu kalau Jelas bahwa

g

dan , trus ga perlu dicari, ga diperlukan kok. g jelas ga ada unsur sama sekali, cuma pengecoh aja.

Jadi, g

g g

g g g

g g

Pembahasan: Perhatikan,

dan g

g g g g

Sekarang perhatikan bahwa bentuk bentuk dan , maka:

g

g

dapat kita ubah supaya muncul

g Nah, sekarang kita sudah berhasil memunculkan bentuk dan merupakan akar-akar penyelesaian

dan

, padahal bentuk .

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, diperoleh: - Persamaan kuadrat , dimana - Rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat:

dan

.

- Rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: Jadi, dari

dan

, diperoleh:

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 10

9.

N

A. B.

…. TRIK SUPERKILAT: Dengan menggunakan turunan modifikasi (Lihat Modul SMART SOLUTION Pak Anang): Ingat ada bentuk yang tidak menyebabkan nilai nol pada limit yaitu , biarkan aja.

C. D. E. Pembahasan: Perhatikan,

Perhatikan sekali lagi yang berwarna merah berikut,

Limit tersebut di atas adalah limit bentuk tak tentu

.

Limit bentuk tak tentu dapat diselesaikan dengan menghapus faktor pembuat nol, yang sudah kita tandai dengan warna merah. Karena terdapat bentuk akar, maka sebelum mencoret faktor pembuat nol-nya, maka bentuk akar harus dikalikan dengan sekawan bentuk akar. Mari kita mulai,

y …

y

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

g

Halaman 11

10.

Jika maka

… adalah barisan geometri yang memenuhi ….

A. B. C. D. E. Pembahasan:

, dan

=y,

TRIK SUPERKILAT: Dengan memisalkan

, dan

, maka diperoleh g

Dan coba dilihat penyebut pada jawaban. Karena , maka . Karena bilangan bulat, dan dan semua bilangan bulat dibagi bilangan 1 tetap bilangan bulat, maka jelaslah sudah bahwa semua yang penyebutnya adalah SALAH!!!! Jadi, jawabannya C Y …A y ?

Ingat, rumus umum suku ke- barisan geometri:

Perhatikan,

dan

Sehingga,

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 12

11.

g

…. TRIK SUPERKILAT: Kita tahu bahwa

A.

, maka turunan pertamanya adalah

B. Sehingga, untuk

C.

, maka kita tahu bahwa

D. E. Sehingga pembuat nol pembilang adalah Jelas yang ada g .Y

Pembahasan:

adalah jawaban A. y ….

Ingat,

dan Agar

turun pada interval

maka

untuk

pada selang

.

Perhatikan,

Misal,

maka

Maka,

Sehingga,

Jadi,

adalah fungsi turun untuk

K

P

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 13

Oleh karena dan dengan memperhatikan pembuat nol, maka diperoleh Maka, penyelesaian

dan

pada penyelesaian

dapat dilihat pada garis bilangan berikut:

Jadi, nilai yang mungkin adalah

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 14

12.

Pada interval , luas daerah di bawah kurva dan di atas kurva garis sama dengan luas daerah di atas kurva dan di bawah garis . Nilai .... TRIK SUPERKILAT: Kita tahu bahwa Berarti:

. Luas

sama dengan luas

Perhatikan kedua gambar memiliki luas putih yang sama, dan bagian yang diarsir juga sama luasnya (Ingat tadi , ya kan???). Padahal, luas daerah kanan adalah sepertiga dari luas segiempat berarsir biru

A. B.

Luas daerah ini duapertiga dari luas segiempat biru

C.

Luas daerah ini sepertiga dari luas segiempat biru

D. Jadi, luas segitiga sama dengan luas sepertiga dari segiempat berarsir biru.

E.

Pembahasan: Ingat, Luas daerah di bawah dari sampai

dan di atas adalah

Perhatikan, Pertama-tama kita harus menentukan dulu titik potong antara kurva dan , yaitu:

?

Jadi, diperoleh nilai

.

Perhatikan lagi, Luas daerah arsir terbagi menjadi dua bagian.  Luas daerah di bawah

dari

sampai

 Luas daerah di bawah

dari

sampai

dan di atas , adalah

,

dan di atas , adalah

,

Padahal, Untuk , luas daerah di bawah kurva dan di atas garis sama dengan luas daerah di atas kurva dan di bawah garis Sehingga,

.

.

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 15

Jadi,

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 16

13.

Banyak kurva

dengan adalah ….

A. B. C. D. E.

dan

dua bilangan berbeda yang dipilih dari

TRIK SUPERKILAT:

15 14 12 11 10

dan harus berbeda, dan tidak boleh nol. Jadi memilih dua unsur dari empat unsur tersisa

.

Dan jelas , sehingga apabila , maka Ada 1 pasangan yang tidak boleh yaitu (1, 2) Jadi banyak kurva yang dapat dibentuk adalah:

.

Pembahasan: Ingat, Dua buah kurva dikatakan sama apabila kedua kurva memiliki nilai yang sama untuk setiap bilangan real. Jadi sama dengan apabila dan Namun, ingat: 

tidak bisa dikatakan kurva untuk , karena penyelesaiannya bisa tak terhingga banyaknya. Jadi  tidak bisa dikatakan kurva untuk , karena penyelesaian yang mungkin hanyalah . Perhatikan,

dan

haruslah dua bilangan berbeda.

Eits, tapi ingat..!! Baik

maupun

tidak boleh nol, sehingga

dan

.

Jadi, dan

hanya boleh dipilih dari 4 buah bilangan tersisa, yaitu

Jelas tanpa

.

. Ok?

Sehingga, Banyak kurva adalah permutasi 2 unsur dari 4 unsur yang tersedia:

Keduabelas pasangan

tersebut antara lain:

Namun, sekali lagi….. Ingat

, artinya apabila

, maka:

Jadi, dari seluruh pasangan

tidak boleh memuat pasangan

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

.

Halaman 17

Perhatikan lagi, Keduabelas pasangan

tersebut antara lain:

Sehingga, tersisa 11 pasangan yaitu:

yang diperbolehkan untuk membentuk kurva,

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 18

14.

Dua kelas masing-masing terdiri atas 30 siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah 11/36. Peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki adalah .... A. B. C. D. E.

Pembahasan: Ingat, banyak masing-masing siswa pada dua kelas tersebut adalah , sedangkan peluang terpilih keduanya laki-laki pada pengambilan satu siswa pada setiap kelas adalah Perhatikan, akan dipilih satu siswa di setiap kelas, sehingga ada 4 kemungkinan, yaitu:    

Terpilih laki-laki di kelas pertama, dan laki-laki di kelas kedua. Terpilih laki-laki di kelas pertama, dan perempuan di kelas kedua. Terpilih perempuan di kelas pertama, dan laki-laki di kelas kedua. Terpilih perempuan di kelas pertama, dan perempuan di kelas kedua.

Sehingga kejadian yang mungkin dapat dituliskan sebagai Padahal, pertanyaan di soal adalah peluang paling sedikit satu diantaranya laki-laki, yaitu . Dan hal ini bisa diartikan sebagai komplemen dari peluang terpilih keduanya perempuan. Sehingga, tantangan soal disini adalah menemukan berapa banyak siswa laki-laki di setiap kelas. Sehingga, dapat ditemukan banyak siswa perempuan di setiap kelas. Misal, Banyak siswa laki-laki pada kelas pertama adalah Banyak siswa laki-laki pada kelas kedua adalah

. .

Sehingga, Peluang terpilih satu siswa laki-laki pada kelas pertama adalah

Peluang terpilih satu siswa laki-laki pada kelas kedua adalah

Maka, Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah: K

Jadi, Kemungkinan nilai

dan

. Ataupun sebaliknya.

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 19

Perhatikan, Karena

, maka

Karena

, maka

. .

Sehingga, Peluang terpilih keduanya perempuan adalah:

1

6

Jadi, Peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki adalah: g

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 20

15.

Diketahui deret geometri takhingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi untuk . Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah . Rasio deret geometri tersebut adalah …. A. B. C. D. E.

TRIK SUPERKILAT – LOGIKA PRAKTIS: Deret geometri tak hingga harus memiliki rasio sehingga jawaban C, D, E pasti SALAH. Sehingga, tinggal menyisakan dua jawaban A atau B.

,

Pembahasan: Perhatikan,

Ingat, deret geometri takhingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi . Maka kita harus mencari terlebih dahulu nilai maksimum . Untuk mencari nilai maksimum menggunakan uji turunan pertama, akan dicari titik stasioner dari fungsi dan selanjutnya menggambarkan sketsa . Titik stasioner terjadi saat

, sehingga:

P Uji turunan pertama, untuk membuat sketsa grafik

Dengan memperhatikan sketsa grafik pada interval nilai maksimum

.

di atas, dapat dilihat dengan jelas bahwa adalah di .

Sehingga, Nilai maksimum

adalah

.

Padahal, deret geometri takhingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi , sehingga:

Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

, sehingga:

Halaman 21

Perhatikan, Diperoleh dua bentuk

dan

.

Padahal, Kita hendak mencari rasio , maka eliminasi pada sehingga diperoleh:

dengan mensubstitusikan

S K

g

K K

Ingat, karena deret geometri tak hingga, maka memenuhi adalah

, sehingga nilai

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

yang

Halaman 22

Untuk pembahasan soal-soal SBMPTN dan SNMPTN yang lain silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com. Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam menghadapi SBMPTN dan SNMPTN serta kumpulan pembahasan soal SBMPTN dan SNMPTN yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi http://pak-anang.blogspot.com. Terimakasih, Pak Anang.

Bimbel SBMPTN 2016 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 23