PEMBAHASAN SOAL OSK MATEMATIKA SMP 2016.pdf

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN TAHUN 2016 BIDANG MATEMATIKA

BAGIAN A: PILIHAN GANDA 1. Nilai dari

2017  (2016 2  16)  2015 adalah ... . 2020  (2016 2  1)

A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015 Jawaban: A Pembahasan: Misalkan 2016 = x, maka

2017  (2016 2  16)  2015 ( x  1)  ( x 2  16)  ( x  1)  2020  (2016 2  1) ( x  4)  ( x 2  1) ( x 2  1)  ( x  4)( x  4)  ( x  4)  ( x 2  1)  x4 Jadi nilainya 2016 – 4 = 2012 2. Misalkan x  menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x. Jika x 

2 , maka x  = ... 1 2 3 10    ...  1001 1002 1003 1010

A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 Jawaban: C Pembahasan:

2 2 2002    36,4 1 2 3 10 55 55    ...  1001 1001 1001 1001 1001 2 2 2020 Nilai maksimum untuk x adalah x     36,73 1 2 3 10 55 55    ...  1010 1010 1010 1010 1010 Nilai minimum untuk x adalah x 

Artinya 36,4  x  36,73 . Bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x adalah 37

Dibahas oleh: Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang) http://olimatik.blogspot.com , email: [email protected]

Page 1

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

3. Jika n! = n . (n – 1).(n – 2) . ... . 2 .1, maka 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ...+ (n – 1) . (n -1)! + n . n! = ... A. (n – 1)! + 1 B. (n + 1 )! – 1 C. (n + 1)! + 1 D. n! + n Jawaban: B Pembahasan: Perhatikan pola berikut: 1 . 1! = 1 1 . 1! + 2 . 2! =1 + 4 = 5 = 6 – 1 = 3! - 1 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! = 5 + 18 = 23 = 24 – 1 = 4! – 1 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! = 23 + 96 = 119 = 120 – 1 = 5! – 1 ........................................................ 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ...+ (n – 1) . (n -1)! + n . n! = (n + 1)! - 1 4. Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC adalah ... cm2 A. 74,00 B. 72,25 C. 68,00 D. 63,75 Jawaban: B Pembahasan:

Gunakan teorema Pythagoras pada segitiga BCE diperoleh BE = 15 cm, sehingga AE = 2 cm. Perhatikan bahwa segitiga AEF sebangun dengan segitiga BCE, sehingga,

AF AE  BE BC AF 2  15 8 3 AF  3 4 Luas EFDC dapat dihitung sbb: Dibahas oleh: Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang) http://olimatik.blogspot.com , email: [email protected]

Page 2

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

L = 17 x 8 – ½ .8.15 – ½ .2. 3 ¾ L = 72,25 Jadi luas segiempat EFDC adalah 72,25 cm2 5. Diketahui dua titik A(1,1) dan B(12, - 1). Garis l dengan gradien – ¾ melalui titik B. Jarak antara titik A dan garis l adalah ... satuan panjang. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Jawaban: B Pembahasan: Garis l dengan gradien – ¾ melalui titik B(12, - 1) adalah y – (-1) = – ¾ (x – 12) y+1=–¾x+9 4y + 4 = -3x + 36 3x + 4y – 32 = 0 Jarak titik A (1,1) terhadap garis l dicari dengan

d

3.1  4.1  32 32  4 2



25 5 5

Jadi jarak titik A (1,1) terhadap garis l adalah 5 satuan 6. Perhatikan gambar di samping. Jika BE = 2 cm, EF = 6 cm, dan FC = 4 cm, maka panjang DE adalah ... cm A.

6 4

B.

6 3

C.

3 4

D.

2 3 3

Jawaban: D Pembahasan:

Gunakan kesebangunan pada segitiga ABC dengan garis tinggi AF didapat AF2 = BF x CF AF2 = 8 x 4 Dibahas oleh: Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang) http://olimatik.blogspot.com , email: [email protected]

Page 3

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

AF =

32  4 2

Karena segitiga BDE dan BCA sebangun, maka

DE 2  4 3 12 DE 

2 3 3

Jadi panjang DE adalah

2 3 cm. 3

7. Pada pagi hari yang cerah, suatu bola raksasa ditempatkan di tanah lapang yang datar. Panjang bayangan bola tersebut apabila diukur dari titik singgung bola dengan tanah adalah 15 m. Di samping bola tersebut terdapat tiang vertikal dengan tinggi 1m yang mempunyai bayangan sepanjang 3 m. Radius bola tersebut adalah ... m. A. B. C. D.

15 10  3 15 10  3 10 52 10 52

Jawaban: A Pembahasan:

Gunakan Teorema Pythagoras pada segitiga ABC diperoleh AC =

 ABC sebangun dengan  EFG sehingga: EF FG  AB BC EF 15  1 3 EF  5 dan,

10 m

EG EF  AC AB EG 5  10 1 EG  5 10 Sehingga

ED  5 10  15 Dibahas oleh: Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang) http://olimatik.blogspot.com , email: [email protected]

Page 4

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

Segitiga EDO sebangun segitiga EFG, sehingga

OD ED  FG EF r 5 10  15  15 5 r 10  3  15 1 r 10  3 10  3   15 1 10  3 r 10  9  15 10  3 r 1  15 10  3 15 r 10  3

8. Banyak bilangan real x yang memenuhi x

2016

 x 2014  x 2015  x 2013 adalah ... .

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Jawaban: D Pembahasan:

x 2016  x 2014  x 2015  x 2013 ( x 2015  x 2013 ) x  ( x 2015  x 2013 )  0 ( x  1)( x 2015  x 2013 )  0 ( x  1)( x 2  1)( x 2013 )  0 ( x  1)( x  1)( x  1)( x 2013 )  0 ( x  1) 2 ( x  1)( x 2013 )  0 x = 1, atau x = -1, atau x = 0 Jadi ada 3 bilangan real yang memenuhi persamaan tersebut. 9. Jika sistem persamaan mx + 3y = 21 4x – 3y = 0 Memiliki penyelesaian bilangan bulat x dan y, maka nilai m + x + y yang mungkin adalah ... . A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 Dibahas oleh: Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang) http://olimatik.blogspot.com , email: [email protected]

Page 5

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

Jawaban: B Pembahasan: mx + 3y = 21 4x – 3y = 0 y =

4 x 3

Kedua persamaan di atas dijumlahkan diperoleh (m + 4) x = 21 Dengan memperhatikan x dan y bilangan bulat, dan faktor 21 = 1, 3, 7, 21,

4 4 .1  , dan m + x + y bukan bilangan bulat 3 3 4 Untuk m = 3, maka x = 3, sehingga y = .3  4 , dan m + x + y = 3 + 3 + 4 = 10 3 Untuk m = 17, maka x = 1, sehingga y =

Jadi nilai m + x + y yang mungkin adalah 10

10. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti kegiatan Paskibra. Hasil survei adalah sebagai berikut: 

25% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti kegiatan tersebut;



90% dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri.

Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah ... . A. 9 : 1 B. 9 : 2 C. 9 : 3 D. 9 : 4 Jawaban: B Pembahasan: Misalkan banyaknya siswa peminat paskibra adalah N, maka 

Siswa putri peminat paskibra adalah 90%N, dan ini merupakan 50% = ½ dari total siswa putri. Ini berarti total siswa putri = 2 x 90%N=180%N



Siswa putra peminat paskibra adalah 10%N, dan ini merupakan 25% = ¼ dari total siswa putra. Ini berarti total siswa putra = 4 x 10%N = 40%N

Total siswa putri : total siswa putra = 180%N : 40%N = 9 : 2 Jadi rasionya adalah 9 : 2 11. Suatu fungsi ditentukan dengan rumus

2 x  1, untuk x genap f ( x)    2 x  1, untuk x ganjil Jika a adalah bilangan asli, maka nilai yang tidak mungkin untuk f(a) adalah ... . A. 21 B. 39 C. 61 D. 77 Dibahas oleh: Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang) http://olimatik.blogspot.com , email: [email protected]

Page 6

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

Jawaban: B Pembahasan: Andaikan untuk a bilangan asli f(a) = 39. Kasus 1: jika a genap, maka 2a + 1 = 39 a=17 merupakan bilangan ganjil Kasus 2: jika a ganjil, maka 2a – 1 = 39 a = 20 merupakan bilangan genap Dari kasus 1 dan 2 tidak mungkin ada bilangan asli a yang merupakan bilangan ganjil dan sekaligus bilangan genap. Jadi nilai f(a) tidak mugkin 39 12. Banyak bilangan bulat k > - 20 sehingga parabola y = x2 + k tidak berpotongan dengan lingkaran x2 + y2 = 9 adalah ... . A. 20 B. 19 C. 11 D. 10 Jawaban: D Pembahasan: Ralat : menurut saya kalimat “bilangan bulat k > - 20” perlu diganti “ bilangan bulat negatif k > - 20”. Coba amati untuk semua bilangan bulat k >3 parabola jelas tidak memotong lingkaran. Jadi ada tak hingga nilai k yang memenuhi.

y = x2 + k  x2 = y - k Subtitusikan x2 = y - k ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 9, diperoleh: y – k + y2 =9 y2 + y – (k + 9) = 0 a = 1, b = 1, c = -(k+9) Syarat kedua grafik tidak berpotongan nilai diskriminan D < 0. D = b2 – 4 a c < 0 12 – 4 . 1 . (-(k+9)) < 0 1 + 4k + 36