Peluang Bersyarat Dan Bebas Stokastik

II.

2.0

PELUANG BERSYARAT BERSYARAT DAN BEBAS STOKASTIK 

Pendahuluan D

alam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai bahwa suatu kejadian tidak tunggal, tetapi mungk mungkin in diju dijump mpai ai beber beberapa apa kejad kejadia ian n yang yang satu satu dengan dengan yang yang lain lain mungk mungkin in sali saling ng mempengaruhi atau yang satu dengan yang lain saling bebas. Demikian juga ada kejadian yang terjadinya terjadi setelah kejadian lain terjadinya diketahui. Pada bab ini akan dibahas tentang peluang bersyarat, teorema Bayes, distribusi marginal, distribusi bersyarat, bebas stokastik, kovarians, dan korelasi. k orelasi.

2.1

Peluang Bersara!

Misalkan A dan B kejadian yang terjadinya bersama-sama dengan kejadian B diketahui terjadinya terlebih dahulu. Peluang terjadinya A jika diketahui B terjadi dahulu disebut peluang bersyarat, yang dinotasikan P ( A  B !. De"#n#s# 2.1

"ika A dan B dua kejadian yang terjadi bersama-sama maka peluang terjadinya A dengan syarat B yaitu

P(A ∩ B! P(B!

.

Dari pengertian kejadian yang saling bebas berarti jika A dan B dua kejadian yang saling bebas maka P ( A  B ! # P ( A ! maka dengan menggunakan de$inisi %.& didapat hubungan P ( A ∩ B ! # P ( A ! . P ( B !

Te$re%a Baes

&'

"ika &, )))))., m kejadian yang saling lepas dan  adalah kejadian yang merupakan subset dari union &, )))))., m  maka P ( i ! P (    i ! &. P (  ! # ∑  , i # &, %, )))., m i

%. P ( i   ! #

2.2

P ( i ! P (   i ! P(!

D#s!r#&us# 'arg#nal dan Bersara!

Misalkan $ ( *,y ! merupakan $kp bersama dari peubah a+ak  dan  maka $kp marginal dari  adalah $ ( *, y ! $(*!# ∑ y

, untuk kasus diskret

$ ( *, y ! dy # y∫  , untuk kasus kontinu

edangkan $kp bersyarat dari  jika  # y diketahui adalah $ ( *y ! #

$ ( *, y ! $(y!

Ada kalanya diinginkan untuk mengetahui nilai  jika  # * diketahui. /al ini dapat ditentukan dengan menghitung nilai mean bersyarat yaitu 0 (   * ! yang y $ (y  * ! dide$inisikan 0 (   * ! # ∑ y

, untuk kasus diskret

y $ ( y  * ! dy # y∫   , untuk kasus kontinu

dan varians bersyarat var (   * ! # 0 1 2  - 0 (   * ! 3 %  * 4

2.(

K$e"#s#en K$relas#

Banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari bahwa peubah a+ak yang satu dengan yang lain mungkin saling mempengaruhi atau tidak. Misalkan peubah a+ak  dan  masing-masing mempunyai mean µ& dan µ% serta varians σ&% dan σ%%, maka (  ! - µ&µ% disebut kovarians dari  dan , yang dinotasikan dengan

0 +ov

(  ,  ! , sedangkan koe$isien korelasi dari  dan  dinotasikan ρ yang dide$inisikan

ρ #

+ov (  , - ! σ &σ  %

&5

Te$re%a 2.1

 6ilai koe$isien korelasi dari peubah a+ak  dan  adalah - & ≤ ρ ≤ &.

7ntuk dua peubah a+ak  dan  yang mempunyai $kp bersama $ ( * , y ! dapat ditentukan $ungsi pembangkit momennya yang dide$inisikan 0 ( et* 8 sy ! dengan

-

h 9 t 9 h dan - k 9 s 9 k, untuk h kan k bilangan bulat positi$.

2.)

Be&as S!$*as!#* 

Misalkan  dan  dua peubah a+ak yang mempunyai $kp bersama $ ( * , y ! dan $kp marginal masing - masing $ ( * ! dan $ ( y !. Dari de$inisi distribusi bersama

$ 

( * , y ! # $ ( *y! $ ( y ! dan misalkan $ ( *  y ! tidak tergantung dari y maka didapat $(*,y!#$(*!$(y!

De"#n#s# 2.2

Misalkan  dan  dua peubah a+ak yang mempunyai $kp bersama $ ( * , y ! dan $kp marginal dari  adalah $ ( * ! dan marginal dari  adalah $ ( y !. Peubah a+ak  dan  dikatakan saling bebas stokastik jika $ ( * , y ! # $ ( * !. $ ( y !

Te$re%a 2.2

"ika  dan  peubah a+ak yang bebas stokastik dengan $kp marginal $ ( * ! dan

$ 

( y ! maka P ( a 9  9 b , + 9  9 d ! # P ( a 9  9 b ! P ( + 9  9 d ! untuk setiap a 9 b dan + 9 d, dengan a, b, +, dan d konstanta.

Te$re%a 2.(

 Misalkan peubah a+ak  dan  mempunyai $kp bersama $ ( * , y !. Maka  dan   bebas stokastik jika dan hanya jika

$ ( * , y ! dapat dinyatakan sebagai hasil

 pergandaan $ungsi non negati$ dari * dan $ungsi non negati$ y, yaitu (*,y!#g(*!.h(y!

&:

$ 

S$al + s$al la!#han ,

&. "ika P ( &  ! ; < dan jika % , =, )..

saling lepas maka buktikan

P (% ∪ = ∪ ))..  & ! # P ( %  & ! 8 P ( =  & ! 8 )))) %. Misalkan  dan  mempunyai $kp bersama $ ( * , y ! # * 8 y , < 9 * 9 & dan

<

9 y 9 & , dan nol untuk yang lain. >entukan mean dan varians bersyarat dari  jika diberikan  # * , < 9 * 9 &. =. Misalkan $ ( *  y ! # +*  y % , < , * 9 y , < 9 y 9 & , dan nol utnuk yang lain , dan $  ( y ! # d y ? , < 9 y 9 & ,dan nol untuk yang lain masing -masing merupakan $kp  bersyarat dan $kp marginal. >entukan a. konstanta + dan d  b. $kp bersama antara  dan  +. P ( @ 9  9    # : ! d. P ( @ 9  9  ! ?. Misalkan $ ( * , y ! # %& ( * y ! % , < 9 * 9 y 9 & , dan nol untuk yang lain merupakan $kp bersama antara  dan . >entukan mean dan varians bersyarat dari  jika  # y , < 9 y 9 &. . "ika  dan  adalah peubah a+ak tipe diskret yang mempunyai $kp bersama

$ 

( * , y ! # ( * 8 % y !  &: , ( * , y ! # ( & , & ! , ( & , % ! , ( %, &! , ( % , % ! , dan nol untuk yang lain. >entukan mean dan varians bersyarat dari  jika diberikan  # * untuk * # & atau %. '. Misalkan  dan  mempunyai $kp bersama a. $ ( * , y ! # &= , ( * , y ! # ( < , < ! , ( & , & ! , ( % , % ! , dan nol untuk yang lain  b. $ ( * , y ! # &= , ( * , y ! # ( < , % ! , ( & , & ! , ( % , < ! , dan nol untuk yang lain +. $ ( * , y ! # &= , ( * , y ! # ( entukan koe$isisen korelasi dari peubah a+ak  dan  5. Misalkan $ ( * , y ! # % , < 9 * 9 y , < 9 y 9 & , dan nol untuk yang lain merupakan $kp bersama dari  dan  . Buktikan 0 (   * ! # ( & 8 * !  % , < 9 * 9 & dan 0 (   y ! # y  % , < 9 y 9 & , dan koe$isien korelasi antara  dan  adalah .

&C

:. Misalkan  dan  mempunyai $kp bersama $ ( * , y ! # & , -& 9 y 9 * , < 9 * 9 & dan nol untuk yang lain. Buktikan 0 (   * ! merupakan garis lurus dan 0 (   y !  bukan merupakan garis lurus. C. Buktikan peubah a+ak  dan  yang mempunyai $kp bersama

$ 

( * , y ! # &% *y ( & - y ! , < 9 * 9 & , < 9 y 9 &, dan nol untuk yang lain merupakan independen stokastik. &