Pedro Abellanas Elementos Matematica

ELEMENTOS DE

MATEMÁTICA POR

PEDRO

ABELLANAS

CATEDRÁTICO DE LA UNIVERSIDAD DE MADRID

DECIMOTERCERA EDICIÓN

M A D R I D

COPYRIGHT

BY

THE

AUTHOR

1973

Depósito Legal: VI. 1-1975 I.S.B.N. 8 4 - 4 0 0 - 8 1 8 6 - 3 Heraclio Fournier, S.A. - H. Fournier, 19 - Vitoria

A la memoria de mis padres

PROLOGO A LA CUARTA EDICIÓN Esta edición es una reelaboración total de la anterior. Hemos sentido la necesidad de redactar casi completamente de nuevo este libro por dos razones fundamentales. En primer lugar, estimamos que las metas que nos habíamos propuesto al redactar la segunda edición han sido ya superadas y que era preciso señalar nuevos objetivos en este curso de carácter propedéutico. Por otro lado, queríamos ofrecer un libro en el que el lector participase de un modo más activo. Por ello, presentamos en esta edición un desarrollo más completo y orgánico del álgebra lineal elemental y de la teoría de la integración de funciones de una variable real y hemos ampliado notablemente el número de ejercicios, presentando, en el segundo volumen de esta obra, las soluciones detalladas de los mismos. La experiencia nos ha enseñado que la única forma de llegar a asimilar las ideas es el manejarlas en casos sencillos; por ello, hemos procurado proponer algunos ejercicios inmediatamente después de cada definición de un nuevo concepto, con objeto de que el lector llegue a darse cuenta del significado de la definición antes de proceder a obtener propiedades o consecuencias de ella. Las soluciones a los ejercicios tienen como finalidad orientar al lector sobre el modo de manipular con los conceptos introducidos en el texto; por ello, recomendamos encarecidamente que la consulta a las soluciones se haga después de que el lector haya resuelto él ejercicio o, por lo menos, haya intentado seriamente resolverlo. Es preciso tener presente que la labor de asimilación de ideas debe hacerla cada lector de un modo estrictamente personal y que el esfuerzo que realice por contestar a las cuestiones propuestas en los ejercicios es el fruto que realmente conseguirá con su estudio. Es un error pensar que se avanza en el estudio de una disciplina cuando se consigue retener en la memoria una gran cantidad de conocimientos de ella. Si no se ha aprendido, a maneiarlos, dichos conocí-^ mientos quedan reducidos en la mente del lector a palabras sin sentido. Es evidente que el estudio bien hecho es más lento que el proceso de retener palabras en la memoria, pero debe convencerse el lector de que esto último no sirve para nada. Entre las ampliaciones introducidas en esta nueva edición figura el producto tensorial de vectores, el concepto de tensor y el producto exterior de vectores. Creemos que estos conceptos, en su aspecto utilitario, deben pasar

VIII

raÓLoco

a un curso de nivel propedéutico de la enser.ansa superior. Sin embargo, el desarrollo que se ha hecho en el texto es completo, en su parte elemental. No obstante, el lector que no aspire a ser matemático puede prescindir de todas las demostraciones y limitarse a aplicar los conceptos a los ejercicios propuestos. La redacción del texto se ha efectuado de modo que pueda desarrollarse un curso prescindiendo totalmente del estudio de los mencionados temas, por lo que figuran en él dos versiones de la teoría de determinantes. Algo análogo sucede con el estudio de las formas cuadráticas, de que también puede prescindirse, salvo de las primeras definiciones, para continuar con la teoría de cónicas y cuádricas. Tampoco es necesario en un curso normal seguir todo el detalle de la topología de la recta real o del espacio euclídeo, así como del desarrollo del concepto de integral. Podría pensarse que, no siendo necesarias en una primera lectura, o en un curso normal las demostraciones de la mayor parte de los teoremas que figuran en esta obra, deberían haberse suprimido de ella. Esto, aparte de romper la unidad científica que creemos debe tener todo libro de matemática, sería poco formativo para el lector al privarle de poder conocer la interdependencia de los diversos conceptos que se introducen, y esta curiosidad debe producirse en todo lector que realmente haya llegado a asimilar las ideas. El problema de la enseñanza, en cualquiera de *as niveles, es esencialmente un problema de selección. La ciencia y la técnica actuales han alcanzado un grado de desarrollo extraordinario y el preparar al futuro científico o técnico exige una preocupación por la sistematización y reducción de conceptos, pues de otro modo no se llegaría a situar a las nuevas generaciones en condiciones de utilizar los conocimientos adquiridos por el pensamiento humano hasta nuestros días. Como consecuencia, es preciso una renovación constante de los cursos y un descenso a niveles inferiores de conceptos o teorías que figuraban en estadios más avanzados de los estudios. Como es natural, esto exige prescindir de cuestiones que no tengan una gran vitalidad, aun cuando hayan figurado durante muchas generaciones en los planes de estudio. Conseguir actualizar un curso básico de matemática ha sido nuestro principal objetivo al redactar esta nueva edición. Si con este trabajo consiguiéramos colaborar a mejorar la formación de nuestros futuros científicos y técnicos nos sentiríamos altamente recompensados de nuestro esfuerzo. Madrid, 15 de octubre de 1965.

ÍNDICE POR MATERIAS PRIMERA PARTE

ALGEBRA

LINEAL

CAPITULO PRIMERO ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BÁSICAS Páginas § 1. Teoría de conjuntos: 1. Conjuntos 2. Algebra de las partes de un conjunto

1 6

§ 2. Producto de conjuntos. Aplicación. Función. Relación: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Producto de conjuntos Relaciones. Correspondencias. Transformaciones. Funciones Relación de igualdad. Clasificación. Conjunto cociente Aplicaci nes o funciones uniformes Relaciones de orden. Orden total. Buena ordenación. Lema de Zorn ... Terminología y notaciones de la, lógica matemática

16 18 24 28 33 42

§ 3. Grupos: 1. 2. 3. 4. 5.

Grupoides y semigrupos Grupos. Subgrupos Homomorfismos. Isomorfismos Grupos Grupos abelianos

.......

finitos

48 53 60 66 68

§ 4. Anillos: 1. Anillos. Subanillos 2. Homomorfismos entre anillos. Isomorfismos 3. Anillos enteros. Ideales primos. Anillos euctideos

73 75 80

§ 5. Cuerpos: 1. Cuerpo de fracciones de un anillo entero 2. El cuerpo de los números racionales 3. El cuerpo de fracciones de un anillo de polinomios

86 88 91

X

ÍNDICE POü MATERIAS

Páginas

CAPITULO SEGUNDO EL

ESPACIO

VECTORIAL

§ 1. El espacio vectorial: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Definiciones Concepto de vector libre El cuerpo de las razones de segmentos El espacio vectorial de los vectores libres Espacio vectorial. Dependencia lineal Homomorfismos entre espacios vectoriales Homomorfismo natural. Primer teorema de isomorfia Operaciones con homomorfismos Espacio dual de un espacio vectorial Producto tensorial de vectores. Tensores Producto exterior de vectores. Multivectores. Determinantes Ecuaciones de los homomorfismos entre espacios vectoriales. Operaciones con homomorfismos

99 101 105 119 124 140 142 149 155 158 168 185

§ 2. Matrices. Cálculo con matrices: 1. 2. 3. 4.

Operaciones lineales con matrices Multiplicación de matrices. Transposición Determinante de una matriz cuadrada Matriz inversa de una matriz cuadrada

194 197 204 209

§ 3. Sistemas de ecuaciones lineales. Eliminación lineal: 1. 2. 3. 4. 5.

Definiciones. Regla de Cramer Rango de una matriz. Dependencia lineal de vectores Teorema de Rouché-Fróbenius Sistemas lineales homogéneos Variedades lineales en el espacio vectorial. Eliminación en sistemas homogéneos 6. Variedades lineales en el espacio afín. Eliminación en sistemas no homogéneos

212 214 220 223 227 232

CAPITULO TERCERO EL

ESPACIO

EUCLIDEO

§ 1. El plano afín: 1. 2. 3. 4. 5.

La recta afín El plano afín Ecuación de la recta en el plano. Incidencia en el plano Ecuación implícita de una recta. Incidencia en el plano Intersección en el plano ...

240 243 248 251 257

X!

ÍNDICE POR MATERIAS

Páginas 6. 7.

Semiplanos. Figuras convexas Orientación del plano afín

261 268

§ 2. El espacio afín: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

El espacio afín ordinario Coordenadas cartesianas en el espacio afín Ecuación cartesiana del plano Ecuaciones cartesianas de la recta Incidencia en el espacio Intersección en el espacio Coordenadas afines en el espacio Semiespacios. Figuras convexas Orientación en el espacio afín

...

271 273 275 278 280 282 291 293 295

§ 3. El espacio vectorial euclídeo ordinario: 1. 2. 3.

Multiplicación escalar de dos vectores libres Multiplicación vectorial de dos vectores libres Producto mixto de tres vectores

297 300 303

§ 4. El espacio euclídeo: 1. 2. 3.

El plano euclídeo El espacio euclídeo Programación lineal

•.

305 316 329

CAPITULO CUARTO FORMAS CUADRÁTICAS. CÓNICAS. CUADRICAS § 1. Formas bilineales. Formas cuadráticas: 1. Formas bilineales 2. Formas cuadráticas ., 3. Descomposición de Witt de un espacio vectorial cuadrático. Signatura ... 4. Cálculo del rango y de la signatura de una forma cuadrática real

339 345 352 359

§ 2. Cónicas: 1. 2. 3. 4.

Cónicas. Reducción de la ecuación de una cónica Invariantes métricos de una cónica Estudio particular de las cónicas Clasificación afín y métrica de las cónicas

361 365 367 371

§ 3. Cuádricas: 1. 2. 3. 4.

Cuádricas. Ecuaciones reducidas Invariantes métricos de las cuádricas Reducción de la ecuación de una cuádrica Clasificación afín de las cuádricas ;

:

373 382 384 385

XII

ÍNDICE POR MATERIAS

Páginas

SEGUNDA PARTE

ANÁLISIS

INFINITESIMAL

CAPITULO QUINTO TOPOLOGÍA D E L C U E R P O D E L O S N Ú M E R O S R E A L E S . FUNCIONES CONTINUAS

§ 1. El número real: 1. 2. 3. 4.

Topología en el cuerpo de los números racionales El cuerpo de los números reales Topología del cuerpo de los números reales iLa función exponencial real

393 403 407 424

§ 2. Sucesiones y series de números reales: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Sucesiones de números reales Series de números reales. Definiciones Series de términos positivos Criterios de convergencia para las series de términos positivos Series de términos reales cualesquiera , Sumación de series

436 444 450 452 458 464

§ 3. El número complejo: 1. El cuerpo de los números complejos 2. Potenciación de los números complejos 3. Topología en el cuerpo de los números complejos

467 477 481

§ 4. Topología del espacio euclídeo: 1. El espacio euclídeo 2. Funciones entre espacios euclídeos. Límites 3. Funciones continuas de variables reales

484 487 498

CAPITULO SEXTO CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIABLES REALES § 1. Diferenciales y derivadas: 1. 2. 3. 4.

El problema del cálculo diferencial Diferencial de una función de una variable real Diferencial de una aplicación A->• E ^ Diferenciales de las funciones elementales

506 508 511 520

XUI

ÍNDICE POR MATERIAS

Páginas

§ 2. Estudio local de las funciones de variables reales: 1. 2. 3. 4. 5.

Diferenciales sucesivas de una aplicación Teorema del valor medio El teorema de Taylor Sucesiones funcionales Series funcionales

524 529 536 543 546

§ 3. Funciones implícitas e inversas: 1. 2. 3. 4.

Diferencial parcial de una aplicación Teorema de existencia de funciones implícitas Máximos y mínimos condicionados Cambio de variables

558 561 569 572

CAPITULO SÉPTIMO CALCULO

NUEEBieO

§ 1. Resolución de ecuaciones: 1. Ecuaciones algebraicas. Relaciones entre las raíces y los coeficientes de un polinomio 2. Resultantes 3. Eliminación 4. Raices racionales de una ecuación 5. Separación de las raíces irracionales 6. Cálculo de las raíces reales de una ecuación

576 578 580 581 581 584

§ 2. Cálculo numérico: 1. 2. 3. 4.

Interpolación Funciones implícitas Ajuste de ítmciones Nomografía

586 596 599 609

CAPITULO OCTAVO CURVAS

Y

SUPERFICIES

§ 1. Curvas: 1. Concepto de curva. Tangente 2. Puntos singulares de las curvas definidas en forma explícita

616 619

XIV

ÍNDICE POR MATERIAS

Páginas 3. 4. 5. § 2.

Fórmulas de Frénet Curvas planas Curvas planas definidas implícitamente

621 627 633

Superficies: 1. Superficies. Definición. Plano tangente 2. Superficies en forma implícita. Curvas en forma implícita 3. Superficies regladas 4. Superficies de rotación y de traslación

CAPITULO

641 645 649 653

NOVENO

INTEGRACIÓN § 1. Integrales indefinidas: 1. Extensión del concepto de diferencial. Integral indefinida 2. Integrales inmediatas 3. Integración por descomposición y cambio de variable 4. Integración por partes 5. Integración de funciones racionales 6. Racionalización de funciones

...

656 658 659 661 663 665

§ 2. Integral de Riemann: 1. Integrales de Darboux 2. Limites filtrantes 3. Integral de Riemann 4. Propiedades de la integral de Riemann 5. Integral de Riemann-Stieltjes 6. Propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes

....

668 671 672 675 682 688

Convergencia de integrales con un límite de integración infinito ... ... •.. Convergencia de integrales con integrando no acotado ... ... Integrales dependientes de un parámetro Integración de serjes funcionales

692 698 702 711

§ 3. Convergencia de integrales. Integración de series funcionales: 1. 2. 3. 4.

§ 4. Aplicaciones geométricas de la integral definida: 1. Cálculo de áreas de figuras planas 2. Longitud de un arco de curva 3. Área de una superficie de rotación 4. Volumen de un cuerpo de rotación 5. Cálculo numérico de integrales ÍNDICE ALFABÉTICO

715 720 723 724 725 729

PRIMERA

ALGEBRA

PARTE

LINEAL

CAPITULO P R I M E R O

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BÁSICAS

§ 1. TEORÍA DE CONJUNTOS 1. Conjuntos.—El concepto de conjunto es un concepto primitivo, esto significa que no se define. Ahora bien, admitiremos que todos los conjuntos que en lo sucesivo empleemos son tales que se pueda averiguar si un objeto dado pertenece o no pertenece al conjunto. Ejemplos de conjuntos: a) El conjunto de las hojas de este libro, b) El conjunto de los alumnos de la Universidad de Madrid, c) El conjunto de los números naturales, d) El conjunto de los puntos de una recta, e) El conjunto de las funciones continuas en un intervalo, f) El conjunto de las velocidades de todos los puntos de un sólido rígido en movimiento en un instante dado, g) El conjunto de los dias: lunes, miércoles, viernes. Obsérvese que en todos los ejemplos anteriores se puede, por lo menos teóricamente, averiguar si un objeto pertenece o no al conjunto. Cada una de las hojas de este libro es un elemento del conjunto definido en a). El miércoles es un elemento del conjunto definido en g). Nombre el lector un elemento de cada uno de los restantes conjuntos. Sin embargo, las siguientes proposiciones no definen conjuntos: a') Los días que va a vivir el lector de estas líneas, b') Los números naturales que se pueden definir empleando menos de cien palabras del diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, c') Las longitudes de los diámetros de las gotas de agua de las lluvias que se producirán mañana en toda la tierra. NOTACIONES.—1. A los conjuntos los representaremos por letras mayúsculas, o bien encerrando a todos sus elementos entre llaves. Así, por ejemplo, diremos: conjunto A, C, M, X o bien conjunto {a, b, c, d, e}, conjunto {lunes, miércoles, viernes}. Cuando no se pueden escribir todos los elementos se emplea la siguiente notación: {x | x = 3}, que se lee: conjunto de todos

2

§ 1,

TEORÍA DE CONJUNTOS

[Capítulo 1}

los números x tales que x es múltiplo de tres. A veces conviene emplear una notación más breve para un conjunto y se escribe:

en donde el signo = debe interpretarse en el sentido de que A y {x \ x = 3} son dos notaciones del mismo conjunto. EJERCICIOS :

1. Representar mediante dos notaciones distintas los siguientes conjuntos: a) b) c) d)

Conjunto de las vocales. Conjuntos de las raíces del polinomio x2 + 2 x — 3. Conjunto de los segmentos iguales al segmento A B. Conjunto de los números enteros comprendidos entre — 3, 5 y + 3, 5.

2. Nombrar un elemento de cada uno de los conjuntos del ejercicio anterior.

Los elementos de un conjunto se dice que pertenecen al conjunto, lo que se expresa mediante el signo €, que se lee: pertenece a. Así, por ejemplo: o€ A se lee: el elemento a pertenece al conjunto A. Si el elemento b no pertenece al conjunto A. se escribe: b$ A. DEFINICIÓN 1.—Se dice que el conjunto A es un subconjunto, o una parte, del conjunto B, y se escribe:

AcB,

cuando todo elemento que pertenece al conjunto A pertenece también al conjunto B. La relación representada por el símbolo c se llama relación de inclusión. Si A no es parte de B se escribe: Ac£B. EJERCICIO :

3, Escribir, si existen, las relaciones de inclusión entre los siguientes conjuntos: a) A = {conjunto de todos los perros}, B = {conjunto de todos los perros blancos}. b) A — {conjunto de todos los triángulos isósceles}, B = {conjunto de todos los triángulos equiláteros}.

1.

3

CONJUNTOS

c) A = {conjunto de todos los rectángulos}, B = {conjunto C = {conjunto de todos los cuadrados}.

de todos los rombos},

d) N = {conjunto de todos los números naturales}, Z = {conjunto de los números enteros}, Q =s {conjunto de los números racionales}. e) A = { * | * = 4 } ,

B = {*|*

= 6}.

f) A = {conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de P y Q}, B = {conjunto de todos los puntos del plano que pertenecen a la perpendicular al segmento P Q en