Pembahasan Soal KSNP Matematika SMA 2021 Tingkat Provinsi by Pak Anang (Pak-Anang - Blogspot.com)
August 14, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Pembahasan Soal KSNP Matematika SMA 2021 Tingkat Provinsi by Pak Anang (Pak-Anang - Blogspot.com)...
Description
Pembahasan Soal
KSNP 2020
KOMPETISI SAINS NASIONAL TINGKAT PROVINSI
KSNP Matematika SMA (Kompetisi Sains Nasional Tingkat Provinsi)
Disusun oleh:
Pak Anang
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 2 dari 36
SOAL KSNP MATEMATIKA SMA TINGKAT PROVINSI 11 AGUSTUS 2020
Soal Isian Singkat Skor soal mudah (1 poin), sedang (1,5 poin), sulit (2 poin). Tidak Ti dak ada pengurangan nilai. Komposisi soal adalah 8 soal mudah, 4 soal sedang, dan 4 soal sulit. 1. Banyaknya bilangan asli
800
sehingga 8 membagi
….
, namun 8 tidak membagi adalah
2. Sejumlah siswa mengikuti ujian dengan komposisi soal sebagai berikut:
Bagian pertama terdiri dari 3 soal dengan dua pilihan (benar/salah) Bagian kedua terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan d engan lima pilihan (A, B, C, D, E)
• •
….
Banyaknya siswa minimal agar senantiasa terdapat dua siswa dengan jawaban sama persis baik pada bagian pertama maupun kedua adalah 3. Misalkan
bilangan bulat positif dan
lo lgo√ g,,,,, lo lgo g,.. ,, , ,, , …. 45° ….
Jika diketahui bahwa
semuanya bulat dan
24 10 , maka
dengan
4. Diberikan sebuah persegi dengan jari-jari lingkaran luar 6 satuan dengan pusat lingkaran luar (artinya jarak titik ke titik sudut persegi adalah 6 satuan). Persegi tersebut dirotasikan sebesar searah jarum jam dengan titik sebagai titik pusat rotasi.
Kedua persegi, sebelum dan sesudah rotasi, digabung menjadi satu bangun datar baru (perhatikan gambar di bawah) dengan keliling dan luas . Nilai dari
adalah
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 3 dari 36
5. Diketahui himpunan
1, 2 , … , 4}
.
Banyaknya pasangan himpunan bagian tidak kosong berikut sekaligus:
∩∪ ⊆ ∅ ⊆ ⋯ ⊆ …. ….
yang memenuhi tiga syarat
•
• •
adalah
, ,…,
4 808 9 1621 , , , … i l + {1,2, jjiikkaa ganj genap ⋯ 360 …. ∠ ∠ 45° 5 √ ,, …. 2 1 2 8 3. 1 …. ∠ ≠ ≠ 2 15,15, 9 6 1 …. 1 23 54 ….
6. Jika adalah bilangan asli sehingga 7. Suatu barisan bilangan bulat
dan
merupakan bilangan kuadrat, maka
memenuhi
.
Jika
, maka
8. Pada segiempat konveks .
berlaku
,
, dan
tidak sejajar
Keliling segiempat tersebut dapat dituliskan sebagai dengan bulat dan bebas kuadrat (tidak memiliki faktor bilangan kuadrat selain 1). Nilai adalah
9. Suatu polinom
memenuhi
Nilai dari
adalah
10. Diketahui segitiga dan garis bagi memotong sisi di titik . Lingkaran dengan pusat dan melalui memotong di , dan lingkaran dengan pusat dan melalui memotong di . Diketahui bahwa terletak di dalam segitiga . Jika
dan
, maka
11. Diberikan prisma dengan alas dan tutup berupa segi- beraturan. Semua titik sudut prisma ( titik sudut) dilabeli dengan bilangan 1 atau . Diketahui bahwa untuk setiap sisi (muka) prisma, hasil kali semua label titik sudut pada sisi (muka) tersebut adalah . Hasil penjumlahan semua dengan adalah
agar pelabelan seperti di atas mungkin dilakukan
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 4 dari 36
5 3 5 3 139.
12. Misalkan dan bilangan-bilangan real positif sehingga
Jika nilai maksimal dan minimal dari
berturut-turut adalah
dan
, maka nilai dari
adalah ….
13. Diberikan suatu kubus yang terletak di atas tanah dengan 5 sisi (muka) berwarna putih dan satu sisi (muka) berwarna hitam. Pada awalnya, sisi berwarna hitam bukan merupakan sisi tegak. Kemudian kubus tersebut diputar pada salah satu rusuk pada alasnya sehingga alasnya berganti, dan diulangi sampai 8 kali.
Peluang bahwa sisi berwarna hitam bukan sisi tegak lagi adalah ….
14. Pada suatu segitiga tumpul, diketahui bahwa panjang garis tinggi terpanjang adalah 8 dan panjang salah satu garis tinggi lainnya adalah 3.
tersebut adalah …. >1 , , 1 1 1. 10 adalah …. 10 225
Jika diketahui bahwa garis tinggi ketiga, memiliki panjang bilangan prima, panjang garis tinggi 15. Misalkan suatu bilangan asli. Suatu bilangan asli asli sehingga dan
dikatakan
- jika terdapat bilangan
Diketahui bahwa terdapat tepat 32 bilangan Bilangan asli terbesar sehingga
16. Misalkan
membagi
- dengan salah satu diantaranya adalah 10.
menyatakan himpunan semua bilangan asli yang dapat dituliskan sebagai
untuk suatu bilangan asli . Jumlah semua anggota
ad
alah ….
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 5 dari 36
Soal Uraian Terdiri dari 5 soal. Setiap soal yang dijawab benar bernilai maksimal 7 poin. Tidak ada pengurangan nilai. 1. Diberikan lima persegi kecil dan sebuah persegi panjang besar ini.
seperti pada gambar berikut
C
,,, 2 , , 2 2,, 2020 2200 202020 11 , , , ,
Dalam gambar tersebut, titik terletak pada sisi persegi panjang bahwa luas persegi kecil adalah 1 satuan, tentukan luas persegi panjang
. Jika diketahui
.
2. Diberikan fungsi kuadrat dengan dan merupakan bilangan bulat. Misalkan dan adalah bilangan bulat berbeda sehingga habis membagi dan , tetapi habis tidak habis membagi dan juga tidak habis membagi . Tunjukkan bahwa membagi . 3. Tentukan semua bilangan irasional merupakan bilangan rasional.
sehingga
dan
keduanya
4. Diketahui segitiga tidak sama kaki dengan garis tinggi dan dan . Misalkan dan berturut-turut titik pada dan sehingga tegak lurus dan tegak lurus Garis dan berpotongan di titik . Definisikan dengan cara yang sama titik dan Buktikan bahwa dan kolinear. dan
. .
5. Di suatu kota, anak mengikuti kompetisi matematika dengan nilai total berupa bilangan bulat non-negatif. Misalkan bilangan bulat positif. Untuk setiap anak , ia mendapatkan:
(i) buah permen untuk setiap poin yang diperolehnya, dan (ii) Untuk setiap anak lain yang nilainya lebih tinggi dari , maka mendapatkan 1 buah permen untuk setiap poin selisih dari nilai dan . Setelah semua permen dibagikan, ternyata tidak ada anak yang memperoleh permen lebih sedikit dari Badu, dan ada anak anak yang memperoleh nilai lebih tinggi dari Badu. Tentukan semua nilai yang mungkin.
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 6 dari 36
PEMBAHASAN SOAL KSNP MATEMATIKA SMA TINGKAT PROVINSI 11 AGUSTUS 2020
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com (http://pak-anang.blogspot.com)) Soal Isian Singkat Skor soal mudah (1 poin), sedang (1,5 poin), sulit (2 poin). Tidak Ti dak ada pengurangan nilai. Komposisi soal adalah 8 soal mudah, 4 soal sedang, dan 4 soal sulit. 1. Banyaknya bilangan asli
800
sehingga 8 membagi
….
, namun 8 tidak membagi adalah
Pembahasan: Perhatikan, karena 8 tidak membagi , maka dapat dimisalkan dan , maka diperoleh
5
1, 2 , 3 , ,4 4 5 5 ⌊ 5 ⌋ 800 5 8 4040 800800 ⇔⇒ 4040 18080090 ∈ 0,1,2,…,19}9} 20 1,2,3,4 4 × 20 80
, untuk bilangan cacah
Perhatikan juga bahwa 8 membagi dan karena
, maka
untuk bilangan cacah, sehingga
, sehingga
Diperoleh
dan
.
Karena 8 tidak membagi , maka ada 4 buah untuk setiap dengan Jadi, jelas bahwa banyak yang memenuhi adalah
.
.
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
.
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 7 dari 36
2. Sejumlah siswa mengikuti ujian dengan komposisi soal sebagai berikut:
Bagian pertama terdiri dari 3 soal dengan dua pilihan (benar/salah) Bagian kedua terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan lima pilihan (A, B, C, D, E)
• •
….
Banyaknya siswa minimal agar senantiasa terdapat dua siswa dengan jawaban sama persis baik pada bagian pertama maupun kedua adalah Pembahasan:
2 8
Perhatikan bahwa pada bagian pertama terdiri dari 3 soal, dengan dua pilihan. Artinya terdapat kemungkinan jawaban berbeda.
5 3125
Sedangkan, pada bagian kedua terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan lima pilihan. Artinya terdapat kemungkinan jawaban berbeda. Sehingga total banyak kemungkinan jawaban berbeda adalah
8 × 3125 3125 2502500000 2525000000 1 1 2525000011
kemungkinan.
Dengan Pigeon Hole Principle (PHP) agar senantiasa terdapat dua siswa dengan jawaban sama persis pada kedua bagian soal, maka banyak siswa minimal adalah siswa.
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 8 dari 36
,, log, log, log √ ,, log .. ,, , ,, , 24 10 …. log √ loogg 12 log 12 log 12 log loogg 12 log 12 log 12 24 1 1 24 ⇒ 2 2 24 ⇔⇔ 212 11 4850 ,, 4,4,4} 10 ⇒ lloogogglloogg log log 41616 416 32 32
3. Misalkan
bilangan bulat positif dan
Jika diketahui bahwa
semuanya bulat dan
, maka
Pembahasan: Perhatikan,
Padahal,
, sehingga
Jelas bahwa
.
Perhatikan lagi,
Jadi, nilai yang memenuhi adalah
.
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
dengan
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 9 dari 36
4. Diberikan sebuah persegi dengan jari-jari lingkaran luar 6 satuan dengan pusat lingkaran luar (artinya jarak titik ke titik sudut persegi adalah 6 satuan). Persegi tersebut dirotasikan sebesar searah jarum jam dengan titik sebagai titik pusat rotasi.
45°
Kedua persegi, sebelum dan sesudah rotasi, digabung menjadi satu bangun datar baru (perhatikan gambar di bawah) dengan keliling dan luas . Nilai dari
…. adalah
Pembahasan:
6 √ 2 6
Perhatikan, dari gambar diperoleh
6√ 2 ⇒⇔ 222 √ √ 222 6√ 66√ 6√ √ 22
2 ⇔ 62 6√ 21 2√ 1 Diperoleh 6√ 6√ 21 2 1 363633 2√ 22 16 ⇒ 166 16 6√ 21 2 1 96√ 96√ 2 11 44[[ ]] [] ] ⇒ 4 12 ∙6∙6 12 144 144√ 4 4 1 √ 8 2 2√ √ 1 21 2 8 1 3 2 √ 2 2 144√ 144 2 2√ 2 21 1 9 3 √ √ 2 2 Jadi 9696√ √ 21 √ 2 1 2 2 .
Sehingga, keliling bangun tersebut adalah
Sedangkan, luas bangun tersebut adalah
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 10 dari 36
5. Diketahui himpunan
1, 2 , … , 4}
.
Banyaknya pasangan himpunan bagian tidak kosong berikut sekaligus:
, ,…,
yang memenuhi tiga syarat
∩∪ ⊆ ∅ ⊆ ⋯ ⊆ …. ∩ ∅ ∪ ⊆ | | || | | ⊆ ⋯ ⊆ | | || || | | 1 | |, | |, | |, | |
•
•
•
adalah
Pembahasan: Perhatikan, artinya
artinya
dan
| | ⋯ ||
adalah dua himpunan bagian yang berbeda. Kemudian, . Sedangkan, artinya .
Sehingga, akan kita bagi kasus-kasus sebagai berikut
•
o
, sehingga (2,2,2,2), (2,2,2,3), (2,2,3,3), (2,3,3,3), (3,3,3,3), (2,2,2,4), (2,2,4,4), (2,4,4,4), (4,4,4,4), (2,2,3,4), (2,3,3,4), (2,3,4,4), (3,3,3,4), (3,3,4,4), (3,4,4,4). Banyak
, 41 31 12
, ,, ,, ,,20,4 42 1 2 2 6 62 1 2 1 25 12 × ×25 25 30 300 0 | | || 2 4 2 | |, | |, | |, | | , 2 1 12 , , , 1 , , , , , 12 ×1 12 | | ≠ || || 1 ∧ | | 2 | |, | |, | |, | | , 22!! 41 321 24 1 , , , 0 4 1 5 × 5 12 120 0 , , , , , 24 ×5 | | 1 ∧ | | 3 4 3 | |, | |, | |, | | , 2!2! 1 3 8 , , , , , , 1, , 8 × 1 8 Banyak
Jadi, banyak
, sehingga sehingga
o
(4,4,4,4)
Banyak
Banyak
Jadi, banyak
•
o
, dan sebaliknya sehingga (3,3,4,4), (3,4,4,4), (4,4,4,4). Banyak
(3,3,3,3), (3,3,3,4),
Banyak
Jadi, banyak
, dan sebaliknya sehingga
o
Banyak
Banyak
Jadi, banyak
Jadi, total banyak
(4,4,4,4)
, , , , , 330000 12 12 120120 8 444400 . Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 11 dari 36
Pembahasan Paket Soal Lain: Soalnya begini,
“Diketahui himpunan 1, 2 , … , 5}
.
Banyaknya pasangan himpunan bagian tidak kosong berikut sekaligus:
• •
, ,…,
∪∩⊆ ⋯ ⊆ ∅
adalah ….” ∩ ∅ ∪ ⊆ | | || | | ⊆ ⋯ ⊆ | | |||| | | 1 | |, | |, | |, | | •
yang memenuhi tiga syarat
Perhatikan,
artinya
dan
artinya
| | ⋯ ||
adalah dua himpunan bagian yang berbeda. Kemudian, . Sedangkan, artinya .
Sehingga, akan kita bagi kasus-kasus sebagai berikut
•
o
, sehingga (2,2,2,2), (2,2,2,3), (2,2,3,3), (2,3,3,3), (3,3,3,3), (2,2,2,4), (2,2,4,4), (2,4,4,4), (4,4,4,4), (2,2,2,5), (2,2,5,5), (2,5,5,5), (5,5,5,5), (2,2,3,4), (2,3,3,4), (2,3,4,4), (3,3,3,4), (3,3,4,4), (3,4,4,4), (2,2,3,5), (2,3,3,5), (2,3,5,5), (3,3,3,5), (3,3,5,5), (3,5,5,5), (2,2,4,5), (2,4,4,5), (2,4,5,5), (4,4,4,5), (4,4,5,5), (4,5,5,5), (3,3,4,5), (3,4,4,5), (3,4,5,5), (2,3,4,5).
,, , ,51 41 20 30431 32 33631 21 31 22 32 11431 21 11 125 , , , , , 20 ×125 2500 | | || 2 | |, | |, | |, | | , 52 31 30 , ,, ,, ,,10,441 130 5××55 151500 | | ≠ || || 1 ∧ | | 2 | |, | |, | |, | | , 2!2! 51 42 60 , , , 20 4 21 22 6 21 11 25 , , , , , 60 ×25 1500 | | 1 ∧ | | 3 | |, | |, | |, | | Banyak
Banyak
Jadi, banyak
o
, sehingga sehingga (4,5,5,5), (5,5,5,5). Banyak
(4,4,4,4), (4,4,4,5), (4,4,5,5),
Banyak
Jadi, banyak
•
o
, dan sebaliknya sehingga (3,3,3,3), (3,3,3,4), (3,3,4,4), (3,4,4,4), (4,4,4,4), (3,3,3,5), (3,3,5,5), (3,5,5,5), (5,5,5,5), (3,3,4,5), (3,4,4,5), (3,4,5,5), (4,4,4,5), (4,4,5,5), (4,5,5,5). Banyak
Banyak
Jadi, banyak
o
, dan sebaliknya sehingga (4,4,5,5), (4,5,5,5), (5,5,5,5).
(4,4,4,4), (4,4,4,5),
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 12 dari 36
, 2!2! 51 43 40 , , , 10 4 11 5 × 5 20 200 0 , , , , , 40 ×5 | | 1 ∧ | | 4 | |, | |, | |, | | , , ,,22!, !51 , 14, , 10 10 ×1 10 | | 2 ∧ | | 3 5 3 | |, | |, | |, | | , 2!2! 2 3 20 , , , 1 , , , , , 20 ×1 20 , , , , , 25025000 150150 1500 1500 202000 1010 20 4380 4380 .
Banyak
Banyak
Jadi, banyak
o
, dan sebaliknya sehingga
Banyak
Banyak
Jadi, banyak
o
(5,5,5,5).
, dan sebaliknya sehingga
Banyak
Banyak
Jadi, banyak
(5,5,5,5).
Jadi, total banyak
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 13 dari 36
….
4 808 9 1621 4 808088 4 202022 202 20 2022 9 16162121 9 1621 ⇒⇔ 9 292021 91222282 02197 1 ⇔⇔ 3 3 93 197197 3 191977 3 1 33 1919717 6 198 ⇒ 33
6. Jika adalah bilangan asli sehingga Pembahasan: Perhatikan, misal
Misal
dan
merupakan bilangan kuadrat, maka
artinya
dan
juga merupakan bilangan kuadrat.
maka diperoleh
Karena 197 bilangan prima, sehingga
dan
.
Sehingga,
Jadi,
20 2022 ⇒⇔ 20 2022 1089 1081333038 9 20 202
⇔ 887
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 14 dari 36
“ ….” 4 804 9 16 162121 4 808044 4 202011 201 20 2011 9 16162121 9 1621 ⇒⇔ 9 292011 91212182 01188 1 ⇔⇔ 3 3 93 189189 188 1 × 188 23×94 49944× 47 3 2 3 3 33 942 6 96 ⇒ 16 20 2022 ⇒⇔⇔ 202011 2562116656 20 2 0 1 ⇔ 55 Pembahasan Paket Soal Lain: Soalnya begini, Jika adalah bilangan asli sehingga kuadrat, maka
Perhatikan, misal
Misal
artinya
dan
dan
merupakan bilangan
juga merupakan bilangan kuadrat.
maka diperoleh
Karena faktor dari memiliki paritas yang sama, sehingga
, perhatikan juga bahwa dan .
Sehingga,
Jadi,
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
dan
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 15 dari 36
, , , … i l + {1,2, jjiikkaa ganj genap ⋯ 360 ….
7. Suatu barisan bilangan bulat
memenuhi
.
Jika
Pembahasan: Perhatikan, misal
, maka
diperoleh
1 2 112 11221 2112 1 2 ⋮ 112 212 12⋯1 ⋯1 ⋯ 20 1119 17 ⋯ 11 218 16 ⋯2 ⋯ 2 ⇔⇒ 360363600 20202020 28 1028010000 118080 ⇔⇔ 2020 80360 280 ⇔ 4
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 16 dari 36
8. Pada segiempat konveks .
berlaku
∠ ∠ 45° 5 √ ,, …. ,
, dan
tidak sejajar
Keliling segiempat tersebut dapat dituliskan sebagai dengan bulat dan bebas kuadrat (tidak memiliki faktor bilangan kuadrat selain 1). Nilai adalah
Pembahasan: Perhatikan ilustrasi berikut
5
45°
5
45° 5 2 ∙ ∙5∙∙5 ∙ cos45 s45°° 5√ 2 0 5 2 1010∙ ∙ 5∙ cos 45co° s 45° ⇔⇒ 5 2 √ ⇔ 5 2 √ 1 0 5 2 √ 10, 10, 5, dan 2 10 5 2 17 .
Dengan aturan kosinus diperoleh
Sehingga, keliling Sehingga, Jadi,
.
.
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 17 dari 36
2 1 2 8 3. 1 ….
9. Suatu polinom
Nilai dari
memenuhi
adalah
Pembahasan: Perhatikan,
4 2 1 3 2 1 2 8 3 ⇔⇒ 2 2 4 4 12 2 1 1 ⇔ 2 2 12 2 1 1 1 Jadi, 1 1 12 1 1 1 12 1 12 .
misal
.
, maka diperoleh
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 18 dari 36
≠ 15,15, 9 6
∠ ≠ ….
10. Diketahui segitiga dan garis bagi memotong sisi di titik . Lingkaran dengan pusat dan melalui memotong di , dan lingkaran dengan pusat dan melalui memotong di . Diketahui bahwa terletak di dalam segitiga . Jika
dan
, maka
Pembahasan: Perhatikan,
2 6 5 2 15 2 5 5 6 9 2 ∙ ∙ 1 ⇒ ∙ 6 ∙ 7 1 99 ⇔ 9 2 37 15 . 9 ∙ 7 1515 ∙ 2 6 ∙ 5 77 ∙∙22 ∙ 5 ⇒ 3 √ 1100 √ 61100 9 6 ∙ 9 9√ 61100 ∙ 99∙∙ ∙ 910 ⇒ 158 15 . Dari garis bagi diperoleh
Sehingga, diperoleh
misal
,
maka
.
Misal, pada sedemikian sehingga tegak lurus di titik , akibatnya sehingga dan dan .
Dengan menelause diperoleh
.
dan akibatnya
Sehingga,
Mengingat
maka
.
, maka
Dan karena
Alternatif Pembahasan: (TRIK SUPERKILAT) Perhatikan, dengan dalil stewart pada segitiga
diperoleh
Misal
maka
, dengan dalil Stewart pada segitiga
diperoleh
, maka
Dan karena
Catatan: (Credit to Kenji Gunawan) Namun sayangnya segitiga ini tidak dapat dikonstruksi. Perhatikan segitiga
, dengan
Jelas bahwa
15,15, 6,6, √ 1010 ≈ 6,6 dan dan
.
. Sehingga kontradiksi dengan ketaksamaan segitiga
.
>
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 19 dari 36
1 23 54
2
11. Diberikan prisma dengan alas dan tutup berupa segi- beraturan. Semua titik sudut prisma ( titik sudut) dilabeli dengan bilangan 1 atau . Diketahui bahwa untuk setiap sisi (muka) prisma, hasil kali semua label titik sudut pada sisi (muka) tersebut adalah .
….
Hasil penjumlahan semua dengan adalah
1
agar pelabelan seperti di atas mungkin dilakukan
Pembahasan: Perhatikan ilustrasi berikut
Perhatikan dua kasus berikut
2 2 1 1 } 11.. ,,,,…… , ∈ 1, 1 ∙ ∙ ∙∙ ≥3 ∙ ∙ , ,…, , ∙ ∙ ∙ …∙ 2 1 ∙ ∙ …∙ + 11+ 11 ∙ 11 1 ∙ 1111 1 ≠ 1 ∙ ∙ …∙+ ≠ ∙ 2 2 1 ,,,,…… , ∈ 1, 1} ⋯ 1. ∙∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ 2 ≥ 2 ∙ ∙ …∙− ∙ ∙ … ∙ ∙
Jika ganjil,
•
untuk bilangan asli
Perhatikan gambar prisma segi-3 di atas, misal label pada titik-titik sudut prisma segi-3 adalah ad alah dan diperoleh hasil perkalian label di setiap sisi (muka) prisma segi-3 tersebut adalah .
Perhatikan juga bahwa
Secara umum untuk setiap bilangan bulat misal adalah sisi (muka) tegak dan adalah sisi (muka) alas dan atas dari prisma segi- , maka berlaku .
Jika
diperoleh
.
. Jadi,
Padahal,
Sehingga, tidak mungkin
Jika genap,
•
.
.
untuk bilangan asli
Perhatikan gambar prisma segi-6 di atas, misal label pada titik-titik sudut prisma segi-3 adalah ad alah dan diperoleh hasil perkalian label di setiap sisi (muka) prisma segi-3 tersebut adalah Untuk genap maka dapat kita ambil sisi (muka) tegak selang-seling, yaitu -
-
sisi (muka) tegak prisma segi-6 yang diarsir pada gambar, maka diperoleh . sisi (muka) tegak prisma segi-6 yang tidak diarsir pada gambar, maka diperoleh .
Sehingga secara umum untuk
, dengan
maka berlaku
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 20 dari 36
2 2 2 1 22 11 44442222 ∙ + ∙ …∙+ ∙ ∙ …∙+ ∙ ∙ ∙ …∙+ 1 1 ∙ 1 1 ∙ 1 1 111 441 ≠2 21 ∙ ∙ …∙+ ≠ ∙ 222 ∙ 41 ≥ 3 , ,…, , ∙ ∙ …∙ ∙ 4, ∙ ∙ …∙ 11 1 ∙ 1111 1 4, ∙ ∙ …∙− ∙ ∙ …∙ ∙ ∙ ∙ ∙ …∙ 1 1 1 111 1 11 1 4 ∙ ∙ …∙ ∙ ∙ ∙ …∙ ∙ 23 54 24,28,32,36,40,44,48,52 24 28 32 36 40 44 48 52 304 .
Akan diperiksa untuk
dan
Jika
o
untuk bilangan asli
.
Secara umum, untuk , misal kita ambil sisi (muka) tegak selang-seling dari prisma segi- maka akan berlaku . .
Perhatikan Padahal,
Sehingga, tidak mungkin
Jika
o
.
. Jadi,
.
Secara umum untuk setiap bilangan bulat misal adalah sisi (muka) tegak dan adalah sisi (muka) alas dan atas dari prisma segi- , maka berlaku . Maka untuk
diperoleh diperoleh
.
Periksa juga,
.
Dan,
Secara umum, untuk misal kita ambil sisi (muka) tegak selang-seling dari prisma segi- maka akan berlaku . Perhatikan
.
Periksa juga,
.
Jadi, dapat dikonstruksi label pada setiap titik sudut prisma segi- dengan . dan sehingga berlaku
Sehingga, untuk
nilai yang memenuhi adalah
Jadi, hasil penjumlahan semua adalah
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
.
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 21 dari 36
5 3 5 3 139. adalah …. Perhatikan,5 3 5 3 139139 ⇒ 1 35 53 1 139 ⇔ 53 35 137 √√ √ Padahal, √ + √ √ √ Sehingga,3 gga, 35 33 5 137 ⇔⇒ 99 2055 20 559 25 25 0 2055 20 55 √ √ √ √ 1 1 √ √ √ √√ √ 1 2√ √ 11 2 25 5 2 25 5 2055 1 2 9 9 9 259 36 6.
12. Misalkan dan bilangan-bilangan real positif sehingga
Jika nilai maksimal dan minimal dari
berturut-turut adalah
dan
, maka nilai dari
Pembahasan:
Misal
maka diperoleh
dan
.
dan
Dengan teorema Vieta diperoleh Jika
dan
dengan
.
, sehingga
Diperoleh,
Jadi,
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 22 dari 36
13. Diberikan suatu kubus yang terletak di atas tanah dengan 5 sisi (muka) berwarna putih dan satu sisi (muka) berwarna hitam. Pada awalnya, sisi berwarna hitam bukan merupakan sisi tegak. Kemudian kubus tersebut diputar pada salah satu rusuk pada alasnya sehingga alasnya berganti, dan diulangi sampai 8 kali.
Peluang bahwa sisi berwarna hitam bukan sisi tegak lagi adalah ….
Pembahasan: Perhatikan ilustrasi berikut
Ada dua kemungkinan posisi sisi berwarna hitam.
Sisi berwarna hitam sebagai sisi tegak.
•
Pemutaran pada rusuk alas apapun, maka sisi berwarna hitam memiliki peluang sama besar
untuk menjadi sisi tegak maupun bukan sisi tegak. Kita kodekan sebagai TB atau TT, masing-masing bernilai .
Sisi berwarna hitam bukan sisi tegak.
•
Pemutaran pada rusuk alas apapun, maka sisi berwarna hitam pasti akan menjadi sisi tegak. Kita kodekan sebagai BT, bernilai 1. Misal diperoleh kode BTBTT artinya pada putaran pertama sisi berwarna hitam akan menjadi bukan sisi tegak (B), lalu pada putaran kedua sisi hitam akan menjadi sisi tegak (T), begitu seterusnya. Peluang kejadian dapat dihitung dengan memperhatikan kode TB atau TT, ada dua kali TT dan BTBTT BTBTT,, yaitu yaitu BTB BTBTT
.
Sehingga, jika sisi berwarna hitam adalah mula-mula bukan merupakan sisi tegak, maka jika kubus tersebut diputar pada salah satu rusuk pada alasnya berganti, dan diulangi sampai 8 kali akan diperoleh kombinasi sebagai berikut
Ada sebanyak
•
Ada sebanyak
•
Ada sebanyak
•
Ada sebanyak
•
30 42 54 66
kemungkinan 3 buah BT, sehingga ada 4 buah TB atau TT peluangnya kemungkinan 2 buah BT, sehingga ada 5 buah TB atau TT peluangnya kemungkinan 1 buah BT, sehingga ada 6 buah TB atau TT peluangnya kemungkinan 0 buah BT, sehingga ada 7 buah TB atau TT peluangnya
Peluang bahwa dalam 8 kali pemutaran, sisi berwarna hitam bukan sisi tegak lagi adalah
3 1 + 3 1 4 1 5 1 6 1 43 = 22 ∙ 2 0 ∙∙ 2 2 ∙ 2 4 ∙ 2 6 ∙ 2 128128 .
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
. . . .
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 23 dari 36
Alternatif Pembahasan: (TRIK SUPERKILAT) Dengan
ℎ
diperoleh tabel sebagai berikut Putaran satu Tegak Tegak
Awal Bukan tegak
1 1 12 02
1 12
Bukan tegak
1 20
Sehingga diperoleh matriks transisinya adalah
Maka, setelah putaran ke-8 akan dicari peluang sisi hitam yang bukan sisi tegak akan tetap menjadi sisi hitam yang bukan tegak, dengan memangkatkan 8 matriks transisi tersebut. Sehingga, diperoleh
171 85 12 012 (25612885 12825643 ) Jadi, peluang dalam 8 kali pemutaran, sisi berwarna hitam bukan sisi tegak lagi adalah 12843 .
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 24 dari 36
14. Pada suatu segitiga tumpul, diketahui bahwa panjang garis tinggi terpanjang t erpanjang adalah 8 dan panjang salah satu garis tinggi lainnya adalah 3.
tersebut adalah ….
Jika diketahui bahwa garis tinggi ketiga, memiliki panjang bilangan prima, panjang garis tinggi Pembahasan: Jika panjang garis tinggi terpanjang suatu segitiga adalah 8 dan panjang garis tinggi yang lain 3, maka panjang garis tinggi ketiga yang merupakan bilangan prima adalah 2 atau 3 atau 5 atau 7. Akan diperiksa satu-persatu kasus tersebut
Jika garis tinggi ketiga adalah 2.
•
KPK2,3,∶8 ∶ 24 ∶ ∶ 12 ∶ 8 ∶ 3 KPK
, jadi perbandingan sisi segitiga dengan
adalah
.
panjang sisi segitiga terpanjang
Periksa apakah dapat dibentuk segitiga? Misal berturut-turut segitiga harus memenuhi ketaksamaan segitiga berikut
,,
adalah
12,8,3
, maka
> ⇒ 8 33 ≯ 1212 bukan segitigaa KPK3,3,8 24 KPK ,, 8,8,3 ∶ ∶ ∶ ∶ 8 ∶ 8 ∶ 3 > ⇒ 8 3 > 8 ben benarar ,, ,, adalah ssiisi--sisissii ssegiegitiga ⇒⇔ 8864 339 6488 ∴ 73 ≮ 64 bukan segitiga tumpul KPK3,5,∶8 ∶120 ∶ ∶ 40 ∶ 24 ∶ 1155 ,, 40,24,15 > ⇒ 2424 1515 ≯ 4040 bukan segitigaa KPK3,7,∶8 ∶168 ∶ ∶ 56 ∶ 24 ∶ 2211 KPK ,, 56,24,21 > ⇒ 2424 2121 ≯ 5656 bukan segitigaa bukan bilangan prima.
Jika garis tinggi ketiga adalah 3.
•
, jadi perbandingan sisi segitiga dengan
panjang sisi segitiga terpanjang
.
adalah
Periksa apakah dapat dibentuk segitiga? Misal berturut-turut segitiga harus memenuhi ketaksamaan segitiga berikut
adalah
, maka
Periksa juga apakah segitiga tumpul? Segitiga tumpul harus memenuhi ketaksamaan berikut
Jika garis tinggi ketiga adalah 5.
•
, jadi perbandingan sisi segitiga dengan panjang sisi segitiga terpanjang
adalah
.
Periksa apakah dapat dibentuk segitiga? Misal berturut-turut segitiga harus memenuhi ketaksamaan segitiga berikut
adalah
, maka
Jika garis tinggi ketiga adalah 7.
•
, jadi perbandingan sisi segitiga dengan panjang sisi segitiga terpanjang
adalah
.
Periksa apakah dapat dibentuk segitiga? Misal berturut-turut segitiga harus memenuhi ketaksamaan segitiga berikut
adalah
, maka
Jadi jelas bahwa panjang garis tinggi ketiga segitiga tersebut adalah
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 25 dari 36
Pembahasan Paket Soal Lain (1): Soalnya begini,
“Pada suatu segitiga tumpul, diketahui bahwa panjang garis tinggi terpanjang adalah 5 tersebut adalah ….”
dan panjang
salah satu garis tinggi lainnya adalah 2.
Jika diketahui bahwa garis tinggi ketiga, memiliki panjang bilangan prima, panjang garis tinggi Jika panjang garis tinggi terpanjang suatu segitiga adalah 5 dan panjang garis tinggi yang lain 2, maka panjang garis tinggi ketiga yang merupakan bilangan prima adalah 2 atau 3 atau 5. Akan diperiksa satu-persatu kasus tersebut
Jika garis tinggi ketiga adalah 2.
•
KPK2,2,∶5 ∶ 10 ∶ ∶ 5 ∶ 5 ∶ 2 KPK
, jadi perbandingan sisi segitiga dengan
adalah
.
panjang sisi segitiga terpanjang
,, 5,5,2 > ⇒ 5 2 > 5 ben benarar ,, ,, adalah ssiisi--sisissii ssegiegitiga ⇒ 55 22 55 ⇔∴ 25 249 ≮ 25 bukan segitiga tumpul KPK2,3,∶5 ∶ 30 ∶ ∶ 15 ∶ 10 ∶ 6 KPK ,, 15,10,6 > ⇒ 10 66 > 15 bebenarnar ,,,, adaadallah sisi-sisisi segittiiga ⇒ 1010 66 1515 225 benar segitiga tumpul ⇔ ∴ 100 1 3 6 6 KPK2,5,∶5 ∶ 10 ∶ ∶ 5 ∶ 2 ∶ 2 KPK ,, 5,2,2 > ⇒ 2 22 ≯ 5 bukan segitigaa 3. Periksa apakah dapat dibentuk segitiga? Misal berturut-turut segitiga harus memenuhi ketaksamaan segitiga berikut
adalah
, maka
Periksa juga apakah segitiga tumpul? Segitiga tumpul harus memenuhi ketaksamaan berikut
Jika garis tinggi ketiga adalah 3.
•
, jadi perbandingan sisi segitiga dengan
panjang sisi segitiga terpanjang
.
adalah
Periksa apakah dapat dibentuk segitiga? Misal berturut-turut segitiga harus memenuhi ketaksamaan segitiga berikut
adalah
, maka
Periksa juga apakah segitiga tumpul? Segitiga tumpul harus memenuhi ketaksamaan berikut
Jika garis tinggi ketiga adalah 5.
•
, jadi perbandingan sisi segitiga dengan
adalah
panjang sisi segitiga terpanjang
.
Periksa apakah dapat dibentuk segitiga? Misal berturut-turut segitiga harus memenuhi ketaksamaan segitiga berikut
adalah
Jadi jelas bahwa panjang garis tinggi ketiga segitiga tersebut adalah
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
, maka
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 26 dari 36
Pembahasan Paket Soal Lain (2): Soalnya begini,
“Pada suatu segitiga tumpul, diketahui bahwa panjang garis tinggi terpanjang adalah tersebut adalah ….”
7 dan panjang
salah satu garis tinggi lainnya adalah 4.
Jika diketahui bahwa garis tinggi ketiga, memiliki panjang bilangan prima, panjang garis tinggi Jika panjang garis tinggi terpanjang suatu segitiga adalah 7 dan panjang garis tinggi yang lain 4, maka panjang garis tinggi ketiga yang merupakan bilangan prima adalah 2 atau 3 atau 5. Akan diperiksa satu-persatu kasus tersebut
Jika garis tinggi ketiga adalah 2.
•
KPK2,4,∶7 ∶ 28 ∶ ∶ 14 ∶ 7 ∶ 4 KPK
, jadi perbandingan sisi segitiga dengan
adalah
.
panjang sisi segitiga terpanjang
Periksa apakah dapat dibentuk segitiga? Misal berturut-turut segitiga harus memenuhi ketaksamaan segitiga berikut
> ⇒ 7 44 ≯ 1414 bukan segitigaa
,,
adalah
14,7,4
, maka
Jika garis tinggi ketiga adalah 3.
•
, jadi perbandingan sisi segitiga dengan
panjang sisi segitiga terpanjang
KPK3,4,∶7 ∶ 84 ∶ ∶ 28 ∶ 21 ∶ 12 KPK
,, 28,21,12 > ⇒ 21 1212 > 28 bebenarnar ,, ,, adaadallah sisi-sisisi segittiiga 2828 ⇒⇔ 441 2121 112124444 784 ∴ 585 784 benar segitiga tumpul KPK4,5,7 140 KPK ∶ ∶ 35 ∶ 28 ∶ 2200 ∶ ∶ , , 35, 2 8, 2 0 > ⇒ 28 2020 > 35 bebenarnar ,, ,, adaadallah sisi-sisisi segittiiga ⇒⇔ 784 2828 420200000 1225 3535 ∴ 1184 1225 benar segitiga tumpul 3 dandan 5 . adalah
.
Periksa apakah dapat dibentuk segitiga? Misal berturut-turut segitiga harus memenuhi ketaksamaan segitiga berikut
adalah
, maka
Periksa juga apakah segitiga tumpul? Segitiga tumpul harus memenuhi ketaksamaan berikut
Jika garis tinggi ketiga adalah 5.
•
, jadi perbandingan sisi segitiga dengan panjang sisi segitiga terpanjang
adalah
.
Periksa apakah dapat dibentuk segitiga? Misal berturut-turut segitiga harus memenuhi ketaksamaan segitiga berikut
adalah
, maka
Periksa juga apakah segitiga tumpul? Segitiga tumpul harus memenuhi ketaksamaan berikut
Jadi jelas bahwa panjang garis tinggi ketiga segitiga tersebut adalah
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 27 dari 36
> 1 , , 1 1 1. 10 adalah …. 1 1 1 | 11 ∧ ∧ 1 1 |9∧10∧11 1 1 1 1 1 ⇒⇔ 1 1 311 3| > 1 3 2 ∙ 5 2 ∙ 5 2.
15. Misalkan suatu bilangan asli. Suatu bilangan asli asli sehingga dan
dikatakan
- jika terdapat bilangan
Diketahui bahwa terdapat tepat 32 bilangan Bilangan asli terbesar sehingga
- dengan salah satu diantaranya adalah 10.
membagi
Pembahasan: Misal, dan adalah bilangan bulat positif yang relatif prima memenuhi
Maka,
.
Padahal salah satu nilai adalah 10. Sehingga,
Sehingga,
,
,
, sehingga jelas
.
Diperoleh,
Sehingga,
, jadi untuk bilangan asli maka
Karena ada tepat 32 bilangan asli
, jadi
.
, maka ada tepat 33 faktor bulat positif dari d ari .
Ini sama halnya dengan kita mencari bilangan bulat kelipatan 10 yang tepat memiliki 33 faktor bulat positif. Dimana yang memenuhi adalah atau . Jadi, bilangan asli terbesar yang memenuhi adalah
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 28 dari 36
10 225
16. Misalkan
menyatakan himpunan semua bilangan asli yang dapat dituliskan sebagai
untuk suatu bilangan asli . Jumlah semua anggota
adalah ….
Pembahasan: Perhatikan,
102 2252 2 100 442 65 1010 22 65 2 } 2 1, 1, 3 , 1 1, 6 3 3} 3,11,63}3} |== 10103 2 3 65 2 1010 13 2233 65 10 10 112 112 |= = 11 2 9090 5 95 = 1010632 |= 632 6 3652 232610610 3 951611616611111 729729 .
Sehingga,
Diperoleh
haruslah faktor bulat positif dari 65. 5, 13, 65} maka 5,
.
Maka, bilangan asli yang memenuhi adalah
Sehingga,
Jadi, jumlah semua anggota
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 29 dari 36
Soal Uraian Terdiri dari 5 soal. Setiap soal yang dijawab benar bernilai maksimal 7 poin. Tidak ada pengurangan nilai. 1. Diberikan lima persegi kecil dan sebuah persegi panjang besar ini.
seperti pada gambar berikut
C
,,,
Dalam gambar tersebut, titik terletak pada sisi persegi panjang bahwa luas persegi kecil adalah 1 satuan, tentukan luas persegi panjang
. Jika diketahui
.
Pembahasan: Perhatikan gambar berikut
1 1 1 1 1 1 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
Mengingat
C
persegi panjang dan lima persegi kecil, misal
dan
, maka
.
∆∼∆ ∼ ∆ ∼ ∆ ∼ ∆ ∼ ∆ ∼ ∆ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 1 ∆ ≅ ∆ ∼ ∆ ∆ tan∠ ⇒ √ 5 cos∠ √ 5 si n ∠ ∠ tantan∠∠ √ 5 ⇒ √ 5 dan √ 5 √ 5 ⇒ √ 5 dan √ 5 [ ]] ∙ ∙ 225 √5 √5 25 √5∙ √5∙445 √5 95 √5√5∙∙ 45 √5 365 . .
Sehingga
.
Namun karena Perhatikan Karena
, jelas bahwa
.
, akibatnya
,
, akibatnya
Jelas bahwa
.
dan .
Juga diperoleh Sehingga, luas
.
.
adalah
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 30 dari 36
,2, 2 , , 2 2| 2| 2| 2| ⇒⇔22|| ⇔⇔ 22|| | 2 ∤ 1021 2020 2 2 | 2 | 2| 2| ⇒⇔ 22|| | ⇔ 2 2020 2| 2 ∤ 2 |2 ⇒ 2| 1021 |2 ⇒ 2| 2 2 ⇒ 2 ∎
2. Diberikan fungsi kuadrat dengan dan merupakan bilangan bulat. Misalkan dan adalah bilangan bulat berbeda sehingga dan habis membagi dan , tetapi tidak habis membagi dan juga tidak habis membagi . Tunjukkan bahwa habis membagi . Pembahasan: Perhatikan,
dan
, maka jelas bahwa
.
Sehingga,
Padahal,
Perhatikan juga,
, maka ada bilangan bulat dan
sehingga
.
, maka jelas bahwa
.
Sehingga,
Padahal,
Sehingga, karena Jadi, jelas bahwa
, maka ada bilangan bulat
sehingga
dan
.
.
(terbukti). (terbukti).
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 31 dari 36
3. Tentukan semua bilangan irasional merupakan bilangan rasional.
2020 2200 202020 11 202020
sehingga
dan
202020 2020 2201 2020 020 ≡≡ 2022020200 2020 020 202 20 2 020 0 ≡ ≡ 2 0 ⇔ 20220200 ≡ 4 40000 20 2020 400 ⇒ 1620 20 20 201620 1620 32400 ⏟ 2020 2020 3232400400 ≡ 20 1620 1620 2 20 2020 16162020 ≠ 0 2 20 20 1620 0, 20 116620 0 ⇒⇔ 20 10020 1720 1620 ⇔⇔ 1 1010 1720 ± 1 1720 720 √ ⇔⇔ 10 ±21√ 04304±302√ 430430
Pembahasan: Perhatikan, jika Begitu juga jika
rasional, maka
keduanya
juga rasional.
rasional, maka
Untuk dan rasional, maka jelas bahwa
juga rasional.
dan
Perhatikan juga bahwa banyak di ruas kiri dan kanan terjadi maka
juga rasional.
, jelas bahwa agar kesamaan suku
.
Sehingga,
Dengan kesamaan suku banyak diperoleh,
Sehingga diperoleh
Untuk memeriksa apakah penyelesaian bilangan irrasional , maka ada dua kasus yang bisa diamati d iamati
Jika
•
, maka rasional, sehingga adalah rasional. Hal ini tentunya t entunya kontradiksi dengan pernyataan soal bahwa irrasional.
Jika
•
maka diperoleh maka
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 32 dari 36
, , , ,
4. Diketahui segitiga tidak sama kaki dengan garis tinggi dan dan . Misalkan dan berturut-turut titik pada dan sehingga tegak lurus dan tegak lurus Garis dan berpotongan di titik . Definisikan dengan cara yang sama titik dan Buktikan bahwa dan kolinear. dan
. .
Pembahasan: Perhatikan,
∠ ∠ | | ∆ ∼ ∆ c o os s ⇒ sin90° 0° sin90°90° cos s i n cos cos cos 90° 90° ∙ cos90°90° sin Perhatikan
dan .
sehingga
maka
Perhatikan aturan sinus pada segitiga
∠ ∠
Dengan trigonometri pada segitiga
dan segitiga
diperoleh
sin sin ⇒ sisinn ∙ ∙ ∙ 1 ⇒ ∙ ∙ 1 ∙ 1 ⇔ ∙ ∙ cos cos ⇔ ∙ ∙ 1 ⇔ ∙ 1
Padahal, dari aturan sinus pada segitiga
diperoleh
Sehingga,
Dengan dalil Menelause pada segitiga
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
dan
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 33 dari 36
Perhatikan gambar di bawah, dengan cara yang sama, akan diperoleh
∙ 1 ∙ 1
Perhatikan juga Converse of of Menelaus Theorem: Theorem:
, , ,, , , ∙ ∙ 1
Apabila pada segitiga terdapat tiga titik masing-masing pada sisi (atau perpanjangan) sedemikian sehingga 1 atau tiga titik tersebut berada di adalah segaris jika dan hanya jika memenuhi perpanjangan sisi, maka titik
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 34 dari 36
Sehingga, dengan mengalikan tiga persamaan yang sebelumnya maka diperoleh
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 1 ⇔ ⏟ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 1 ⇔ , , ∙ ∙ 1 ∎
Jadi, terbukti bahwa
segaris (kolinear).
Pembahasan KSNP Matematika SMA 2020 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
Last update 24/06/2021 07.21
Halaman 35 dari 36
5. Di suatu kota, anak mengikuti kompetisi matematika dengan nilai total berupa bilangan bulat non-negatif. Misalkan bilangan bulat positif. Untuk setiap anak , ia mendapatkan:
(i) buah permen untuk setiap poin yang diperolehnya, dan (ii) Untuk setiap anak lain yang nilainya lebih tinggi dari , maka mendapatkan 1 buah permen untuk setiap poin selisih dari nilai dan .
Setelah semua permen dibagikan, ternyata tidak ada anak yang memperoleh permen lebih sedikit dari Badu, dan ada anak yang memperoleh nilai lebih tinggi dari Badu. Tentukan semua nilai
nilai Permen Permen |ninilai > nilai} Permen ∙ n i l a i Permen 1 ∙ ∑∈∈ nilai nilai Permen Permen ∙ni∙ nilaiai 1 ∙ nniilai nilai Permen | || ∙nil∈∈ai ∈∈niPermen lPermen ai | | Permen Permen | | ∙nilai ∈∈ nilai ∙nilai ∈∈ nilai 0 ni l a i > ni l a i ⊆ yang mungkin.
Pembahasan: Perhatikan, dari siswa dengan bulat positif untuk setiap siswa . Misal, adalah banyak permen yang diperoleh siswa , dan adalah nilai yang diperoleh siswa , serta adalah himpunan anak lain yang nilainya lebih tinggi dari , maka menurut informasi dari soal, untuk setiap anak , ia mendapatkan
(i) (ii)
Sehingga, banyak permen total yang diperoleh anak adalah
Setelah semua permen dibagikan, ternyata
adalah minimum dan
.
Kita bagi kasus menjadi dua yaitu
Jika
•
, anggap nilai Badu maksimal. Maka, ada sehingga .
, akan dipilih agar
dimana
seminimal mungkin.
Permen Permen ∈ |||ni∙nlailai ∈∈nilai ⏟
View more...
Comments
