PDF-syllabus Berekening Van Bouwkundige Constructies I

Berekening van Bouwkundige Constructies I Prof. Dr. ir. Rudy Van Impe

Vakgroep Bouwkundige Constructies TW14 Technologiepark 904 B 9052 Zwijnaarde tel.: +32 (0)9 2645473 fax.: +32 (09) 2645838 email: [email protected]

ii

Woord vooraf De doelstellingen van onderhavig werk zijn omvangrijk. Het kunnen bepalen en begrijpen van de krachtwerkingen in en de vervormingen van een constructie onder een gegeven belasting is immers een onmisbare schakel in de algemene vorming van een burgerlijk bouwkundig ingenieur. Een grondige en gedetailleerde studie van het mechanische gedrag van constructieve componenten en van hun integratie in bouwwerken is een noodzakelijke precursor om de ordening in het bouwtechnisch denken van de creatieve ontwerper ten volle te begrijpen en om zinvolle beslissingen met betrekking tot het veel ruimere, complexe ontwerpgebeuren te kunnen maken. Precies daarom wordt het constructieve gedrag van een aantal belangrijke draagsystemen onder een gegeven belasting afzonderlijk besproken, zelfs al evolueert het eigenlijke ontwerpproces niet in deze sequentie. Accenten worden geplaatst op berekeningsmethoden waarmee men de responsie van de constructie verklaart, op belastingen, op constructieve componenten en hun interagerende rol. Om de doelstellingen concreet gestalte te geven worden de volgende onderwerpen behandeld: In “Draagsystemen en belastingen” wordt een bouwwerk bestudeerd als een constructie die de belastingen kanaliseert naar de grond. Daartoe zijn draagsystemen nodig die bij wijze van algemene introductie kort worden beschreven. Tijdens de levensduur van het bouwwerk zijn de belastingen, waarmee de bouwkundige ingenieur bij het ontwerp rekening moet houden, van velerlei aard. Een classificatie van die inwerkingen wordt aangereikt om de student in een vroeg stadium daarmee vertrouwd te maken. Een bouwkundige constructie moet veilig, standzeker, bruikbaar en duurzaam zijn. Om aan die “Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden” tegemoet te komen, worden nationale en internationale voorschriften uitgevaardigd. Op Europees vlak heeft men de laatste decennia getracht om een harmonisch geheel van normen, de zogeheten Eurocodes, uit te werken. De methode die daarbij gevolgd wordt is ten dele deterministisch, ten dele probabilistisch; ze wordt semi-probabilistisch genoemd. Die berekeningsfilosofie neemt in de praktijk een prominente rol in. Het statische evenwicht van een bouwkundige constructie moet te allen tijde verzekerd kunnen worden. In “Evenwicht van de vervormbare constructie” wordt aangeleerd op welke wijze het krachtenspel van een vervormbare constructie in evenwicht kan geanalyseerd worden. Eén van de meest fundamentele principes om het evenwicht te bestuderen is het beginsel van de virtuele arbeid. Het is onafhankelijk van de gebruikte materialen en kan ook toegepast worden om kleine verplaatsingen te begroten. In “Bijzondere aspecten van de balkentheorie” worden belangrijke thema’s die voor de ontwerper van groot praktisch nut zijn, aangesneden. Er wordt dieper ingegaan op het bestuderen van spanningsverdelingen in lijnvormende elementen die het gevolg zijn van scheve en samengestelde buiging, van dwarskracht en van wringing. Op druk belaste slanke staven kunnen falen door instabiliteit. Vele vormen van instabiliteit doen zich in de praktijk voor. Om ze te bestuderen ontwikkelt men een niet-lineaire theorie waarbij men de evenwichtsvergelijkingen op de vervormde stand van het lichaam betrekt. In dit hoofdstuk wordt kennis gemaakt met de meest gekende en fundamentele vorm van instabiel gedrag. Bij het dimensioneren van een constructie-element is het noodzakelijk om het maximale effect van bepaalde soort in een doorsnede van een elastische constructie te

iii begroten. “Invloedslijnen” zijn daartoe een nuttig instrument en in het gelijknamige hoofdstuk wordt uiteengezet hoe men ze voor statisch bepaalde en hyperstatische spanningsresultanten en voor veralgemeende verplaatsingen berekent. Wanneer balken en kolommen met elkaar verenigd worden, ontstaan draagsystemen die uit de dagelijkse praktijk niet weg te denken zijn. Er bestaan zeer zeker talrijke berekeningsmethoden om het krachtenspel in raamwerken of stijl- en regelwerken te analyseren, en er zijn ongetwijfeld nog meer, op die methoden geënte softwareprogramma’s ontwikkeld om het te becijferen. Omwille van haar eenvoud, haar vermogen tot inzichtverwerving en omwille van het feit dat haar principes in talloze vakliteratuur en normdocumenten doorsijpelen, kan een diepgaande studie van de “Methode van Gehler” in dit werk niet ontbreken. “Driehoeksvakwerken” zijn vaak gebruikte constructiesystemen. Men treft ze aan in gebouwen, bij civieltechnische toepassingen en in de bruggenbouw. Een betrekkelijk kort hoofdstuk zet uiteen hoe ze samengesteld worden en op welke manier ze uitwendige belastingen opnemen. Vaak heeft een draagsysteem de algemene vorm van een boog. Ten gevolge van de geometrische kromming van een boog treden door de aanwezige spanningen aspecten op de voorgrond die men bij balken niet onderkent. In het afsluitende “Bogen en boogconstructies” worden geëigende berekeningsmethoden behandeld om het constructieve gedrag van boogtypen te begrijpen.

In het Engels taalgebruik betitelt men het vakgebied dat het voorwerp van deze syllabus is als “Structural Analysis”. Ik weet dat de Nederlandse naamgeving “Berekening van Bouwkundige Constructies” subtieler, veelzeggender en beter is, maar ik besef ook dat anderen, misschien deels uit onwetendheid, die mening niet delen. Het zij zo. Er zijn onnoemlijk vele, goede boekwerken over “Structural Analysis”, maar ik wens doelbewust er geen aantal van op te sommen. Ik beperk me tot de expliciete vermelding van één enkel: “Berekening van Constructies – Bouwkunde en Civiele Techniek”, een drieledig werk van de hand van mijn leermeester, em. Prof. ir. D. Vandepitte, dat in 1979 door de Wetenschappelijke boekhandel, E Story-Scientia (Gent – Antwerpen – Brussel – Leuven) uitgegeven werd. Er is bij mijn weten geen enkel verzamelwerk in dit genre dat zo volledig en terzelfder tijd zo diepgaand en ontdaan van elke vorm van lichtvoetigheid ons vakgebied bestrijkt. Ik ben hem veel dank verschuldigd. Deze syllabus is de derde uitgave in het vernieuwde curriculum van de toekomstige collega’s. Alhoewel hij met veel zorg werd samengesteld, ben ik mij ervan bewust dat hardnekkige tik- en taalfoutjes mogelijk de tekst ontsieren, en wens ik hierbij de studenten alvast te bedanken voor het signaleren van gebeurlijke “vliegenspatten”.

Rudy Van Impe oktober 2010

Sleutelwoorden: constructieberekeningen, evenwicht, belastingen, grenstoestanden, Eurocodes, sterkte, stijfheid, buiging, wringing, dwarskracht, balken, raamwerken, driehoeksvakwerken, bogen, boogconstructies.

Inhoud 1

Draagsystemen en Belastingen

1 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.3 3 3.1 3.2 3.3 3.4 4 4.1 4.2 4.3

Inleiding ……………………………………………………………………….. …. 1.1 Draagsystemen: elementen, entiteiten, aggregaten en hiërarchieën ……………….. 1.2 Primaire classificatie ………………………………………………………………. 1.2 Volgens de geometrie ..……………………………………………………………..1.2 Volgens de stijfheid ……………………………………………………………….. 1.4 Volgens het krachtentransfer ……………………………………………………… 1.4 Volgens de gebruikte materialen ………………………………………………….. 1.5 Primaire constructieve elementen …………………………………………………. 1.5 Balken en kolommen ……………………………………………………………… 1.5 Raamwerken ……………………………………………………………………… 1.5 Vakwerken…………………………………………………………………………. 1.6 Bogen………………………………………………………………………………. 1.6 Kabels……………………………………………………………………………… 1.7 Wanden, platen en schijven ……………………………………………………… 1.7 Ruimtelijke draagsystemen ………………………………………………………... 1.8 Primaire constructieve entiteiten en aggregaties ………………………………….. 1.8 Belastingen ……………………………………………………………………….. 1.10 Algemeen ………………………………………………………………………… 1.10 Statische belastingen …………………………………………………………….. 1.11 Dynamische belastingen ………………………………………………………… 1.14 Belastingen door imperfecties ……………………………………………………. 1.15 De studie van het krachtenspel…………………………………………………… 1.16 Algemene gedachtegang ………………………………………………………… 1.16 Modelleren van de constructie …………………………………………………… 1.17 Lastendaling ……………………………………………………………………… 1.19

2

Algemene Sterkte- en Stijfheidsvoorwaarden

1 2

Inleiding …………………………………………………………………………… 2.2 Doelstelling van de structurele Eurocodes ………………………………………… 2.2

Inhoud

0.2

3.2 3.2.1 3.3 3.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3

Methode van de grenstoestanden ………………………………………………….. 2.4 Grenstoestanden …………………………………………………………………… 2.4 Uiterste grenstoestanden ………………………………………………………… 2.4 Grenstoestanden met betrekking tot de bruikbaarheid (functionaliteit, comfort, uitzicht) of tot de duurzaamheid (Gebruikgrenstoestanden (GGT)) ……………… 2.6 Oorzaken van onzekerheid ………………………………………………………… 2.7 Blijvende, variabele en accidentele belastingen …………………………………….. 2.8 Wijze van rekening houden met de onzekerheden………………………………… 2.9 Basisvoorwaarde …………………………………………………………………. 2.12 Belastingscombinaties …………………………………………………………… 2.13 Bezwijktoestanden ………………………………………………………………… 2.13 Gebruikgrenstoestanden met betrekking tot bruikbaarheid of duurzaamheid……. 2.15 Getalwaarden 0 , 1 , 2 ……………………………………………………….. 2.15

3.6 4 5 5.1 5.2 6 6.1 6.2 6.1.1

Sterktecoëfficiënt M …………………………………………………………….. 2.17 Methode van de toelaatbare spanningen …………………………………………. 2.17 Belasting door raamwerkimperfecties……………………………………………. 2.18 Raamwerkimperfecties…………………………………………………………… 2.18 Methode van de fictieve, horizontale krachten ………………………………….. 2.19 Eisen betreffende de stijfheid …………………………………………………….. 2.20 Algemeen ………………………………………………………………………… 2.20 Gebouwen ………………………………………………………………………... 2.21 Horizontale uitbuiging:  h ………………………………………………………. 2.21

6.1.2 6.2.3

Verticale doorbuiging: v ……………………………………………………… 2.21 Trillingshinder …………………………………………………………………… 2.23

3

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

1 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 2 3 4 5 6 6.1 6.1.1 6.1.2

De studie van het krachtenspel in een constructie ………………………………… 3.2 Beschikbare betrekkingen …………………………………………………………. 3.2 Het standpunt van de waarnemer ………………………………………………….. 3.2 Algemene kanttekeningen …………………………………………………………. 3.2 De keuze van het assenkruis ………………………………………………………. 3.2 Mechanische spanningen, rekken en constitutieve betrekkingen …………………. 3.2 Spanningsresultanten bij balken: het driedimensionale geval …………………….. 3.6 Vlakke stavenconstructies …………………………………………………………. 3.7 Geometrisch niet-lineair gedrag ………………………………………………….. 3.10 Het beginsel van de virtuele arbeid ………………………………………………. 3.11 Formulering………………………………………………………………………. 3.11 In de rationale mechanica bewijst men de volgende stelling …………………….. 3.11 Indien het stelsel van stoffelijke punten uit een samenstel van één of meerdere onvervormbare of starre lichamen bestaat ……………………………………….. 3.12 Vervormbare media of continua …………………………………………………. 3.14 Virtuele verplaatsingen…………………………………………………………… 3.14

3 3.1 3.1.1 3.1.2

6.1.3 6.2

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Inhoud

0.3

8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 9 9.1 9.2

Virtuele arbeid bij virtuele rek …………………………………………………… 3.14 Virtuele arbeid bij virtuele kromming, eventueel in combinatie met virtuele rek .. 3.14 Virtuele arbeid bij een willekeurige virtuele vervorming, per eenheid van volume ………………………………………………………….. 3.16 Analytische schrijfwijze van het beginsel ………………………………………... 3.16 Opmerkingen……………………………………………………………………... 3.16 Berekening van verplaatsingen met behulp van het beginsel van de virtuele arbeid ……………………………………………………………………. 3.16 Algemene werkwijze: bepaling van een lineaire verplaatsing …………………… 3.17 Bepaling van een hoekverdraaiing ……………………………………………….. 3.19 Verplaatsing ten opzichte van een vezel van het vervormde lichaam …………… 3.20 Wenteling ten opzichte van een vezel van het vervormde lichaam ……………… 3.21 Opmerkingen …………………………………………………………………….. 3.22 Elastische stavenstelsels met kleine rekken en verplaatsingen …………………... 3.22 De integralen en analogieën van Mohr: verplaatsing en hoekverdraaiing ten opzichte van een koorde in een al dan niet prismatische ligger op twee of meerdere steunpunten………………………………………………… 3.22 Doorbuiging ten opzichte van een koorde van de elastische lijn ………………… 3.22 Hoekverdraaiing ten opzichte van een koorde …………………………………… 3.24 De stellingen van Greene: elastische draaiing en verplaatsing van een doorsnede ten opzichte van een raaklijn aan de elastische lijn in een andere doorsnede ……. 3.26 Elastische draaiing van een doorsnede ten opzichte van een andere doorsnede …. 3.26 Elastische verticale verplaatsing van een doorsnede ten opzichte van de raaklijn aan de elastica in een andere doorsnede………………………………………….. 3.27 Berekening van de integralen ……………………………………………………. 3.29 Toepassingsvoorbeeld ……………………………………………………………. 3.29 Effect van een gelijkmatige temperatuursstijging ………………………………... 3.31 Effect van een temperatuursgradiënt …………………………………………….. 3.33 Effect van een kunstmatige staafverlenging of verkorting ………………………. 3.34 Hoekverdraaiing in een liggerscharnier ………………………………………….. 3.35 De stellingen van Betti en Maxwell ……………………………………………… 3.39 De wederkerigheidsstelling van Betti ……………………………………………. 3.39 De reciprociteitsstelling van Maxwell……………………………………………. 3.40

4

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3

Belangrijke kenmerken van vlakke balkdoorsneden………………………………. 4.2 Algemeen ………………………………………………………………………….. 4.2 Zwaartepunt ……………………………………………………………………….. 4.3 Statisch moment …………………………………………………………………… 4.3 Traagheidsmoment en traagheidsproduct ………………………………………… 4.3 Definitie …………………………………………………………………………… 4.3 De stelling van Steiner …………………………………………………………… 4.3 Hoofdrichtingen …………………………………………………………………… 4.4

6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 8 8.1

8.1.1 8.1.2 8.2 8.2.1 8.2.2

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Inhoud

0.4

Doorsnedekenmerken van basisvormen…………………………………………… 4.5 Toepassingen ……………………………………………………………………… 4.6 Gedrongen doorsnede……………………………………………………………… 4.6 Dunwandig Z-profiel ……………………………………………………………… 4.7 Enkelvoudige buiging ……………………………………………………………... 4.8 Klassieke hypothesen ……………………………………………………………… 4.8 Gevolgen van de klassieke hypothesen …………………………………………… 4.8 Opmerking………………………………………………………………………... 4.10 Superpositiebeginsel……………………………………………………………… 4.10 Effecten van buigende momenten en normaalkracht ……………………………. 4.10 Scheve buiging of dubbele buiging ………………………………………………. 4.10 We onderstellen voorshands dat de balk uitsluitend aan overdwarse krachten ….. 4.10 Zijn y en z de hoofdtraagheidsassen …………………………………………….. 4.11 Belangrijke opmerking …………………………………………………………… 4.12 En wat met de verplaatsingen?…………………………………………………… 4.13 Bijzonder geval: gedwongen buiging in een vooropgegeven vlak ………………. 4.13 Toepassing ……………………………………………………………………….. 4.14 Langskracht gecombineerd met buiging …………………………………………. 4.15 Indien de doorsnede terzelfder tijd aan een normaalkracht N onderworpen is …... 4.15 Centrale kern van een dwarsdoorsnede …………………………………………... 4.16 Effecten van dwarskracht ………………………………………………………… 4.18 Formule van Jourawski …………………………………………………………... 4.18 Schuifspanningsverdeling ………………………………………………………... 4.18 Vormfactor van de dwarsdoorsnede……………………………………………… 4.20 Doorbuiging door dwarskrachten………………………………………………… 4.21 Schuifspanningen in dunwandige profielen ……………………………………… 4.24 Een dunwandig profiel wordt door coplanaire krachten belast ………………….. 4.24 Schuifstroom en schuifspanningen in een enkelvoudig samenhangend, dunwandig profiel ………………………………………………………………... 4.24 5.3.2.1 Toepassingen……………………………………………………………………... 4.25 5.3.3 Schuifstroom en schuifspanningen bij scheve buiging met vooropgegeven buigingsvlak……………………………………………………... 4.27 5.3.4 Schuifspanningen in meervoudig samenhangende, dunwandige profielen………. 4.29 5.4 Dwarskrachtenmiddelpunt of dwarskrachtencentrum …………………………… 4.31 5.5 Slotsom …………………………………………………………………………... 4.34 6 Zuivere wringing volgens de theorie van de Saint-Venant ………………………. 4.35 6.1 Onderstellingen …………………………………………………………………... 4.36 6.2 Vervormingen en spanningen ……………………………………………………. 4.37 6.3 Eigenschappen van de spanningsfunctie …………………………………………. 4.38 6.4 De stelling van Prandtl …………………………………………………………… 4.39 6.5 Wringend moment ………………………………………………………………. 4.39 6.6 Oplossing van wringproblemen in het elastisch stadium ………………………... 4.40 6.7 Staven met gedrongen doorsnede………………………………………………… 4.41 6.7.1 Massieve ronde doorsnede draaiend om een as door haar zwaartepunt ………… 4.42 1.4.4 1.5 1.5.1 1.5.2 2 2.1 2.2 2.3 3 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.2 4.2.1 4.2.2 5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Inhoud

0.5

6.7.2 Dikwandige buis …………………………………………………………………. 4.43 6.7.3 Staaf met langwerpige rechthoekige doorsnede ………………………………….. 4.43 6.7.3.1 Nauwkeurige formules …………………………………………………………… 4.43 6.7.3.2 Intuïtieve oplossing voor zeer langwerpige, rechthoekige doorsneden…………... 4.48 6.8 Dunwandige, enkelvoudig samenhangende profielen……………………………. 4.49 6.8.1 Veelhoekige of gebogen plaat met constante dikte ………………………………. 4.49 6.8.1.1 Spanningsfunctie, torsiestijfheid, spanningen, weerstandsmoment ……………… 4.50 6.8.1.2 Welvingsfunctie ………………………………………………………………….. 4.50 6.8.2 Gewalste open profielen …………………………………………………………. 4.52 6.8.2.1 -oppervlak, torsiestijfheid, spanningen………………………………………….. 4.52 6.8.2.2 Welving van de staafdoorsneden………………………………………………..... 4.54 6.9 Dunwandige, meervoudig samenhangende profielen…………………………….. 4.55 6.9.1 Tweevoudig samenhangende doorsnede …………………………………………. 4.55 6.9.2 Meer dan tweevoudig samenhangende doorsnede ……………………………….. 4.57 6.10 Slotopmerkingen ………………………………………………………………… 4.58 Bijlage A: Enkelvoudige buiging ………………………………………………………….. 4.59

5

Elastische stabiliteit van drukstaven: Eulerknik

1 2 3 4 5 6

Probleemstelling ………………………………………………………………….. 5.2 Differentiaalvergelijking en randvoorwaarden …………………………………... 5.2 Klassieke randvoorwaarden ……………………………………………………… 5.4 Andere randvoorwaarden ………………………………………………………… 5.6 De begrippen kniklengte en elastische knikspanning …………………………… 5.7 Rekenvoorbeeld ………………………………………………………………….. 5.8

6

Invloedslijnen

1 2 3 4 5 5.1 5.2 6 6.1 6.2 6.3

Definitie …………………………………………………………………………… 6.2 Nut van invloedslijnen …………………………………………………………….. 6.3 Dimensies en eenheden ……………………………………………………………. 6.4 Eigenspanningen en opstelfouten………………………………………………….. 6.4 Het begrip doorsnijding……………………………………………………………. 6.7 Definitie …………………………………………………………………………… 6.7 Implicatie met betrekking tot de graad van statische bepaaldheid ………………… 6.8 Invloedslijnen van statisch bepaalde spanningsresultanten ……………………….. 6.9 Werkwijze: oplegreactie, normaal- en dwarskracht, buigend moment ……………. 6.9 Kinematische beweging in de doorsnijding: v11 ………………………………… 6.11 Invloedslijnen voor statisch bepaalde spanningsresultanten zijn altijd samenstellen van rechte lijnstukken……………………………………………… 6.12 Eigenschappen van de bewegingspolen ………………………………………….. 6.14 Schalen voor invloedslijnen ……………………………………………………… 6.14 Toepassingsvoorbeelden …………………………………………………………. 6.16 Eenvoudig opgelegde ligger ……………………………………………………… 6.16 Parabolische driescharnierboog ………………………………………………….. 6.17

6.4 6.5 6.6 6.6.1 6.6.2

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Inhoud

0.6

Invloedslijnen van elastische verplaatsingen …………………………………….. 6.23 Theorie …………………………………………………………………………… 6.23 Toepassingsvoorbeelden …………………………………………………………. 6.24 Neerwaartse verplaatsing van het midden van een isostatische ligger…………… 6.24 Hoekverdraaiing van de doorsnede A ……………………………………………. 6.25 Invloedslijnen van statisch onbepaalde spanningsresultanten …………………… 6.26 Rechtstreekse berekening ………………………………………………………… 6.27 Methode ………………………………………………………………………….. 6.28 Toepassing: tweezijdig ingeklemde, prismatische ligger………………………… 6.29 Tweede werkwijze: totstandbrenging van een verplaatsing in de onvolledige doorsnijding ……………………………………………………………………… 6.28 8.2.1 Methode ………………………………………………………………………….. 6.28 8.2.2 Discontinuïteit in de onvolledige doorsnijding ………………………………….. 6.30 8.2.3 Rekenvoorbeelden ……………………………………………………………….. 6.32 8.2.3.1 Doorgaande ligger ………………………………………………………………... 6.33 8.2.3.2 Portaal ……………………………………………………………………………. 6.33 8.2.3.3 Getuide kraagligger ……………………………………………………………… 6.35 9 Begroten van rekenwaarden - een toepassing ……………………………………. 6.36 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 8 8.1 8.1.1 8.1.2 8.2

7

Methode van Gehler voor Stijl- en Regelwerken

1 2 2.1 2.2 2.3 2.4

Inleiding …………………………………………………………………………… 7.2 Stijl- en regelwerken (raamwerken) ……………………………………………….. 7.2 Verband tussen de knoopmomenten en de knoop- en koorderotaties ……………... 7.2 Draaiingsevenwicht van een knoop ……………………………………………….. 7.5 Horizontaal evenwicht van een deel van het stijl- en regelwerk …………………... 7.6 Gang van de bewerkingen: bepaling van buigende momenten- en dwarskrachtenlijnen ……………………………………………………………….. 7.8 Inklemmings- of vasthoudkoppels ……………………………………………….. 7.10 Bijzondere gevallen………………………………………………………………. 7.10 De ondereinden van de kolommen liggen niet alle op hetzelfde peil ……………. 7.10 Een staaf is scharnierend verbonden met de buitenwereld of met de rest van het raam …………………………………………………………. 7.11 Verende inklemming van een kolom …………………………………………….. 7.11 Raamwerk met niet gefundeerde stijlen …………………………………………. 7.12 De zijdelingse verschuiving van een spantregel wordt verhinderd ………………. 7.13 Toepassingsvoorbeeld: ingeklemd, eenbeukig raam……………………………... 7.14 Gelijkmatige belasting van de ligger……………………………………………... 7.14 Horizontale kracht ter hoogte van de spantregel …………………………………. 7.16 Kanttekeningen betreffende de symmetrie ……………………………………….. 7.17 Symmetrische spanten …………………………………………………………… 7.17 Berekening van de normaalkrachten …………………………………………….. 7.18 Algemene werkwijze……………………………………………………………... 7.18 Toepassing………………………………………………………………………... 7.21 Rekenvoorbeeld…………………………………………………………………... 7.21 Verfijning van de methode……………………………………………………….. 7.23

2.5 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.6.5 2.7 2.7.1 2.7.2 2.8 2.8.1 3 3.1 3.2 4 5

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Inhoud

0.7

5.1 5.2 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 6 6.1 6.2 6.3 7 8

Invloed van de afmetingen van de knopen ……………………………………… 7.23 Invloed van de dwarskrachtvervorming ………………………………………….. 7.26 Invloed van de verwaarloosde vervormingen op de krachtenverdeling ………….. 7.28 Samenstel van niet-prismatische staven………………………………………….. 7.29 Constitutieve betrekkingen ………………………………………………………. 7.29 Inklemmingsmomenten …………………………………………………………... 7.30 Systemen met schuine staven …………………………………………………….. 7.30 Algemene werkwijze……………………………………………………………... 7.30 Rekenvoorbeeld ………………………………………………………………….. 7.33 Andere toepassing: portaalbrug ………………………………………………….. 7.35 Stelsels met bekende knoopverplaatsingen ………………………………………. 7.36 Liggers op verende steunpunten………………………………………………….. 7.36

8

Driehoeksvakwerken

1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.4.1 2.1.4.2 2.1.5 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.2.9 2.2.10 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 3

Samenstelling en werking ………………………………………………………… 8.2 Samenstelling ……………………………………………………………………… 8.2 Grootte van de secundaire spanningen…………………………………………….. 8.4 Belang van de secundaire spanningen……………………………………………... 8.6 Voorzorgen ter beperking van de buigspanningen………………………………… 8.7 Krachtenverdeling in driehoeksvakwerken ……………………………………….. 8.9 Statisch bepaalde vakwerken ……………………………………………………… 8.9 Voorwaarden voor statische bepaaldheid………………………………………….. 8.9 Evenwicht van knopen …………………………………………………………… 8.10 Snedenmethode van Ritter ……………………………………………………….. 8.11 Met behulp van invloedslijnen …………………………………………………… 8.12 Neuville- of warrenligger ………………………………………………………. 8.12 Vakwerkboog met drie scharnieren ……………………………………………… 8.14 Benaderingsmethode voor ontwerpdoeleinden …………………………………... 8.17 Vakwerktypen ……………………………………………………………………. 8.18 Inleiding…………………………………………………………………………... 8.18 Monié- of Pratt- of N-ligger ……………………………………………………… 8.18 Howeligger ………………………………………………………………………. 8.19 Amerikaanse ligger ……………………………………………………………… 8.19 Neuville of warrenligger ………………………………………………………... 8.19 K-ligger …………………………………………………………………………... 8.20 Ligger met veranderlijke hoogte …………………………………………………. 8.20 Scharnierligger …………………………………………………………………… 8.21 Andreaskruisligger ……………………………………………………………….. 8.22 Ruitligger ………………………………………………………………………… 8.25 Over meerdere velden doorgaande vakwerkliggers ……………………………… 8.25 Staafkrachten veroorzaakt door een belasting……………………………………. 8.25 Ongelijkmatige zetting van de steunpunten ……………………………………... 8.27 Rekenvoorbeeld…………………………………………………………………... 8.28 Verplaatsingen van de knopen …………………………………………………… 8.30 Berekening van Bouwkundige Constructies I

Inhoud 3.1

0.8

3.2 3.3

Verplaatsing van één knoop van een statisch bepaald of onbepaald driehoeksvakwerk ………………………………………………………………... 8.30 Verplaatsing van alle knopen …………………………………………………….. 8.30 Rekenvoorbeeld: zakking van knoop G van het in §2.1.1. behandelde vakwerk ... 8.32

9

Bogen en Boogconstructies

Volwandige bogen ………………………………………………………….……... 9.2 Onderstellingen en afspraken ……………………………………………………... 9.2 Formules van Bresse ……………………………………………………………… 9.3 Relatief belang van de normaalkrachtvervorming ………………………………... 9.5 Boogwerking…………………………………………………………………….… 9.6 Druklijn ……………………………………………………………………………. 9.7 Evenwichtsbelastingen …………………………………………………………….. 9.9 Driescharnierbogen ………………………………………………………………. 9.12 Tweescharnierbogen..…………………………………………………………….. 9.15 Statica…………………………………………………………………………….. 9.15 Berekening van de spanningsresultanten ………………………………………… 9.15 Berekening van de verplaatsingen………………………………………………... 9.17 Invloedslijn van X3 onder een mobiele verticale eenheidskracht ………………... 9.17 Andere invloedslijnen ……………………………………………………………. 9.18 Tweescharnierboog met geboorten verbonden door trekstang…………………… 9.19 Tweescharnierboog met trekband parallel met de verbindingslijn van de geboorten …………………………………………………………………. 9.21 1.11 Tweezijdig ingeklemde bogen …………………………………………………… 9.22 1.11.1 Spanningsresultanten……………………………………………………………... 9.22 1.11.2 Invloedslijnen van de reactiekrachten voor een parabolische boog met verwaarlozing van de normaalkrachtvervorming en met de aanname dat I0 = Icos = constante ............................................................................................. 9.23 1.11.3 Invloedslijn van andere snedekrachten ………………………………………… 9.25 1.12 Spanningen in bogen ……………………………………………………………... 9.25 2 Boogconstructies ………………………………………………………………… 9.28 2.1 Algemeen ………………………………………………………………………… 9.28 2.2 Samenstel boog-balk-verticalen …………………………………………………. 9.29 2.2.1 Balk geplaatst boven de boog (fig. 33) ………………………………………… 9.29 2.2.2 Verstijfde buigingsboog ………………………………………………………….. 9.30 2.2.2.1 Algemeen ………………………………………………………………………... 9.30 2.2.2.2 Benaderingsmethode ……………………………………………………………. 9.31 3 “Further reading”: boogconstructies met verscheidene overspanningen ………… 9.37 3.1 Twee bogen rustend op een verschuifbaar tussensteunpunt……………………… 9.37 4 “Further reading”: driehoeksvakwerken als boogconstructies …………………… 9.38 4.1 Algemeen ………………………………………………………………………… 9.38 4.2 Driescharnierboog ………………………………………………………………... 9.39 4.2.1 Staafkrachten……………………………………………………………………... 9.39 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.8.1 1.8.2 1.8.3 1.8.4 1.8.5 1.9 1.10

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Inhoud 4.2.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.4

0.9 Knoopverplaatsingen……………………………………………………………... 9.39 Vakwerkboog met twee scharnieren ……………………………………………... 9.40 Staafkrachten teweeggebracht door een gegeven belasting (fig. 49)……………... 9.40 Staafkrachten teweeggebracht door een temperatuurstijging T ………………… 9.41 “Tweezijdig ingeklemde” vakwerkboog …………………………………………. 9.42

Berekening van Bouwkundige Constructies I

1 Draagsystemen en belastingen

Draagsystemen en belastingen

1

1.2

Inleiding

Een bouwkundige constructie of bouwwerk kanaliseert als een fysische entiteit de erop inwerkende belastingen - die resulteren uit het gebruik en de functie van het bouwwerk en, vanzelfsprekend, tevens uit zijn aanwezigheid in en interactie met één of andere omgeving op een veilige manier naar de grond. Ze kan opgevat worden als een weldoordachte organisatie van draagsystemen in de ruimte, waarbij de goede werking van het geheel van fundamenteler belang is dan de interrelatie tussen haar componenten. Er bestaan talrijke manieren om draagkrachtige elementen in de ruimte te positioneren ten einde de belastingen op te nemen en er zijn talrijke interacties tussen de samenstellende componenten mogelijk. Een balk kan bij voorbeeld eenvoudig opgelegd zijn op een kolom of kan er stijf mee verbonden zijn1, met radicaal verschillende constructieve responsies als gevolg. Hierna wordt een summier overzicht van draagsystemen gegeven.

2

Draagsystemen: elementen, entiteiten, aggregaten en hiërarchieën

2.1

Primaire classificatie

Deze sectie introduceert een methode om draagkrachtige elementen en systemen te classificeren. Ze is gebaseerd op de vorm en op de stijfheidskenmerken van de constructie. Vermits een dergelijk classificatieschema impliceert dat complexe constructies louter het resultaat zouden zijn van additieve aggregaties van bouwcomponenten, is het inherent simplistisch. Om over een bouwwerk te kunnen spreken is het immers betekenisvol dat de relatie tussen de componenten onderling aan de constructie een krachtendragend attribuut verleent. We menen nochtans dat de eenvoudige classificatie nuttig is en laten ons bij de bespreking ervan leiden door het in figuur 1 afgebeelde schema. 2.1.1 Volgens de geometrie Constructieve systemen kunnen ontstaan door lijnvormende en oppervlaktevormende componenten. Bij lijnvormende elementen (bijvoorbeeld een balk of een kolom) is één van de afmetingen (de lengte) veel groter dan de overige twee (de overdwarse afmetingen van de doorsnede); bij oppervlaktevormende elementen (bijvoorbeeld een plaat of een wand) zijn twee afmetingen, de lengte en de breedte, vele malen groter dan de derde, de dikte. Lijnvormende elementen kunnen verder onderscheiden worden naar gelang ze rechtlijnig of gekromd zijn. Oppervlaktevormende elementen zijn ofwel planair ofwel ruimtelijk gekromd; in het laatste geval spreekt men verder van enkelvoudig of dubbel gekromde, synclastische of anticlastische oppervlakken. 1

In het eerste geval kunnen enkel verticale en mogelijks ook horizontale krachten van balkeind naar kolomkop overgedragen worden; in het laatste geval zullen bovendien krachtenkoppels getransfereerd kunnen worden.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.3

Figuur 1

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.4

2.1.2 Volgens de stijfheid Een tweede fundamentele classificatie is geënt op de stijfheidskenmerken van de constructieve elementen. Men spreekt van stijve of rigide en van soepele of flexibele elementen. Tenzij hij onvoldoende gedimensioneerd is, zal een balk bijvoorbeeld geen met het blote oog waarneembare vervormingen ondergaan wanneer men hem aan belastingen onderwerpt; een balk is dientengevolge stijf (fig.2). Kabels daarentegen zijn vormaktief, dat wil zeggen dat hun vorm drastisch wijzigt wanneer men ze belast. Vandaar dat kabels vaak strak voorgespannen worden.

Figuur 2 2.1.3 Volgens het krachtentransfer Een manier om onderscheid te maken tussen constructies is volgens de ruimtelijke organisatie van het oplegsysteem en de relatie van de constructie tot de beschikbare oplegpunten (fig. 3). Balken dragen de belastingen in één richting (de lengterichting van de balk) naar de ondersteunende elementen (de kolommen of de wanden); platen kunnen belastingen in één of twee richtingen dragen, afhankelijk van de ondersteuningsvoorwaarden. Een vierkante plaat die langs twee tegenover elkaar staande zijden opgelegd is, draagt in één enkele richting; wordt ze daarentegen langs de vier zijden opgelegd, dan geschiedt het krachtentransfer in twee richtingen.

Figuur 3: in één of twee richtingen dragende elementen Men moet evenwel voorzichtig zijn bij het maken van uitspraken omtrent een dergelijke classificatie. Veel hangt immers ook af van de geometrie van het constructie-element: een rechthoekige plaat waarvan de lengte ten minste tweemaal groter is dan de breedte en die Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.5

langs de volledige omtrek opgelegd is, zal een gelijkmatig verdeelde oppervlaktebelasting toch in één richting naar de ondersteuning leiden, namelijk in de breedterichting2. 2.1.4 Volgens de gebruikte materialen Een zeer voor de hand liggende classificatie van constructies ontstaat eenvoudigweg door te verwijzen naar de materialen waarvan de constructie of het draagsysteem vervaardigd is: hout, aluminium, staal, gewapend en voorgespannen beton, kunststof, composieten... In onderhavige cursus zullen enkel algemeen geldende principes naar voor gebracht worden zoals evenwicht, sterkte- en stijfheidseisen en standzekerheid van constructies, waardoor de traditioneel harde begrenzingen van gewapend en voorgespannen betonconstructies, houten constructies en staalconstructies vervagen.

2.2

Primaire constructieve elementen

2.2.1 Balken en kolommen Draagsystemen die gevormd worden door horizontale, stijve elementen (balken) te laten rusten bovenop verticale, rigide elementen (kolommen), komen vaak voor. De balken ontvangen de langs hun lengte overdwars aangrijpende, verticale krachten en leiden ze naar de ondersteunende verticale kolommen of pijlers. De kolommen, axiaal belast door de balken, transfereren de krachten verder naar de fundering en de grond. Vermits de balken zich lichtjes krommen onder de overdwarse belastingen, dragen ze de krachten door buiging. Op de draagwerking van balken wordt verder ingegaan in het hoofdstuk: "Bijzondere aspecten van de balkentheorie". Indien de balken isostatisch op de kolomkoppen opgelegd zijn, en de kolommen zelf niet onderworpen worden aan overdwarse krachten tussen hun uiteinden, zijn de kolommen uitsluitend aan axiale (druk)krachten onderhevig en niet aan buiging, wat hun ontwerp vergemakkelijkt. 2.2.2 Raamwerken Een raamwerk ontstaat door de samenvoeging van balken en kolommen (fig. 4). De knopen, i.e. de stoffelijke ontmoetingen tussen balk en kolom kunnen soepel, stijf of halfstijf3 uitgevoerd worden. In de twee laatste gevallen kunnen krachtenkoppels tussen beide constructie-elementen getransfereerd worden, en zullen laatstgenoemde zowel door

2

Figuur 4: raamwerk

Om dit ten volle te begrijpen moet de lezer zich verdiepen in de plaattheorie. Een in die materie introducerend werk is dat van S. Timoshenko en S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells - International Student Edition, McGraw-Hill, New York, 1959. 3 E: rigid or semi-rigid

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.6

buiging als door axiale krachten belast worden. Maar er is nog een ander, een subtieler verschil. De stijve knoopverbindingen zorgen ervoor dat het raamwerk, afgebeeld in figuur 5b, niet plotsklaps zijdelings onstabiel wordt of schrankt wanneer het aan laterale krachten onderhevig is, terwijl door het gemis van deze laterale stijfheid het systeem in figuur 5a ontaardt in een mechanisme.

Valt omver

Fig. 5a: raamwerk met soepele knopen verwordt tot een mechanisme

Fig. 5b: raamwerk met stijve knopen ondergaat kleine vervormingen maar wordt niet instabiel, i.e. schrankt niet. 2.2.3 Vakwerken Vakwerken zijn draagsystemen die gemaakt worden door korte, rechte leden te verenigen in triangulaire patronen (fig. 6). Het resulterende systeem is doorgaans stijf als resultaat van de exacte schikking van de individuele lijnvormige elementen ten opzichte van elkaar. 2.2.4 Bogen Een boog is een gekromd, lijnvormend element dat de afstand tussen twee punten overspant (fig. 7). De geometrie van funiculaire bogen is zo geconcipieerd dat ze alleen onderhevig zijn aan normaalkrachten, niet aan buigende momenten en dwarskrachten, waardoor ze - weliswaar voor niet te kleine overspanningen - zuiniger zijn dan balken die een zelfde belasting moeten torsen. Er bestaan vele

Figuur 6: kolommen en liggers in vakwerkvorm

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.7

boogtypen die vaak gekarakteriseerd worden door de oplegvoorwaarden: tweezijdig ingeklemde bogen, twee- of driescharnierbogen...

Figuur 7: boogbrug voor de HST te Antoing 2.2.5 Kabels Kabels zijn flexibele elementen. De vorm die ze onder een gegeven belasting aannemen, hangt af van de aard en de grootte van de belasting (fig. 2). Als een kabel eenvoudig aan één van zijn uiteinden getrokken wordt, neemt hij de vorm van een rechte lijn aan die samenvalt met de werklijn van de kracht. Men spreekt in dat geval van een tui of een trekkabel4. Een kabel die tussen twee vaste punten Figuur 8 gespannen is, zal onder de inwerking van zijn eigen gewicht de vorm van een kettinglijn aannemen. Toepassingen van kabels in de bouwkunde en de civiele techniek zijn legio. Figuur 8 toont de bevestiging van de hangkabels aan de boog bij de brug te Antoing. 2.2.6 Wanden, platen en schijven Deze elementen behoren tot de rigide, oppervlaktevormende draagsystemen. Bij massiefbouw rusten de horizontale, aan buiging onderworpen platen op massieve, verticale muren of wanden. Gewoonlijk heeft een wand een grote sterkte en stijfheid tegenover krachten die in zijn vlak werkzaam zijn, maar is die sterkte en stijfheid heel wat geringer tegenover haaks op zijn vlak inwerkende krachten. Vandaar dat men wanden op elkaar zal afstempelen, waardoor

4

E: guy or tie-rod

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.8

horizontale krachten gemakkelijk opgenomen kunnen worden. De diafragma- of schijfwerking van de vloerplaat speelt daarbij een prominente rol. 2.2.7 Ruimtelijke draagsystemen Talrijke interessante constructiesystemen - zoals ruimtelijke vak- en raamwerken5, schalen6 en schaalconstructies (cilinderschalen, bolkappen, koepels), kabelnetwerken7, flexibele membraanstructuren8 en tensegrities... - ontstaan wanneer de ontwerper het klassieke, één- of tweedimensionaal denkproces verlaat en de krachtendragende functie van het bouwwerk met een driedimensionale visie realiseert. Vanzelfsprekend vergt zulks een uitgebreide ontwerpervaring en de ruggensteun van gesofistikeerde berekeningsprogramma's. De geïnteresseerde lezer wordt verwezen naar het opleidingsonderdeel "Ruimtelijke Constructies".

2.3

Primaire constructieve entiteiten en aggregaties

Terwijl veel van de basiselementen, die in voorgaande paragraaf aan bod kwamen, inderdaad als geïsoleerde draagsystemen kunnen gebruikt worden, is het evident dat sommige ervan gecombineerd moeten worden met andere indien het de bedoeling is om een constructie te ontwerpen die een volume omsluit. Het is in dit opzicht dat draagsystemen van gebouwen vaak verschillend zijn van deze die voor andere doeleinden aangewend worden zoals bijvoorbeeld in de bruggenbouw. Een constructieve entiteit is een discreet volumevormend element of verzameling van constructieve elementen. Vier kolommen die een rigide, vlak oppervlak ter hoogte van de hoeken ondersteunen, vormen een entiteit. Eenheden van dit type kunnen gestapeld en/of naast elkaar geplaatst worden waarbij ze een verbonden reeks van volumetrische eenheden vormen. Wanneer ze naast elkaar geplaatst worden, worden de kolommen typisch gedeeld door naburige entiteiten. Primaire entiteiten zijn vaak een intermediaire stap tussen een reeks van discrete elementen (e.g. balken en kolommen) en een volledig bouwcomplex. De wijze waarop discrete elementen conceptueel geassembleerd en daarna geaggregeerd kunnen worden, reflecteert vaak, maar niet altijd, de manier waarop bouwcomplexen in feite geconstrueerd worden. Voor gebruikelijke cellulaire entiteiten is het pedagogisch nuttig om een onderscheid te maken tussen de horizontale overspanningsystemen, het verticale steunsysteem en het lateraal steun- of verbandsysteem. De verticale ondersteuningssystemen zijn gewoonlijk gevormd door dragende wanden of kolommen. Wanden ontvangen de belastingen langsheen hun volle uitgestrektheid, bijvoorbeeld afkomstig van de platen die door hen gedragen worden; kolommen ontvangen geconcentreerde krachten afkomstig van de uiteinden van de balken die erop rusten.

5

E: space trusses and space frames E: shells 7 E: cable nets 8 E: flexible membranes 6

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.9

Horizontaal agerende krachtwerkingen – bijvoorbeeld als gevolg van windkrachten of van grondbevingen - moeten eveneens opgevangen kunnen worden. Om de structurele integriteit te verzekeren plaatst men daartoe geschikte schrank- en/of windverbanden. Bij systemen die in één richting dragen is vaak een hiërarchie aanwezig (fig. 9). Bijvoorbeeld kan een dakconstructie als volgt opgevat zijn: een beplating rust op dicht bij elkaar geplaatste kinderbalken of secundaire balken die op hun beurt ondersteund worden door moerbalken of primaire balken (bijvoorbeeld vakwerkliggers). Krachten die op de beplating inwerken (bijvoorbeeld sneeuwlast), worden overgedragen naar de kinderbalken die ze doorgeven aan de moerbalken; laatstgenoemde brengen ze op hun beurt over naar het verticaal ondersteuningssysteem.

Figuur 9: constructieve hiërarchie Vanzelfsprekend zullen de belastingen en de inwendige spankrachten groter worden voor constructieleden die tot dieper gelegen lagen van de hiërarchie behoren. Men zal zich hiervan een idee vormen door een krachtendaling uit te voeren. Hiërarchieën van virtueel om het even welk aantal lagen kunnen gebruikt worden, maar een één-, twee- of drieledige opbouw is het meest gebruikelijk.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

3

Belastingen

3.1

Algemeen

1.10

Een bouwwerk is tijdens haar levensduur onderworpen aan belastingen van allerlei aard, waarvan de natuur en de grootte tijdens het ontwerpstadium goed gekend moeten zijn. Men kan ze op verschillende manieren classificeren, namelijk volgens9  De natuur van de constructierespons: statische en dynamische belastingen.  Hun veranderlijkheid in de tijd: permanente (G), mobiele of veranderlijke (Q) en accidentele belastingen (A)10.  De spatiale verdeelbaarheid: vaste en vrije acties11. Een vaste actie is daardoor gekenschetst dat het maatgetal van haar grootte in ieder punt van de constructie in functie van één enkele scalaire parameter uitgedrukt kan worden. Bij een vrije actie is zulks niet het geval.  De herkomst: klimatologische acties, directe en onrechtstreekse belastingen, belastingen door imperfecties of vormonvolmaaktheden. In onderhavige cursus zullen we hoofdzakelijk aandacht besteden aan statische belastingen; deze werken derwijze traag op de constructie in dat haar stoffelijke punten geen noemenswaardige versnellingen ondergaan: bij statische belastingen mag men de inertiekrachten geheel veronachtzamen. Dat is volkomen anders bij dynamische belastingen waar de stoffelijke punten wel degelijk betekenisvolle versnellingen verkrijgen en de ermee corresponderende traagheidskrachten in rekening moeten gebracht worden. Het schema, geïllustreerd door figuur 10, gaat uit van een onderverdeling volgens statische en dynamische belastingen ofschoon gelijkaardige schema's vanzelfsprekend gebouwd kunnen worden vertrekkend van de andere classificatieschema's. Statische acties Nuttige lasten Bewoning

Permanente lasten

Klimatologisch (sneeuw, water…)

Eigen gewicht

Vaste uitrusting Afwerking

Krachten door zettingen thermische effecten residuele spanningen…

Dynamische acties Oscillerend (uniform of irregulier) Traagheidskrachten (bv. aardbevingen)

Impact

Windbelasting

Figuur 10 9

De samensteller van onderhavige notities is zich er terdege van bewust dat een dergelijke classificatie nooit wars van onvolmaakt- en onvolledigheden kan of zal zijn; de beschreven onderverdeling moet in die zin en met het nodige voorbehoud gehanteerd worden 10 E: permanent, variable and acciddental loads 11 E: fixed and free actions

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

3.2

1.11

Statische belastingen

Deze worden gewoonlijk verder onderverdeeld in het eigen gewicht en de nuttige belasting12 en krachten die hun oorsprong vinden in zettingen en thermische effecten. Alle constructiematerialen waarvan een draagsysteem vervaardigd is, bezitten een massa en zullen in het gravitatieveld van de aarde het bouwwerk neerwaarts gerichte krachten - het zogenaamde eigen gewicht - ondergaan. Het eigen gewicht van een constructieonderdeel is een permanente, vaste belasting, dat wil zeggen: onveranderlijk in de tijd aanwezig en vrij nauwkeurig gepositioneerd in de ruimte. Afwerkingslagen van vloeren, niet verplaatsbare partities of scheidingswanden en vaste mechanische uitrusting behoren eveneens tot deze categorie. Het eigen gewicht kan doorgaans vrij accuraat becijferd worden wanneer men de nominale afmetingen van de constructie-elementen en de densiteit van de gebruikte materialen kent13. Densiteiten worden trouwens in de nationale en internationale regelgeving betreffende de veiligheid en de bruikbaarheid van bouwwerken voorgeschreven14 15. De soortelijke massa 3 is kennelijk sterk afhankelijk van het gebruikte constructiemateriaal: staal = 7850 kg/m , 3

beton = 2400 kg/m , metselwerk = 1600 à 1800 kg/m

3.

Nuttige lasten in gebouwen resulteren bijvoorbeeld uit de aanwezigheid van de bewoners die erin leven of werken of er gebruik van maken, van verplaatsbaar meubilair en verplaatsbare partities, of nog van in industriële magazijnstellingen opgeslagen goederen. Ze worden gekenmerkt door een spatiale en temporale variabiliteit en hun grootte is al evenmin constant: het zijn veranderlijke, vrije acties. Nominale waarden van nuttige vloerlasten die voor ontwerpdoeleinden gehanteerd worden, resulteren uit de opgedane ervaringen; ze zijn bovendien afhankelijk van de bestemming van de bruikbare oppervlakte. Het is immers logisch dat de nuttige lasten in archiefruimten anders zijn dan deze in woonhuizen, vergaderlokalen, trappenhuizen en winkelgalerijen. De categorie waarin een gebouw ondergebracht kan worden, speelt derhalve een niet onbelangrijke rol. We verwijzen de lezer naar de Europese regelgeving ter zake14; daar zijn ook nuttige gegevens vergaard omtrent verkeersbelastingen in gebouwen die uiteraard functie zijn van het voertuiggewicht. De tabellen I en II geven een idee omtrent de gebruikscategorie of bestemming van het bouwwerk en de geassocieerde nuttige lasten.

12

E: dead loads and live loads Er zijn natuurlijk altijd begrijpelijke uitzonderingen die de "accuraatheid" beknotten. Een damwand of een diepwand van een bouwput keert een hoeveelheid grond die zijdelingse krachten op de wand uitoefent. Genoemde krachten zijn afhankelijk van de densiteit van het discontinue medium dat het korrelvormige materiaal in feite is. Een zelfde grondsoort kan los, matig of dicht gepakt zijn - afhankelijk van de verrichtingen op het maaiveld of door trillingen bijvoorbeeld - waardoor de densiteit aan variaties onderhevig kan zijn. In deze gevallen zal de ontwerper behoedzaam handelen door zowel een boven- als een benedengrens in de berekeningen te hanteren. De voorspanning (P) van betonnen constructies is eveneens een permanente belasting die o.a. door relaxatie van het spanstaal een kruip van het beton door een zekere veranderlijkheid in de tijd gekenmerkt is. 14 EN 1991 - Eurocode 1: belastingen op constructies. 15 Op de structurele Eurocodes wordt nader ingegaan in hoofdstuk 2: "Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden". Ze zijn ter consultatie in het Laboratorium voor Modelonderzoek beschikbaar op CD-rom (versie 2002). 13

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.12

Categorie A: gezinswoningen, residenties, trappen, balkons Categorie B: kantoren Categorie C: ruimten waar een menigte kan samenscholen (met uitzondering van de ruimten die onder de categorieën A, B, D en E gedefinieerd worden) C1: C2: C3:

C4: C5:

scholen, herbergen, restaurants, eetruimten, leeszalen, recepties … ruimten met vaste zitjes: kerk, theater, bioscoop, conferentiezaal, vergaderzaal, wachtkamer … oppervlakten zonder obstakels voor een menigte in beweging (musea, tentoonstellingszalen, en toegangszones in publieke en administratieve gebouwen en hotels) zones waar mogelijk fysische activiteiten plaatsvinden: danslokalen, podia, turnzalen… ruimten die overbevolkt kunnen zijn (gebouwen waar publieke happenings georganiseerd worden zoals concert- en sporthallen met inbegrip van de terrassen, toegangsruimten en stands).

Categorie D: winkelruimten, warenhuizen … D1: oppervlakten in algemene kleinhandelszaken D2: warenhuizen, kantoorarchiefruimten, magazijnen Categorie E: oppervlakten specifiek voor goederenopslag, met inbegrip van de toegangruimten.

Categorie F: verkeerszones en parkeerruimten voor lichte voertuigen ( 30 kN totaal gewicht en  8 zitjes, exclusief bestuurder). Categorie G: verkeerszones en parkeerruimten voor zwaardere rijtuigen (> 30 kN  160 kN totaal gewicht, op 2 assen).

Categorie H: daken die niet toegankelijk zijn tenzij voor het normale onderhoud, herstelling, schoonmaak, verfwerk … Categorie I: daken die voor een bezetting volgens de categorieën A - D toegankelijk zijn. Categorie K: daken die voor bijzondere diensten (vb helikopter landing) toegankelijk zijn.

Tabel I: gebruikscategorieën (EN 1991-1-1) Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.13

ANB EN 1991-1-1 (Tabel 6.2, 6.4 & 6.10) qk

Belaste oppervlakken

Categorie A

Qk

2)

qk

Qk

3)

(kN/m²)

(kN)

(kN/m²)

(kN)

algemeen

2

2

2

2

trappen

3

2

3

2

balkons

4

2

-

-

3 3 4 5 5 5 5 5 7,5 2,5 5 0,4

3 4 4 4 7 4,5 4 7 7 20 90 1,0

3 3 4 5 5 5 5 5 5 2,5 5

2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 15

1)

Categorie B

Categorie C1)

Categorie D1)

C1 C2 C3 C4 C5 D1 D2

Categorie E Categorie F Categorie G Categorie H

NBN B03-103

6,7)

1-A/100

4)

2

5)

Opmerkingen: 1) 2)

2

De verdeelde belasting op balkons mag niet kleiner dan 4kN/m zijn

3) 4)

belast oppervlak:

0,1 m x 0,1 m A = horizontale oppervlakte van

- Categorie A tot E: 0,05m x 0,05m

het dak 5)

- Categorie F en G: 0,20m x 0,20m 5)

2

1m

qk per horizontale oppervlakte A van het dak; niet in acht nemen voor

hellingen groter dan 60° 6)

2

2

qk hangt af van A : als A  60 m  qk = 0,4 kN/m 2 als A < 60 m  qk = 1 – A/100 In deze opgelegde belasting is 0,3 sk inbegrepen

Tabel II: vergelijking van de nuttige belastingen volgens de Eurocode en de (verdwijnende) Belgische norm Merk op: Opdat vloeren een minimum lokale weerstand zouden hebben, wordt het nazicht verricht met de geconcentreerde belasting Qk. Tenzij anders gespecificeerd, moet deze niet met gelijkmatige verdeelde belastingen of andere variabele acties gecombineerd worden.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.14

Temperatuursinvloeden zijn indirecte, veranderlijke, statische belastingen. Wanneer de temperatuur van een balk toeneemt, verlengt hij een weinig. In de onderstelling dat de uiteinden van de balk niet kunnen bewegen, wordt deze uitzetting met andere woorden belemmerd en zijn de vezels van de balk aan drukspanningen onderhevig, die onbestaande zouden zijn indien de uiteinden van de balk vrijelijk konden bewegen. Kolommen dragen hun belastingen over via de fundering naar het werkterrein van Hades. Stel dat de voet van de middelste kolom van het raamwerk met stijve knopen in figuur 11 één cm meer zakt dan de voeting van zijn buren, dan zullen bijkomende spankrachten in de samenstellende onderdelen ontstaan. Dergelijke, indirecte, differentiële zettingen zullen bijgevolg vaak - maar niet altijd onrechtstreeks - het krachtenspel beïnvloeden. Klimatologische inwerkingen zijn Figuur 11 : differentiële zetting veranderlijke, vrije acties. Sneeuwbelasting op daken14 hoort tot de categorie van de statische acties. De grootte is sterk afhankelijk van een aantal factoren: hoogte boven de zeespiegel, breedtegraad, expositie of beschutting van het dak, uitgestrektheid en inclinatie van de dakschilden, mogelijkheid van sneeuwophoping. In onze contreien is de sneeuwbelasting matig en veel lager dan bijvoorbeeld in de noordelijker gelegen Scandinavische landen of in de zuidelijkere alpineregios’s. Accidentele belastingen kunnen, afhankelijk van hun herkomst, bij de statische of de dynamische krachtwerkingen ondergebracht worden. Het eerstgenoemde geldt voor acties die gepaard gaan met een brand. Over brandveilig ontwerpen en "Fire-safe engineering" kan veel gezegd worden, maar dit thema valt helaas buiten het kader van de uitgave - anno 2004 - van deze cursus.

3.3

Dynamische belastingen

Windbelasting, impact van een schip op een remming- of geleidingswerk of een dukdalf, explosies, seismen zijn slechts luttele voorbeelden van dynamische acties. In het opleidingsonderdeel "Berekening van Bouwkundige Constructies II" wordt een afzonderlijk hoofdstuk aan effecten van wind en windhinder gewijd. Aardbevingen zijn trillingsfenomenen die geassocieerd zijn met schokgolven in de aardkorst. Wanneer bijvoorbeeld in figuur 12 een star blok met massa M plotsklaps onderworpen Berekening van Bouwkundige Constructies I

M

V a Figuur 12

F

Draagsystemen en belastingen

1.15 

wordt aan een horizontale versnelling a van zijn voeting, dan zal het lichaam weliswaar ogenblikkelijk de opgelegde beweging volgen, maar tegelijkertijd ontstaat een 



traagheidskracht F   M. a in tegengestelde zin. Om het evenwicht te verzekeren is ze 



vergezeld van een schuifkracht V   F aan de voeting waartegen het lichaam weerstand moet bieden. Reële constructies zijn niet star en bijgevolg is de schuifkracht niet de enige bekommernis: de traagheidskrachten veroorzaken vervormingen en inwendige spankrachten in de trillende constructie, die zorgvuldig bestudeerd moeten worden. Deze complexe materie wordt ten gronde besproken in het opleidingsonderdeel "Dynamica van Constructies".

3.4

Belastingen door imperfecties

Geen enkele constructie is volmaakt: een balk is nooit perfect recht, een kolom staat nooit perfect in het lood. Het tegendeel beweren zou impliceren dat de tuigen waarmee ze gefabriceerd of gemonteerd werden en diegenen die de werktuigmachines ontwerpen en het materieel bedienen alle en allen perfect zouden zijn: we zouden leven in een kommerloze, volmaakte wereld die helaas ver weg is. Kleine, toevallige vormonvolmaaktheden, niet met het ongewapende oog waarneembaar, zijn eigen aan het fabricage- en oprichtingsproces, en zijn er de oorzaak van dat de constructie onderhevig is aan bijkomende belastingen met soms verstrekkende gevolgen. Aan de laatste zinsnede zal in de loop van de colleges "Berekening van Bouwkundige Constructies" voldoende aandacht geschonken worden. In onderstaande wordt alvast een eenvoudig voorbeeld ter verduidelijking van het ontstaan van de bijkomende krachtwerkingen aangereikt. F F



Scheve kolom

Volmaakt Rechte kolom h



C=0

C = F. 

Figuur 13: Imperfecties Beschouw een vrijstaande en aan zijn voeting ingeklemde kolom, die ter hoogte van de kop aan een verticale kracht onderworpen is (fig. 13). Een volmaakt in het lood staande kolom zal Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.16

enkel een even grote reactiekracht ter plaatse van de fundering ondervinden. Wanneer de hartlijn evenwel een kleine inclinatie  vertoont, vergt het evenwicht dat terzelfder tijd een reactiekoppel C = .h.F opgewekt wordt: de kolom is bijgevolg niet alleen onderworpen aan axiale krachten maar ook aan buiging. Belastingen door imperfecties vormen eigenlijk een bijzondere categorie. Ze zijn statisch of dynamisch naar gelang de direct aangrijpende krachten statisch of dynamisch van aard zijn. Ze kunnen zelfs door andere indirecte acties geactiveerd worden. Daarom ook worden ze hier in een afzonderlijke rubriek vermeld.

4

De studie van het krachtenspel

4.1

Algemene gedachtengang Het berekeningsproces omvat een aantal belangrijke stappen:

1. De omvang van de constructie die men wil bestuderen, moet eerst zorgvuldig gedefinieerd worden. Indien het bouwwerk in meerdere elementen onderverdeeld wordt, is het noodzakelijk om de randvoorwaarden van de elementen nauwkeurig te modelleren. In vele gevallen is dit een eenvoudige kwestie (bijvoorbeeld bij een eenvoudig opgelegde balk waar men aan het ene uiteinde een scharnierende ondersteuning en aan het andere een roloplegging voorziet). In andere gevallen is de modellering moeilijker en zal het zelfs aangewezen zijn om een uitgebreider draagsysteem te bestuderen (bijvoorbeeld een balk in een raamwerk met stijve knoopverbindingen: men zal genoodzaakt zijn om het krachtenspel in het raamwerk te analyseren ten einde de inwendige spanningsresultanten van de balk te kennen). 2. De natuur en grootte van de belastingen die op de constructie inwerken, moeten bepaald worden. Om in een vroeg stadium de krachten te kennen die op de fundering overgebracht worden, is het nodig een zogeheten krachtendaling te verrichten. Daarbij vormt de ontwerper zich een beeld van hoe belastingen door eigen gewicht en nuttige lasten naar de samenstellende, draagkrachtige elementen van de constructie gevoerd worden. Tijdens dit proces wordt het aandeel van de totale belasting dat ieder element of samenstel moet torsen, duidelijk. 3. Na het bepalen van de krachten en het vastleggen van de randvoorwaarden, worden de reactiekrachten, die de omgeving op het beschouwde element of samenstel uitoefenen ten einde het evenwicht ervan te verzekeren, begroot en worden de inwendige spankrachten (e.g. buigende momenten, dwarskrachten, normaalkrachten...) becijferd. Bij statisch bepaalde systemen is zulks eenvoudig; bij statisch onbepaalde wat moeilijker. Een constructie is statisch bepaald indien het mogelijk is om alle reactiekrachten en -koppels te vinden uitsluitend en alleen door middel van de vergelijkingen van de statica; men hoeft geen kennis te hebben van de reologie van de materialen waarvan de constructie vervaardigd is, en evenmin spelen compatibiliteitsvoorwaarden of aansluitvoorwaarden

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.17

daarbij een rol. Om het krachtenspel in hyperstatische systemen te onderzoeken heeft men de drie genoemde soorten betrekkingen nodig. 4. In een volgende fase wordt nagegaan of de constructie of onderdelen van de constructie voldoende sterkte hebben om aan alle uitwendige (inclusief de reacties) en inwendige krachten weerstand te bieden. Terzelfder tijd controleert men of de stijfheidsvoorwaarden vervuld zijn. Het laatste impliceert bijvoorbeeld dat de berekende doorbuigingen van balken of vloeren niet te groot mogen zijn. Ontwerpen en berekenen zijn onvermijdelijk iteratieve bezigheden. Indien een eenvoudig opgelegde balk een ontoereikende sterkte heeft, kan men hem forser maken, waardoor het algemene krachtenspel ternauwernood zal veranderen (het iets groter eigen gewicht van de balk is vaak verwaarloosbaar ten opzichte van de belastingen die hij moet torsen). Indien de balk evenwel star verbonden is met naburige elementen kan, als gevolg van de gewijzigde stijfheidskenmerken, de krachtenverdeling grondig gewijzigd worden, waardoor de sterkte en stijfheid van andere componenten van de constructie opnieuw moeten getoetst worden. Het is ook goed mogelijk dat de ontwerper een beoordelingsfout gemaakt heeft, wat leidt tot onrealistische afmetingen van de draagkrachtige elementen en waardoor de opvatting van de draagstructuur gewijzigd moet worden en het gepresteerde werk voor een groot gedeelte nutteloos blijkt.

4.2

Modelleren van de constructie

Constructies worden ten behoeve van de berekening onderverdeeld in meer eenvoudige samenstellen en elementen. Daarbij worden ze vrijgemaakt van naburige onderdelen – gewoonlijk ter plaatse van hun verbindingen – en vervangt men de actie van laatstgenoemde door een stel van gelijkwaardige krachten en krachtenkoppels. In een aantal gevallen is "het vrijmaken" zeer eenvoudig, zelfs triviaal; vaak is het niet zo voor de hand liggend.

a

b

Figuur 14 Een balk die eenvoudig opgelegd is op draagkrachtige muren, kan afzonderlijk bestudeerd worden, zoals figuur 14 duidelijk illustreert. De verticale reacties, uitgeoefend door de muren, worden als uitwendige belastingen op de uiteinden van de vrijgemaakte balk ingeleid. Hierbij is impliciet ondersteld dat de muren geen verzet bieden tegen de verdraaiing van de uiteinden van de balk terwijl hij doorbuigt, wat hier van toepassing is. Een andere Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.18

situatie doet zich evenwel voor bij een balk die deel uitmaakt van een raam met stijve knopen. Vermits de stijfheid van de kolommen verzet biedt tegen de verdraaiing van de balkuiteinden, worden daar eveneens krachtenkoppels getransfereerd, en vermits buigende momenten vaak vergezeld zijn van dwarskrachten, veroorzaken de buigende momenten in de kolom tevens normaalkrachten in de balk. Het vrijmaken van de balk vergt derhalve dat men ter hoogte van de verbindingen een verticale en een horizontale reactiecomponent invoert, tezamen met een reactiekoppel. Men zou een belangrijke fout begaan indien men de balk vrijmaakte als in de linkerhelft van figuur 14. Uit bovenstaande discussie moge blijken dat een goede modellering rekening dient te houden met de realistische natuur van de verbindingen tussen de verschillende componenten. Voor analytische doeleinden worden ze gewoonlijk onderverdeeld in rolopleggingen, scharnierende opleggingen en inklemmingen16; bij balk - kolomverbindingen maakt men een onderscheid tussen soepele, stijve en halfstijve verbindingen17. Een halfstijve verbinding brengt een krachtenkoppel over, maar tegelijkertijd ontstaat een relatieve hoekverdraaiing tussen de uiteinden van de elementen die ze verenigt; bij een stijve verbinding is die relatieve hoekverdraaiing nul. In praktische situaties is het vaak niet altijd makkelijk om onmiddellijk te differentiëren tussen scharnierende en stijve verbindingen. Een vuistregel is de volgende: indien een lid met een ander verbonden is in een zone waarvan de afmetingen beduidend kleiner zijn dan de overdwarse afmetingen van de verbonden elementen, kan men de verbinding doorgaans als scharnierend beschouwen. De onderste helft van figuur 15 toont twee mogelijkheden om een stalen balk te verbinden met een kolom. In het eerste geval is de verbinding gemaakt door het lijf van de balk te verbinden met de flens van de kolom: deze

Figuur 15 16 17

E: roller bearing, pin bearing, fixed or clamped bearing E: pin-jointed or flexible connections, rigid and semi-rigid connections

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.19

verbinding kan als een scharnier gemodelleerd worden. In het tweede zijn de beide flenzen van de balk gelast aan de kolom, is de verbindingszone met andere woorden even uitgestrekt dan de hoogte van de balk, en spreekt men dientengevolge van een stijve verbinding. Ook bij betonnen ramen zijn soepele en stijve verbindingen mogelijk (fig. 16).

Figuur 16

4.3

Lastendaling

Belastingen in een gebouw zijn gewoonlijk lijn- en oppervlaktebelastingen. Laatstgenoemde zijn bij onderstelling gelijkmatig gespreid over (een gedeelte van) het vloeroppervlak. De vloerconstructie kan bestaan uit lijnvormende en oppervlaktevormende, draagkrachtige componenten. Het aandeel van de belastingen dat opgenomen wordt door de genoemde componenten, hangt af van hun onderlinge schikking en stijfheden, van de ondersteuningsvoorwaarden en stijfheid van de verbindingen en natuurlijk van de plaatsing van de belastingen. Voor ontwerpdoeleinden is het verkieslijk om op een snelle manier een redelijke schatting te kunnen maken van de belastingen die naar de verschillende draagkrachtige onderdelen en naar de fundering overgebracht worden. Bij een dergelijke lastendaling zal men zich van vereenvoudigende aannamen bedienen, waarvan de voornaamste is dat men de dragende constructie-elementen als statisch bepaald beschouwt, zelfs al is dat niet het geval. Toepassingsvoorbeeld Figuur 17 toont de plattegrond van een monolithische vloer in gewapend beton die door een aantal balken ondersteund wordt. De balken rusten op hun beurt op massieve muren. In de vloer is een uitsparing voor het trappenhuis voorzien en verder werden een aantal scheidingswanden aangebracht. Er wordt gevraagd om de belasting op de balken en de muren te begroten. Het eigen gewicht van de balken mag verwaarloosd worden. Oplossing: We maken gebruik van de volgende notities: gv = eigen gewicht van de betonplaat, inclusief de afwerking N/m² pp = eigen gewicht voor de scheidingswanden N/m q = de nuttige belasting op het vloeroppervlak N/m². Berekening van Bouwkundige Constructies I

Draagsystemen en belastingen

1.20

Bij onderstelling is de nuttige belasting over de volle uitgestrektheid van de vloer werkzaam. We verdelen het vloeroppervlak in een aantal langwerpige, rechthoekige stroken, evenwijdig met de balken, waarvan de lange zijden samenvallen met het midden van de overspanningen tussen de balken. De mobiele en permanente belasting van een dergelijke moot wordt rechtstreeks overgebracht naar de eronder liggende balk, of bij een randstrook naar de aangrenzende balk. Dit is de vereenvoudigende hypothese waarvan sprake in bovenstaande theorie: de betonplaat is immers niet op een statisch bepaalde wijze ondersteund, ze is hyperstatisch en doorgaand over meerdere liggers. Partitie a rust op balk 2 en zijn eigengewicht wordt als lijnlast rechtstreeks op die balk overgedragen. Het eigengewicht van de scheidingswand b wordt als geconcentreerde belasting op de balken 2 en 3 overgebracht, voor 3/4 op eerstgenoemde en voor 1/4 op laatstgenoemde. De belastingsschema's van de verschillende balken zijn samengebracht in de figuur 18. De belasting op de muren bestaat uit een aantal geconcentreerde krachten die gelijk zijn aan de reactiekrachten van de balken doch met tegengestelde zin. 3 3 gv  q 2 2 1

RA

1 9

3m 2

8

3 gv3 q

RB p

p

a 2

b 3m

RC

3

3 gv3 q

8

p

RD

3 gv3 q

3 RE 3m

3

RF

3

3 gv  q 2 2

3

3 gv  q 2 2

4 2m

2m

4

2m

RG

Figuur 17 9 9 RA gv  q 2 2

RH Figuur 18

9 9 RB gv  q 2 2

15 15 1 RE gv  q p 2 2 8

17 RC9 gv 9 q p 24

15 15 1 RF gv  q p 2 2 4

29 RD9 gv 9 q p 12

RG3 gv 3 q

Berekening van Bouwkundige Constructies I

RH3 gv3 q

2 Algemene Sterkteen Stijfheidsvoorwaarden

Eurocode 6 Eurocode 5 Eurocode 4

Eurocode 7

Eurocode 8 Eurocode 9 ENV

Eurocode 3

EN

Eurocode 2

NTD

Eurocode 1

Interpretatieve documenten

Eurocode 0

CPD

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

1

2.2

Inleiding

Dit hoofdstuk bevat een aantal inlichtingen waarmee de ontwerper van gebouwen rekening dient te houden. Ze zijn aan nationale en internationale normen ontleend en worden ter illustratie vermeld. De lezer wordt ontraden die gegevens zonder inzage van de oorspronkelijke documenten in de praktijk te gebruiken. Richtlijnen die specifiek voor bruggen, metro’s en tunnels gelden, worden in cursussen over infrastructuurwerken behandeld.

2

Doelstelling van de structurele Eurocodes Een constructie moet veilig, duurzaam, bruikbaar en functioneel zijn.

Internationale technische genootschappen, die zich met de wereld van het bouwen bezig houden, hebben sedert meer dan 25 jaar grote inspanningen geleverd om een zekere mate van grensoverschrijdende eenheid in de voorschriften ter bepaling van de veiligheid en de bruikbaarheid van bouwwerken te bekomen. In het begin van de tachtiger jaren besloot de Commissie van de Europese Gemeenschappen het aldus gepresteerde werk gestructureerd samen te brengen om een geharmoniseerd geheel van technische regels voor het ontwerpen van gebouwen en van civieltechnische bouwwerken te ontwikkelen. Die regels, Eurocodes genoemd, zullen aanvankelijk naast de voorschriften die in de verschillende Europese landen gangbaar zijn, gehanteerd worden. Naderhand (en wellicht binnen afzienbare tijd) zullen ze de nationale normen volledig vervangen. In 1989 heeft de Commissie van de Europese Gemeenschappen de vervaardiging van de Eurocodes aan de CEN, het “Comité Européen de Normalisation”, overgedragen1. Het CEN verenigt de normalisatie-instellingen van de landen van de Europese Unie en van de zes landen

1

In 1989 wordt de BouwproductenRichtlijn (CPD: Construction Products Directive) door de Europese Gemeenschap goedgekeurd. Als gevolg van deze richtlijn mogen bouwproducten nog slechts in de handel gebracht worden - zowel in eigen land als in welk land van de Europese Unie dan ook - als ze "zodanige eigenschappen bezitten dat de bouwwerken, waarin zij moeten worden verwerkt, gemonteerd, toegepast of geïnstalleerd, indien behoorlijk ontworpen en uitgevoerd, kunnen voldoen aan de fundamentele voorschriften" .

Het uitgangspunt van de Bouwproductenrichtlijn is dat bouwwerken moeten voldoen aan de zes fundamentele voorschriften: mechanische weerstand en stabiliteit, brandveiligheid, hygiëne, gezondheid en milieu, veiligheid in gebruik, geluidsisolatie, energiezuinigheid en thermische isolatie. De Eurocodes hebben evenwel enkel betrekking op "Mechanische weerstand en stabiliteit", "Mechanische weerstand bij brand" en op bepaalde aspecten van "Gebruiksveiligheid". Door middel van Interpretatieve Documenten worden de zes fundamentele voorschriften (die betrekking hebben op bouwwerken) omgezet naar eisen voor de bouwproducten. De Europese Commissie geeft vervolgens voor elke productfamilie opdrachten ("mandaten" genoemd) aan de Europese instellingen voor het opstellen van geharmoniseerde productspecificaties."Geharmoniseerd" betekent hier "volgens de strikt juridische context van de Bouwproductenrichtlijn", dus als basis voor het toekennen van het CE-merk. De Eurocodes vormen een zeer belangrijke reeks normen om aan te tonen dat bouwwerken - gemaakt met bouwproducten die beschikken over een CE-merk volgens de CPD - ook in hun geheel voldoen aan de fundamentele voorschriften. De Eurocodes maken de intrede van de eenheidsmarkt makkelijker door de scheidingen te verwijderen tussen de verschillende ontwerpmethodes die gebruikt worden in de Europese Unie.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.3

van de Europese Vrijhandelszone. Sommige landen van Centraal- en Oost-Europa zijn aangesloten als buitengewone leden. Negen Eurocodes worden in afzonderlijke delen gepubliceerd. De toepassing van de Eurocodes, zowel in België als in andere Europese landen, verloopt in twee fasen: 



Eerst hebben ze de status van een Europese voornorm, ENV genoemd, die proefondervindelijk in plaats van de nationale normen mag - maar niet moet - gebezigd worden. In dit stadium gaan de ENV's vergezeld van de Nationale Toepassing Documenten NTD's2, die overgangsbepalingen bevatten en die nodig zijn met het oog op de aanwending van de ENV's op een wijze die strookt met het reglementaire bestel in het betrokken land. In het bijzonder kunnen in de ENV's tussen haken geplaatste getalwaarden, de zogenaamde "Boxed Values", desnoods door andere getallen vervangen worden. Het NTD is dus geen document dat zonder meer kan worden gebruikt; het kan alleen maar worden gebruikt in combinatie met de ENV waaraan het gekoppeld is, en is enkel geldig in het land dat het uitgevaardigd heeft. Twee jaar na de uitvaardiging van elke ENV wordt ieder lid van de CEN verzocht zijn bedenkingen betreffende de ENV te formuleren en desgewenst verbeteringen aan te vragen. Vervolgens wordt elke ENV bijgewerkt om zo goed mogelijk rekening te houden met de vergaarde opmerkingen. Dan wordt de ENV een EN, een Europese norm, en treedt ze in de plaats van de nationale normen die handelen over hetzelfde domein en die op dat ogenblik ongeldig worden. De competentie van de Lidstaten voor de veiligheid van de bouwwerken wordt gerespecteerd door de EN te vergezellen van een Nationale Bijlage of AN.3

De onderstaande lijst van de Eurocodes toont dat ze onderscheidenlijk betrekking hebben op de belasting van bouwwerken, beton, staal, staalbeton, hout, metselwerk, grond en funderingen, bestandheid tegen aardbevingen en aluminium4. EN 1990 EN 1991 EN 1992 EN 1993 EN 1994 EN 1995 EN 1996 EN 1997

Eurocode : Grondslag voor het ontwerp Eurocode 1 : Belastingen op Constructies Eurocode 2 : Betonconstructies Eurocode 3 : Staalconstructies Eurocode 4 : Gemengde staalbetonconstructies Eurocode 5 : Houten constructies Eurocode 6 : Gemetselde constructies Eurocode 7 : Geotechnisch ontwerp

2

E: National Application Document, NAD. De Nationale Bijlage kan de EN echter niet wijzigen zoals het NTD de ENV wijzigt: de AN moet zich tevreden stellen met de bepaling van de parameters die op nationaal vlak werden bepaald ("Nationally Determined Parameters" of NDP), die worden beschouwd als behorende tot de nationale bevoegdheid. Deze NDP stemmen overeen met de opengelaten keuzes in de EN, hetzij omdat het plaatselijke omstandigheden (klimaat, spoorwegen enz.) betreft, hetzij omdat het gaat om de voornaamste veiligheidscoëfficiënten van de bouwwerken, wat tot de nationale bevoegdheid behoort. In dat laatste geval laat de EN de keuze open, maar beveelt wel bepaalde waarden aan. 4 De meeste zijn onderverdeeld in meerdere rubrieken. Voor een overzicht wordt verwezen naar de website www.bbri.be/antenne_norm/eurocodes. 3

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden EN 1998 EN 1999

2.4

Eurocode 8 : Ontwerp van constructies tegen aardbevingen Eurocode 9 : Ontwerp van aluminium constructies

De Eurocodes zijn in de eerste plaats bestemd voor de ingenieurs belast met de berekening van de stabiliteit, maar ze zijn (en worden) ook nuttig voor de andere bouwpartners:  De fabrikanten en verkopers van producten met een dragende functie (lateien, prefabliggers, metselwerkelementen en -blokken, damplanken,...) worden geconfronteerd met openbare en particuliere opdrachtgevers die met de Eurocodes werken (eventueel via een architect of ingenieur). Ze zullen hun fabricageproces en technische documentatie moeten aanpassen aan de terminologie en classificatie van de producten die eigen zijn aan de Eurocodes.  De architecten, ingenieurs en aannemers die onderling moeten kunnen communiceren, moeten onvermijdelijk vertrouwd geraken met de Eurocodes.  Ten slotte gebruiken de aannemers materialen waarvan de benaming en karakteristieken specifiek zijn volgens de Eurocodes. Bovendien bepalen die laatste regels voor de uitvoering van de bouwdetails, de uitvoering en controle van de werken (bijvoorbeeld betondekking van de wapening, plaatsing van wapening in metselwerk...).

3

Methode van de grenstoestanden

3.1

Grenstoestanden

Het doel van de activiteit van een ingenieur is het ontwerpen van bouwwerken derwijze dat ze gedurende de verhoopte levensduur van de constructie en tijdens het gebruik ervan geschikt en veilig zullen blijven. Ze mogen niet in een zogenaamde grenstoestand raken, waarin ze om de ene of andere reden voor dat gebruik niet meer deugen. Men onderscheidt twee klassen van grenstoestanden: bezwijktoestanden en gebruikgrenstoestanden. 3.1.1 Bezwijktoestanden of Uiterste Grenstoestanden (UGT)5 Het bouwwerk kan bezwijken doordat: 1) Het als een star lichaam zijn evenwicht verliest (EQU in Eurocodetaal). Onderstel dat het scharnier A in figuur 1 een eenzijdige verbinding voorstelt die wel een opwaartse, maar geen neerwaartse reactie kan leveren.

5

F p A

B a

b

Figuur 1

E: ultimate limit states (ULS)

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

Indien F. b  p.

2.5

a2

kan het statische evenwicht niet verzekerd worden. 2 2) Eén of meerdere kritieke doorsneden breken (STR in Eurocodeterminologie). Indien het overgangsmoment F.b de sterktereserve tegen buiging overtreft, zal doorsnede B in figuur 1 ongetwijfeld het begeven. Aardbevingen hebben vaak dergelijke, met groot onheil gepaard gaande breuken, tot gevolg (fig. 2).

Figuur 2: uiterste grenstoestanden 3) Excessieve verplaatsingen de constructie dichter bij een bezwijktoestand brengen (e.g. een te soepel raamwerk waar 2de orde-effecten belangrijke extra buiging bewerkstelligen) (STR). 4) Het draaggestel geheel of ten dele in een mechanisme ontaardt door het verschijnen van een aantal plastische scharnieren6 (STR). 5) Het evenwicht van de constructie of van een deel ervan instabiel wordt (STR). Hierbij kunnen vele vormen van instabiliteit zich voordoen: Pcr algemene instabiliteit van het dragende systeem, knik van Figuur 3: knik van drukstaaf een drukstaaf (fig. 3) of van een boog, kip van een ligger, doorslag van een boog of van een schaal… Bijvoorbeeld toont de figuur 4 een stalen watertoren die instortte toen hij in het bijzijn van tal van kijklustigen, verslaggevers en notabelen voor de eerste keer - bij wijze van proef - met water gevuld werd. De narigheid bleek te wijten te zijn aan het plooien van de dunne mantel van het trechtervormige reservoir. 6) Materiaalmoeheid te wijten aan herhaalde belastingen progressieve scheurvorming in de hand werkt. Dit verschijnsel kan tot plotse knapbreuken aanleiding geven (FAT).

6

Het begrip “plastisch scharnier” komt ter sprake in het opleidingsonderdeel “Metaalconstructies”. We verwijzen naar een korte toelichting in de les.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.6

7) De gondslag waarop ze rust onmogelijk reacties kan leveren die met alle rustende en variabele belastingen evenwicht maken, waardoor het evenwichtsdraagvermogen overschreden wordt, of dat het evenwicht wel net mogelijk is maar de vervormingen van de grondslag veel te groot worden (GEO).

Figuur 4: instorting van een watertoren Het spreekt voor zich dat het nazicht van de bezwijktoestanden tot doel heeft dat de veiligheid van de constructie en vooreerst deze van de personen die erin werken, leven of ervan gebruik maken, gevrijwaard worden. Effect E van de belastingen

Het betrouwbaarheidsthema dat men bewandelt, is semi-probabilistisch Weerstand R gekleurd. Zij E een effect van de belastingen (e.g. een buigend moment) en R de buigsterkte, dan zullen beide ten gevolge van tal van wisselvalligheden aanvaardbaar (tijdsafhankelijke belastingen, risico maattoleranties…) een statistisch Ek Rk E,R karakter vertonen. Fig. 5 toont de probabiliteitFiguur 5: betrouwbaarheidsthema densiteitfuncties van E en R. Daar waar de krommen mekaar overlappen, mag men narigheden verwachten. Het risico om een grenstoestand te bereiken, wordt door de gearceerde oppervlakte in figuur 5 aangegeven. p

3.1.2 Grenstoestanden met betrekking tot de bruikbaarheid (functionaliteit, comfort, uitzicht) of tot de duurzaamheid (Gebruikgrenstoestanden (GGT))7 Als oorzaken van dergelijke grenstoestanden vermelden we:

7

E: serviceability limit states (SLS)

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.7

1) Overdreven vervormingen in de constructie waardoor bepaalde onderdelen een ongewenst uitzicht krijgen, niet langer degelijk bruikbaar zijn of abnormaal belast worden (bijvoorbeeld een doorbuigend plat dak door een bemoeilijkte afvoer van regenwater) en waardoor bijkomstige, niet-dragende constructiedelen in het gedrang komen. 2) Onaanvaardbare scheurvorming waardoor het uitzicht op negatieve wijze beïnvloed wordt, mogelijk met schadelijke gevolgen voor de duurzaamheid van de constructie en gebeurlijk met nefaste psychologische weerslag voor de gebruikers ervan (fig. 6)

Figuur 6: onaanvaardbare scheurvorming 3) 4)

plaatselijke beschadiging door afschilfering en corrosie. hinderlijke trillingen veroorzaakt door voertuigen, door machines, windstoten… .

3.2

Oorzaken van onzekerheid

In de beoordeling van de kans op het bereiken van een grenstoestand schuilen vele onzekerheden: 1) De eigenschappen van de materialen vertonen bij proefnemingen op monsters een zekere spreiding … 2) … en kunnen bovendien in het bouwwerk anders dan bij de proefstukken zijn omdat een aantal omstandigheden, onder meer de duur van de belasting, verschillend zijn. 3) De belastingen F zijn niet met zekerheid voorspelbaar … 4) … en ofschoon men er voorzichtig gekozen, zogenaamde karakteristieke waarden voor aanneemt, is het niet uitgesloten dat ze in werkelijkheid toch eens ongunstiger zijn dan de karakteristieke waarden of dat ze op onnauwkeurige wijze in de analyse betrokken worden (grootte, spatiale en temporale verdeling) … 5) … terwijl het ook onwaarschijnlijk is dat ze ooit alle terzelfder tijd hun meest ongunstige invloed zullen uitoefenen. Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.8

6) Onzekerheden bij de begroting van het effect E van de belastingen vloeien voort uit de onvolmaaktheid van de berekening, het rekenmodel en de uitvoering (vormonnauwkeurigheden). De lezer beseffe dat met "onvolmaaktheid" geenszins blunders toegedekt worden. 3.2.1 Blijvende, variabele en accidentele belastingen Het woord "belastingen" of “acties” moet in ruime zin begrepen worden; we hebben in het hoofdstuk “Draagsystemen en belastingen” erop gewezen dat ze het gevolg van talrijke en sterk uiteenlopende oorzaken kunnen zijn. Om de combinatieregels voor belastingen - cfr. infra - die in de Eurocodes gehanteerd worden, goed te begrijpen, wordt de onderverdeling van acties in tijd en ruimte in herinnering gebracht:  Variatie in de tijd - Permanente of blijvende belastingen G: de variatie van dergelijke belastingen ten opzichte van de gemiddelde waarde is gering. Nochtans kunnen er onzekerheden over hun werkelijke waarde bestaan onder meer wegens variaties gedurende het verwerken van de constructiematerialen. De blijvende belastingen omvatten voornamelijk: het eigen gewicht van het draagsysteem, het gewicht van de niet-dragende onderdelen zoals binnenwanden, uitrustingen, valse zolderingen, vers beton... , de belasting door gronddruk, de belasting door voorspanning8, de krachten als gevolg van een waterpeil dat vrijwel gelijk blijft of dat door een overloop beperkt is, de vervormingen die uit de bouwwijze, krimp, uitzetting of kruip van de bouwstof voortvloeien, de belastingen wegens de zetting van de grond, mijnverzakkingen inbegrepen. - Variabele belastingen Q omvatten voornamelijk de nuttige lasten, de belasting tijdens de opbouw onder andere door heftuigen of door opslag van bouwstoffen, de gronddruk die van beweeglijke bovenbelasting voortkomt, de klimatologische inwerkingen ten gevolge van sneeuw, wind, hagel, rijm, ijs... , de schommelingen van het waterpeil, het veranderlijke gedeelte van de opgelegde of verhinderde vervormingen voortkomend van temperatuur of vochtigheid. - Accidentele of bijzondere belastingen A waaronder vermeldenswaard zijn: explosies en impact door voertuigen, brand, onvoorziene bodem- en mijnverzakkingen, aardverschuivingen en lawines, aardbevingen (in onze contreien als accidentele, in aardbevingsgebieden als veranderlijke belastingen te beschouwen), overstromingen en onvoorziene erosie, orkanen en windhozen.  Variatie in de ruimte - Vaste acties: bijvoorbeeld eigen gewicht. - Vrije belastingen: bijvoorbeeld nuttige lasten, wind, sneeuw... . Een belangrijk gegeven hierbij is dat vrije belastingen spatiaal verdeelbaar zijn: dat wil zeggen dat ze naar gelang 8

De voorspanning P wordt in de combinatieregels van de Eurocodes afzonderlijk vermeld. Op dit aspect zal in de cursus “Gewapend en Voorgespannen Beton” zeer zeker dieper ingegaan worden.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.9

van de omstandigheid op de ene plaats wél en op een andere niet aanwezig kunnen zijn. Bijgevolg zal de ontwerper bijzondere aandacht eraan moeten schenken dat dergelijke acties al dan niet in rekening gebracht dienen te worden om een zo ongunstig mogelijk effect te bekomen.

3.3

Wijze van rekening houden met de onzekerheden

Aan de hand van statistische gegevens is het mogelijk de onzekerheden te wijten aan spreiding van de materiaaleigenschappen en in principe ook de onzekerheden betreffende de waarde van de belastingen kwantitatief in de berekening te verwerken. De overige opgesomde wisselvalligheden kunnen echter niet anders dan met empirische coëfficiënten  opgevangen worden. De methode van de grenstoestanden is in haar geheel genomen ten dele probabilistisch en ten dele deterministisch; zij wordt derhalve semi-probabilistisch genoemd. Met de zes genoemde onzekerheden wordt als volgt rekening gehouden: 1) Men beproeft een voldoend aantal monsters n van het materiaal, meet telkens de 2 overwegende sterkteparameter f en berekent het rekenkundige gemiddelde f , de variantie s en de karakteristieke sterkte fk = f -s, waarvan men mag verwachten dat ze door een groot percentage van andere stalen van het materiaal overschreden zal worden. Indien men dat percentage op 95 % vastlegt, moet men blijkens de waarschijnlijkheidsleer  = 1,64 nemen, gesteld dat de sterktecijfers normaal verdeeld zijn volgens een kromme van Gauss. 2) Men bepaalt de rekenwaarde voor de sterkte fd door fk te delen door een sterktefactor M , groter dan één:

f fd  k M

(1)

3) Uit statistische waarnemingen leidt men de karakteristieke waarde Fk van de beschouwde belasting F af die 95 % kans heeft tijdens de normale levensduur van de constructie (bijvoorbeeld 50 jaar) niet te zullen overtroffen worden of die gemiddeld één keer gedurende een gegeven aantal jaren of gedurende de verwijzingsperiode voorkomt. De verwijzingsperiode is de conventionele duur voor dewelke het nazicht van de veiligheid of bruikbaarheid verricht wordt. Het betreft: de uitvoeringstermijn, de duur van een uitvoeringsfase, de gebruikstermijn of de volledige levensduur van het bouwwerk. In geval ze op de levensduur van het bouwwerk slaat, bedraagt de verwijzingsperiode bij wijze van inlichting: 10 jaar voor tijdelijke constructies, 25 jaar voor industriële constructies, 50 jaar voor gebouwen, 100 jaar voor kunstwerken, 1 jaar voor bouwfasen. Vaak neemt men in de praktijk voor Fk een nominale waarde van F, waarbij de laatste niet met een bepaalde distributiefunctie overeenstemt, maar uit de opgedane ervaringen resulteert. Op de gebruikers rust de verplichting de nominale F niet te overschrijden. Wat de blijvende belastingen G betreft, definieert men een bovengrens Gksup met een waarschijnlijkheid van 5 % om overschreden te worden en een benedengrens Gkinf die in Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.10

5% van de gevallen niet bereikt zal worden: Gksup = G + 1,64sG en Gkinf = G - 1,64sG Gronddruk op keringen te wijten aan het volumegewicht van de gekeerde grond is een voorbeeld van een blijvende actie met een niet onaanzienlijke variatiecoëfficiënt. In het merendeel der berekeningen kan dit onderscheid vervallen en wordt elke blijvende belasting G door één enkele waarde Gk voorgesteld, hetzij omdat er omtrent haar werkelijke waarde weinig twijfel bestaat, hetzij omdat de variatiecoëfficiënt van G gedurende de verwijzingsperiode niet groter dan 0,1 is. Het eigen gewicht van de constructie kan bijvoorbeeld op basis van de nominale afmetingen en de gemiddelde materiaaldensiteiten begroot worden en door één enkele waarde Gk voorgesteld worden. Als de vermindering van de blijvende belasting (bijvoorbeeld een voorspankracht, een tegengewicht) gevaarlijk zou kunnen zijn, moet men precies die karakteristieke waarde nemen welke met een hoge waarschijnlijkheid blijvend overtroffen zal worden. 4)5) In de berekening worden combinaties van belastingen bekeken, waarbij de krachten met hun rekenwaarde (design value) ingevoerd worden:  Fd    F.Fr

(2)

Deze rekenwaarden worden verkregen door vermenigvuldiging van de individuele representatieve waarde Fr van de belastingen met de belastingsfactor F. Gewoonlijk is Fr = Fk . Andere representatieve waarden van een variabele belasting worden als volgt gedefinieerd:  De samenstelwaarde 0Qk (combination value) geldt voor zelden voorkomende combinaties (van belastingen) en heeft als doel de gereduceerde probabiliteit van een simultaan optreden van de meest ongunstige waarde van de verschillende belastingen (fig. 7) in rekening te brengen.  De veel voorkomende waarde 1Qk (frequent value) speelt een rol bij het herhaaldelijk optreden van veranderlijke belastingen. Zij wordt zodanig gekozen dat de totale overschrijdingstijd ten opzichte van de verwijzingsperiode klein is of zodanig dat de frequentie waarmee ze overschreden wordt, beperkt is. Zij wordt voor het nazicht van gebouwen in het algemeen gelijk genomen aan de waarde die gedurende ongeveer 1 % van de verwijzingsperiode overschreden kan worden.  De bijna blijvende belasting 2Qk (quasi-permanent value) is zodanig gekozen dat ze gedurende minstens 50% van de referentietijd overschreden wordt. Figuur 8 toont schematisch de karakteristieke, de veel voorkomende en de bijna blijvende waarde van een tijdsafhankelijke variabele belasting met een herhalingstijd van bijvoorbeeld 50 jaar; dat wil zeggen dat de amplitude van de belasting eenmaal om de 50 jaar overschreden zal worden. De samenstelwaarden worden gebruikt om het nazicht van de uiterste grenstoestanden en de zelden optredende irreversibele gebruikgrenstoestanden (scheurvorming, excessieve vervorming die het scheuren van gedragen onderdelen met zich meebrengt) te exploreren. Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.11

De vaak aanwezige waarden en de bijna blijvende belastingen worden aangewend voor het bestuderen van de uiterste grenstoestanden waar accidentele belastingen een rol spelen, en voor het nazicht van reversibele gebruikgrenstoestanden (het bestuderen van het vermoeiingsgevaar en trillingen). De quasi blijvende waarden worden ook gebruikt om de effecten op langere termijn in gebruikstoestand (bijvoorbeeld kruipvervorming) te bestuderen. F1

F1,max

tijd T F2

F2,max

tijd T

Figuur 7: tijdsafhankelijke acties gedurende de verwijzingsperiode T

Q Qk 1Qk 2Qk

1% van tref 50% van tref

tref

tijd

Figuur 8 6) Gewoonlijk worden geometrische gegevens door hun nominale waarden (ad = anom) in rekening gebracht tenzij afwijkingen van die waarden een belangrijk nadelig effect met betrekking tot de betrouwbaarheid van de constructie tot gevolg hebben. Dit kan gebeuren Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.12

doordat kleine vormonvolmaaktheden (scheefstand, ongewilde en met het blote oog nauwelijks waarneembare uitbuiging van kolommen in onbelaste toestand) de constructie dichter bij het bezwijken zouden brengen dan wanneer die vormfouten niet aanwezig waren. In dit geval wordt de rekenwaarde van de geometrische afmetingen ingevoerd als: ad = anom+a. Opmerkingen:  De partiële veiligheidsfactoren M en F zijn afhankelijk van de materialen, de aard van het bouwwerk, de belastingen en de beschouwde grenstoestand.  Men beseffe dat F.Fr geen algebraïsche som voorstelt want de belastingen die erin voorkomen, verschillen in aard en verdeling.

3.4

Basisvoorwaarde

De gewenste veiligheid is voorhanden indien de rekenwaarde Ed van het effect van elke in aanmerking te nemen combinatie van belastingen en voor elke mogelijke bezwijktoestand ten hoogste gelijk is aan de overeenstemmende weerstand Rd van de constructie, zoals deze op basis van de rekenwaarde van de sterkte van de materialen begroot is. De basisvoorwaarde (STR/GEO) luidt dus: Ed  Rd met Ed = E(Fd , fdj , adn) en Rd = R(fdj , adn)

(3)

We merken op dat zowel E als R allebei een buigend moment, een normaalkracht, een wringend moment, een spanning... kunnen zijn. Als de beschouwde grenstoestand met het verlies van het statische evenwicht of met grote verplaatsingen van de constructie als een star lichaam gepaard gaat (EQU), wordt voorwaarde (3) in lichtjes gewijzigde vorm geschreven: Ed,dst  Ed,st , Ed,dst = E(Fd,dst , adn) en Ed,st = E(Fd,st , adn)

(4)

Ed,dst is een functie die de ongunstige belastingseffecten weergeeft, terwijl Ed,st de stabiliserende belastingseffecten tot uiting brengt. Voor de gebruikgrenstoestanden wordt de voorwaarde om een grenstoestand niet te overschrijden doorgaans geschreven als: Ed  Cd ,

(5)

met Cd als aanvaardbare grenswaarde voor het bekeken effect (een doorbuiging, een rek, een hoekverdraaiing, een scheurwijdte... ).

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.13

Omwille van de eenvoud wordt vaak - indien zulks mogelijk is - een lineaire berekening opgezet, waarbij men eerst voor elke individuele actie afzonderlijk het meest nadelige effect becijfert en men daarna Ed door superpositie als volgt kan berekenen: Ed =  F . E(Fr , akn)

(6)

Merk op dat de materiaalsterkte niet tussenkomt vermits een lineaire benadering ipso facto onbeperkt elastische bouwstoffen onderstelt.

3.5

Belastingscombinaties

Steeds zal men de meest ongunstige combinatie van belastingen opsporen. Bovendien is het in aanmerking te nemen samenstel afhankelijk van de ontwerptoestand en de beschouwde grenstoestand. 3.5.1 Bezwijktoestanden Gedurende de bouw en het gebruik van de constructie kunnen verscheidene toestanden onderscheiden worden tijdens welke de basisvoorwaarden (3), (4) en (5) vervuld moeten zijn. Deze ontwerptoestanden kunnen zijn: 1) Blijvende toestanden (persistent situations) gedurende het gewone gebruik én, voorbijgaande toestanden van korte duur (transient situations) waarvan het optreden gedurende de bouw (een nog onvolledig draagsysteem) of gedurende het gewone gebruik (herstellingen, verbouwingen) zeer waarschijnlijk is. Deze toestanden zijn de zogeheten basisontwerptoestanden. 2) Bijzondere toestanden van korte duur (accidental situations) en met een kleine waarschijnlijkheid van optreden gedurende of na een ongewoon gebruik of een ongeval. Men spreekt hier van buitengewone of bijzondere ontwerpsituaties. 3) Bijzondere toestanden samengaand met seismen. Voor elke ontwerptoestand zoekt men die samenstellen waaruit het ongunstigste effect resulteert. Elk samenstel van belastingen omvat:  het geheel van de blijvende belastingen,  het gebeurlijk effect van de voorspanning,  één veranderlijke of een bijzondere belasting die als dominante of hoofdbelasting genomen wordt en de overige veranderlijke “neven”belastingen. Wanneer het niet vanzelfsprekend is welke veranderlijke actie dominant is - dwz welke de meest ongunstige combinatie oplevert -, is het nodig alle mogelijke en verschillende veranderlijke belastingen beurtelings als dominante te beschouwen om hieruit het meest ongunstige samenstel te kunnen afleiden. Volgende samenstellen worden onderscheiden: Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.14

1) Basissamenstel:

 G . G k   Q . Qk    Q .  0i . Qki i1

(Set B – STR)9

(7)

In dit geval wordt de karakteristieke waarde van de blijvende belastingen met één enkele factor vermenigvuldigd. Is de blijvende belasting met betrekking tot het bekeken effect globaal genomen gunstig dan wel ongunstig, bedraagt  G respectievelijk 1,00 en 1,35. We merken evenwel op dat dit in het verleden reeds meermaals een punt van discussie is gebleken en dat daarenboven in de Eurocodes specifieke uitzonderingen expliciet vermeld worden: in gevallen waar de grenstoestand zeer gevoelig is aan variaties van een blijvende actie (bijvoorbeeld bepaalde types van voorgespannen bouwwerken), moet men Gksup of Gkinf in rekening brengen en deze respectievelijk met 1,35 of 1,00 vermenigvuldigen.  Q  1,50 of 0,00 als de variabele actie een ongunstige of gunstige uitwerking heeft. Indien de bezwijktoestand met verlies aan statisch evenwicht van het als star onderstelde lichaam gepaard gaat, dan worden de factoren gewijzigd: G.Gk = 1,10.Gksup of 0,90.Gkinf

(Set A – EQU)

(8)

Merk op dat het ongunstige gedeelte van de permanente actie altijd met een andere partiële factor vermenigvuldigd wordt dan bij het gunstige gedeelte het geval is. 3) Bijzonder samenstel voor accidentele ontwerptoestanden:

G k  Ad  1.Qk1    2i .Qki i 1

(9a)

4) Bijzonder samenstel voor seismen:

G k  A Ed    2i .Q ki i 1

(9b)

Bij het nazicht van het effect van bijzondere samenstellen worden alle partiële factoren de waarde één toegekend. Gunstige variabele acties worden vanzelfsprekend niet in rekening gebracht. Kanttekeningen:  Er bestaan specifieke regels voor het toetsen van de deugdelijkheid van de constructie bij aardbevingen of voor het bestuderen van het vermoeiingsgevaar.

9

Voor het geotechnisch ontwerp wordt tevens Set C voorgeschreven. We komen hierop terug in het kader van de berekening van grondkerende constructies in “Berekening van Bouwkundige Constructies II”.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.15

 De factoren 1,35 en 1,5 zijn zo bepaald dat de waarschijnlijkheid van het werkelijk op-5 treden van een bezwijktoestand gedurende het bestaan van een bouwwerk ongeveer 10 bedraagt: dit is de normale veiligheid voor de gevolgenklasse CC2. In gevallen waar het bereiken van een bezwijktoestand bijzonder ernstige gevolgen zou hebben (gevolgenklasse CC3; bijvoorbeeld een opslagplaats voor giftige stoffen, een stuwdam, een kerncentrale), is het wenselijk een verhoogde veiligheid in rekening te brengen terwijl tijdens een uitvoeringsstadium of voor minder belangrijke bouwwerken (gevolgenklasse CC1; bijvoorbeeld een schuur of een tuinmuur of een golfbreker) een kleinere veiligheidsmarge aanvaardbaar is. De ANB van EN 1990 geeft de partiële factoren voor de gevallen van de versterkte en de verminderde veiligheid.  De aangegeven getalwaarden voor de belastingscoëfficiënten zijn niet onbetwistbaar: de (internationale) normen zijn immers bijna voortdurend aan wijziging onderhevig naar gelang van de in de praktijk opgedane ervaringen en de vooruitgang van de wetenschap. 3.5.2

Gebruikgrenstoestanden met betrekking tot bruikbaarheid of duurzaamheid

Men bekijkt gebruikssamenstellen waarbij de hoofdbelasting (dominante actie) altijd een variabele belasting is. Volgens de bekeken grenstoestand onderscheidt men: 1)

Zelden aanwezige of karakteristieke combinaties:

G k  Qk1    0i . Qki i1

2)

(10)

Vaak aanwezige combinaties van belastingen:

G k  1.Q k1    2i .Q ik

(11)

i >1

3)

Bijna steeds aanwezige combinaties van belastingen:

G k    2i .Q ik

(12)

i1

Opmerkingen:  Alle partiële veiligheidsfactoren worden aan de eenheid gelijkgesteld. Het hoeft eigenlijk niet meer gezegd dat variabele belastingen met gunstig effect niet in acht genomen worden.  Combinatie (10) wordt gebruikt om de ogenblikkelijke doorbuiging te berekenen, (11) en (12) om de scheurvorming van betonnen constructies op toelaatbaarheid te beproeven, (11) om het vermoeiingsgevaar te onderzoeken en (12) tenslotte om de kruipvervorming te toetsen.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.16

3.5.3. Getalwaarden 0 , 1 , 2 De in tabel I verzamelde getalwaarden zijn ontleend aan de Nationale Bijlage A1 bij EN 1990, daterend van september 2005, en zijn afhankelijk van de categorie waarin men de nuttige belasting of gebruiksbelasting kan onderbrengen. 0

1

2

0,7 0,7 0,7

0,5 0,5 0,7

0,3 0,3 0,6

0,7 1,0

0,7 0,9

0,6 0,8

categorie F: voertuiggewicht  30 kN categorie G: 30 kN < voertuiggewicht  160 kN categorie H: daken

0,7 0,7 0

0,7 0,5 0

0,6 0,3 0

Sneeuwbelasting op gebouwen

0,51)

0,0

0

Windbelasting op gebouwen

0,61)

0,2

0

Temperatuursinvloeden (andere dan afkomstig van brand) op gebouwen

0,61)

0,5

0

Belasting Gebruiksbelasting in gebouwen categorie A: huiselijke, residentiële ruimten categorie B: kantoorruimten categorie C: vergaderruimten (behalve deze van A, B en D) categorie D: winkelruimten categorie E: opslagruimten

Verkeersbelasting in gebouwen

1)

Wanneer een veranderlijke belasting van korte duur (minder dan 1 maand), bv. opgelegde belasting, wind, sneeuw, temperatuur, in een combinatie wordt gevolgd door een andere belasting van korte duur, mag de waarde 0 = 0,3 worden gebruikt voor deze tweede veranderlijke belasting wanneer deze sneeuw, wind of een temperatuurverandering is. Tabel I: waarden van de coëfficiënten  Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

3.6

2.17

Sterktefactor M

De partiële veiligheidsfactor M is vanzelfsprekend afhankelijk van het gebruikte constructiemateriaal.  Staal: de voor de constructeur belangrijkste sterkte-eigenschap is ontegensprekelijk de vloeigrens (of 0,2 % rekgrens voor hoogwaardiger staalsoorten)

f yd 

f yk M

.

(13)

M = M0 = 1,0 indien men de sterkte van niet door boutgaten verzwakte doorsneden of lokale instabiliteiten – e.g. plooien van dunwandige flenzen en lijfplaten door druk- of schuifspanningen – controleert. M = M1 = 1,1 indien effecten van algemene instabiliteit – e.g. Eulerknik van een drukstaaf, schranken van een raamwerk – onderzoekt.10 M = 1,25 indien men de sterkte van de netto doorsnede ter plaatse van boutgaten onderzoekt, en ook wanneer men de stevigheid van las- en boutverbindingen nakijkt. Bij voorgespannen boutverbindingen met overmaatse of sleufgaten neemt men een iets grotere sterktefactor, namelijk 1,40.  Bouwwerken van gewapend of voorgespannen beton: voor wapeningsstaal neemt men doorgaans M = 1,15 terwijl de karakteristieke cilindersterkte gedeeld wordt door een factor die van de aard van de keuring afhankelijk is en die ongeveer 1,50 bedraagt. Voor meer informatie ter zake verwijzen we uiteraard naar de cursus “Gewapend en Voorgespannen Beton”.

4

Methode van de toelaatbare spanningen

Deze in onbruik geraakte methode bestaat erin de spanningen welke door zekere combinaties van gebruiksbelastingen opgewekt worden, te beperken tot toelaatbare spanningen, die - afhankelijk van de beschouwde combinatie - fracties van de overwegende sterkteparameter van het materiaal zijn: bijvoorbeeld 2/3 van de vloeigrens of 0,2% rekgrens van het staal, een fractie van de druksterkte van beton of metselwerk… . Ze wordt hier vermeld omdat ze in oudere normdocumenten gehanteerd en nog in een groot aantal landen toegepast wordt. Daarenboven gaat men na of aan de bruikbaarheidvoorwaarden betreffende doorbuiging en scheur10

Een verschillende getalwaarde van M0 en M1 leidt onvermijdelijk tot conflictsituaties. Een op druk belaste staaf zal sneller uitknikken wanneer zijn lengte groter is. Naarmate de staaf korter wordt, daalt de fysische relevantie van het knikken en voor zeer korte staven wordt de rekenwaarde van de sterkte eigenlijk bepaald door de sterkte van zijn doorsneden, waarvoor M0 van toepassing is. Nochtans moeten op druk belaste staven – zelfs korte – altijd op knikken getoetst worden en is men genoodzaakt de partiële veiligheidscoëfficiënt M1 toe te passen wat tot een lagere weerstand leidt indien M1 = 1,1. Wellicht zal de getalwaarde van M1 in de nabije toekomst eveneens de waarde 1,0 toebedeeld worden en zal men op die manier bij stalen constructies ook niet langer differentiëren tussen de sterkte van doorsneden en instabiliteit van staven.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.18

vorming voldaan is. Deze voorwaarden zijn overigens dezelfde als in de methode van de grenstoestanden. De methode van de toelaatbare spanningen vergt enkel de kennis van de gebruikstoestand terwijl men bij de methode van de grenstoestanden zowel de bezwijktoestand als de gebruikstoestand onderzoekt. De eerstgenoemde methode is overigens een veilige werkwijze: globaal genomen biedt ze voor statisch bepaalde constructies nagenoeg een zelfde veiligheidsmarge, maar levert ze een merkelijk hogere - doch niet bekende marge - voor statisch onbepaalde draagsystemen. Zij is lang de algemeen gangbare ontwerpmethode van de bouwkundig ingenieurs geweest.

5

Belasting door raamwerkimperfecties

Men maakt onderscheid tussen algemene vormonvolmaaktheden, de zogeheten raamwerkimperfecties11 (bijvoorbeeld uit het lood staande kolommen) en vormafwijkingen van individuele constructiedelen12 (bijvoorbeeld het gemis van rechtheid van een drukstaaf). Inlichtingen betreffende laatstgenoemde zullen bij de sterkteberekening van knikgevoelige, samengedrukte staven gegeven worden. Deze materie valt echter buiten het kader van onderhavig opleidingsonderdeel. Het NTD van Eurocode 3, deel 1-1, bepaalt dat men het effect van geometrische onvolmaaktheden slechts bij het beoordelen van de bezwijktoestand in rekening moet brengen. Dit betekent ook dat men bij de berekening van de doorbuigingen en vervormingen in de gebruikgrenstoestanden mag uitgaan van het draagsysteem zonder imperfecties, dit is alsof de geometrie volmaakt zou zijn. Volgens hetzelfde document is het toegestaan om voor het nazicht van de uiterste grenstoestanden de raamwerkimperfecties niet in rekening te brengen indien de eventueel aanwezige, horizontale belasting, welke bijvoorbeeld door de werking van de wind veroorzaakt kan worden, aanleiding geeft tot horizontale verplaatsingen, die minstens de voorgeschreven, aanvankelijke scheefstanden evenaren. De samensteller van voorliggende tekst deelt dit standpunt niet.

5.1

De algemene vormonvolmaaktheden zijn verschillend voor gebouwen met een stalen of een betonnen skelet.  Voor gebouwen met een betonnen skelet hanteert men de empirische formule 1 1     (14a) 0 100 h 400 d indien 2de orde-effecten verwaarloosbaar zijn. 11 12

Hd

Raamwerkimperfecties (fig. 9)

d

Hd

Figuur 9: scheefstand

E: general imperfections E: member imperfections

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.19

h is de hoogte van het gebouw en wordt in meter uitgedrukt. Zijn de genoemde effecten niet verwaarloosbaar, dan moeten ze wel degelijk in rekening gebracht worden en geldt: 1 .   d 200

(14b)

Op voorwaarde dat de kolommen vanaf de begane grond tot bovenaan continu doorlopen mag  met een factor  n  0

 1  1   / 2 , waarbij n het aantal kolommen voorstelt, gere n

duceerd worden. Zijn niet alle kolommen vanaf de fundering tot bovenaan doorgetrokken, dan neemt men voor n het aantal kolommen die continu zijn.  Voor gebouwen met een staalskelet: d  k c . k s. 0

(15a)

1 1 1 , k c  0,5  , k s  0,2  met :  0  nc ns 200

waarbij : k c en k s  1

(15b)

De factoren kc en ks houden rekening met de geringe waarschijnlijkheid dat alle kolommen over alle verdiepingen een zelfde maximale initiële scheefstand in één en dezelfde richting vertonen. nc is het aantal kolommen in het vlak van het raamwerk mits inachtneming van volgende restricties: - een kolom die een belasting van minder dan 50% van de gemiddelde kolombelasting draagt, wordt niet meegeteld, - een kolom die niet over de volle hoogte van het raamwerk reikt, wordt eveneens niet meegeteld. ns is het aantal verdiepingen. Hierbij worden deze verdiepingen waarvan de vloer niet verbonden is met alle kolommen die nc bepalen, niet meegerekend.

5.2

Methode van de fictieve, horizontale krachten

Vaak wordt het effect van de algemene vormonvolmaaktheden door het invoeren van equivalente krachten gesimuleerd. Men brengt de fictieve krachten aan ter hoogte van de spantregels (fig. 10): H  F d

(16)

d

Fd stelt de verticale rekenbelasting van een spantregel voor. Men dient er evenwel nauwlettend op toe te zien dat men deze horizontale belastingen bij de bepaling van de horizontale reacties, die bijvoorbeeld voor het nazicht van de funderingen moeten dienen, niet meerekent. Om zulks te bewerkstelligen bestaan twee oplossingen: ofwel moeten de fictieve krachten van Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.20

de verkregen horizontale reactiecomponenten afgetrokken worden, ofwel dienen ter plaatse van de kolomvoeten even grote doch tegengesteld gerichte fictieve krachten ingevoerd te worden. Bijvoorbeeld zal men in figuur 10 een correctie doorvoeren en ter plaatse van beide kolomvoeten een horizontale naar links gerichte kracht ( H  H ) / 2 toevoegen. Men kan 1d

2d

deze werkwijze verklaren doordat de fictieve belasting enerzijds de scheefstand moet simuleren maar er anderzijds niet op gericht is om de werkelijke horizontale belasting op het raam te verhogen. F2d

F

F F

H2d

h



F1d H1d

C = F.h Figuur 10

C = F.h

Figuur 11

Om in dit stadium te begrijpen waarom fictieve horizontale belastingen het effect van een scheefstand kunnen verdisconteren, bekijken we een ingeklemde stijl (fig. 11) die bovenaan met een verticale last F belast wordt. Indien de stijl een scheefstand  heeft, ontstaat ter plaatse van de voeting een inklemmingsmoment dat gelijk is aan F.h. Datzelfde inklemmingsmoment verkrijgt men ook bij een volmaakt verticale stijl, welke bovenaan met de verticale kracht F én met een horizontale kracht H = F belast wordt.

6

Eisen betreffende de stijfheid

6.1

Algemeen

Het doel van deze voorschriften, die op de gebruikgrenstoestanden betrekking hebben, is meerledig:  Het beperken van trillingen die hinderlijk of gevaarlijk kunnen zijn,  Het vermijden van vervormingen van het dragende systeem die - schade aan andere onderdelen berokkenen, - het goed functioneren van werktuigen beletten, - het comfort op niet tolereerbare wijze reduceren.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

6.2.

2.21

Gebouwen

57 % van alle schadegevallen in gebouwen zijn aan een te grote vervormbaarheid of aan een ontoereikende stijfheid te wijten. 6.1.1 Horizontale uitbuiging:  h Ten einde het comfort van de bewoners te optimaliseren, scheurvorming in tussenwanden te voorkomen en de goede werking van de mechanische uitrusting te vrijwaren, zal men trachten de horizontale uitbuiging  h te beperken (fig. 12). h h1

Voor meerverdiepinggebouwen eist men per verdieping dat de volgende voorwaarde, waarin hi de verdiepingshoogte voorstelt, vervuld is.

h2

 hi 

h2 ht h1

hi 300

(17a)

Bovendien moet gelden dat h 

ht

(17b) 500 waarin ht de volledige hoogte van het gebouw voorstelt.

Figuur 12

Voor éénverdiepingportalen zonder kraanbaanliggers en zonder scheidingswanden in metselwerk eist men h (18) h  150 Voor éénverdiepingsportalen met kraanbaanliggers of met scheidingswanden in metselwerk vergt men een grotere laterale stijfheid:

h 

h

(19)

300

6.1.2 Verticale doorbuiging: v Te grote buigzaamheid van balken en vloeren - die weliswaar toereikende sterkte bezitten - heeft in talloze gevallen aanleiding gegeven tot het ontstaan van scheuren en barsten in de erop rustende gemetselde wanden. Figuur 13 en tabel II verschaffen nuttige inlichtingen inzake het beperken van de verticale doorbuiging. Deze verticale deflecties worden vooreerst als volgt gedefinieerd: Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

1

2.22

0

0

max

1 2

2 

Figuur 13  max   1   2   0

(20)



 max is de zakking in de eindtoestand en gemeten ten opzichte van de rechte die de

 

steunpunten verbindt.  0 stelt de tegenpijl van de balk in onbelaste toestand voor (toestand 0).  1 is de ogenblikkelijke verandering van de doorbuiging van de balk ten gevolge van



het aanbrengen van de permanente belasting (toestand 1).  2 is de toename van de doorbuiging onder invloed van de variabele belasting en van de mogelijke tijdsafhankelijke verplaatsingen veroorzaakt door permanente lasten (toestand 2). Toepassingsdomein

max

2

a) Daken: algemeen b) Daken met een toegankelijkheid die van het normale onderhoud verschilt c) Vloeren en balken: algemeen d) Vloeren die niet-flexibele of brosse scheidingswanden dragen e) Vloeren waarop kolommen rechtstreeks steun vinden f) Indien max het uitzicht van het gebouw nadelig beïnvloedt g) Kraanbaanliggers

/300 /400

/500 /500

/400 /400

/500 /600

/600

/800

/400

-

*

*

Opmerkingen : * door de fabrikant te specificeren  is de lengte van de overspanning of het dubbele bij cantilevers Tabel II De gegeven grenswaarden zijn indicatief. Meer gedetailleerde inlichtingen kunnen in de NBN B03-003, daterend van 2003, gevonden worden.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.23

6.2.3 “Further reading”: Trillingshinder Het verband tussen de trillingsamplitude van een periodiek bewegend, stoffelijk punt van een constructie en de tijd wordt in figuur 14 voorgesteld. u

Is de periodieke beweging sinusoïdaal, dan geldt:

umax

u  u max .sin

2 .t T

(21)

tijd

waarin de symbolen u max

T 4

T

2T

3T

Figuur 14

en T respectievelijk de amplitude en periode van de schommelingen voor1 stellen. f = is de trilT lingsfrequentie.

Wanneer de frequentie f0 van een inwerkende periodieke kracht nagenoeg met de eigenfrequentie f van het constructiedeel samenvalt, bestaat er resonantiegevaar, hetgeen tot opslingering kan leiden (fig. 15). u

opslingering niet gedempt gedempt

us quasi statische responsie f0 f

1 Figuur 15

Bij resonantie kan de amplitude van de schommelingen slechts beperkt worden door het invoeren van structurele dempingmiddelen en door materiaaldemping. Men zal in de richtlijnen eisen dat de laagste eigenfrequentie niet kleiner is dan een grenswaarde fmin. Die laagste eigenfrequentie wordt berekend met inachtneming van het eigen gewicht (permanente belasting) én van het vaak voorkomende deel van de nuttige belasBerekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.24

ting. Het opleggen van een grenswaarde voor de laagste eigenfrequentie heeft uiteraard een weerslag op de stijfheid van de constructie. Dat is begrijpelijk want hoe stijver de constructie hoe groter de eigenfrequenties zullen worden. Het impliceert tevens dat de onmiddellijk optredende doorbuigingen bij statische belastingen alsdan kleiner zijn. Vandaar dat men in sommige landen vaak voorschriften die de doorbuigingen of de hellingen of de krommingen teweeggebracht door belastingen met een dynamisch karakter - beperken, zal aantreffen. De minimumwaarden voor de eigenfrequentie van vloeren worden in tabel III aangegeven. Toepassingsdomein

fmin 3 Hz 5 Hz

Kantoren Danszalen, gymnasia, sportzalen Horizontale trillingen van spektakelzalen met ritmisch heen en weer wiegelend en zingend publiek

2,5 Hz

Tabel III Een voorafgaande berekening van de laagste eigenfrequentie f1 van de constructie is een conditio sine qua non voor het uitvoeren van praktische toepassingen aan de hand van deze tabel. In dit verband verschaft figuur 16 een aantal nuttige inlichtingen betreffende balken met eenvoudige randvoorwaarden.

 = 9,869

 = 22,37 f1 

 2 

2

.

 = 3,516

EI m

 = 15,418 Figuur 16

De in figuur 16 gebruikte symbolen zijn: 2

EI : de buigstijfheid van de ligger in Nm m : de massa per eenheid van lengte in kg/m  : de overspanning in m.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden

2.25

Men gaat gemakkelijk na dat f1, die door de formule in figuur 16 gegeven is - zoals het overigens hoort -, in Hz uitgedrukt wordt. Volgens de ISO-aanbevelingen wordt de toelaatbaarheid van horizontale en verticale trillingen voor personen wel eens aan de schaal van Reiher-Meister getoetst: zie tabel IV. Een stilstaande persoon op een trillende vloer ondervindt noch de amplitude noch de snelheid, maar wel de versnelling van de beweging. Ook het trillingsgetal speelt hierbij een rol. Voor harmonische trillingen is het verband tussen de bewegingsamplitude umax enerzijds en de versnellingsamplitude amax anderzijds als volgt: a max  u max . 4  2 . f 2

Frequentie (Hz)

(22)

3

5

10

20

30

50

onwaarneembaar voor mensen beneden

0,017

0,010

0,005

0,0025

0,0015

0,001

onaanvaardbaar bij langdurige blootstelling boven

0,150

0,080

0,040

0,020

0,012

0,007

schade aan afwerkingen bij

0,440

0,220

0,075

0,037

0,015

0,008

umax (mm)

Tabel IV Een hoog en slank gebouw kan onder invloed van de windstoten ook aan torsietrillingen onderhevig zijn. Een persoon die zich binnen het gebouw bevindt en die naar buiten kijkt, zal torsieversnellingen vanaf een hoeksnelheid van 0,001 rad/s als hinderlijk ervaren.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

3 Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

Isaac Newton

Leonardo Da Vinci

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

1

De studie van het krachtenspel in een constructie

1.1

Beschikbare betrekkingen

3.2

Om de krachtenverdeling in een draagsysteem te bestuderen beschikt men over: 1) Aansluit- of compatibiliteitsvoorwaarden die uitdrukken dat de uiteinden van verschillende onderdetui len, die mekaar in een zelfde knoop gemeenschappelijke ontmoeten, niet strijdige verplaatsinknoop gen ondergaan. In figuur 1 vergt de compatibiliteit dat de verschuivingen van de tui in knoop A gelijk zijn aan kraagligger A de verschuivingen van de kraagligger in diezelfde knoop A. Figuur 1 2) Constitutieve betrekkingen die in zeer algemene betekenis het verband geven tussen verplaatsingen en krachten, in engere zin het verband tussen spanningen en rekken. 3) Evenwichtsvergelijkingen van de statica. Het evenwicht kan uitgedrukt worden met behulp van de axioma’s van Newton of met het beginsel van de virtuele arbeid. Dat statisch evenwicht moet gelden voor knopen, voor samenstellende onderdelen en voor de gehele constructie. Om de krachtwerking in statisch bepaalde draagsystemen te bestuderen doet men uitsluitend een beroep op de evenwichtsbetrekkingen; de vervormingen en verplaatsingen volgen uit de kennis van het materiaalgedrag. Om de spankrachten in statisch onbepaalde constructies te onderzoeken, heeft men de drie opgesomde soorten betrekkingen nodig. De aansluitvoorwaarden en de evenwichtsvergelijkingen behoren - op zekere schematisaties na1 - tot het domein van de exacte wetenschappen, het opstellen van constitutieve of gedragswetten is de taak van de beoefenaar van de toegepaste wetenschap: vaak worden hypothesen inzake het materiaalgedrag - elastisch, visco-elastisch, plastisch, aleotroop... - ingevoerd.

1.2

Het standpunt van de waarnemer

1.2.1 Algemene kanttekeningen Krachtwerkingen in en vervormingen van een constructie zijn het gevolg van belastingen van allerlei aard. Het krachtenspel is kennelijk onafhankelijk van de waarnemer. Het is de

1

Bijvoorbeeld zal men gemakshalve een balk als een lijn in de ruimte voorstellen, ofschoon de afmetingen van zijn dwarsdoorsnede niet onooglijk klein zijn.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.3

taak van laatstgenoemde om de opgesomde effecten op een correcte wijze te interpreteren en te kwantificeren. Daaruit volgt de noodzaak om specifieke tekenafspraken te maken én consequent na te leven. Op zichzelf lijkt dit makkelijk, maar schijn bedriegt: als men de literatuur consulteert, komt men snel tot het inzicht dat een uniformiteit in de tekenafspraken quasi onbestaande is, wat helaas tot verwarring en verkeerde interpretaties leidt. Vaak is het gebrek aan eensluidende conventies het gevolg van een vastgeroest en bijna onoverkomelijk gewoontengoed. Nemen wij als voorbeeld een mechanische spanning. De grondmechanicus en de betonconstructeur zullen een drukspanning als een positieve grootheid beschouwen, terwijl de staalbouwkundige dit voorrecht ongetwijfeld aan een trekspanning zal toekennen! De in onderhavige collegenotities naar voor gebrachte tekenconventies zullen in het kader van de opleidingsonderdelen “Berekening van Bouwkundige Constructies I en II” rechtlijnig toegepast worden. We kunnen evenwel niet genoeg de nadruk vestigen op het relatieve belang ervan en op het feit dat fysisch inzicht in de fenomenologie van doorslaggevender betekenis is.

1.2.2 De keuze van het assenkruis

y

Fy Figuur 2

 F

Fx

We hanteren doorgaans een rechtshandig, orthonormaal assenstelsel (fig. 2). Veralgemeende krachten (krachten en krachtenkoppels) zijn vectoriële grootheden. Beide hebben componenten volgens de assen van de triade. Voor een kracht schrijven we:     F  F .e  F .e + F .e x x y y z z (1) x    met e x , e y en e z de eenheidsvectoren volgens de assen. Analoge uitdrukkingen gelden

Fz



z 



voor de plaatsvector r , de lineaire

verplaatsingsvector u , en de hoekverdraaiing  :         (2) , u  u .e x  v .e y + w .e z (3) , r  x .e x  y .e y + z .e z 







   x . ex   y . ey +  z . ez

(4)

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

2

3.4

Mechanische spanningen, rekken en constitutieve betrekkingen2 We maken een elementair parallellepipedum met ribben dx, dy en dz in het lichaam vrij. De componenten van de spanningen die werkzaam zijn op de zijvlakken, worden met hun positieve zin voorgesteld in figuur 3. In sommige handboeken over mechanica van het continuüm worden normaal- en schuifspanningen x door het symbool ij (i,j = x, y of z) voorgesteld en volgt het onderscheid tussen beide uit het verschil in de subscripten: is i  j , dan bedoelt men een schuifspanning. De schrijver van onderhavige notities geeft evenwel de voorkeur aan de

y

y yz

yx

zx

xy

xz

x xy z

z zy

zy

xz

yx

zx

x

yz y

z

Figuur 3 notatie die in bovenstaande figuur gebruikt wordt. De spanningscomponenten kunnen matricieel in een zogeheten “spanningsvector” gebundeld worden: t

{} = {x , y , z , xy , yz , zx}

(5)

Evenzo schrijven we de getransponeerde van de “rekvector”: t

{} = {x , y , z , xy , yz , zx } met: x 

u , x

y 

v , y

(6)

z 

w , z

u v v w u w 2 xy   xy    , 2 yz   yz  , 2 zx   zx  .  y x z y z x

2

(7a) (7b)

Er wordt ondersteld dat de lezer de nodige voorkennis in het opleidingsonderdeel “Mechanica van Materialen” (W. Van Paepegem, J. Degrieck, Gent, 2002) verworven heeft.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.5

Ingeval de verplaatsingen en de verplaatsingsgradiënten klein zijn, mogen we inderdaad zonder bezwaar de gelineariseerde uitdrukkingen (7) gebruiken. Mitsdien kunnen we de volgende meetkundige betekenis aan de rekken en glijdingen toeschrijven: de rek x is de relatieve lengteverandering van een lijnstuk dx, terwijl de glijding xy de vermindering van de aanvankelijk rechte hoek tussen de orthogonale lijnstukken dx en dy voorstelt. Een analoge interpretatie geldt voor y , z enerzijds en yz , zx anderzijds. Tussen spanningen en rekken bestaan verbanden: de zogeheten constitutieve betrekkingen of gedragswetten. Indien het materiaal lineair elastisch, homogeen en isotroop is en indien de rekken klein zijn, gelden de inmiddels klassiek geworden betrekkingen van Hooke. Ze zijn het eenvoudigst te onthouden in flexibiliteitsgedaante3:

0 0 0   x   x   1        0 0 0   y    1    y         z  1     1 0 0 0    z   .     . E  0 0 0 2(1  ) 0 0   xy   xy        0 0 0 0 2(1  ) 0    yz    yz        0   zx  0 0 0 0 2(1  )    zx  

(8)

-1

In verkorte notatie schrijven we: {} = [ D ] . {}. (9a) De inverse betrekkingen luiden dan: {} = [ D ] . {} (9b) E en  in (8) stellen respectievelijk de elasticiteitsmodulus of modulus van Young en de dwarscontractiecoëfficiënt van Poisson voor. E De glijdings- of schuifmodulus wordt gegeven door: G  . (10) 2(1  )

3

Een flexibiliteitsbetrekking geeft de uitdrukking van een veralgemeende verplaatsing als expliciete functie van de veralgemeende krachten; bij een stijfheidsbetrekking is het net andersom.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3

3.6

Spanningsresultanten bij balken2: het driedimensionale geval

Een prismatische balk kan een willekeurige stand in de ruimte innemen. Het is derhalve aangewezen om - naast het algemene cartesische kruis XYZ - een lokaal, staafgebonden assenstelsel xyz, in hetwelk de spanningsresultanten gedefinieerd worden, in te voeren. De xas verbindt de zwaartepunten van de overdwarse doorsneden, de y- en de z-as vallen samen met de hoofdtraagheidsassen4 van de doorsnede en daarbij nemen we de zin van laatstgenoemde zodanig dat xyz een rechtshandig stelsel vormt. Figuur 4 toont de positieve zin van de normaalkracht N, de dwars- of schuifkrachten Vy en Vz, het wringmoment of torsiekoppel Mx (of T) en de buigende momenten My en Mz. We merken op dat de zin van N en Mx samenvalt met de uitwendige normaal op de dwarsdoorsnede. De zin van de dwarskrachten en buigende momenten valt samen met de y- of z-as indien de zin van de uitwendige normaal op de dwarsdoorsnede met de zin van de x-as overeenstemt. Is aan deze voorwaarde niet voldaan, dan worden die dwarskrachten en buigende momenten positief gerekend als hun fysische zin tegengesteld is aan deze van de y- en z-as.



y Mx = T

N z

Mz

Vz Vy

My

Vy

Y

X

My

Mz

Vz

N Mx = T x

Z Figuur 4

4

Het begrip “hoofdtraagheidsas” zal ten gronde behandeld worden in het hoofdstuk “Bijzondere aspecten van de balkentheorie”.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.7

Indien we de componenten van gebeurlijk op de ligger inwerkende gespreide belastingen als px, py en pz noteren, dan gelden kennelijk de volgende betrekkingen: dN   px , dx dM z  Vy , dx

4

dVy dx dM y dx

  py

,

dVz   pz dx

(11)

 Vz

(12)

Vlakke stavenconstructies

Draagsystemen kunnen vaak tot een samenstel van vlakke stelsels geschematiseerd worden. Doorlopende liggers, driehoeksvakwerken, raamwerken met één of meerdere verdiepingen en beuken zijn slechts enkele voorbeelden van tweedimensionale constructies. De spanningsresultanten in een op enkelvoudige buiging belaste balk zijn de dwarskracht en het buigend moment. We zullen in het tweedimensionale geval altijd impliciet onderstellen dat de krachtswerkingen en gegeneraliseerde verplaatsingen (i.e. zakkingen en hoekverdraaiingen) in het xy-assenkruis beschreven worden (fig. 5). Voor de eenvoud noteren we dan:  dwarskracht V ( = Vy )  buigend moment M ( = Mz )  verplaatsing v dv  rotatie  = ( = z ) dx d d 2v  kromming  =  dx dx2

y  v M

V V

M

x

dx

Figuur 5 Merk op dat - mits de dwarskrachtvervorming verwaarloosd wordt - de hoekverdraaiing van de hartlijn van de balk dezelfde is als deze van de overdwarse doorsnede. Noteer tevens dat de uitdrukking voor de kromming slechts geldt indien de verplaatsingen ten opzichte van de afmetingen van de balk klein zijn (1ste-orde theorie). In de vlakke balkentheorie maken we vaak gebruik van de gedragsvergelijking: 

M EI

(13)

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.8

Toepassingsvoorbeeld (fig. 6) Een prismatische balk AB met lengte  en buigstijfheid EI ( = EIz ) wordt gelijkmatig belast. Bepaal de dwarskrachten- en buigende momentenlijnen evenals de hoekverdraaiingen en doorbuigingen volgens de lineaire elasticiteitsleer. Oplossing:  Steunpuntsreacties: YA = YB =

p 2

p + p.x 2 p. x 2 p. x 2 p  Buigende momenten: M(x) = YA . x = .x2 2 2 2 d d v M  Hoekverdraaiing en doorbuigingen:     dx dx2 EI  Dwarskrachten: V(x) = - YA + p.x = -

px2 px3 px3 px4   C , EIv    Cx  D 4 6 12 24 De integratieconstanten C en D worden bepaald door gebruik te maken van de kinematische EI 

randvoorwaarden: v(0) = v() = 0  D = 0 , C =  Hiermee

wordt 2

de 3

uitdrukking 3

van 3

de 4

p 3

. 24 hoekverdraaiing 3

en

de

doorbuiging:

px px p px px p x en EIv  . Extremale waarden van de hoek    4 6 24 12 24 24 p 3 verdraaiing treden op voor x = 0 en x = :  max  . Deze van de doorbuiging vindt 24EI  5p 4 men kennelijk voor x  : v max  . 2 384EI EI 

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.9

y p A B

x EI , 

V



p 2

p 2 p 2 8

M



p 3 24EI

p 3  24EI v



5p 4 384EI

Figuur 6 Opmerking: de uitwendige belasting - een vectoriële grootheid - in figuur 6 heeft een neerwaarts gerichte drager waardoor py in feite gelijk is aan - p!

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

5

3.10

Geometrisch niet-lineair gedrag

Wanneer men het evenwicht van een belaste constructie bestudeert, mag men feitelijk nooit uit het oog verliezen dat haar stoffelijke punten verplaatsingen hebben ondergaan en dat bijgevolg de vervormde evenwichtsstand van de oorspronkelijke geometrie verschilt. Bij het neerschrijven van de evenwichtsbetrekkingen zou men in principe de krachtarmen in de vervormde stand in rekening moeten brengen. Vaak zijn de verplaatsingen evenwel zo klein dat men zonder bezwaar beide geometrieën met elkaar mag “verwarren” en men geen noemenswaardige fouten begaat door de bedoelde evenwichtsbetrekkingen aan de hand van een redenering op de oorspronkelijke, onvervormde en onbelaste stand van het lichaam op te stellen. Er zijn nochtans uitzonderingen: instabiliteitsproblemen kunnen met behulp van een lineaire theorie niet bestudeerd worden en verdiscontering van het “P-” effect (cfr. Aanvullingen bij de Methode van Gehler in “Berekening van Bouwkundige Constructies III”) vergt een hogere-orde aanpak. We illustreren het hierboven gezegde aan de hand van een eenvoudig mechanisch model (fig. 7). Een verticale stijl AB, gemaakt van een onvervormbaar materiaal, wordt in B door een horizontale kracht F belast. De stijl rust in A op een scharnieroplegging en een rotatieveer bewerkstelligt een elastische inklemming. Tijdens de verplaatsing van het systeem beschrijft B een cirkelboog. We leggen de evenwichtsstand AB’ vast door middel van de veralgemeende coördinaat . De veer oefent op het staafeind y y A een tegenwerkend koppel C uit, waarvan we aannemen dat de grootte recht evenredig is met de wenteling van het staafeind. Zij de veerconstante k [Nm/rad], dan wordt het teF B  genwerkende koppel: C = k . (  ) . 2  Exacte, niet-lineaire berekening: Het wentelingsevenwicht van AB’ vergt:    F.  2 C  F. .sin  0 of  sin  k (14) Deze transcendente vergelijking bepaalt de correcte stand van AB’. Merk op dat we de verandering van de krachtarm van F bij het uitschrijven van de evenwichtsbetrekking in rekening gebracht hebben.  Zijn de verplaatsingen klein, dan mogen we gemakshalve AB’ met AB “verwar-

F

B’

 



k

x A C

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Figuur 7

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.11

 , hetgeen betekent dat sin   1 en waardoor vergelijking (14) 2 als volgt kan herschreven worden:  F.  (15) C  F.   0 of   2 k ren”. Bijgevolg is  

Wanneer men een lineaire berekening voert, doet men er goed aan de gevonden resulF.  taten even aan de uitgangsonderstellingen te toetsen. Is in bovenstaand voorbeeld  1111 . , k  dan geeft de lineaire theorie  = . Daarmee zijn de verplaatsingen allerminst “klein” en 6,833  maakt men een niet te verwaarlozen fout. De juiste oplossing is immers   , en de relatie4 ve fout bedraagt 41 % !

6

Het beginsel van de virtuele arbeid

6.1

Formulering

6.1.1 In de rationale mechanica bewijst men de volgende stelling: Opdat een bepaalde stand van een stelsel van stoffelijke punten een statische evenwichtsstand zou wezen, is het nodig én voldoende dat de totale virtuele arbeid van alle uit  wendige belastingen en reactiekrachten Fi en van de inwendige krachten R i die de stoffelijke punten onderling op elkaar uitoefenen, nul is voor elke mogelijke combinatie van virtuele 

verplaatsingen  u i vanuit die evenwichtsstand:     ( F i  R i ).  u i  0

(16)

i

Reactiekrachten ontstaan daar waar het stelsel met de buitenwereld of met een ander stelsel verbonden is. Men onderstelt dat deze verbindingen tweezijdig, wrijvingsloos en onafhankelijk van de tijd zijn. Figuur 8 toont een eenzijdige verbinding waarbij de roloplegging B een opwaartse maar geen neerwaartse reactie op het rechter balkeind kan uitoefenen.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.12

F A

B

A

B

F

YB = 0

YB Figuur 8: eenzijdige verbinding

6.1.2 Indien het stelsel van stoffelijke punten uit een samenstel van één of meerdere onvervormbare of starre lichamen bestaat en indien de virtuele verplaatsingen deze in een stand brengen die het resultaat is van een starre translatie en een starre rotatie - een zogenaamde sleepbeweging waarbij de onderlinge afstand van de stoffelijke punten niet verandert -, dan is de inwendige virtuele arbeid voor de samenstellende onderdelen nul en geldt: 



 F i . u i  0

(17)

i

Deze stelling wordt het beginsel van de virtuele arbeid voor onvervormbare lichamen genoemd.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.13

Toepassingen (fig. 9): a) Een starre staaf AB rust in A op een scharnier en in B op een rol. Een verticale kracht F grijpt op een afstand /4 van het linkersteunpunt aan. Met het beginsel van de virtuele arbeid bepalen we de oplegreactie in B. Daartoe geven we aan de staaf een virtuele verplaatsing, die uit een denkbeeldige, kleine wenteling om A bestaat. Bijgevolg leveren de reactiecomponenten in A geen bijdrage tot de virtuele arbeid en wordt (17):    F  Fi .  u i   F.  YB .   0 , waaruit: YB  . 4 4 i

F



F

A

B

/4

A

B

a

/4 

YB

F C D C’

f A

XB

M /2

/2

B

b

B’

Figuur 9 b) Een samenstel ACB van starre, scharnierende stangen wordt met een verticale kracht F in C belast. Bereken de horizontale reactiecomponent die door het scharnier in B op de stang CB wordt uitgeoefend. Zoals in figuur 9 door een stippellijn voorgesteld is, geven we aan het gestel een virtuele verplaatsing, bestaande uit een sleepbeweging van de staven AC en CB. Krachtens de stelling van de virtuele arbeid moet gelden dat F. CD  XB. BB'  0 . De gelijkvormigheid van CD AM  de driehoeken ACM en CC’D vergt dat en wegens symmetrie is BB’=   DC' MC 2f F 2DC’. Ten slotte bekomt men XB   , een resultaat dat men makkelijk door middel 4f van de statica kan verifiëren. Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.14

6.1.3 We willen echter vervormbare media of continua, die bestaan uit een verzameling van oneindig veel stoffelijke punten bestuderen en gebruiken derhalve betrekking (16), die we enigszins anders formuleren: Een vervormingstoestand van een continuüm is een toestand van statisch evenwicht enkel en  indien de totale virtuele arbeid van alle uitwendige belastingen en reactiekrachten Fi en van  alle inwendige krachten R i , die de stoffelijke punten onderling op elkaar uitoefenen, nul is 

voor elke mogelijke combinatie van virtuele verplaatsingen  u i vanuit die evenwichtsstand. Opmerkingen:  Indien de virtuele verplaatsingen met de kinematische randvoorwaarden verenigbaar zijn - dit wil zeggen als ze nihil zijn op die plaatsen waar het lichaam opgelegd en/of ingeklemd is - , dan verrichten de uitwendige reactiekrachten gedurende een virtuele verplaatsing van het lichaam klaarblijkelijk geen virtuele arbeid.  Het bewijs van (16) berust enkel op de axioma’s van Newton. Vermits er betreffende de gedragswetten van de materialen waaruit het lichaam samengesteld is, geen onderstellingen gemaakt worden, is de betrekking (16) geldig voor elastische, plastische, elastoplastische... materialen.

6.2

Virtuele verplaatsingen

Virtuele verplaatsingen zijn denkbeeldige, niet werkelijk aanwezige, lineaire en angulaire verplaatsingen. In tegenstelling tot wat in sommige tekstboeken beweerd wordt, is de enige restrictie waaraan ze horen te voldoen, dat ze “zeer klein” moeten zijn. Daarmee bedoelen we dat ze ten opzichte van de afmetingen van de constructie zo klein moeten zijn dat de krachtsarmen gedurende een virtuele beweging niet noemenswaardig veranderen. De virtuele verplaatsingen zijn overigens volkomen willekeurig - men is vrij in de keuze ervan - en ze brengen het lichaam in een virtuele vervormingstoestand, die geen evenwichtsstand hoeft te zijn. Bij het tot stand brengen van een virtuele beweging en de daarmee gepaard gaande virtuele vervormingen hoeft men met de verschillende stijfheden van de onderdelen van het lichaam geen rekening te houden. Virtuele verplaatsingen zijn noch afhankelijk van de krachten die werken op, noch van de spanningen die heersen in het lichaam. Tijdens een virtuele beweging worden deze krachten en spanningen in grootte en richting onveranderlijk geacht. Daarom ook is er sprake van virtuele arbeid en deze verschilt van de werkelijke arbeid die de belastingen verricht hebben om het lichaam in de bestudeerde evenwichtstoestand te brengen.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

6.3

3.15

Virtuele arbeid bij virtuele rek

Figuur 10 stelt een staaf voor die aan een trekkracht n onderworpen is. We wensen de virtuele arbeid van de inwendige krachten, per eenheid van lengte van de staaf, bij een virtuele rek  te becijferen We maken een moot dx van de staaf vrij. Langs beide verticale x dx begrenzingen van het mootje zijn spankrachten werkzaam. In dit geval betreft het normaalkrachten n, die n n n n voor dat mootje uitwendige krachten zijn en die het mootje - indien de innerlijke samenhang van het materiaal u hiertegen geen verzet bood - zouden u+.dx uiteenrijten. Bijgevolg bestaan in het inwendige van het mootje krachten Figuur 10 Ri. Indien men een virtuele, axiale verplaatsing u aan de linkerbegrenzing en een verschuiving u + .dx aan de rechterbegrenzing teweegbrengt, dan luidt het beginsel van de virtuele arbeid, toegepast op het elementaire deellichaam:     - n. u + n.( u+.dx) +  R i . u i  0 of  R i . u i  - n..dx (18)

n

n

i

i

Bijgevolg is de inwendige arbeid bij virtuele rek, per eenheid van lengte van de staaf, gelijk aan -n. . Deze arbeid is negatief omdat de virtuele rek  de naburige doorsneden van elkaar verwijdert tegen de zin van de inwendige krachten Ri in, die de vervorming tegenwerken.

6.4

Virtuele arbeid bij virtuele kromming, eventueel in combinatie met virtuele rek Een staaf is aan beide uiteinden door twee krachtenkoppels m belast. We beschouwen weerom twee naburige overdwarse doorsneden op een afstand dx van elkaar en maken een elementair lichaam vrij (fig. 11). De uitwendige belasting op de moot bestaat uit de buigende momenten m, waarvan het effect door inwendige krachten Ri gecompenseerd wordt. We nemen als virtuele verplaatsingen de rotaties  en +()’.dx, Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.16

d   (virtuele kromming) en waarbij een virtuele hoekverdraaiing posidx tief gerekend wordt in tegenwijzerzin, d.i. volgens de uit het vlak van de tekening tredende zas. Toepassing van (16) op het mootje dx geeft: waarbij '

     m.  m.  .dx    R i . u i  0 of  R i . u i  m.. dx

(19)

i

i

Is een staaf tegelijkertijd aan buigende momenten en normaalkrachten onderworpen, dan wordt de uitdrukking voor de inwendige virtuele arbeid, per eenheid van lengte:

   R i . u i   n.  m.

(20)

i

Een normaalkracht verricht immers geen arbeid bij een virtuele kromming en evenmin verricht een buigend moment arbeid bij een virtuele rek.

6.5

Virtuele arbeid bij een willekeurige virtuele vervorming, per eenheid van volume

Hetgeen voorafgaat kan men voor driedimensionale continua veralgemenen. Mits gebruik van de notaties uit lid 2 schrijft men in dat geval:    R i .  u i     t . . dV     t . . dV i

V

(21)

V

De gelijkwaardigheid van de twee schrijfwijzen in de rechterleden van (21) volgt uit de commutativiteit van het scalair product.

6.6

Analytische schrijfwijze van het beginsel

Mits inachtneming van de leden 6.3 - 6.5 wordt het beginsel van de virtuele arbeid, wiskundig door (16) vertolkt, als volgt geschreven: 



 F i .  u i     t . . dV i

(22a)

V

voor continua, en    F i .  u i   ( n.   m. ). dx i  voor staven onderworpen aan samengestelde buiging.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

(22b)

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

6.7

3.17

Opmerkingen

Virtuele rekken en glijdingen bevatten geen termen die kwadratisch zijn in de verplaatsingsgradiënten en worden steeds als volgt gedefinieerd:

 x 

u v u , 2 xy   xy  , ....  y x x

(23)

Indien het virtuele verplaatsingenveld een starre beweging beschrijft - d.w.z. een starre translatie en een starre rotatie of een zogenaamde sleepbeweging -, dan zijn er noch relatieve lengteveranderingen noch gedaanteveranderingen. In dat geval zijn met andere woorden de virtuele rekken en glijdingen nul. Uit het beginsel van de virtuele arbeid volgt dan dat de virtuele arbeid van de uitwendige krachten nul is.

7

Berekening van verplaatsingen met behulp van het beginsel van de virtuele arbeid

7.1

Algemene werkwijze: bepaling van een lineaire verplaatsing Een vlak lichaam L wordt vervormd ten gevolge van een willekeurige oorzaak (uitwendige belastingen, thermische effecten, zetting van een steunpunt...). Onderstel dat de ware verplaatsingen ten opzichte van de afmetingen van L zeer klein zijn. We nemen bovendien aan dat alle plaatselijke vervormingen bekend zijn. Zij AB een koorde van het lichaam L, AB de corresponderende stand in het vervormde lichaam en p een gegeven richting. De vraag die we wensen te beantwoorden, luidt: bepaal de verplaatsingscomponent a van een punt P van L, volgens de gegeven richting p en relatief ten opzichte van AB, tijdens de vervorming van het lichaam. Anders gezegd: bepaal   a  u rel . 1 p .

    u rel  P" P ' is de relatieve beweging. u A  PQ stelt een translatie en  een rotatie voor. Merk op dat de verplaatsingen in figuur 12 voor de aanschouwelijkheid opzettelijk groot getekend werden. In werkelijkheid verschilt A weinig van A, B weinig van B’...

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.18

Beschouw thans een hulplichaam L1 dat grondig van L mag verschillen, maar dat wel de punten A, B en P bevat (fig. 13). L1 draagt in P een kracht F = 1 volgens de richting p. Het wordt door een scharnier in A en door een rol in B gesteund en is in die stand in statisch evenwicht. Zij RA en RB de steunpuntreacties. Ten gevolge van de belasting F wordt in het hulplichaam een spankrachtenverdeling, die voldoet aan de vergelijkingen van het statische evenwicht, opgebouwd. De stijfheid van de onderdelen van L1 hoeven we niet te kennen. Nadat de kracht F aangebracht is, vervolledigen we L1 door de eventueel ontbrekende onderdelen van L aan het hulplichaam “vast te lassen”. Op dit ogenblik zijn deze onderdelen kennelijk spanningsvrij. We passen het beginsel van de virtuele arbeid op het aldus vervolledigde lichaam L1 toe. Omdat geponeerd werd dat de verplaatsingen van L klein zijn, mogen we de virtuele verplaatsingen en vervormingen van L1 zodanig kiezen dat ze gelijk zijn aan de ware verplaatsingen en vervormingen van L.

     Het beginsel luidt derhalve:  F i .  u i   R i .  u i  0 of  F . u    t .. dV ! i i i L1    Vermits u  u star  u rel en vermits tijdens de sleepbeweging van een lichaam geen uitwendige virtuele arbeid geleverd wordt, bekomt men: Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.19



        R . AA '  R . BB ' '  F . PP ' '  R . B ' ' B '  F . u rel    t .. dV of A B B   L1  0 (starre beweging)      R B. B'' B'  F . u rel    t .. dV . Ten slotte is de term R B. B'' B'  R B . B'' B' .sin L1

van de 2de-orde in de gegeneraliseerde verplaatsingen: hij is immers het product van twee kleine grootheden BB5 en sin  . Vermits F = 1 volgt onmiddellijk het antwoord op de gestelde vraag:  (24) a  F . u rel     t . . dV   ( n.   m. ). ds L1 L1 Opmerkingen:  Het tweede lid van (24) geldt algemeen voor vlakke draagsystemen. In deze gevallen zijn {} de spanningen die in L1 door de kracht F = 1 opgewekt worden. {} zijn de rekken en glijdingen van het gegeven lichaam L die men als virtuele vervormingen op het bijgewerkte lichaam L1 overbrengt.  Het derde lid van (24) is van toepassing bij vlakke stavenstelsels in de onderstelling dat de dwarskrachtvervorming verwaarloosd wordt. Alsdan zijn n en m de door de eenheidsbelasting in L1 veroorzaakte normaalkrachten en buigende momenten.  en  zijn respectievelijk de overlangse rek en de kromming van L die als veralgemeende virtuele vervormingen op L1 overgebracht worden.

7.2

Bepaling van een hoekverdraaiing

We wensen de hoekverdraaiing in een punt P, relatief ten opzichte van de vervormde stand van een koorde AB van het lichaam L, te begroten. Daartoe ontvouwen we een analoge redenering als in § 7.1 en plaatsen we een uitwendig eenheidskoppel Mu = 1 in het punt P van het hulplichaam L1 . Men vindt deze wenteling  door toepassing van het beginsel van de virtuele arbeid op het hulplichaam (fig.14).   Vermits  F i . u i  M u .   geldt: i      t   dV =  ( n.  m. ).ds (25) L1 L1

5

B”B’ is de verlenging van de koorde AB die tijdens de vervorming van het lichaam onstaat.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.20

{} (respectievelijk n , m) zijn de spanningen (spanningsresultanten) die in L1 door het uitwendige eenheidskoppel Mu opgewekt worden.

B

B’





L’

L



P=A=A’

B

L1

Mu = 1 P

7.3

Figuur 14

Verplaatsing ten opzichte van een vezel van het vervormde lichaam

Ditmaal beschouwen we een vezel v die met het punt A van een lichaam L vast verbonden is (fig. 15). Tijdens de verplaatsing en vervorming van L ondergaat deze vezel een sleepbeweging en neemt hij de stand v’ aan. We bestuderen de relatieve verschuiving van een punt P van L ten opzichte van de vezel. Meer bepaald zoeken we de component a van die relatieve beweging, gemeten volgens een vaste richting p. We passen de algemene werkwijze toe, met dien verstande dat we het hulplichaam thans in A inklemmen en dat we L1 met een kracht F = 1, waarvan de werklijn met de richting p evenwijdig is, belasten. Door toepassing van het virtuele arbeidsbeginsel op L1 vindt men dadelijk: a   ( n.   m. ). ds L1

Berekening van Bouwkundige Constructies I

(26)

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.21

waarbij n en m respectievelijk de normaalkrachten en buigende momenten in L1 zijn, opgewekt door de hulpkracht F = 1 volgens p.

p 

v

a

p P’

v’ P 

A

A’

P”

L’ L

v

P L1

F=1

A

Figuur 15

7.4

Wenteling ten opzichte van een vezel van het vervormde lichaam  v’

v

P’ P

A A’

L

v

P L1

A

L’





Net als in voorgaande paragraaf neemt men een hulplichaam dat in A ingeklemd wordt (fig. 16). In het punt P, waar men de relatieve hoekverdraaiing  wenst te bepalen, brengt men nu evenwel een uitwendig krachtenkoppel Mu = 1 aan. Merk op dat  in de zin van Mu gemeten wordt. Het resultaat is:

Mu = 1

   ( n.  m. ).ds (27) L1 Figuur 16 met n en m de spanningsresultanten die door het eenheidskoppel in L1 teweeggebracht worden en met  en  de rekken en krommingen van L die men als virtuele vervormingen op L1 overbrengt.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

7.5

3.22

Opmerkingen

 Op bovenstaande wijze werd de berekening van een veralgemeende verplaatsing (een geometrisch probleem) herleid tot een statisch probleem, met name het bepalen van de spankrachten in het hulplichaam.  Aangezien de vervormingen van L bekend moeten zijn, is een exacte kennis van de reologie vereist. Er kan twijfel rijzen omtrent de materiaaleigenschappen maar de afleiding van de verplaatsingen uit die vervormingen is correct.  Het beginsel van de virtuele arbeid voor virtuele verplaatsingen drukt enkel en alleen het statische evenwicht van het hulplichaam L1 uit. Is L1 statisch onbepaald, dan moeten n, m, {} … ten gevolge van F = 1 of M = 1 aan de voorwaarden van het statisch evenwicht en aan geen andere voorwaarde beantwoorden! Iedere spankrachtenverdeling die op de genoemde voorwaarden geen inbreuk pleegt, zal de correcte uitkomst opleveren.

8

Elastische stavenstelsels met kleine rekken en verplaatsingen

Het materiaal waarvan de constructiedelen gemaakt zijn, wordt thans lineair elastisch, homogeen en isotroop ondersteld. Meer bepaald gelden de wetten van Hooke en worden de veralgemeende gedragswetten - rekening houdend met de betekenis van de symbolen die in de leden 2, 3 en 4 van dit hoofdstuk verklaard werd - als volgt opgetekend: 

8.1

N d M en  =  EA dx EI

(28)

De integralen en analogieën van Mohr: verplaatsing en hoekverdraaiing ten opzichte van een koorde in een al dan niet prismatische ligger op twee of meerdere steunpunten

8.1.1 Doorbuiging ten opzichte van een koorde van de elastische lijn Figuur 17a toont een ligger die aan een niet nader gespecificeerde, uitwendige belasting onderworpen is. Laatstgenoemde geeft aanleiding tot bij onderstelling bekende buigende M momenten M. Figuur 17b geeft het gereduceerd momentenvlak of krommingen   . We EI wensen de doorbuiging a in het punt P, ten opzichte van de koorde AB, te becijferen. Daartoe nemen we een hulplichaam L1 , ondersteund door een scharnier in A, rustend op een rol in B en belast met een verticale eenheidskracht F in P (fig. 17c). Zij  de overspanning van AB. Het buigende momentendiagram voor het hulplichaam is driehoekig (fig. 17d). Krachtens het beginsel van de virtuele arbeid (24) dat op het hulplichaam toegepast wordt, vindt men onmiddellijk: M a   m..dx   m..dx   m. .dx (29) EI L1 L1 L1 Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

y P

x

 a

A M  EI

B

a

b

F=1 L1

c

A

B u

u’

m x 

M de EI krommingen in L (en niet deze in L1) voorstellen. Het teken van a wordt bepaald door de zin die we aan de eenheidskracht hebben toegekend. Bijvoorbeeld is a in de figuur negatief.

We benadrukken dat

elastica L

3.23

d

u.u' 

Men kan (29) als volgt interpreteren. Beschouw weerom het hulplichaam waarop een gespreide, fictieve last, die in elk M punt de amplitude q = bezit, EI inwerkt (fig. 18a). De zin van q is volgens de y-as gericht indien het gereduceerd moment positief is.

Figuur 17 q x A

dx

B

P

a u

u’

m x



u.u' 



u'.x 

x b

Het buigend moment dat in P door M de fictieve last q.dx = .dx, inEI werkend op een afstand x rechts van het scharnier A, teweeggebracht wordt, is gelijk aan M x  . dx . .u' . Uit figuur 18b EI  blijkt deze laatste uitkomst gelijk M te zijn aan .m.dx , wat precies EI de integrand in het rechterlid van (29) is. Daaruit volgt de eerste analogie van Mohr:

Figuur 18 “De verticale verplaatsing van een punt P, gelegen tussen de punten A en B van een al dan niet doorgaande, al dan niet prismatische balk, en gemeten ten opzichte van de koorde AB in de belaste en dientengevolge vervormde stand, is gelijk aan het buigend moment in het punt P van een eenvoudig opgelegde hulpligger AB, die een fictieve, gespreide belasting Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.24

draagt, waarvan de amplitude in ieder punt gelijk is aan het plaatselijke, gereduceerde moment in het oorspronkelijke gestel.” y elastica A

B

P

L

x a

M  EI

F=1 A

L1 

B

P u

m u x

De punten A en B mogen, maar hoeven niet met de ware steunpunten samen te vallen. In laatstbedoelde geval berekent men met de integraal van Mohr (29) de relatieve verplaatsing, zoals in figuur 19 verduidelijkt wordt. Merk op dat in het bijzondere geval van figuur 19 het punt P zich niet tussen A en B bevindt. Het gevolg ervan is dat de analogie van Mohr haar betekenis verliest, en men zou een belachelijk resultaat vinden, indien men ze onbedachtzaam toepaste.

Figuur 19

8.1.2 Hoekverdraaiing ten opzichte van een koorde In dit geval zijn we geïnteresseerd in de hoekverdraaiing van de raaklijn aan de elastische lijn in P, gemeten ten opzichte van de koorde die de steunpunten A en B verbindt. We rekenen bedoelde rotatie positief in tegenwijzerzin (fig. 20). Onderstel weerom dat alle plaatselijke krommingen  bekend zijn. We maken gebruik van een hulplichaam AB, ondersteund door een scharnier in A, rustend op een rol in B en in het punt P thans met een linksdraaiend, uitwendig eenheidskoppel belast. Zij m de buigende momenten in het hulplichaam (fig. 20d). De hoekverdraaiing wordt gevonden door toepassing van het beginsel van de virtuele arbeid op het hulplichaam:

M    m..dx   m..dx   m. .dx L1 L1 L1 EI

(30)

De zin volgens dewelke  positief gerekend wordt, valt samen met de zin van het aangebrachte, uitwendige eenheidskoppel. We bedienen ons van de volgende werkwijze om betrekking (30) te interpreteren en de tweede analogie van Mohr af te leiden. Belast het hulplichaam met een gespreide, fictieve be-

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.25

M bezit (fig. 21). De zin van q is volgens de y-as EI gericht indien het gereduceerde moment positief is. In het punt P van het y hulplichaam is de bijdrage tot elastica de dwarskracht, die door een A P B x M  “belasting” q.dx = .dx, aanL a EI P’ M grijpend op een afstand x rechts EI van A, teweeggebracht wordt, M x b gelijk aan  .dx. . Zoals EI  blijkt uit figuur 21b is deze uitMu = 1 L1 slag - op het teken na - de inteA B c grand van betrekking (30), u u’ tenminste indien de fictieve last tussen A en P inwerkt. De lezer kan gemakkelijk nagaan dat m u wanneer een elementaire, fictie ve belasting in een punt gelegen d x tussen P en B aangrijpt, een zelfde besluit kan getrokken u'  worden, weshalve we de 2de  analogie van Mohr als volgt formuleren: Figuur 20 lasting, die in elk punt de amplitude q =

q

M EI A

B dx

x

P u

u’

m x 

u 

x

Figuur 21

x

“De wenteling van de raaklijn in een punt P, gelegen tussen de punten A en B van een al dan niet doorgaande, al dan niet prismatische balk, en gemeten ten opzichte van de koorde AB in de belaste en dientengevolge vervormde stand, is op het teken na gelijk aan de dwarskracht in het punt P van een eenvoudig opgelegde hulpligger AB, die een fictieve, gespreide belasting draagt, waarvan de amplitude in ieder punt gelijk is aan het plaatselijke, gereduceerde moment in het oorspronkelijke gestel.”

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.26

Deze analogie geldt evenzeer wanneer de punten A en B niet met de uitwendige verbindingen samenvallen, en wanneer P in het interval AB gelegen is. In dit geval becijfert men met (30) een relatieve hoekverdraaiing (dit is: relatief ten opzichte van de gewentelde stand van de koorde). Als P evenwel buiten het interval AB valt, zoals in figuur 22 geïllustreerd wordt, is de integraal van Mohr (30) evenzeer geldig, maar verliest de analogie haar betekenis. Men bedient zich dan van een isostatisch hulplichaam met een uitkragend gedeelte, aan het einde waarvan men een krachtenkoppel laat inwerken. De buigende momenten in het hulpgestel zijn in figuur 22d voorgesteld. y A a

L M EI

B

elastica

P



B’

A’

P’

b

A c

L1 

B

Mu = 1 u

m d

1

x

Figuur 22

8.2

De stellingen van Greene: elastische draaiing en verplaatsing van een doorsnede ten opzichte van een raaklijn aan de elastische lijn in een andere doorsnede

8.2.1 Elastische draaiing van een doorsnede ten opzichte van een andere doorsnede (fig. 23) We wensen de hoekverdraaiing van de doorsnede P van een belaste ligger ten opzichte van een doorsnede A te becijferen. Vermits de dwarskrachtvervorming verwaarloosd wordt, is de hoek dezelfde als deze die door de raaklijnen aan de elastica in de punten A en P gevormd wordt. De raaklijn in A’ speelt de rol van referentievezel. We bedienen ons van een hulplichaam AP, dat we in A inklemmen en aan het uiteinde P met een koppel Mu = 1 belasten (fig. 23c). Het buigend momentenverloop m is rechthoekig en wordt in figuur 23d voorgesteld. Het virtuele Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.27

arbeidsbeginsel, toegepast op het hulplichaam (cfr. §7.4), levert meteen de gezochte relatieve hoekverdraaiing: P

P

PM

A

A

A EI

   P   A   m..dx   m..dx  

(31)

.dx

y elastica A

P

A’

P’

x

L M EI



a

v b

A

L1

P

c

Mu = 1

m d

1 x Figuur 23

Gelet op het rechterlid van (31) luidt de eerste stelling van Greene: “De elastische draaiing van een doorsnede van een balk ten opzichte van een andere doorsnede wordt gegeven door de oppervlakte van het gereduceerd momentenvlak begrepen tussen beide doorsneden.”

8.2.2 Elastische verticale verplaatsing van een doorsnede ten opzichte van de raaklijn aan de elastica in een andere doorsnede Men vindt de verplaatsingscomponent a (fig. 24a) door de kraagligger L1 in het punt P met een verticale kracht F = 1 te belasten en dan het beginsel van de virtuele arbeid toe te passen, waarbij men de ware vervormingen en verplaatsingen van L als virtuele op L1 overbrengt: P

P

A

A

a   m..dx   x '.

P M M .dx   (  x ). .dx EI EI A

Berekening van Bouwkundige Constructies I

(32)

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.28

y L A M EI

P P’

A’

x a

a v b

F=1 L1 A

Figuur 24 P



c

m F.x’ d x x’

Vandaar de 2de stelling van Greene: “Om de elastische doorbuiging van een doorsnede P ten opzichte van de raaklijn aan de elastica in een andere doorsnede A te bepalen, neemt men het statisch moment van het gereduceerde momentenvlak tussen A en P om het punt waar men de verplaatsing wenst te kennen.”

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

8.3

3.29

Berekening van de integralen 

In vele gevallen kan men de expliciete integratie van  m . 0

M .dx vermijden door geEI

bruik te maken van tabel I die geldt voor prismatische liggers met constante buigstijfheid. Voor praktische toepassingen vermenigvuldigt men het in de hokjes ingeschreven resultaat met de factor /EI .

M’ M” M3

M3

M3

M4 M3

M3 M3

M3

b

M3

M1

M1

M2

a

M1

M1

1 M 1 .M 3 3

M3 (2M1  M 2 ) 6

2a .M 1 .M 3 6

1 M1 .M 3 3

1 M1 .M 3 6

M3 (M1  2M 2 ) 6

1+ a .M1 .M 3 6

1 M1 .M 3 3

M1 (2M 3  M 4 ) 6

M3 (2M1  M 2 ) 6 M  4 (M1  2M 2 ) 6

2a M1.M 3 6 1 a  M1.M 4 6

M1 (M 3  M 4 ) 3

1 M1 .M 3 2

2 M1 .M 3 3

1 M1 .M 3 2

M3 (M1  M 2 ) 2

1 M 1 .M 3 3

M3 (M1  M 2 ) 3

1 M1 .M 3 4

2 M3 (3M1  M 2 ) 3  3a  a M1.M3 12 12

1 M1 .M 3 5

1 M1 .M 3 12

M3 2 (M1  3M 2 ) 1 + a  a M .M 1 3 12 12

1 M1 .M 3 5

2b M1 .M 3 6

1 a  a2 M 1 .M 3 3

2b M1.M 3 6 1 b  M 2 .M 3 6

 1 (b  a) 2     M1.M3 6K   3

8 M1 .M 3 15

1  b  b2 M1.M3 3

Opm.: a  b: K = b.(1-a) a  b: K = a.(1-b) Tabel I: waarde van de integralen

8.4

1  M'.M".dx 

Toepassingsvoorbeeld

Een prismatische ligger, scharnierend ondersteund in A en rustend op een rol in B, is aan het eind van de uitkraging BC aan een kracht P onderworpen (fig. 25). Bepaal de verplaatsing van het punt D, de hoekverdraaiing ter plaatse van de rechterondersteuning en de relatie-

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.30

ve wenteling en rotatie in C (beide gemeten ten opzichte van de raaklijn in B). De buigstijfheid van de ligger is EI. y

P a1 D

A L

B

x 1



2

C a2

a

a3



M

3

2 C

x b

-P A

D

B c

P EI

m1

F=1

d

 x L1 m2

e

+1 L1

x Mu = 1

Figuur 25  Doorbuiging a1 ten opzichte van koorde AB: 1ste analogie van Mohr (fig. 25c) P 3 1 2 P 2 2 5P3  . . . 2   . .  a1 = M fictief D EI 2 3 3EI 2 3 9EI  Hoekverdraaiing van de raaklijn aan de elastica in B: 2de analogie van Mohr (fig. 25c)

P 3 2 P 2 . .  . EI 2 3 EI Het minteken wijst op een draaiing in de uurwijzerzin, zoals in fig. 25a aangegeven is.

1  VBfictief  

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.31

 Elastische draaiing van C ten opzichte van B: 1ste stelling van Greene P  P2 (gearceerd gedeelte van gereduceerd momentenvlak in fig. 25b) 2   .   EI 2 2 EI  Verplaatsing van C ten opzichte van de raaklijn in B: 2de stelling van Greene P  2 P3 (statisch moment van het gearceerde deel van het geredua3   . . .    EI 2 3 3EI ceerd momentenvlak om C in fig. 25b).  Absolute verplaatsing en rotatie van doorsnede C Deze grootheden volgen uit meetkundige overwegingen (fig. 25a); ze worden respectievelijk volgens de y-as en in tegenwijzerzin positief gerekend: P2 P3 4P3 a 2  a 3  1.   a 3   .   EI 3EI 3EI 2 2 2 P P 3P 3  1  2     EI 2 EI 2 EI Men vindt deze veralgemeende verplaatsingen ook door toepassing van de integralen van Mohr. Daartoe combinere men figuur 25b respectievelijk met figuur 25d of met figuur 25e en make men voorts gebruik van tabel I.

8.5

Effect van een gelijkmatige temperatuursstijging

De vervormingen van een draaggestel, die men als virtuele rekken en krommingen op het hulplichaam overbrengt, mogen ook van een andere dan mechanische aard zijn. We bezigen in onderstaande het beginsel van de virtuele arbeid om de krachtwerking in een statisch onbepaald raamwerk ACDB met hoogte h en overspanning , dat aan een gelijkmatige temperatuursstijging T onderworpen wordt, te bestuderen (fig. 26). t is de lineaire uitzettingscoëfm ficiënt, uitgedrukt in . EIk (EAk) en EI (EA) zijn de buigstijfheden (rekstijfheden) van m. C de kolommen en de spantregel. Wegens de bij onderstelling aangenomen oneindig grote stijfheid van de knoopverbindingen in C en D is het systeem eenmaal statisch onbepaald. Door de temperatuursverandering zullen derhalve in het gestel spankrachten ontstaan. De vergelijkingen van de statica luiden:  Horizontaal evenwicht: XA  XB  0  XB   XA   X  Verticaal evenwicht: YA  YB  0  Wentelingsevenwicht om A: YB.  0 De verticale reactiekrachten in A en B zijn klaarblijkelijk gelijk aan nul, terwijl we de horizontale steunpuntsreactie in A als onafhankelijke statisch onbepaalde grootheid hanteren. We stellen ze door de kenletter X voor.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.32

Om het buigend momentendiagram te bepalen, stellen we ons rechts van het raam en onder de spantregel op. Vanuit die stand interpreteren we de begrippen “links”, “rechts”, “onder” en “boven”. In de onderstelling dat X een positieve grootheid is, wordt in figuur 26 een passend teken aan de buigende momenten (gearceerd in volle trek) en aan de normaalkrachten (gearceerd in onderbroken trek) toegekend. NCD = -X NAC = NBD = 0 - X.h

+ X.h

C

D - X.h

x

L XB = - X

XA = X A

B

YA +h

“Bereconobserver”

+h

C

YB D

nCD = 1 nAC = nBD = 0

-h

x

De krommingen in het gestel bestaan louter uit een mechanische bijdrage M terwijl de rekken  EI de som van een mechanische en een thermische component zijn: N    th . EA Beschouwt men een moot met lengte x, dan leidt een temperatuursverhoging T tot een verlenging: x = t . T . x. Hieruit volgt: x  th    th . T x

Om de statisch onbepaalde grootheid X te zoeken, drukken we uit dat de hori1 1 zontale verplaatsing van B A B nul is. Daartoe maken we Figuur 26 gebruik van een hulplichaam L1 met een scharnier in A en een rol in B dat we met een horizontale eenheidskracht in B belasten. De spankrachten n en m in het hulpsysteem worden in de onderste helft van figuur 26 afgebeeld. Door toepassing van het virtuele arbeidsbeginsel op het hulplichaam, waarbij men weerom de ware rekken en krommingen van L als virtuele vervormingen overbrengt, vindt men: L1

C

D D M M N M .dx   [m.  n.(   t .T)].dx   m. .dx EI  EA  A EI k C B EI k 1 X. h Xh X 1 X. h   . h. . h  h. .  1.(    t . T).  . h. .h 3 EI k EI  EA 3 EI k

u B  0   m.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

Hieruit volgt de getalwaarde van X:

X

3.33

 t . T.  . 2 h 3 h 2    3EI k EI  EA 

Indien men zulks wenst kunnen thans meteen de M-, V- en N-lijnen bepaald worden. Ten slotte merken we op dat het tot expressie brengen van een kinematische randvoorwaarde of geometrische aansluitvoorwaarde of compatibiliteitsbetrekking de sleutel vormt voor het begroten van het krachtenspel in een statisch onbepaalde draagconstructie. Deze kanttekening beperkt zich niet tot onderhavige toepassing maar heeft algemene geldigheid!

8.6

Effect van een temperatuursgradiënt

Over de hoogte h van een prismatische balk AB (buigstijfheid EI), die een lengte  overspant, heerst een temperatuursgradiënt (fig. 27). We wensen de daardoor veroorzaakte klimming van het midden van de ligger te bepalen. t.(T+T).dx

y A

T+T T

B

x

dx



t.T.dx

x  .T  t h

F=1  t . T d th   . dx . h

dth

Figuur 27

Beschouw een mootje dx. De onderrandvezel wordt verlengd met  t . T. dx , de bovenrand wordt  t .( T  T). dx langer. Bijgevolg draait de rechterbegrenzing ten opzichte van de linkerdoorsnede van de moot dx over de kleine hoek:

d th  t . T Mitsdien bedraagt de kromming:    mech   th  0  . Omdat het stel dx h sel statisch bepaald is en niet aan uitwendige krachten onderworpen wordt, zijn er geen krommingen van mechanische aard. Om de verplaatsing in het midden van de regel te becijferen, passen we de eerste analogie van Mohr toe: a is het fictief buigend moment onder de fictieve, gelijkmatig gespreide  t . T  t . T 2 neerwaartse belasting , hetzij: a  . . h h 8 De gevonden, positieve uitkomst strookt met de verwachting: onder de temperatuursgradiënt verkrijgt de balk een concave kromming waardoor de doorsnede in het midden van de overspanning een opwaarts gerichte verplaatsing ondergaat.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

8.7

3.34

Effect van een kunstmatige staafverlenging of verkorting

De spantregel van het gestel ACB met stijve knoop C wordt kunstmatig met één 1cm verlengd. De ontwerper maakt vaak van dergelijke ingrepen gebruik om het krachtenspel in hyperstatische of statisch onbepaalde constructies naar believen aan te passen. In het onderhavige voorbeeld is de kolom even hoog als de ligger lang is. Hun rek- en buigstijfheid zijn dezelfde en worden respectievelijk met EA en EI aangeduid. Zij  de lengte van de staven (fig. 28). Ten gevolge van de staafverlenging ontstaan in het stelsel buigende momenten en normaalkrachten, die we wegens de statische onbepaaldheid niet meteen kunnen begroten. Neem de horizontale reactiecomponent in B als onafhankelijke onbekende: XB = -X.

NAC = -X XA

A

+ X

C

m=+

A

C

m=-

n=+1

YA

NCB = - X n=+1

a b X

B

B

1

YB nAC c

nAC nAC  Figuur 28

De vergelijkingen van de statica leveren: XA = X , YA = - YB = -X. In de onderstelling dat X een positieve grootheid is, worden de M- en N- lijnen makkelijk gevonden. Beschouw een ongerept, statisch bepaald hulpsysteem dat met een horizontale eenheidskracht in B belast wordt (fig. 28b). Indien we aan het hulpsysteem virtuele verplaatsingen en vervormingen -die gelijk zijn aan de ware rekken, krommingen en verplaatsingen- opleggen, zal de horizontale verplaatsingscomponent uB van B gelijk zijn aan nul. Dit is immers de te respecteren kinematische randvoorwaarde. We passen het beginsel van de virtuele arbeid Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.35

(22b) op het hulpsysteem toe, waarbij we indachtig zijn dat de kunstmatige staafverlenging eigenlijk een discontinuïteit in de spantregel teweegbrengt (fig. 28c):

1.u B  n AC .   (n. ACB

N M X   X 1 X  m. ).dx  2. .  . .  .(). . , EA EI EA 3 EI 3 EI

of, wegens uB = 0 en nAC = 1: X 

8.8

 2 2 3  EA 3EI

Hoekverdraaiing in een liggerscharnier

Figuur 29 toont een doorgaande ligger met een inwendig scharnier in het punt D. Ten gevolge van de uitwendige belasting ontstaat een relatieve hoekverdraaiing, een knikhoek, in D. Door het aanbrengen van een volgens de z-as georiënteerd eenheidskoppel, net links van het punt D van het hulplichaam, kan men de hoekverdraaiing  van de linkerraaklijn berekenen. Ten einde de rotatie r van de rechterraaklijn te becijferen, plaatst men een eenheidskoppel, dat weerom volgens de z-as werkzaam is, net rechts van B. De knikhoek wordt dan gegeven door:  =  - r en dit is de hoek, gemeten in tegenwijzerzin, waarover de rechterraaklijn moet wentelen om samen te vallen met de linkerraaklijn. Men kan beide bewerkingen evenwel combineren en het hulplichaam van meet af aan belasten met twee eenheidskoppels, een eerste links van D in tegenwijzerzin en een tweede rechts van D in wijzerzin (fig. 29b).

A

D ’ D

B

L





C r a

2 3

m

1 x

L1 A

1

B 1

1 3 C

2

Figuur 29 M Het beginsel van de virtuele arbeid, toegepast op L1, geeft:    m. . dx L1 EI

Berekening van Bouwkundige Constructies I

b

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.36

We merken op dat het hulplichaam minstens statisch bepaald moet zijn: het moet een draagkrachtig gestel wezen. Derhalve nemen we als hulpsysteem niet een eenvoudig opgelegde balk BC met een bijkomend scharnier in D. Toepassing: statisch onbepaalde, over drie velden doorgaande ligger (fig. 30) Een balk met drie overspanningen draagt in het linkerveld een gelijkmatig gespreide belasting 2p, de centrale overspanning wordt in het midden met een puntlast F = p belast. De buigstijfheid is EI. Bepaal het buigend momentendiagram. 2p

F = p

A

B

C

D a



/2

/2



M p 2 4

p 2 4

M1

b

M2

L1 1

1

m

c 1

L2 1

1

m d 1

Figuur 30 Het stelsel is tweevoudig statisch onbepaald. We nemen de voorshands onbekende buigende momenten in B en C als hyperstatische grootheden en noemen ze respectievelijk M1 en M2. Zodoende kan men het buigend momentendiagram opstellen zoals in figuur 30b weerBerekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.37

gegeven is. Om M1 en M2 te bepalen bedienen we ons van twee hulplichamen. Laatstgenoemde hebben dezelfde geometrie als de doorgaande ligger, behalve dat voor L1 een inwendig scharnier ter plaatse van het intermediaire steunpunt B ingevoerd werd, terwijl bij lichaam L2 het scharnier in C aangebracht werd. Belast L1 nu met twee tegengestelde eenheidskoppels in B. In figuur 30c is een statisch mogelijke buigende momentenverdeling m getekend6. Indien we op dit hulplichaam de ware M vervormingen van de ligger als virtuele krommingen overbrengen, dan zal de uitwendige EI virtuele arbeid nul zijn: in het punt B van het ongerepte systeem kan immers geen relatieve M hoekverdraaiing optreden. Mitsdien is  m. . dx  0 , of explicieter: EI L 1

0

   1 p2 1 1 p2 1  . . .1  . M1.1  . .1  .(2 M1  M2 ).1  (7 p2  32 M1  8M2 ) EI  3 4 3 4 4 6 48 EI 

Een analoge gedachtegang bij hulplichaam L2 leidt tot:

0

   1 p2 1 1  . . .1  .( M1  2 M2 ).1  . M2 .1  (3p2  8M1  32 M2 ) EI  4 4 6 3 48 EI 

Hieruit volgt:

128M1  32M2  28p2 8M1  32M2  3p2 Ten slotte worden de overgangsmomenten gegeven door: M1  

1 25 2 5 p   p2 en M2   p2 . 120 24 24

Ze zijn - zoals men ten andere zou verwachten - negatief. De buigende momenten en dwarskrachtenlijnen zijn nu volkomen bepaald (fig. 31). Tevens kan men de steunpuntsreacties als volgt begroten: YA 

6

19 9 45 1 p , YB  p , YC  p , YD   p . 24 24 24 24

In de laatste alinea van lid 7.5 werd erop gewezen dat m enkel en alleen de voorwaarden van het statisch even-

wicht moet vervullen. De toepassing die hier behandeld wordt, maakt gebruik van een enkelvoudig statisch onbepaald hulplichaam zodat we bij de bepaling van m eigenlijk een hyperstatische grootheid vrij mogen kiezen.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.38

24 M p 2

3,5

A

3

B

C

D

-1

-5 24V p

29

8

-1

-16 -19

Figuur 31

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

9

3.39

De stellingen van Betti en Maxwell

Onderstaande heeft betrekking op constructies die van lineair elastische, homogene en isotrope materialen gemaakt zijn en waarvoor de wetten van Hooke gelden. Bovendien heerst er in de verbindingen geen wrijving en is met andere woorden energiedissipatie door warmteverliezen uitgesloten. Ten slotte zijn de verplaatsingen die door de uitwendige belastingen veroorzaakt worden, dermate klein dat primo ze de krachtarmen niet wijzigen en secundo men de vervormde met de onvervormde geometrie mag “identificeren”.

9.1

De wederkerigheidsstelling van Betti Een lichaam L wordt beurtelings aan twee krachtenstellen onderworpen (fig. 32):

  het stel F 1i , met aangrijpingspunten i,   het stel F 2 j , werkend in de punten j.

L

 u 2j,1

 u 1i,2

j

In deze context moet het begrip “kracht” ruim geïni  terpreteerd worden: ook krachtenkoppels worden F 2j ermee bedoeld. Het lichaam is onder de inwerking van dit of gene krachtenstel in evenwicht.   F 1i F 1i veroorzaakt: de spanningen {}1 , de rekken Figuur 32 {}1 en onder meer de veralgemeende verplaatsin gen u 2j,1 van de aangrijpingspunten j van krach tenstel 2. Op analoge wijze wekt F 2 j de spanningen {}2, de vervormingen {}2 en in het

 bijzonder de verplaatsingen u 1i,2 van de aangrijpingspunten van krachtenstel 1 op. Vermits L bij aanwezigheid van stel 1 in evenwicht is, kunnen we het beginsel van de virtuele arbeid (22a) toepassen:

   F 1i .  u i     1t. .dV i L

(i)

Gelet op de uitgangsonderstellingen mag men voor de virtuele verschuivingen en vervormin



gen de volgende, bijzondere keuze maken: en  u i  u 1i,2 en {}={}2. Bovendien hanteren we de constitutieve wet (9b):     D. of   t   t . D t . Derhalve wordt (i):

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

   F 1i . u 1i,2     1t.   2 .dV =    1t. D t .   2 . dV i L L

3.40

(ii)

Hetzelfde lichaam is ook onder het krachtenstel 2 in statisch evenwicht en bijgevolg heeft men: 



 F 2j .  u j    2t . .dV =   t .  2 . dV

j 

L

(iii)

L



Kies  u j  u 2j,1 en {}={}1, zodat (iii) als volgt kan herschreven worden: 



 F 2j . u 2j,1   1t .  2 . dV =  1t . D.  2 . dV j

L

(iv)

L

Vermits [D] een symmetrische matrix is, zijn de rechterleden van (ii) en (iv) gelijk, waarmee meteen ook de wederkerigheidsstelling van Betti bewezen is:

     F 1i . u 1i,2   F 2j . u 2j,1 i j

(33)

In woorden: de arbeid, verricht door een willekeurig stel krachten gedurende de inwerking van een willekeurig tweede stel, is gelijk aan de arbeid, verricht door het tweede stel tijdens de inwerking van het eerste.

9.2

De reciprociteitsstelling van Maxwell

De stelling van Maxwell is een bijzonder geval van deze van Betti. Beide in §9.1 bedoelde krachtenstellen herleiden zich hier elk tot één enkele veralgemeende kracht, zodat de sommen in (33) verdwijnen:     F 1. u 1,2  F 2 . u 2,1

(34)

In woorden: indien twee veralgemeende krachten beurtelings op een elastische draagconstructie aangebracht worden, is de arbeid, verricht door de eerste kracht gedurende de inwerking van de tweede, gelijk aan de arbeid, geleverd door de tweede kracht tijdens het aanbrengen van de eerste. Het scalair product in (34) kan als volgt herschreven worden: F1. a12  F2 . a 21

Berekening van Bouwkundige Constructies I

(35)

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen

3.41

 a12 is de projectie van de veralgemeende verplaatsing van het aangrijpingspunt van F 1 - die   ontstaat ten gevolge van F 2 - op de werklijn van en positief gerekend volgens F 1. Aan de notatie a21 wordt een analoge betekenis gehecht. De stelling van Maxwell wordt in onderstaande figuren toegelicht.  F1

1  u 1,2

1

a12

 u 2,1

Figuur 33: twee krachten  F2

2

2

a21

F1 . a12 = F2 . a21

M1

 u 2,1

1 12

1

2

 F2

a21

2

M1 . 12 = F2 . a21

Memotechnisch hulpmiddel:

oorzaak1 . gevolg2 = oorzaak2 . gevolg1

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Figuur 34: een kracht en een krachtenkoppel

4 Bijzondere aspecten van de balkentheorie

The advantage of being a beam

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.2

1

Belangrijke kenmerken van vlakke balkdoorsneden

1.1

Algemeen

Wanneer men een rechte, prismatische balk met een vlak snijdt dat haaks op zijn lengterichting staat, ontstaat een vlakke figuur die men de dwarsdoorsnede of overdwarse doorsnede1 noemt. Deze kan talrijke vormen aannemen: massief en gedrongen (rechthoekig, cirkelvormig, polygonaal...), dunwandig enkelvoudig samenhangend (I's, H's, U's, C's, T's...) of meervoudig samenhangend (ringvormig, kokervormig...). Figuur 1 toont een aantal, in de bouwkunde zeer gebruikelijke doorsnedevormen.

Figuur 1: courante doorsnedevormen

1.2

Zwaartepunt

z

z' y

dA

y'

G

en zG:

z

A

Om de ligging van het zwaartepunt te bepalen beschrijft men de doorsnede in een rechthoekig assenkruis Oyz2, waarvan de oorsprong willekeurig gekozen kan worden (fig. 2). Het zwaartepunt G van de dwarsdoorsnede wordt gedefinieerd door zijn coördinaten yG

y O

 y  dA yG  A

Figuur 2

A

 z  dA , zG  A

A is het oppervlak van de dwarsdoorsnede3.

1

E: cross-section De x-richting wordt gewoonlijk evenwijdig aan de langsvezels van de balk genomen. 3 E: cross-sectional area 2

Berekening van Bouwkundige Constructies I

A

(1)

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

1.3

4.3

Statisch moment De grootheden Sz   y  dA en S y   z  dA A

(2)

A

in de rechterleden van (1) zijn de statische momenten4 van het dwarsoppervlak, respectievelijk om de z-as en om de y-as. Wanneer de oorsprong van het assenkruis samenvalt met het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede is het statisch moment om een willekeurige as door G altijd gelijk aan nul. Deze eigenschap volgt onmiddellijk uit de definitie van het zwaartepunt volgens de betrekkingen (1).

1.4

Traagheidsmoment en traagheidsproduct

1.4.1 Definitie De traagheidsgrootheden worden bepaald door onderstaande gelijkheden: I y   z 2  dA , I z   y 2  dA , I yz   yz  dA , A

A

(3)

A

Iy en Iz zijn de traagheidsmomenten5 van de overdwarse doorsnede respectievelijk om de y- en de z-as; Iyz is het traagheidsproduct of centrifugaalmoment.

1.4.2 De stelling van Steiner Beschouw twee assenkruisen Oyz en Gy'z', het eerste met de oorsprong in een willekeurig punt O, het tweede met oorsprong in het zwaartepunt G van de dwarsdoorsnede. De y'en de z'-as zijn respectievelijk evenwijdig met de y- en de z-as (fig. 2). De stelling van Steiner legt een verband tussen het traagheidsmoment om de y'-as (z'-as) en dat om de y-as (z’-as): 2 I y  I y'  A  z G

(4)

Het bewijs van deze belangrijke eigenschap volgt dadelijk uit de eerste gelijkheid van (3), wanneer men daarin de substitutie z = z' + zG verricht en verder rekening houdt met de in lid 1.3 geformuleerde eigenschap. 4

E : first moment of area. In de Engelse vakliteratuur gebruikt men zowel de benaming "moment of inertia" als "second moment of area" om dezelfde grootheid te benoemen. Vermits in de huidige context nergens sprake is van massa, lijkt de tweede naamgeving volgens de samensteller van onderhavige notities beter, ofschoon een tegenhanger in het Nederlandse taalgebruik onbestaande is. 5

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.4

Een soortgelijke transformatiematieformule geldt voor de traagheidsproducten:

I yz  I y' z'  A  y G z G .

(5)

Wanneer de oorsprong O’ van het assenkruis x’y’ niet samenvalt met het zwaartepunt G, zijn de betrekkingen iets ingewikkelder. Ze worden hierna ten behoeve van de volledigheid gegeven: 2 I y   z 2  dA   (z O'  z' ) 2  dA  I y'  2  z O'  S y'  A  z O ' , en A

(6)

A

2 I z   y 2  dA   ( y O'  y' ) 2  I z'  2  y O'  Sz'  A  y O ' .

(7)

A

I yz   y  z  dA   ( y O'  y' )  (z O'  z' )  dA  I y' z'  y O'  S y'  z O'  Sz'  A  y O'  z O' A

(8)

A

1.4.3 Hoofdrichtingen We plaatsen de oorsprong van het assenkruis in het zwaartepunt G van de dwarsdoorsnede. Kiest men de oriëntatie van de orthogonale tweetand yz arbitrair, dan is het traagheidsproduct Iyz doorgaans verschillend van nul. Er bestaat echter een bijzondere stand van het assenkruis waarvoor het centifugaalmoment toch nul wordt. z Om deze stand op te sporen bedienen we ons van z' y' een tweede kruis Gy'z' door G, bepaald door de y dA z' hoek  waarover de y-as moet wentelen in de tey' z y genwijzerzin om samen te vallen met de y'-as; i.e.     G  1 y  1 y'  cos  , waarbij 1 y en 1 y' de eenA heidsvectoren volgens respectievelijk de y- en de y'-as voorstellen (fig. 3). Figuur 3 Het verband tussen de traagheidsgrootheden in beide assenkruisen volgt uit de definitie (3) en de bekende rotatie- of transformatieformules uit de analytische meetkunde y'  y  cos   z  sin  en z'  z  cos   y  sin  :





I y'   z' 2  dA   z 2  cos 2   2 yz  sin   cos   y 2  sin 2   dA A

A

 I y  cos 2   sin 2  I yz  I z  sin 2  I y  Iz Iz  I y    cos 2  I yz  sin 2 2 2



(9a)



Iz'   y'2  dA   y2  cos 2   2yz  sin   cos   z2  sin 2   dA A

A

 I z  cos 2   sin 2  I yz  I y  sin 2  Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie



4.5

I y  Iz Iz  I y   cos 2  I yz  sin 2 2 2

(9b)





I y'z'   y' z'dA   yz  cos 2  z 2  sin   cos   y 2  sin   cos   dA A

A



 sin22

 I yz  cos 2  I y  I z 

(9c)

Uit de laatste gelijkheid volgt dat het traagheidsproduct nul wordt voor een bijzondere waarde van de hoek , gegeven door:

tg2 

2I yz

(10)

Iz  I y

De y'- en de z'-richting die met deze bijzondere hoek corresponderen, zijn de hoofdrichtingen en de bijkomende traagheidsmomenten worden de hoofdtraagheidsmomenten6 genoemd.

1.4.4 Doorsnedekenmerken van basisvormen De figuur 4 verzamelt doorsnedekenmerken - die tot de parate kennis horen - van twee vlakke figuren. Fabrikanten van stalen profielen of voorgespannen betonbalken stellen uitgebreide catalogi7 ter beschikking, waar de gebruiker de gewenste grootheden kan aflezen. z

z

Iy  h

bh 3 12

I y  Iz   

r4 4

r

y

y

Iz 

3

hb 12

b Figuur 4

6

Eng. : principal moments of inertia, of, principal second moments of area. Bijvoorbeeld de catalogus van staalprofielen: Profil Arbed, Sales programme - Structural Shapes, edition 32001 (ter consultatie in zelfstudiecel LMO). Zie ook de website: www.europrofil.be 7

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

1.5

4.6 z

Toepassingen

50

1.5.1 Gedrongen doorsnede 20

Bepaal de ligging van het zwaartepunt en de hoofdtraagheidsmomenten van de profieldoorsnede, afgebeeld in figuur 5. De afmetingen zijn in mm.

15

15

70

Oplossing: We delen de doorsnede op in elementaire geometrische figuren.

y 20 Figuur 5

z b Rechthoek 1:

A1 := b d

h

1

d

2

e

1 Sy1 := b d  h d  2   2 1 1 1 I z1 := d b3 I y1 := b d  h d   b d 3 2  12 3  1 1  2 I yz1 :=  h d  b d 2 2  1 Sz1 := b2 d 2

e 3 y c

Rechthoek 3: 1 1 A3 := ( hd ) c Sz3 := ( hd ) c2 Sy3 := ( hd )2 c 2 2 2

1 1 1 1 1 I z3 := ( hd ) c3 I y3 := ( hd ) c  h d   c ( hd )3 I yz3 := ( hd )2 c2 2  12 3 4 2 Driehoek 2: 1 A2 := e2 2 1 2 1  1 1 Sz2 := e  c e  Sy2 := e2  hd e  2  3  2  3  2 2 e e e2  c  e2  hd  4 4 3 e 3    e Tz2 :=  Ty2 :=  2 36 2 36

1 1 1 I yz2 := ( hd )4 ( hde )4 ( chde ) ( ( hd )3( hde )3 ) 8 8 3 1 1 1   ( chde )2 c2  ( ( hd )2( hde )2 ) 2 2 2  Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.7

Ligging van het zwaartepunt: b = 50 mm, h = 70 mm, c = 20 mm, d = 20 mm, e = 15 mm 2 3 3 A = 2112,5 mm , Sz = 37812,5 mm , Sy = 90062,5 mm , yG = 17,9 mm, zG = 42,6 mm Traagheidsmomenten en traagheidsproduct: 4

4

Iy = 4695885,4 mm , Iz = 1038385,4 mm , Iyz = 1877265,6 mm

4

Traagheidsgrootheden betrokken op assenkruis door G: 4

4

IyG = 856238,6mm , IzG = 361564,0mm , IyGzG = 265200,2 mm

4

Hoofdrichtingen en hoofdtraagheidsmomenten:  = -0,410118 IY = 971540,1 mm4 IZ = 246262,8 mm4.

1.5.2 Dunwandig Z-profiel a) Bepaal de ligging van het zwaartepunt en de hoofdtraagheidsmomenten van de doorsnede van het dunwandige, puntsymmetrische Z-profiel in 60 figuur 6 (afmetingen in mm). De inwendige afrondingsstraal aan de hoeken is r = t = 2 mm en de uit15 wendige is r + t = 4 mm. b) Indien men de afronding van de hoeken van het Zprofiel veronachtzaamt en de oppervlakte geconcentreerd denkt op de hartlijn van de flenzen, de flenstippen en het lijf, bekomt men een lijnvormige, polygonale sectie. Bereken de ligging van het zwaartepunt en de hoofdtraagheidsmomenten van deze geidealiseerde, polygonale doorsnede. Bepaal tevens de relatieve fout wanneer je vergelijkt met de exacte oplossing uit lid a). Welke conclusie trek je daaruit?

2

Berekening van Bouwkundige Constructies I

140

Figuur 6

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.8

Enkelvoudige buiging 8 9

2 2.1

Klassieke hypothesen

De theorie voor enkelvoudige buiging van prismatische balken gaat uit van de volgende, vereenvoudigende onderstellingen10:  De balk is opgevat als een bos van parallelle vezels.  De doorsnede heeft een symmetrievlak waarin de uitwendige belastingen gelegen zijn.  Er grijpen geen overlangse krachten aan op de balk die bijgevolg vrij van normaalkrachten is.  Het materiaal gehoorzaamt aan de wet van Hooke: x = E.x, waarin x de overlangse spanning en x de overeenstemmende stuik of rek is. Het effect van de spanningen y en z (die het gevolg van overdwarse krachten kunnen zijn) op de overlangse rek x wordt daarbij verwaarloosd.  De krachten onderwerpen de balk aan buiging, waarbij een vlakke dwarsdoorsnede die haaks op de parallelle vezels staat vóór de vervorming, vlak blijft en loodrecht op die vezels blijft staan tijdens het doorbuigen van de balk. Dit is de hypothese van Jacob Bernouilli11 die eigenlijk de dwarskrachtvervorming veronachtzaamt. Men spreekt van zuivere buiging12 indien de staaf enkel en alleen aan buigende momenten onderworpen wordt, van enkelvoudige buiging13 als de buigende momenten van dwarskrachten vergezeld zijn.

2.2

Gevolgen van de klassieke hypothesen

Mits inachtneming van bovenstaande hypothesen verlopen de spanningen en de rekken lineair over de hoogte van de doorsnede, en wanneer men ze betrekt op een assenstelsel met de oorsprong in het zwaartepunt G van de doorsnede, de y-as samenvallend met de symmetrieas (die bijgevolg een hoofdtraagheidsas is), de x-as volgens de langsvezels en de z-as zodanig dat het assenkruis orthonormaal is (fig. 7), dan geldt14: y y , x   E z z M M 1  z  z , x   z  y z EI z Iz

x  

8

(11) (12)

S. Timoshenko, Strength of Materials: Part I - Elementary, Van Nostrand Reinhold Co, New York, 1955. J. Degrieck, W. Van Papegem, Mechanica van Materialen, Gent, 2002. 10 Ze leiden tot eenvoudige formules, waarvan het praktisch nut buiten kijf staat. 11 Jacob Bernoulli (1654-1705) nam aan dat vlakke doorsneden vlak blijven, doch voerde er de verkeerde hypothese aan toe dat de neutrale lijn zou samenvallen met de onderrand van de balk. De theorie van de buiging zoals wij die thans kennen, is afkomstig van Parent (1666-1716). 12 E: Pure bending. 13 E: Simple bending. 14 Voor een opfrissing van de elementaire buigingstheorie wordt verwezen naar Bijlage A, aan het eind van dit hoofdstuk. 9

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.9

1 is de kromming van de balk - in het xy-vlak - terwijl hij doorbuigt, Iz het traagheidsmoz ment van de doorsnede om de z-as. y

y z

dA Mz

hb

y x G

 G z

x

x +

ho

zijaanzicht ruimtelijke impressie

Figuur 7: normaalspanningsverdeling ten gevolge van buiging om de z-as De betrekking (12) is de basisbetrekking van de balkentheorie waarmee men de overlangse normaalspanningen becijfert die door het buigend moment Mz opgewekt worden. Ze zijn nul voor y = 0; dat wil zeggen ter hoogte van de z-as. Daarom wordt de z-as ook de neutrale lijn genoemd. Ze staat kennelijk loodrecht op het belastingsvlak xy. De spanning is extremaal ter hoogte van de bovenste en onderste randvezels: Mzhb Mzho Mz M   z , o   Iz Iz Iz Iz hb ho In de onderstelling dat hb > ho treden in absolute waarde de grootste randvezelspanningen op ter hoogte van de bovenrand en wordt de grootheid b  

I Wz  z hb

(13)

het weerstandsmoment van de doorsnede genoemd. Noteert men met het symbool v de overdwarse verplaatsing volgens y van de hartlijn van de balk, dan levert differentiaalmeetkunde de volgende uitdrukking voor de kromming: Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.10

d2v 1 dx 2  z  2 3/2  dv   1       dx  

(14)

Wanneer de verplaatsingen v en de hoekverdraaiingen dv/dx klein zijn – wat in een lineaire theorie altijd aangenomen wordt -, mag de tweede term in de noemer van het rechter lid van (14) verwaarloosd worden en vereenvoudigt de uitdrukking tot:

1 d2v   z dx 2

2.3

(15)

Opmerking

Een gevolg van het verwaarlozen van de dwarskrachtvervorming is dat de glijding xy gelijk is aan nul. Een lijnstuk gelegen in de doorsnede en gealigneerd volgens y blijft gedurende de doorbuiging van de balk haaks op de vervormde hartlijn, wat uiteraard een uitvloeisel van de hypothese van Bernoulli is. Daaruit mag men evenwel niet concluderen dat de schuifspanningen xy = G.xy nul zouden zijn. Men zal ze door middel van evenwichtsbeschouwingen moeten bepalen (cfr. lid 5).

3

Superpositiebeginsel

Wanneer een lichaam onderworpen is aan verschillende krachtsverwerkingen (F, M, T...) mag men het effect (, , v, ...) van elk van die belastingen, waarbij ze afzonderlijk op het lichaam inwerken, optellen of superponeren indien een aantal geldigheidsvoorwaarden vervuld zijn:  De (veralgemeende) verplaatsingen zijn klein.  De materialen zijn lineair elastisch en kunnen met andere woorden door de wetten van Hooke worden beschreven.  Er is geen energiedissipatie in de verbindingen door wrijving.

4

Effecten van buigende momenten en normaalkracht

4.1

Scheve buiging of dubbele buiging

4.1.1

We onderstellen voorshands dat de balk in figuur 7 uitsluitend aan overdwarse krachten onderworpen is die in het Gxz-vlak gelegen zijn. De z-as die loodrecht op de symmetrieas y staat, is evenzeer een hoofdas. Naar analogie van het gezegde in de leden 2.1 en 2.2 geven ze aanleiding tot  de buigende momenten My, Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.11

 de dwarskrachten Vz,  de verplaatsingen w15 en de hoekverdraaiingen  de kromming

dw , dx

M y 16 1 d2w ,    y    y dx 2 EI y

 de rekken  x  

(16)

My z en de spanningen  x  z. y Iy

(17)

y

4.1.2

Zijn y en z de hoofdtraagheidsassen en is de doorsnede onderworpen aan de buigende momenten My en Mz (fig. 8), dan is de uitdrukking van de overlangse normaalspanningen blijkens de superpositietheorie en de betrekkingen (12) en (17):

Mt My



belastingsvlak 

z

x 

My Iy

z

Mz y Iz

(18)

x Mz

G neutrale lijn

Men vindt makkelijk de ligging van de neutrale lijn in de wetenschap dat x er nul is: Figuur 8

15

Er zijn geen verplaatsingen v volgens de y-as. Het bewijs volgt uit het ongerijmde: indien er niet-triviale ver-

plaatsingen haaks op de hoofdtraagheidsas z ontstaan, zijn ze het gevolg van krommingen het superpositiebeginsel is de uitdrukking van de overlangse rek:  x  

1 d2v  . Blijkens  z dx 2

y z en wordt de overlangse nor z  y

 y z  maalspanning gegeven door :  x   E   z  y 

  . Het resulterend moment van die overlangse normaalspan  ningen om de z-as moet gelijk zijn aan het buigend moment Mz: EI z E E 2 M z     x  y  dA    y dA   yz dA  z A z z A 1 Vermits Mz gelijk is aan nul over de volledige uitgestrektheid van de balk, is de kromming eveneens nul, wat z strijdig is met de onderstelling. 16

De lezer wordt verzocht even na te denken over het teken in het derde en vierde lid van de gelijkheid.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

My Iy

Mz M Iy  y  0 of z  z  y Iz M y Iz

z

4.12

(19)

Het vlak door G loodrecht op de neutrale lijn noemt men het buigingsvlak. Indien de verhouding Mz/My niet constant is langs de uitgestrektheid van de balk zal de stand van de neutrale lijn en van het buigingsvlak veranderlijk zijn. Tenzij Iy = Iz blijkt uit de voorgaande vergelijking dat de neutrale lijn niet evenwijdig is met de drager van de momentenvector (fig. 8). Laatstgenoemde sluit immers een hoek  M met de y-as in, gegeven door tan   z , terwijl de neutrale lijn de richtingscoëfficiënt My

Mz Iy bezit. Ze staat bijgevolg meestal niet loodrecht op het belastingsvlak, dat de  M y Iz resulterende dwarskracht bevat. Vandaar de benaming "scheve buiging"17: een stel van coplanaire krachten doet de balk ook verplaatsingen haaks op hun vlak ondergaan. Een treffende illustratie daarvan wordt in lid 4.1.6 gegeven. tan  

De neutrale lijn verdeelt de dwarsdoorsnede in twee gebieden: één waar trekspanningen heersen en een tweede waar drukspanningen aanwezig zijn.

4.1.3 Belangrijke opmerking De lezer moet er zich van bewust zijn dat de betrekking (18) in die vorm alleen mag toegepast worden wanneer de y- en de z-as de hoofdtraagheidsassen zijn. Zijn ze dit niet dan verkrijgt men een bruikbare uitdrukking van de overlangse buignormaalspanningen als volgt:  De hartlijn van de balk verkrijgt een (ruimtelijke) kromming. Indien men de krommingen in het xy-vlak en in het xz-vlak respectievelijk voorstelt door  z en  y , dan is de uitdrukking van de normaalspanning in een vezel: x   E

y z E z y

(20)

 Bijgevolg kan de uitdrukking van het buigend moment volgens y en volgens z onmiddellijk opgesteld worden: EI z EI yz E E 2 , M z     x  y  dA    y  dA   yz dA = z A y A z y A

EI yz EI y E E 2 ,   yz  dA   z  dA   z A y A z y M z  I y  M y  I yz M y  I z  I yz  M z E  en  y I 2yz  I y  I z I 2yz  I y  I z

M y    x  z  dA   A

waaruit :

17

E z

E: Nonsymmetric bending, double bending.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

(21)

Bijzondere aspecten van de balkentheorie 

4.13

Substitutie van (21) in (20) levert:

x 

M z  I y  M y  I yz I 2yz  I y  I z

y

M y  I z  I yz  M z I 2yz  I y  I z

z

(22)

4.1.4 En wat met de verplaatsingen? Uit het bovenstaande weten we dat de krommingen door (21) gegeven worden. De berekening van de verplaatsingen v en w wordt nu zeer eenvoudig vermits het verband tussen de krommingen en die verplaatsingen gegeven worden door:

d2v

1 d2w 1 en   2 2 z y dx dx

(23)

(23) combinerend met (21) levert:

d2v dx 2



M z  I y  M y  I yz E  (I 2yz  I y  I z )

en

d2w dx 2



M y  I z  I yz  M z E  (I 2yz  I y  I z )

(24)

Een tweevoudige integratie naar x, waarbij rekening gehouden wordt met de kinematische randvoorwaarden zal de gevraagde uitkomst opleveren.

4.1.5. Bijzonder geval: gedwongen buiging in een vooropgegeven vlak De verbogen hartlijn van de balk beschrijft bij onderstelling een vlakke kromme, gelegen in het buigingsvlak Gy, waarbij y geen hoofdas is. De z-as is bijgevolg de neutrale lijn. We wensen de stand van het belastingsvlak dat deze buiging vergezelt, te bepalen. Vermits y y =  wordt de uitdrukking (20) van de spanningen  x   E , en zijn de buigende momenz ten om de z- en de y-as respectievelijk: Mz 

EI yz EI z , My   z z

De hoek  die M tg  z   My

(25)

de resulterende momentenvector Mt insluit met de y-as wordt gegeven door Iz . Aangezien het belastingsvlak loodrecht op de momentenvector Mt staat, I yz

sluit het belastingsvlak, en dus de werklijn van de totale dwarskracht Vt, de hoek     met de y-as in.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

 2

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.14

Besluit : Slechts indien het belastingsvlak een hoek met de y-as insluit gegeven door I yz beschrijft de uitgebogen stand van de staafas een vlakke kromme in het tg  Iz xy-vlak en slechts dan mag men de normaalspanningsverdeling becijferen met: M x   z y . Iz

4.1.6 Toepassing Het puntsymmetrische Z-profiel in figuur 6 wordt als een 4 m lange dakgording gebruikt. Het is aan zijn beide uitenden eenvoudig opgelegd en is onderworpen aan een neerwaarts gerichte, gelijkmatig gespreide belasting p = 750 N/m, werkend in het vlak van de lijfplaat. Men vraagt:  de buignormaalspanningen op de dwarsdoorsnede in het midden van de overspanning,  de verplaatsingen van het zwaartepunt van die dwarsdoorsnede. Oplossing: y

58

2

1 14 3

138

z

Iz := 1758742.666 mm 4 Iy := 448533.334mm4 Iyz := 665608.000mm4 De normaalspanningen worden begroot met (22),

6 4

We verrichten de berekeningen in de onderstelling dat het materiaal van de dwarsdoorsnede geconcentreerd is op de hartlijn van de plaatvormige stroken, waarmee ze is samengesteld. We plaatsen de oorsprong van het assenkruis in het zwaartepunt van de geïdealiseerde doorsnede en leggen de y-as verticaal en de z-as horizontaal (fig. 9). Na enig rekenwerk vindt men de traagheidsgrootheden:

rekening houdend met het feit dat My = 0: Mz Iy I yz  M z x  y z I 2yz  I y  I z I 2yz  I y  I z

5 Figuur 9

Het grootste buigend moment doet zich voor in

p  2 7  Mz := .150000000010 N mm 8 en de ermee corresponderende spanningen zijn  ter hoogte van de bovenflens: N N N x1 := 33.21 x2 := 134.24 x3 := 60.45 2 2 mm mm mm2  en ter hoogte van de onderflens: het midden van de overspanning: M z 

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.15

N N N x5 := 134.24 x6 := 60.45 2 2 mm mm mm2 Ten slotte worden de grootste verplaatsingen gegeven door Iy I yz 5  p  4 5  p  4 of v max   en w max   . 384 384 E  (I 2yz  I y  I z ) E  (I 2yz  I y  I z ) x4 := 33.21

vmax := 15.4 mm en wmax := 22.9 mm Men stelt vast dat de doorsnede niet alleen zakt, maar zich terzelfder tijd verplaatst naar rechts onder de verticale belasting! Dit is het gevolg van de scheve buiging. Het vermoeden rijst dat de spanningen in de balk en de verplaatsingen kleiner zullen zijn indien men de verplaatsing van de balk uit het vlak van de lijfplaat verhindert. Dit vermoeden wordt gestaafd door een berekening te verrichten in overeenstemming met § 4.1.5. Men vindt 

drukspanningen ter hoogte van de bovenflens:

N N N x2 := 58.85 x3 := 46.91 2 2 mm mm mm2 en even grote trekspanningen ter hoogte van de onderflens.

x1 := 58.85 

5  p  4 1 = -6,77 mm.  384 E  I z Langsheen de volle uitgestrektheid van de staaf is daartoe een gespreide lijnlast I yz pz  p y   283,8 N/m nodig en de verbindingsmiddelen die zulks realiseren18 zullen teIz De maximale doorbuiging is ook heel wat geringer: v max  

gen een even grote - maar tegengesteld gerichte - belasting bestand moeten zijn.

4.2

Langskracht gecombineerd met buiging

4.2.1

Indien de doorsnede terzelfder tijd aan een normaalkracht N onderworpen is, worden de spanningen die het gevolg zijn van de normaalkracht, opgeteld bij deze die aan buiging toe te schrijven zijn, My N M (26) x   z  y  z A Iz Iy indien y en z de hoofdassen zijn, of,

x 

18

M y  I z  I yz  M z N M z  I y  M y  I yz  y z A I yz  I y  I z I yz  I y  I z

(27)

In de praktijk zal men daartoe bijvoorbeeld koppelstaven gebruiken die de som van de krachten -pz opnemen.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.16

indien zulks niet het geval is. Ten gevolge van het effect van de normaalkracht gaat de neutrale lijn niet langer door de oorsprong G van het assenkruis. In figuur 10 wordt de superpositie in het geval van samengestelde buiging aanschouwelijk voorgesteld.

4.2.2 Centrale kern van een dwarsdoorsnede De buigende momenten My en Mz kunnen ook het gevolg zijn van een excentrische normaalkracht; dit is één waarvan de werklijn niet door het zwaartepunt gaat. In figuur 11 treft de Figuur 10: combinatie van de effecten van N en M werklijn van de normaalkracht N de doorsnede in een punt P met coördinaten ey en ez (de excentriciteiten van de normaalkracht). Kennelijk geldt: M z   N  e y en M y  N  e z . Voert men deze uitdrukkingen in (26), dan verkrijgt men: N ez N Ney (28) x   y  z A Iz Iy

y

P ez ey N z

G x

Figuur 11

Men kan zich nu de vraag stellen in welk gebied het aangrijpingspunt van de normaalkracht mag gelegen zijn opdat de doorsnede enkel aan trekspanningen of enkel aan drukspanningen - afhankelijk van het teken van N - onderhevig zal zijn. In dat geval mag de neutrale lijn met vergelijking: ey e  y  z  z  1 (29) 2 iz i 2y de doorsnede niet snijden; ze mag er ten hoogste

Iy Iz en i y  zijn de gyratiestralen van de doorsnede. Het hierboven A A vermelde gebied wordt de centrale kern of kortweg kern van de doorsnede genoemd.

aan raken. i z 

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.17

Om de kern van een doorsnede met convexe, polygonale buitenbegrenzing te zoeken, kiest men een omloopzin en laat de neutrale lijn achtereenvolgens samenvallen met de zijden van de polygoon. Op dat moment is de vergelijking van de neutrale lijn evenwel bekend en kan ze onder de gedaante a  y  b  z  1

(30)

geschreven worden. Indien men de coëfficiënten a en b identificeert met respectievelijk

e y / i 2z en e z / i 2y , verkrijgt men twee direct bruikbare betrekkingen die de coördinaten ey en ez van het kernpunt, dat met de gekozen neutrale lijn overeenstemt, bepalen. Men vervolledigt de kern door alle kernpunten, in de volgorde waarin men ze gevonden heeft, te verbinden. De kern van een doorsnede waarvan de buitenomtrek een kromme is met vergelijking f(y,z) = 0 wordt gevonden door de vergelijking van de raaklijn aan de kromme te bepalen, ze te schrijven in de gedaante (30) en te vergen dat die vergelijking identiek is als (29)19. Voor een rechthoekige doorsnede is de kern een ruit waarvan de coördinaten van de hoekpunten  h / 6 , 0 en 0 ,  b / 6 zijn. De centrale kern van een cirkel met straal r is een cirkel met straal r / 4 . Indien de werklijn van de normaalkracht de doorsnede treft in een punt van de rand van de kern, zal de neutrale lijn de doorsnede nog net raken; valt het aangrijpingspunt van de normaalkracht buiten de kern, dan snijdt de neutrale lijn de doorsnede en heeft de spanning niet overal hetzelfde teken. In een gemetselde kolom veroorzaakt een drukkracht met aangrijpingspunt buiten de centrale kern trekspanningen in een deel van de sectie, hetgeen ontoelaatbaar geacht wordt omdat metselwerk slechts geringe trekspanningen kan weerstaan. Opgave: Bepaal de centrale kern van de gedrongen doorsnede in figuur 5 en van het Zprofiel in figuur 9.

19

Stilzwijgend wordt aangenomen dat de raaklijn de doorsnede elders niet snijdt. Doet ze dat wel, dan zijn voor de hand liggende aanpassingen aan de voorgestelde methode nodig.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.18

5

Effecten van dwarskracht

5.1

Formule van Jourawski

5.1.1 Schuifspanningsverdeling Een prismatische balk is onderworpen aan enkelvoudige buiging om de hoofdas z (fig. 12). Op de einddoorsneden van een elementaire moot dx wekken de buigende momenten Mz en Mz + dMz overlangse normaalspanningen op, die men met de formules van de klassieke buigingstheorie kan becijferen:  x  M z  y / I z . Mz en x worden in de figuur met hun conventionele, positieve zin weergegeven. Bij onderstelling is dMz een negatieve aangroei (omdat we het effect van een positieve dwarskracht Vy willen onderzoeken). Men brengt een denkbeeldig snijvlak aan, evenwijdig met het xz-vlak en op een afstand y0 daarvan gelegen en bestudeert het evenwicht volgens x van het bovenste gedeelte van de liggermoot. De resultante van de normaalspanningen,

M z  dM z M dM z   y  dA  z  y  dA     y dA Iz Iz A Iz A A1 1 1 moet gecompenseerd worden door een even grote schuifkracht q dx, werkend in het snij

vlak.20 Bijgevolg geldt: Vy  S dM z Sz, A1 (31)   dx Iz Iz Vy is de plaatselijke dwarskracht, S  Sz,A1 is het statisch moment, om de z-as, van het geq

deelte van de dwarsdoorsnede boven het snijvlak. y

y

Mz x

x

z

z

A1 Mz + dMz x + dx

y0

x + dx

q.dx y0

x dx

x Figuur 12

20

Merk op dat de schuifkracht q.dx in de figuur getekend werd in overeenstemming met de tekenafspraak: de uitwendige normaal op het snijvlak is tegengesteld aan y, bijgevolg is een positieve q tegengesteld aan x.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.19

De schuifstroom q heeft de dimensie kracht/lengte . Indien men hem gelijkmatig uitgesmeerd denkt over de plaatselijke breedte e van de balk (fig. 13), overeenstemmend met de coördinaat y0, leidt de betrekking (31) tot de inmiddels vereeuwigde formule van Jourawski voor de schuifspanningen yx:  yx 

q Vy  S  e Iz  e

e

(32)

xy

Wegens de wederkerigheidsstelling van de schuifspanningen, yx zijn in de einddoorsneden van de moot en ter hoogte van de y0 coördinaat y0 even grote schuifspanningen xy werkzaam: ze zijn het grootst ter hoogte van de neutrale as; in het geval van q G figuur 12 is dit de z-as, en worden nul aan de boven- en de onderrandvezels van de dwarsdoorsnede. Het laatste is volstrekt Figuur 13 logisch: er is immers impliciet ondersteld dat geen overlangse krachten op de balk werkzaam zijn. In het bijzonder zijn er geen overlangse krachten in het boven- en ondervlak van de balk; zijn er bijgevolg geen schuifspanningen yx en wegens de wederkerigheidsstelling ook geen schuifspanningen xy. Voor een rechthoekige doorsnede met breedte b en hoogte h rekent men eenvoudig na dat de schuifspanningen gegeven worden door:  h    y0    2 Vy h  2    6Vy   h  y 2  ,  xy    b   y0    0  bh 3  4 2  bh 3   2    b  12  en stelt men bijgevolg vast dat de schuifspanningen parabolisch veranderen over de hoogte van de dwarsdoorsnede. De som van de schuifspanningen over de volledige hoogte is gelijk aan h 2

  xy  b  dy 

h 2

6  Vy  h 3 h 3     Vy ,  3  4  12 h  

zoals het hoort.21 De schuifspanning is in absolute waarde maximaal ter hoogte van vezels die 3 Vy de neutrale as z = 0 treffen, is daar gelijk aan  max   en is plaatselijk dus anderhalve 2 bh keer groter dan de gemiddelde schuifspanning.

21

Vy is immers een spanningsresultante: ze is de resultante van de schuifspanningen. De vaststelling geldt bijgevolg ook voor willekeurige dwarsdoorsnedevormen.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.20

Opmerkingen: a) In het voorgaande is stilzwijgend aangenomen dat de dwarskracht constant is. Is zulks niet het geval dan worden de schuifspanningen die op de achterste einddoorsnede van de moot werkzaam Vy  S zijn, gegeven door  xy  ; en deze op de e  Iz Vy  dVy  S voorste door  xy  d xy  . e  Iz



p.dx

Vy



Vy+dVy

Hun resultanten Vy en Vy + dVy onderwerpen de balkmoot dx derhalve aan een nettokracht dVy volgens y, die evenwicht maakt met de Figuur 14 plaatselijke, externe belasting pdx (fig. 14)! Dey ze slotsom is geheel in overeenstemming met de algemene evenwichtsprincipes uit de balkentheorie. b) In een doorsnede is de component van de  schuifspanning loodrecht op een onbelaste vrije rand altijd gelijk aan nul. Mitsdien is de totale schuifspanning in de doorsnede nabij een vrije e rand evenwijdig met die rand. De schuifspanFiguur 15 ningsverdeling over de plaatselijke breedte van het denkbeeldige snijvlak in figuur 15 zal er ongeveer uitzien zoals daar getekend is. De juiste verdeling kan men met de balkentheorie niet bepalen, maar wat volstrekt zeker is, is dat de som van hun verticale componenten gegeven wordt door het rechterlid van (31).

5.1.2 Vormfactor van de dwarsdoorsnede Schuifspanningen xy zijn vergezeld van glijdingen  xy   xy / G 22. Uit lid 5.1.1 Vy  Smax  blijkt dat de glijdingen maximaal zijn ter hoogte van de staafas:  max  max  . G eo  I z  G Men betrekt ze op de gemiddelde glijding door het introduceren van het begrip vormfactor :  max   

Vy GA



Vy  Smax eo  I z  G

, waaruit:  

S max  A eo  I z

(33)

eo is de breedte van de balk voor y = 0, A het totale dwarsoppervlak en Smax het statisch moment van het gedeelte van de staafdoorsnede boven de neutrale lijn.

22

In de buigingstheorie bedient men zich van de vereenvoudigende aanname dat de glijdingen nul zijn om praktisch bruikbare formules voor de normaalspanningen op te stellen. Dit pijnpunt wordt thans rechtgezet.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.21

 is een factor, groter dan één, die afhangt van de vorm van de dwarsdoorsnede en die men 3 met de formule van Jourawski kan becijferen. Voor een rechthoekige doorsnede is   (cf. 2 4 lid 5.1.1); voor een cirkelvormige is   . Voor I-profielen belast in het vlak van het lijf is 3 3A 2A  A" (A: totale profieldoorsnede; A”: doorsnede van het lijf)23.   2A" 3A  2A"

5.2

Doorbuiging door dwarskrachten

Om uitsluitend het effect van de glijy dingen op de doorbuigingslijn te onderzoeken, past men het superpositiebeginsel toe en neemt men aan dat alle overlangse rekken en stuiken door buigende momenten nul zijn en dat de Vy staafdoorsneden evenwijdig en verticaal blijven en eenvoudig glijden ten aanzien van elkaar (fig. 16). Een oorspronkelijk horizontaal elementje dx van de staafas tussen twee naburige doorsneden neemt dus de helling  aan, en de uitsluitend aan de dwarskracht te wijten doorbuiging v1 beantwoordt aan:

dv 1



x Vy dx Figuur 16

  Vy dv1  dM z    dx GA GA dx

(34)

en, indien de staaf prismatisch is of een traag verlopende doorsnede heeft, ook aan d 2 v1  dVy p (p: neerwaartse belasting per lengte-eenheid).    GA dx GA dx 2 De doorbuigingen v voortvloeiend uit de elastische rekken en glijdingen tezamen zijn bepaald door de randvoorwaarden en door de differentiaalvergelijking

d2v dx 2



M z d 2 v1 M z p    EI z EI z GA dx 2

(35)

Als men rekening wil houden met de vervormingen door dwarskrachten mag men nog gebruik maken van de analogieën van Mohr en van de stellingen van Greene, mits men in de formuleM ring het gereduceerd moment z overal vervangt door het laatste lid van (35). EI z 23

De lezer zal ongetwijfeld opmerken dat men ook een vormfactor kan definiëren voor een dwarskracht volgens de andere hoofdas, en dat beide vormfactoren niet noodzakelijk dezelfde waarde hebben.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie x 

Uit (34) blijkt dat v1  

0 GA

4.22

 Vy  dx  B . Voor een tweezijdig opgelegde ligger is de inte-

gratieconstante B = 0 en is dus x 

v1  

0 GA

 Vy  dx

(36)

Voorbeeld: gelijkmatige belasting p op een prismatische, eenvoudig opgelegde ligger /2

In het midden is  Vy  dx   0

p 2 p 2 . De aan de buigende momenten te wijen v1   8 8  GA

5 p 4  De verhouding van de uitwijkingen door dwarskracht en 384 EI z v 48    EI z 96  (1  )    I z door buiging is: 1  . Voor een rechthoekige doorsnede met  v 2 5  GA   2 5  A  2 ten doorbuiging is v 2  

hoogte h is I z / A  h 2 / 12 en met  = 0,3 is

2

v1 h  3,12   . v2 

Als h = 0,1 is v1 slechts 3,1 % van v2. Opmerkingen: 

Uit het voorbeeld blijkt dat v1  v2. Daarom wordt zelden rekening gehouden met de vervorming door dwarskrachten; in het bijzonder zal men in praktische gevallen deze vervorming veronachtzamen wanneer h/ < 1/6. Voor I-profielen (met bijvoorbeeld  = 3), die tamelijk kort zijn ten opzichte van hun hoogte, kan v1 evenwel een nietverwaarloosbare fractie van v2 worden.



In een gegeven staafdoorsnede nemen de schuifspanning xy en de glijding xy af naarmate men de onder- of de bovenrand van de doorsnede nadert. Blijkens de elasticiteitstheorie u v is de glijding  xy  . Voor een vaste balkdoorsnede (x = cst) wordt in de balken y x theorie aangenomen dat alle langsvezels dezelfde verticale verplaatsing ondergaan24. Bijv dv gevolg mag men partiële differentiatie vervangen door een gewone afgeleide en x dx wordt de tweede term in de uitdrukking van xy voor een vaste balkdoorsnede een constante. De overlangse verplaatsingen y

u ( x , y)    xy  dy  y  o

dv  f (x) dx

24

(37)

Met de rek van de langsvezels van de staaf gaat een dwarscontractie gepaard. Dientengevolge is de elastische verplaatsing haaks op de staafas niet precies dezelfde voor alle punten van dezelfde dwarsdoorsnede. De verschillen tussen de verplaatsingen zijn echter een orde van grootte kleiner dan de doorbuigingen van de staafas. In deze zin is het verantwoord te spreken van de doorbuiging van een staaf ter plaatse van een gegeven doorsnede.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.23

bestaan uit drie bijdragen: o o

De translatie f(x), dezelfde voor alle vezels, die het gevolg zou kunnen zijn van het effect van normaalkrachten en die hier niet echt van belang is. dv De overlangse verplaatsingen volgens de klassieke balkentheorie  y door het dx wentelen van de dwarsdoorsneden als gevolg van de buiging.

o

De niet-lineaire functie    dy van y die er verantwoordelijk voor is dat vlakke door-

y

0

sneden niet vlak blijven en die de welving van de doorsnede beschrijft. Bij een rechthoekige doorsnede is de welving: 3 y 6V  2  Vy  h  y y h  y   2   y dy  3  4   . De onderstaande figuur 17 toont de  3   2  GA  h  h   o G.bh  4   welving voor een rechthoekige, betonnen balkdoorsnede met hoogte h = 40 cm, b = 20 2 cm die aan een dwarskracht Vy = 700 kN onderworpen is. G = 9130,4 N/mm . De grootste welfverplaatsing bedraagt amper 0,2 mm. u [mm]

y/h

Figuur 17

Bij het berekenen van de doorbuigingen door dwarskrachten hebben we stilzwijgend aangenomen dat de welving, waarvan de amplitude evenredig is met Vy, onbelemmerd kan ontstaan. Meestal wordt de welving in de praktijk bemoeilijkt25 en dan zijn de aan de dwarskrachten toe te schrijven doorbuigingen kleiner, vaak zowat 20 % kleiner, dan de met (36) berekende. Een kleine overschatting van het geringe aandeel v1 van de schuifspanningen in de totale doorbuiging v2 + v1 is doorgaans aanneembaar.

25

Ter hoogte van een inklemming kan de welving zich zelfs helemaal niet voordoen.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

5.3

4.24

Schuifspanningen in dunwandige profielen

5.3.1 Een dunwandig profiel als dat in figuur 18

y

wordt door coplanaire krachten belast op buiging om een hoofdtraagheidsas, bijvoorbeeld de z-as. Het totale moment van de uitwendige krachten die aan een kant van de doorsnede werken - inclusief de reactiekrachten - om de neutrale lijn is het buigend moment in de doorsnede Mz. Het veroorzaakt buignormaalM spanningen gegeven door  x   z  y . Iz

5.3.2 Schuifstroom en schuifspanningen in een enkelvoudig samenhangend, dunwandig profiel

b t1 s=e t

z

h G A 

Een enkelvoudig samenhangend profiel heeft geen inwendige begrenzing. Een enkele, doorlopende lijn vormt er de gehele omtrek van. Het kanaalprofiel in figuur 18 is er een voorbeeld van. Krachten werkend in het met Gy evenwijdig vlak26 veroorzaken in een doorsnede met abscis x een buigend moment Mz,

B s s=0 Figuur 18

voorgesteld door een vector haaks op Gy, en een dwarskracht Vy. Een kromlijnige coördinaat s, die vertrekt vanaf een vrije rand van de staafdoorsnede, legt ondubbelzinnig de stand van een punt op de hartlijn van de staafdoorsnede vast. De schuifspanningen  die de dwarskracht Vy veroorzaakt in de staafdoorsnede, meer bepaald in de punten A en B, raken aan de begrenzing van de doorsnede, zoals blijkt uit de wederkerigheidseigenschap van de schuifspanningen. Aangezien de wand dun is, ligt het voor de hand aan te nemen dat de schuifspanningen tussen A en B de richting hebben van de hartlijn van de wand, ook bij langzaam verlopende dikte. We nemen aan dat  constant is langs AB en we noemen q(s)= t de schuifstroom ter plaatse van AB. q is een schuifkracht per eenheid van lengte van de hartlijn en wordt bijvoorbeeld uitgedrukt in N/cm. q en  worden positief geacht wanneer hun zin samenvalt met de positieve zin van s. De schuifstroom q en de schuifspanning  worden gevonden door een gelijkaardige gedachtengang als in lid 5.1.1: q(s)  

Vy  Sz (s) Vy  Sz (s) q(s) en (s)   Iz t t  Iz

(38)

s

Sz (s)   ydA is het statisch moment, om de neutrale lijn Gz, van het deel van de staafdooro

snede begrepen tussen de vrije rand s = 0 en het vlakje, haaks op het middelvlak van de staaf, 26

De betekenis hiervan zal duidelijk worden wanneer de lezer de paragraaf over het dwarskrachtmiddelpunt bestudeerd heeft. Voorlopig kan men de woorden "met" en "evenwijdig" weglaten.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.25

corresponderend met de coördinaat s. t is de plaatselijke wanddikte. (38) is geheel in overeenstemming met (31), vermits S = Sz,A1 in (31) eigenlijk hetzelfde is als e

e

s

s

0

0

 y  dA   y  dA   y  dA en daar G het zwaartepunt voorstelt, is de eerste term in het rech-

terlid van voorgaande gelijkheid nul en is Sz,A1 op het teken na het in deze paragraaf berekende statisch moment. Bij gegeven x zijn Vy en Iz constanten, en zijn Sz , q en  functies van s. (38) geldt in de onderstelling dat de rand s = 0 onbelast is. Wanneer er langs die rand van het vrijgemaakte lichaam een schuifstroom q0 bestaat, om welke reden ook, is de schuifstroom in de staafdoorsnede ook q0 voor s = 0, en geldt: q(s)  q 0 

Vy  Sz (s) Iz

en (s) 

q(s) q 0 Vy  Sz (s)   t t t  Iz

(39)

5.3.2.1 Toepassingen h 2 h t1  b  2 t1  b 

Vb t1

t

V h

h h  t1b  t  2 4

s’

a) Kanaalprofiel (fig. 19) De dikten t van het lijf en t1 van de flenzen van het kanaalprofiel zijn constant. Voor de onderflens geldt: Vy Vy h q(s)    Sz (s)   t1  s  , Iz Iz 2 Vy Vy h h (s)   s  , q ( b)   t1  b  . Iz 2 Iz 2 Voor het lijf, waarvoor we stellen s = b + s', is: Vy  h  h s'   t1  b   t  s'    en  Iz  2  2 2  Vy t1  b  h  s't  (h  s' ) . (s)  2  Iz  t

q(s) 

Vo t1  b 

h 2

Ter hoogte van de neutrale lijn is: Vy h  b h q  q max    t1  b  t   Iz 2 4 Vy h  h Figuur 19    max    t1  b  t   . Iz  t 2  4 Vy  t1  b  h Men vindt gemakkelijk dat q in de bovenflens afneemt van rechts tot nul links. 2  Iz De variatie van q(s) is weergegeven in de figuur 19 op de constante factor Vy/Iz na. Men merkt op dat q als functie van s niet discontinu verandert in de hoeken (waar de dikte veranBerekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.26

dert), omdat Sz daar niet plots verandert als functie van s, maar dat  daar wel discontinu verVy  t1  b  h andert: q(b)  in de onderhoek, zowel in het lijf als in de flens, maar 2  Iz Vy  b  h Vy  t1  b  h in de flens en (b)  in het lijf. (b)  2  t  Iz 2  Iz De resultante van de schuifstroom in het lijf is bh

h

b

0

V   q(s)  ds   q(s' )  ds' 

Vy  h2 h3 h 3  Vy   t1 b t t  I z  2 4 6  I z

2 3   t1  b  h  t  h  .  2 12  

Zij is gelijk aan Vy , daar de uitdrukking tussen haakjes precies Iz is, en moet trouwens gelijk zijn aan Vy, daar de schuifstroom in de flenzen overal horizontaal werkt. De resultante van de schuifstroom in de onderflens is: b

Vy  t1  b 2  h

o

4  Iz

Vo   q(s)  ds 

(40)

De schuifkracht in de bovenflens is even groot, maar gericht in de andere zin. b) I-profiel (fig. 20) De dwarskracht ligt bij onderstelling in het vlak van het lijf. Voor de linkerhelft van de onderflens gaat men uit van de vrije rand s = 0, en voor de rechterhelft gaat men uit van de vrije rand s' = 0 om de formules (38) toe te passen. Zo vindt men gemakkelijk de schuifstroomverdeling afgebeeld in de figuur 20. De schuifstroom q3 onderaan in het lijf is gelijk aan de som van de schuifstromen q1 en q2 in de onderflens onmiddellijk links en rechts van het lijf, omdat het statisch moment Sz, waarmee men q3 berekent, de som is van de twee statische momenten waarmee men q1 en q2 berekent (fig. 21). Dit is eigenlijk maar waar voor zover men aanneemt dat de ontmoetingszone van het lijf en de flens een verwaarloosbare oppervlakte heeft, hetgeen in overeenstemming is met onze onderstelling nopens de dunwandigheid van het profiel. In de ontmoetingszone zelf is de schuifspanningsverdeling ingewikkeld. Algemener kan men stellen dat waar meerdere dunne wanden samenkomen, de schuifstroom in één daarvan de som is van de schuifstromen in de overige.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.27

bt1h/4 bt1h/2 t1 t 2

h

bt1h/2 + th /8 q3

s

q1

s’

q2

bt1h/2

Figuur 21

bt1h/4 b/2

b/2 Figuur 20

5.3.3 Schuifstroom en schuifspanningen bij scheve buiging met vooropgegeven buigingsvlak We illustreren de gedachtengang voor een puntsymmetrisch Z-profiel met constante dikte t, afgebeeld in figuur 22. We zoeken de schuifstroomverdeling en de dwarskracht Vt, die deze schuifstroom teweegbrengt, als ondersteld wordt dat de neutrale lijn Gz evenwijdig is met de flenzen, of nog: dat de staaf doorbuigt in het vlak Gy van het lijf. De z-as is thans kennelijk geen hoofdas. Uit lid 4.1.5 is bekend dat het belastingsvlak een hoek  =  - /2 insluit met I yz de y-as gegeven door tg  . Vermits x is Iz M dat geval nog steeds gelijk is aan  z  y Iz

y 2

b 1 c 3

Mt  z

G

h

6

5 moet er weinig aan de in lid 5.3.2 uiteengezette 4 theorie gewijzigd worden. Alleen vergete men Figuur 22 niet dat Mz = Mt . sin en Vy = Vt.sin niet de totale momentenvector (haaks op het belastingsvlak) en de totale dwarskracht (gelegen in het belastingsvlak) voorstellen. Indien we de resultante van de schuifstromen qij door Vij voorstellen, vinden we gemakkelijk:

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie 

4.28

Verstijvingslip 6-4 (s vanaf vrije rand): 1 1 s t  hc s  Vy 2  2 q64 := I z

1 t Vy c ( 4 c3 h ) 12 I 2

V64 := 

V64 := .006649447293Vy

z



Onderflens 4-5 (s1 vanaf ontmoeting verstijvingslip – onderflens):  c t  1 h1 c 1 s t h  V  2 2  2 1  y q45 :=   I z

2 1 t Vy b ( h b2 c h2 c ) V45 :=  4 I

V45 := .1892283655Vy

z



Lijf 5-2 (s2 vanaf onderkant lijf):  c t  1 h1 c 1 b t hs t  1 h1 s   V  2 2 2 2  2 2 2   y  q52 :=   I z

1 t h Vy ( h 6 c h6 c 6 h b ) 12 I 2

V52 := 

2

V52 := 1.013298895Vy

z



Bovenflens 2-1 (s3 vanaf bovenkant lijf):  c t  1 h1 c 1 b t h1 s t h  V  2 2  2 2 3  y q21 :=   I z 2

V21 := 

1 t Vy b ( h b2 c h2 c ) 4 I

V21 := .1892283655Vy

z



Verstijvingslip 1-3 (s4 vanaf ontmoeting bovenflens – verstijvingslip):  c t  1 h1 c s t  1 h1 s   V  2 2  4  2 2 4   y q13 :=   I z

2 1 t Vy c ( 4 c3 h ) V13 :=  12 I

V13 := .006649447295Vy

z

De cijferwaarden werden bekomen voor een profiel waarvan de afmetingen in figuur 9 gegeven zijn. De resultante van de schuifstromen volgens y: VRy = -V64 + V52 - V13 3 2 3 2 2 1 t Vy ( 8 c 12 c hh 6 c h 6 h b ) VRy := = Vy 12 I z

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.29

is, zoals het hoort, gelijk aan de component volgens y van de totale dwarskracht. De resultante van de schuifstromen volgens z: VRz = -V45 - V21 is gelijk aan 2 1 t Vy b ( h b2 c h2 c ) VRz := 2 I

= .3784567310Vy

z

De totale dwarskracht Vt sluit met de y-as de hoek  in gegeven door tg = -0,3785. Dit strookt volkomen met de verwachting vermits die hoek volgens lid 4.1.5 ook gegeven wordt I yz door tg   665608 / 1758742,7  0,3785 . Iz

5.3.4 Schuifspanningen in meervoudig samenhangende, dunwandige profielen Een tweevoudig samenhangend profiel heeft een uitwendige en één inwendige begrenzing. Als de staaf een symmetrievlak heeft en de belasting werkt in dat vlak is de schuifstroom nul in elk snijpunt van de staafdoorsnede met haar symmetrieas. Mits we de oorsprong van de kromlijnige coördinaat s plaatsen in zo'n punt zijn y' de formules (38) voor q(s) en (s) dan toepasbaar. 20 40 In alle andere gevallen leggen we de oorsprong s = 0 in een in beginsel willekeurig punt 0 van het profiel (fig. 23). We noemen de schuifstroom op die plaats q0. Bij buiging om de neutrale lijn Gz27 is de schuifstroom elders blijkens (39) gelijk aan Vy  Sz (s) . Hiermee is q(s) bekend op q(s)  q o  Iz de onbekende constante q0 na. Met de schuifVy  Sz (s) q spanningen (s)  0  gaan de glijt (s) t (s)  I z u dingen  (s)  gepaard28 en de welvingsvers s

plaatsingen u(s) =   (s)  ds  u 0 . u0 is de ver0

2 y

1

1 80 z

G

4

2

2 z'

0

s

0 Figuur 23 (afmetingen in mm)

plaatsing volgens x van het middelvlak van de plaatwand voor s = 0. Daar er geen verplaatsing kan zijn van het punt B van de hartlijn, net links van het vlakje 0 – 0, ten opzichte van het punt A, net rechts van het vlakje 0 – 0, is

27

In het betoog hoeft Gz geen hoofdas te zijn. De stand van het belastingsvlak ten opzichte van de y-as is dan Iyz echter bepaald door tg  ten opzichte van de y-as. Iz 28 We laten de bijdrage dv/dx die toe te schrijven is aan de buiging terzijde; cfr. de opmerking in lid 5.2.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

u B  u A   ds  0 

4.30

Vy Sz (s) q o ds 1   ds , of  (s)  ds    G G t (s) G  I z t (s)

S z (s)  ds Vy t (s) (41) q0   ds Iz  t (s) De kringintegralen in (41) worden becijferd langsheen de hartlijn van de plaatvelden die de holte omsluiten. Eventuele uitsteeksels zoals in figuur 23 worden in rekening gebracht via de uitdrukking van het statisch moment Sz(s). Bijvoorbeeld brengt men bij de bepaling van het 

statisch moment horend bij het snijvlakje 1-1 het gearceerde oppervlak in rekening. Eens q0 door middel van (41) begroot, is de schuifstroom- en schuifspanningsverdeling ondubbelzinnig bekend. Een n + 1 -voudig samenhangend profiel heeft n inwendige begrenzingen. Om de schuifspanningen door dwarskracht te begroten, gaat men als volgt te werk. Men kiest als onbekenden de schuifstromen qi (i = 1…n) in n oordeelkundig gekozen punten van de hartlijn van de profieldoorsnede, dat wil zeggen: indien men op die plaatsen de profielwand openlegt onstaat een enkelvoudig samenhangende doorsnede. Vervolgens bedient men zich van men n continuïteitsbetrekkingen u B  u A   ds  0 , één voor iedere holte, om de grootheden qi te bepalen. Tenslotte bestudeert men de schuifstroomverdeling met de formule (39). De gedachtengang wordt geïllustreerd voor het driecellig profiel in figuur 24. Men neemt de schuifstromen in de punten 0, 1 en 2 als onbekenden en kiest voor elk van de cellen een omloopzin, bijvoorbeeld de tegenwijzerzin. De uitdrukking van de schuifstroom voor de verschillende wandgedeelten, in de figuur met pijltjes voorgesteld en positief volgens die aangeduide zin genomen, wordt gegeven door de volgende uitdrukkingen: 0-3: q(s)  q o 

Vy  Sz (s)

Iz Vy  Sz (s) 3-6: q(s)  q o  q1  Iz Vy  Sz (s) 1-6: q(s)  q1  Iz Vy  Sz (s) 2-7: q(s)  q 2  Iz Vy  Sz (s) 7-8-5: q(s)  q o  q 2  Iz

(b)

0-5: q(s)  q o 

(a)

3-1: q(s)  q1 

(f)

6-7: q(s)  q o 

(i)

5-2: q(s)  q 2 

(e)

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Vy  Sz (s) Iz Vy  Sz (s) Iz Vy  Sz (s)

Iz Vy  Sz (s) Iz

(c) (d) (g) (h)

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.31

Het statisch moment moet telkenmale berekend worden voor de in de deelfiguren aangeduide fractie van het totale dwarsoppervlak. Bij de berekening van de kringintegralen houdt men er overigens rekening mee dat de overeengekomen zin van q(s) plaatselijk verschillend kan zijn van omloopzin voor een cel! 4

0 1

a

0 0 b

c

4

y d

0

1

3 4

0

5

q0

5

1 z

e q1

1

G f

8 2

6

2

q2 7

3 4

0 h g

2 2 6

i

Figuur 24

5.4

Dwarskrachtenmiddelpunt of dwarskrachtencentrum29

De schuifspanningsverdeling die in §5.3.3 voor buiging om de z-as bestudeerd werd, is statisch gelijkwaardig met een dwarskracht Vt1 in de doorsnede. Omgekeerd betekent het ook dat de ligging van de werklijn van die dwarskracht ondubbelzinnig door de schuifspanningsverdeling vastgelegd wordt. We berekenen in figuur 25 de bijdrage tot het moment om G en e Vy e   Sz (s)  h  ds . h is de loodrechte volgens x van de schuifstromen q: M x   q  h  ds   I z 0 0 afstand, gemeten vanaf het zwaartepunt G tot het middelvlak van de profieldoorsnede en bij  

afspraak is h positief wanneer het vectorieel product h x ds volgens x gericht is. In de figuur is h voor alle punten van het middelvlak een positieve grootheid. h.ds is tweemaal de oppervlakte van de gearceerde driehoek. Anderzijds ontbinden we de dwarskracht Vt1 in zijn componenten Vy en Vz op de plaats waar de drager van Vt1 de z-as ontmoet en noemen zE de or29

E: Shear centre.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.32

dinaat van dat punt30. De bijdrage van de dwarskracht tot het moment om G is kennelijk – Vy . zE. Bijgevolg is de stand van de werklijn

q s = e y

w1 van Vt1 ondubbelzinnig bepaald door e

1 zE  Iz

  Sz (s)  h  ds

(42)

D

h

G

z

E

0

F

en luidt haar vergelijking:

z  zE 

I yz Iz

y

Vy

Vt1

(43)

Vt2

s

s=0

Figuur 25 Een dwarskracht waarvan de werklijn evenwijdig is met w1, bepaald door (43), maar er niet mee samenvalt, kan niet statisch gelijkwaardig met de berekende schuifstromen zijn en zal het profiel naast afschuiving ook op wringing belasten. De redenering hernemend voor buiging om de y-as, met een dwarskracht Vt2 (fig. 25), geeft de schuifstromen die statisch gelijkwaardig met Vt2 zijn enkel en indien haar werklijn w2 de y-as treft in een punt met abscis

yF  

1 e   S y (s)  h  ds Iy 0

(44)

De vergelijking van die werklijn luidt derhalve:

z

Iy I yz

 (y  y F )

(45)

Een dwarskracht waarvan de werklijn evenwijdig is met w2, bepaald door (45), maar er niet mee samenvalt zal het profiel, naast de afschuiving, ook op wringing belasten. Het snijpunt D van de werklijnen w1 en w2 is ondubbelzinnig bepaald door (43) en (45). Dit bijzondere punt D wordt het dwarskrachtenmiddelpunt of dwarskrachtencentrum van de doorsnede genoemd. Het is enkel afhankelijk van de vorm en afmetingen van de doorsnede. Een willekeurige dwarskracht die door D gaat, kan vectorieel ontbonden worden volgens de richtingen w1 en w2, met componenten Vt1 en Vt2 respectievelijk. Vt1 en Vt2 geven aanleiding tot statisch gelijkwaardige schuifspanningsverdelingen die men met de theorie van

30

De component Vz van Vt1 werd in de figuur niet getekend omdat we hem eigenlijk niet nodig hebben bij de redenering die we aan het voeren zijn.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.33

Jourawski kan bestuderen en die niet aan wringing van de staafdoorsnede toe te schrijven zijn. Omgekeerd is de som van die schuifspanningsverdelingen statisch gelijkwaardig met Vt. In alle andere gevallen waar de werklijn van Vt het dwarskrachtencentrum niet bevat, gaat de afschuiving met wringing gepaard. Bij een dwarsdoorsnede met twee symmetrieassen valt het dwarskrachtenmiddelpunt samen met het zwaartepunt. D valt ook samen met G bij een puntsymmetrische doorsnede. Is er een symmetrieas, dan ligt D op de symmetrieas. Bestaat de doorsnede uit een aantal concurrente benen, dan valt het dwarskrachtencentrum samen met het gemeenschappelijke hoekpunt. Voor het kanaalprofiel uit lid 5.3.2.1 hebben we de schuifkracht in het lijf Vy  Vy  t1  b 2  h h2 h 3   en in de flenzen Vo  gevonden. Om de stand V  t1  b  t 4  Iz I z  2 12  van de werklijn van Vy te bepalen die tot deze schuifkrachten aanleiding gegeven heeft, berekenen we het moment van de schuifkrachten volgens x om een willekeurig centrum, bijvoorbeeld het snijpunt van het lijf met de z-as door G (fig. 26)31: en eisen dat dit moment precies gelijk is aan het moment van Vy om hetzelfde t1 punt, of  e z  Vy . ez is de loodrechte afstand van het Vb

centrum tot de werklijn van de dwarskracht, positief gemeten volgens de z-richting. Hieruit volgt:

t  b2  h 2 . ez   1 4  Iz

t

Vy

y

Het dwarskrachtmiddelpunt ligt bijgevolg op de z-as op

h

e

z G V

t1  b 2  h 2 een afstand e  , rechts van het middelvlak 4  Iz van het lijf. In lid 5.3.4 werd uiteengezet hoe men de schuifspanningen in één- of meercellige kokers kan bepalen. Het bepalen van de ligging van het dwarskrachtcentrum gaat niet met bijkomende moeilijkheden gepaard.

Vo b Figuur 26 b

31

Vanzelfsprekend hadden we als centrum het zwaartepunt G kunnen nemen om de formule (42) toe te passen. De hier gevolgde werkwijze geeft hetzelfde eindresultaat.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

5.5

4.34

Slotsom

Om de schuifspanningsverdeling die overeenstemt met een willekeurige dwarskracht Vt - gaande door het dwarskrachtencentrum - in dunwandige, enkelvoudig samenhangende profielen te bestuderen, kan men als volgt te werk gaan: 

Ofwel projecteert men de dwarskracht volgens de hoofdassen en noemt de projecties Vy en Vz. Vervolgens bedient men zich van de betrekking (38) om de schuifspanninVz  S y (s) gen afkomstig van Vy te becijferen en van de gelijkwaardige q(s)   en Iy

(s)  



Vz  S y (s) t (s)  I y

om de schuifspanningen die statisch equivalent met Vz zijn te be-

cijferen. Tot slot sommeert men de gevonden bijdragen. Merk op dat de statische momenten S en de traagheidsgrootheden om de hoofdassen berekend moeten worden. Ofwel ontbindt men de dwarskracht Vt vectorieel in twee componenten, bijvoorbeeld de componenten Vt1 en Vt2 die respectievelijk buiging om de z-as en om de y-as, die geen hoofdassen moeten zijn, bewerkstelligen. Vervolgens bestudeert men de schuifspanningsverdeling, corresponderend met Vt1, volgens (38) en de schuifspanningen Vz  S y (s) Vz  S y (s) afkomstig van Vt2 volgens q(s)   en (s)   en sommeert Iy t (s)  I y



men de gevonden bijdragen. Ofwel gebruikt de volgende betrekking van de schuifstroom, die opgesteld kan worden door zich te bedienen van (22):

q(s) 

Vy  I y  Vz  I yz I 2yz  I y  I z

 Sz (s) 

Vz  I z  I yz  Vy I 2yz  I y  I z

 S y (s)

(46)

Om de schuifspanningsverdeling in dunwandige, meervoudig samenhangende profielen te bestuderen, bewandelt men gelijkaardige wegen nadat de statische onbepaaldheid werd opgeheven. Toepassing: Het dunwandige kokerprofiel in figuur 23 is onderworpen aan de dwarskracht Vt = Vy = 24 kN. De lezer wordt gevraagd om het dwarskrachtencentrum en de schuifspanningen te bepalen.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.35

6

Zuivere wringing volgens de theorie van de Saint-Venant

6.1

Onderstellingen

We bestuderen een prismatische staaf waarvan de dwarsdoorsnede in figuur 27 getekend is. De x-as treedt uit het vlak van de tekening. We bedienen ons van de volgende uitgangsonderstellingen (fig 27):

z P’ r..x w

v

P

.x r O

s

y

xs 1) Het materiaal is elastisch en x de spanningen gehoorxz A  zamen aan de wetten van A xy s Hooke. R xn n 2) De dwarsdoorsnede met de willekeurige abscis x draait Figuur 27 in haar geheel om de x-as over de kleine hoek .x en neemt daarbij de gewentelde stand in streeplijn in. De hoekverdraaiing per eenheid van lengte van de staaf of specifieke torsiehoek , uitgedrukt in radialen per meter, is bij onderstelling constant. Ten gevolge van de wenteling ondergaat een punt P met coördinaten (y,z) de verplaatsingen:

v = - .x.z en w = .x.y

(47)

3) Er werken geen overlangse noch overdwarse krachten op de staaf. In het bijzonder nemen we aan dat de dwarsdoorsneden vrij zijn van overlangse normaalspanningen x.32 Mede daarom is er sprake van zuivere wringing.

6.2

Vervormingen en spanningen

w v  0 overeen.  0 en  z  z y u Omdat x = 0 volgens het voorschrift 3), moet bijgevolg ook gelden dat  x   0 of u = x u(y,z) is een functie van y en z, en dus van de vorm en afmetingen van de doorsnede, maar

Met de verplaatsingen (47) stemmen de rekken  y 

32

D. Vandepitte maakt de laatste onderstelling niet, stelt door middel van de elasticiteitstheorie de uitdrukking van x op en komt tot de bevinding dat x toch nul is. Bron: Berekening van Constructies – Bouwkunde en Civiele Techniek -, Boekdeel 1, blz. 126.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.36

onafhankelijk van x. Anders gezegd: de welving33 van alle doorsneden is dezelfde. We schrijven u in de volgende gedaante: u =  . (y,z)

(48)

en noemen (y,z) de welvingsfunctie. Omdat x = y = z = 0 zijn ook de spanningen y = z = 0. Dat volgt dadelijk uit de wetten van Hooke.

v w      x    x  0 . Dit zit eigenlijk al besloten in de onz y derstelling 2) vermits daar impliciet gezegd wordt dat de projectie van de dwarsdoorsnede op het yz-vlak geen enkele vervorming ondergaat; in het bijzonder blijft een rechte hoek tussen twee lijnstukken gelegen in de dwarsdoorsnede recht. De glijdingen De glijding  yz 

 xy 

   u v u w          z  en  xz       y y x z x  z   y 

(49)

stemmen overeen met de schuifspanningen        xy  G    z  en  xz  G    y  z   y 

(50)

Spanningen moeten alle evenwichtsvoorwaarden vervullen. De voorwaarde van het inwendig  x  xy  xz evenwicht volgens x,    0 34, leidt tot: x y z  2 y 2



 2 z 2

0

(51)

Derhalve is de welvingsfunctie een harmonische functie en is de som van de krommingen van de gewelfde doorsnede in twee onderling loodrechte richtingen nul in alle punten van het lichaam. Zij R een kromme die men in een gekozen zin s kan doorlopen, en A een punt van die kromme (fig. 27). We ontbinden de schuifspanningsvector A in de componenten  xs en  xn , respectievelijk volgens de raaklijn en volgens de normaal op laatstgenoemde en spreken af dat 





de positieve zin van n volgt uit e n  e s  e x :

33

E: warping. Het nul zijn van het tweede lid wijst erop dat er geen massakrachten op het lichaam inwerken, wat impliciet in het voorschrift 3) vervat zit. 34

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

 dy  dz  z)   G  (  y)  y ds z ds  dz  dy  xn   xy  sin    xz  cos   G  (  z)   G  (  y)  y ds z ds

 xs   xy  cos    xz  sin   G  (

4.37

(52) (53)

De schuifspanningsvector is rakend aan elke in- en uitwendige begrenzing van de dwarsdoorsnede; dat volgt uit de wederkerigheidseigenschap van de schuifspanningen en uit het voorschrift 3) in lid 6.1. We laten in gedachte de kromme R samenvallen met de buitenomtrek en drukken uit dat xn = 0, of

(

   z)  dz  (  y)  dy  0 . y z

(54)

Er kan nu steeds een zulkdanige (y, z) worden gevonden dat men kan stellen

 xy  G  (

    en  xz  G  (  z)   y)   y z z y

(55)

(y,z) heet de spanningsfunctie voor wringing35.

   dz   dy  d  0 . Hieruit besluiten we dat z y de spanningsfunctie  = constant langsheen de volledige buitenbegrenzing van de dwarsdoorsnede (fig. 28). Een analoog besluit kan getrokken wor=0 den voor een inwendige begrenzing:  = K. Meer algemeen: als er n holten zijn in het staafprofiel geldt op A grond van de randvoorwaarden ook (y,z) = Ki (i = 1, 2,  = K 1 … , n) langs de omtrek van elke holte.36 Die constanten kunnen we nochtans niet meer naar believen kiezen.  = K2 Vermits de spanningsfunctie op een additieve constante na bepaald is en alleen via haar partiële afgeleiden in de formules voor de spanningen tussenkomt, is het praktisch om de constante waarde van  voor de buitenrand van de Figuur 28 dwarsdoorsnede gelijk aan nul te stellen. De spanningsfunctie moet nog een belangrijke voorwaarde vervullen. Uit de betrek  2    2   2  2   kingen (55) volgt immers:   G  1 en  G   1 wat na samen yz   zy  y 2 z 2     telling leidt tot de differentiaalvergelijking van de spanningsfunctie: Substitutie van (55) in (54) levert:

35

Men gaat eenvoudig na dat de spanningsfunctie ook de voorwaarde van het inwendig evenwicht volgens x niet schendt. 36 Vanzelfsprekend bestaat de spanningsfunctie binnen de holte niet; er is immers daar geen profielmateriaal aanwezig dat haar bestaan zou wettigen.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie  2 y 2

6.3



 2 z 2

4.38

  2 G

(56)

Eigenschappen van de spanningsfunctie

Door  in een willekeurig punt A (fig. 27) partieel af te leiden naar z vindt men blijkens (55) de projectie xy, op de y-as, van de schuifspanningsvector A, die plaatselijk in de dwarsdoorsnede werkt op het staafgedeelte achter het vlak van de getekende doorsnede. Anders gezegd: door  in een willekeurig punt A partieel af te leiden naar z vindt men de projectie van de schuifspanningsvector A volgens de halfrechte die men bekomt door z over 90° te wentelen in de wijzerzin. Door  partieel af te leiden naar y vindt men de projectie -xz van de totale schuifspanning A op de halfrechte verkregen door de positieve y-as eveneens 90° te draaien in de uurwijzerzin. Daar de richting van de y-as of van de z-as willekeurig werd gekozen geldt de geformuleerde eigenschap algemeen: de partiële afgeleide van  naar e is gelijk aan de orthogonale projectie xr van A op de halfrechte r die ten opzichte van de e-as over 90° is gedraaid naar rechts. Bijgevolg geldt:     xs en   xn n s

(57)

Indien de kromme R in figuur 27 samenviel met de projectie op het yz-vlak van een  hoogtelijn van het oppervlak met ordinaten (y,z), dan zou  0 . Bijgevolg zou de projectie s te van de totale schuifspanning A op n nul zijn: een hoogtelijn (y,z) = c raakt in ieder punt aan de plaatselijke totale schuifspanning en de hoogtelijnen zijn de zogenaamde schuifspan ningslijnen. Daarenboven is  A   xs   en de plaatselijke helling van het -oppervlak n geeft de grootte van de totale schuifspanning.

6.4

z

De stelling van Prandtl

xs

Men beschouwt een willekeurige gesloten kromme R die nergens de dwarsdoorsnede verlaat37 en die bij onderstelling in de tegenwijzerzin wordt doorlopen (fig. 29). De schuifspanningscomponenten  xs , rakend aan de kromme, zijn gegeven door (50). Met de stelling van Prandtl berekent men de kringintegraal van  xs langs R:

37

n

A

AR R

s

O

y

Figuur 29

Dit impliceert dat de kromme ook nergers een eventuele holte kruist.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.39

   z)  dy  (  y)  dz  G   d  G   d( yz)  2G   y  dz z R y R R R

  xs  ds  G   ( R

of   xs  ds  2G  A R

(58)

R

AR is de oppervlakte die door R omsloten wordt. Indien de kromme doorlopen wordt in de wijzerzin, verandert vanzelfsprekend het teken van  xs , wat tot uiting komt doordat AR van teken wisselt. Gelet op de eigenschappen van de spanningsfunctie kan men de stelling van Prandtl ook schrijven onder de gedaante   ds  2G  A R R n 

(59)

De stelling van Prandtl geldt in het bijzonder voor een kromme R die samenvalt met de buitenomtrek van de dwarsdoorsnede of met de rand van een inwendige holte. In een dergelijk geval is de schuifspanningscomponent  xs eigenlijk de totale schuifspanningsvector voor ieder punt van R.

6.5

Wringend moment

Daar x overal nul is in de staaf zijn er geen buigende momenten en kunnen er bijgevolg ook geen dwarskrachten bestaan in de doorsneden. Aangezien V = 0, is het resulterend moment van de schuifspanningen om elke met x evenwijdige as hetzelfde. Dat moment is het wringend moment Mx. We berekenen het om de x-as en rekenen het positief in de zin van de verdraaiing (fig. 27):     M x   ( y   xz  z   xy )  dy dz     y   z   dy dz . y z  A A

(60)

Beide termen y   xz en  z   xy leveren dezelfde bijdrage. We berekenen de tweede voor een tweevoudig samenhangend profiel (fig. 30):       z dy dz      z dz   dy     z  d  dy  z  z   A    z  A  z  B  z  C  z  D     dz   dy   z B  z C   K  dy     dydz  K  A1     dydz . A

A

A1 is de oppervlakte van de holte. Op een gelijkaardige manier toont men aan dat de eerste bijdrage dezelfde uitkomst oplevert. Ten slotte vindt men:

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

  M x  2   K i A i   dy dz  A i 

4.40

(61)

Het wringend moment is gelijk aan tweemaal de inhoud van het lichaam begrensd door de staafdoorsnede, door het -oppervlak (met ordinaat nul langs de buitenrand van het profiel) en, over de gehele uitgestrektheid van iedere mogelijk aanwezige holte, door een plat vlak met constante ordinaat gelijk aan de ordinaat aan de omtrek van die holte. De ontbondenen van de schuifspanningen in twee willekeurige loodrechte richtingen hebben elk Mx als resulterend moment. 2

6.6

z A =0 B A1

=K O

y C

D Figuur 30

Oplossing van wringproblemen in het elastisch stadium

Voor een staaf met gegeven profiel en specifieke torsiehoek  is de spanningsfunctie bepaald door de differentiaalvergelijking (56), met de randvoorwaarden:  

langs de buitenbegrenzing van het profiel:  = 0 langs de omtrek van elke mogelijk aanwezige holte i met oppervlakte Ai:  ds   2G  A i .   K i (K i onbekend ) en  i n

Het vinden van een gesloten analytische oplossing van  voor een willekeurige doorsnede is uiteraard moeilijk. Numeriek kan men ze bepalen door middel van variationele methoden, geschilderd in een eindige elementenwereld38. Wanneer de functie  bekend is geeft (59) het wringend moment Mx, (53) de spanningsverdeling, en integratie van (53) de welvingsfunctie (y,z) en de welving u(y,z) = .(y,z) van de doorsneden. De gevonden spanningsverdeling is exact voor de gehele staaf indien het wringend moment aan beide staafeinden wordt ingeleid overeenkomstig die verdeling, zoniet wordt dat spanningsbeeld verstoord aan de einden van de staaf, maar gelden de berekende spanningen krachtens het beginsel van de Saint-Venant nog "ver genoeg" van de uiteinden, met name op een afstand van de orde van grootte van de grootste dwarsafmeting; die afstand wordt echter groter naarmate de delen van het profiel dunner zijn. Bij zuivere wringing is Mx evenredig met de specifieke torsiehoek . De evenredigheidsfactor 38

De lezer zal ongetwijfeld interessante informatie daaromtrent kunnen garen door lezing van het standaardwerk van O.C. Zienckiewicz: The Finite Element Method, 3rd edition, McGraw-Hill Book Company, London, 1979.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

GI t 

Mx 

of

GI t 

4.41

 2   K i A i   dy dz    i A 

(62)

2

heet de wringstijfheid of torsiestijfheid, uitgedrukt in bijvoorbeeld kNcm . It wordt wringcon4 stante of torsieconstante genoemd en heeft de dimensie (lengte) . Het weerstandsmoment tegenover wringing wordt gedefinieerd als de grootheid waardoor men Mx moet delen om de grootste totale schuifspanning max in de doorsnede te vinden:  max 

Mx weerstandsmoment

(63)

In de praktijk past de ingenieur hoofdzakelijk de formules (62) en (63) toe ter berekening van  en max , en heeft hij daarom vooral behoefte aan de kennis van de wringconstante It en van het weerstandsmoment. Beide grootheden zijn kenmerken van de staafdoorsnede. Opmerkingen: 1) De spanningsfunctie is onafhankelijk van de positie van de oorsprong van het assenkruis. We hebben de oorsprong van yz laten samenvallen met het punt D waar de draaiingsas het vlak doorboort. Stel dat we de oorsprong plaatsen in een willekeurig ander punt. Dan worden de uitdrukkingen van de verplaatsingen, de glijdingen en de spanningen lichtjes anders: v = - .x.(z – zD) en w = .x.(y – yD) (47’)    u v u w     xy        (z  z D )  en  xz       ( y  y D )  (49’) y x z x  z   y        (50’)  xy  G    (z  z D )  en  xz  G    (y  y D )   z   y      en  xz  G  ( (55’)  xy  G  (  (z  z D ))   ( y  y D ))   y z z y Desalniettemin wordt  nog steeds bepaald door de differentiaalvergelijking (56) en dezelfde randvoorwaarden die alle onafhankelijk van de coördinaten van D zijn. Bijgevolg zijn ook de schuifspanningen en de glijdingen onafhankelijk van de ligging van de draaiingsas. Uiteraard zijn de verplaatsingen wél functie van de coördinaten van D. Dat blijkt uit (47’) waar de draaiing van de doorsnede om een punt dat niet met de oorsprong van het assenkruis (vaak het zwaartepunt G) samenvalt, aanleiding geeft tot de bijkomende translaties .x.zD volgens y en -.x.yD volgens z. De welvingsverplaatsingen bij draai  ing om een as door D worden gegeven door (55’): G  ( en  (z  z D ))  y z   G  (  ( y  y D ))   ; bij draaiing om een as door de oorsprong worden ze gegez y

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

'   z)  y z '    zD.y  yD.z .

ven

G  (

door

4.42

G  (

en

'  .  y)   z y

Hieruit

blijkt

dat

2) Als de staafdoorsnede enkelvoudig samenhangend is en de vergelijking f(y,z) = 0 van haar omtrek voldoet aan ( y, z)  

 2f y 2



 2f z 2

 K o ( constante) is de spanningsfunctie

2G f ( y, z) . Deze functie vervult inderdaad alle voorwaarden: zij is nul Ko

langs de rand van het profiel, en zij voldoet aan (55).

6.7

Staven met gedrongen doorsnede

6.7.1 Massieve ronde doorsnede draaiiend om een as door haar zwaartepunt z xs R y O Mx

Eigenlijk hebben we de functie  niet nodig om de spanningen te bepalen39. De schuifspanning xs rakend aan een cirkel met straal r is wegens de axiale symmetrie primo een constante en secundo tevens de totale schuifspanningsvector en wordt bepaald door de 2 stelling van Prandtl: 2..r.xs = 2G.r waaruit xs = G.r. Hij verandert bijgevolg lineair in radiale richting. Het wringend moment is: 2 R

2 R

0 0

0 0 4

M x     xs  r  rdr  d  G.   r 3  dr  d   G  R 2 2

Figuur 31

R 4  G 2

R R 4 . Voor en I t  2 2 een ronde as is It gelijk aan het polaire traagheidsmoment van de doorsnede om haar middelpunt. Dat geldt ook voor een ringvormige doorsnede, maar geldt niet voor andere doorsneden. De maximale schuifspanning doet zich voor aan de omtrek van de doorsnede en is daar gelijk aan: Uit (62) volgt : GI t  G 

2  Mx

R 3  max  . Bijgevolg is het weerstandsmoment . 2 R 3 Ontbinding van xs in componenten volgens de y- en de z-richting levert de componenten xy   = -G.z en xz = G.y. Derhalve volgt uit (50)   0 en blijkt dat  een constante is y z Men vindt ze overigens makkelijk mits in acht name van de opmerking 2) in lid 6.6: het -oppervlak is een omwentelingsparaboloïde die gaat door de omtrek van de staafdoorsnede en die in het middelpunt de hoogte 2 GR /2 heeft (fig. 31). 39

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.43

(die we trouwens nul mogen stellen): de cirkelvormige doorsnede welft niet bij zuivere verwringing. Met het ringvormige profiel is het cirkelvormige het enige dat vlak blijft bij wringing.

6.7.2 Dikwandige buis De redenering uit lid 6.7.1 hernemend komt men makkelijk tot het inzicht dat de tor(R 4u  R i4 ) sieconstante gegeven wordt door I t  en dat de specifieke torsiehoek  gelijk is 2 2  Mx 2  Mx aan . De spanningen worden gegeven door xs = .r . 4 4 (R u  R i )  G (R 4u  R i4 )

Ru en Ri stellen respectievelijk de buitenstraal en de binnenstraal van de ring voor.

6.7.3 Staaf met langwerpige rechthoekige doorsnede 6.7.3.1 Nauwkeurige formules Voor een rechthoekige doorsnede met hoogte h en breedte b (b  h) is de spanningsfunctie symmetrisch ten opzichte van de y- en de z-as door het zwaartepunt (fig. 36). De uitdrukking: 

( y, z ) :=

  ( 2 m1 )  y  ( 2 n1 )  z    cos      Am n cos b h      m1  n1

(64)

voldoet hieraan en wordt tevens nul voor y = b/2 , y = - b/2 en voor z = h/2 en z = - h/2; ze is met andere woorden nul langs de volledige omtrek van de rechthoek. De spanningen  of xy  z ( 2 m1 )  y   ( 2 n1 )  z    cos  sin  ( 2 n1 )        A   mn b h       xy :=        h   m1  n1  (65)  zijn nul langsheen de lange zijden terwijl de spanningen xz   y      A sin ( 2 m1 )  y  ( 2 m1 )  cos ( 2 n1 )  z            mn    b h    xz :=       b  m1  n1     (66) verdwijnen langsheen de korte zijden. Om de getallen Amn te bepalen, kan men gebruik maken van het beginsel van de virtuele arbeid, toegepast op een staafmoot ter lengte één die ter hoogte van de eindvlakken aan de wringkoppels Mx onderworpen is. De wringkoppels veroorzaken een draaiing  = 1. van de doorsneden ten opzichte van elkaar: Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.44

1   ( xy   xy   xz   xz )  dA  M x    1  M x   , of, A

 2    dA   A    1     1    (          )  dA  GI t      , of nog, A z  G z  y  G y   GI t             (       )  dA  2G     dA A z  z  y  y  A De goniometrische functies die in (64) gebruikt worden hebben de volgende interessante orthonormale eigenschappen:   px qx px qx   cos  dx   sin  sin  dx    pq ,  cos     2 0 0 waarbij het Kronecker symbool pq nul of één is naar gelang p verschilt van of gelijk is aan q. Substitutie van de dubbele reeks en uitwerking van de integralen leidt tot

 2m  1  2  2n  1  2  bh   A mn A mn       b h     4  m 1 n 1 







 2G    A mn  m 1 n 1

4. cos m  cos n (2m  1)  (2n  1)   2

 bh

Vermits deze voorwaarde vervuld moet zijn voor willekeurige variaties Amn verkrijgt men een stelsel van ontkoppelde algebraïsche vergelijkingen in Amn. De oplossing levert:

Am n := 32

G cos(  m ) cos(  n )  ( 2 m1 )2 ( 2 n1 )2   ( 2 m1 ) 4 ( 2 n1 )    b2 h2 

(67)

We voeren de notatie  = h/b in.  is een maat voor de slankheid van de rechthoekige doorsnede:  = 1 stemt overeen met een vierkant terwijl een langwerpige doorsnede gekenmerkt wordt door een grote waarde van . De vorm van het spanningsoppervlak wordt geïllustreerd in de figuren 32 en 33 voor  = 1 en  = 20 respectievelijk. Daar is nog gebruik gemaakt van de dimensieloze coördinaten  = y/b en  = z/h. Voor langwerpige doorsneden evolueert het oppervlak naar een parabolische cilinder.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.45

2

/Gb

 = y/b

 = z/h Figuur 32:  = 1

2

/Gb

 = z/h

 = y/b

Figuur 33:  = 20 In figuur 34 zijn de schuifspanningen - op de constante G.b na – getekend. De spanningen zijn het grootst in het midden van de lange zijden (daar is de helling van het -oppervlak groter dan aan de einden van de lange symmetrieas) en worden nul ter plaatse van de hoeken. In de vier hoeken van de doorsnede valt het raakvlak aan het (y,z)-oppervlak immers samen met de doorsnede zelf. In de omgeving van de hoeken zijn de spanningen bijgevolg gering. Voor een smalle rechthoek is de schuifspanning xz over het grootste deel van de lange randen vrijwel constant, behalve in een nauwe strook tegen de korte zijden, waar ze snel tot nul naderen. Voor een smalle rechthoek deinen de schuifspanningen xy snel uit naarmate men zich van de korte rand verwijdert. Dat blijkt zeer duidelijk uit de grafiek in de rechter benedenhoek van figuur 34.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

xz (y = b/2)

4.46

xz (y = b/2)









xy (z = h/2)

xy (z = h/2)

xy (y = 0)

xy (y = 0)





=1

 = 20 Figuur 34 : verloop van de schuifspanningen

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.47

Het wringend moment is M x  2  dy dz of A



   256 b h   G Mx :=      2 2   n1   m1  ( 2 m1 )2 6 ( 2 n1 )2  ( 2 m1 )  ( 2 n1 )          b2 h2   

(68)

Zoals in het voorgaande stellen we h = .b en vinden voor de torsieconstante

      256 It := b h       n1  m1 1 )2    ( 2 n 2 6 2 2    ( 2 m1 )  ( 2 n1 )  ( 2 m1 )        2   3

3

It /b h

 = h/b

(69)

De figuur 35 illustreert de veranderlijkheid van de wringconstante in functie van de verhouding van de hoogte tot de breedte van de 3 rechthoek. It/b h neemt snel toe met  vanaf een waarde 0,1406 voor een vierkante doorsnede en nadert asymptotisch de grenswaarde 1/3 voor een in theorie oneindig smalle rechthoek. Voor een langwerpige doorsnede met h/b > 10 begaat men een geringe fout door de 3 torsieconstante gelijk te nemen aan 1/3. b h.

Figuur 35 Benaderingen De volgende benaderingen blijken praktisch voldoening te schenken: b 3 h 16 b b 4    3,36 1   ( h  b) It  16  3 h  12h 4    3M x  b  max  1  0,6  (h  b) 2  h b h weerstandsmoment:

b2h 2 ( h  b) 3(h  0,6b)

(70) (71) (72)

h , die 10 overtreffen, mag men in deze formules – zoals blijkt uit bovenb b staande bespreking - gelijk stellen aan nul, waardoor er komt: h 3 3M x M x b b h b2h  h  It   max   weerstandsmoment   10  (73)  3 It 3 b  b2h

Bij verhoudingen

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.48

6.7.3.2 Intuïtieve oplossing voor zeer langwerpige, rechthoekige doorsneden We nemen een ogenblik aan dat de rechthoekige doorsnede in figuur 36 oneindig lang is. Dan is het -oppervlak kennelijk een cilindrisch oppervlak met beschrijvenden evenwijdig met de z-as en met een vergelijking van de vorm  = f(y) en vergt (56) dat 2

dat  = - Gy + Ay + B. De randvoorwaarden  = 0 voor y  

d 2 dy 2

  2G , zo-

b b en voor y   bepalen 2 2

2

de integratieconstanten A = 0 en B = Gb /4 en we vinden

 b2    G   y2   4   

(74)

b

z

xy

xz h y

Figuur 36

Het ligt voor de hand dat het zo bepaalde -oppervlak ook wel bruikbaar zal zijn voor een zeer langwerpige rechthoekige doorsnede, behalve nabij haar uiteinden, waar het ware -oppervlak immers aansluit op de korte zijden van de rechthoek (figuren 36 en 33). Het uitgestrekte, cen-

b2 . 4 Aannemend dat het oppervlak cilindrisch blijft tot aan de uiteinden van de doorsnede, vinden wij voor de inhoud van het lichaam tussen doorsnede en oppervlak: trale gedeelte gedeelte van het -oppervlak is een parabolische cilinder met hoogte G

 dy dz  h A

b / 2

  dy  h 

b / 2 3

2 b2 G  b 3 h G b  , 3 4 6

voor

het

wringend

M x b3h G  b h Mx   , en voor de wringconstante : I t  . 3 G 3 De schuifspanningscomponent evenwijdig met de lange zijden van de rechthoek is

Berekening van Bouwkundige Constructies I

moment:

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.49

3M x  .   2Gy en de schuifspanning langs die zijden zelf is  max  G  b  y b2h Dat deze uitkomsten precies de formules (73) zijn, toont dat de vervanging van het ware oppervlak door de parabolische cilinder een zeer behoorlijke benadering is. Derhalve is  overal nagenoeg gelijk aan nul en verandert xz lineair over de breedte b, uitgeno xy  z men aan de einden van de doorsnede (fig. 36). Het resulterende moment van de xz xz  

2b  b 2 h 3M x M x b  spanningen alleen is h   max    . De andere helft van het wrin  2 3  6 2 2 b2h gend moment stamt, overeenkomstig lid 6.5, van de xy-spanningen. Dat deze een even grote bijdrage kunnen leveren tot Mx, ofschoon zij geringer zijn dan max en slechts bestaan in twee beperkte gebieden, is te verklaren door de grote krachtarm (haast gelijk aan h) van het koppel gevormd door hun resultanten in die gebieden. De gelijkheden (50) G  (

    en G  ( leveren in het onderhavige  y)    z)  z y y z

   z en  y . Uit de tweede volgt:  = yz + F(y). Invoering hiervan in de eerste y z toont dat F(y) een constante is, die trouwens geen praktische betekenis heeft. Ten slotte is geval

  yz en u        yz 

3M x b3h  G

(75)

yz

waaruit volgt dat de vlakke doorsnede van een staaf met langwerpig rechthoekig profiel bij zuivere wringing de vorm van een hyperbolische paraboloïde of zadeloppervlak aanneemt.

6.8

Dunwandige, enkelvoudig samenhangende profielen

In dit gedeelte ontwikkelen we benaderingsoplossingen met behulp van de intuïtieve werkwijze uiteengezet in 6.7.3.2.

6.8.1 Veelhoekige of gebogen plaat met constante dikte

Figuur 37

Men voelt wel aan dat de doorsnede van het oppervlak nauwelijks wordt beïnvloed door de rechtheid of de kromheid van de hartlijn van een profiel zoals in figuur 37.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.50

6.8.1.1 Spanningsfunctie, torsiestijfheid, spanningen, weerstandsmoment (fig. 38) We voeren een kromlijnige coördinaat s in langs het middelvlak van de staafdoorsnede, bijvoorbeeld vertrekkend vanaf een vrije rand. Een tweede coördinaat n wordt plaatselijk 



G  t 3 e G  t 3e  ds  3 0 3

It 



gerekend volgens de loodlijn op het middelvlak en wel zo dat e n  e s  e x . Naar analogie met de bevindingen uit lid 6.7.3 kunnen we schrijven:

t2  (n, s)  G   n 2   4 

 xs  2G  n

Mx 

 max  G  t  xn  0

Voor profielen waarvan de ontwikkelde lengte e kleiner is dan tien keer de wanddikte, maar niet kleiner dan tweemaal die dikte, kan men een verbeterde waarde van de torsieconstante bekomen door voor elk 4 vrij uiteinde 0,105 t in mindering te brengen. Het -oppervlak heeft de vorm van een heuvelrug, waarvan de kruin samenvalt met de hartlijn van het profiel en de hoogte verandert evenredig met het vierkant van de wanddikte. De schuifspanning xs verandert van teken over de dikte t en is nul ter plaatse van

t 3e 3

weerstandsmoment 

(76)

It

(77)

t max s

n B

ds

s=e  z

OG

 h

y

t/2

de hartlijn. De schuifstroom, q =

  xs  dn , is nul. t / 2

De formules gelden voor zuivere wringing om een willekeurige draaiingsas.

s s=0

6.8.1.2 Welvingsfunctie Figuur 38 Stel dat de staafdoorsneden draaien om de x-as over de kleine hoek .x. De verplaatsing van het punt B tijdens de draaiing en gemeten volgens s is h..x, waarbij h de loodrechte afstand is vanaf het snijpunt van de draaiingsas met het yz-vlak. In de figuur valt het snijpunt samen met het 



zwaartepunt G. h is bij afspraak een positieve grootheid indien het vectorieel product GB ds een vector volgens de positieve x-as oplevert; in de figuur is h voor alle punten van het middelvlak een positieve grootheid. In gedachten construeren we een assenkruis Gy’z’ met de y’as in de zin van n en een z’-as in de zin van s, en noemen g de coördinaat van B volgens z’.We schrijven de uitdrukking van de schuifspanning xs voor het punt B, wetende dat de    verplaatsingen van B volgens n en s respectievelijk zijn: -g..x en h..x:  xs  G   h ,  s  of, daar xs nul is op de hartlijn : Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

  h s

4.51 s

of

(s)   0   hds

(78)

0

0 is de waarde van  in het punt van de hartlijn dat als oorsprong fungeert voor de scoördinaat; we hebben als oorsprong een eindpunt van de hartlijn gekozen, maar hoefden niet juist dat punt te nemen. Voor het punt B stelt de positieve grootheid hds voor: tweemaal de oppervlakte van de gears

ceerde elementaire driehoek in de figuur 38. De bijdrage tot  hds van een gebied waar de 0

voerstraal uit O bij toenemende s draait tegen (respectievelijk in) de uurwijzerzin om O is positief (respectievelijk negatief). s   De welvingsverplaatsingen langs de hartlijn zijn u (s)    (s)     0   hds  . 0   (78) geeft enkel de waarden van de welvingsfunctie (s) langs de hartlijn. Van de schuifspanningscomponent xn weten we dat hij ten naaste bij nul is; voor een willekeurig punt van de nas geldt bijgevolg:     G   g    xn  0 of  g of (n, s)  (s)  g  n n  n 

(79)

met (s) gegeven door (76). g is constant voor de punten op de n-as door B en de gemiddelde waarde van (n,s) over de wanddikte t is (s). Toepassing: Een opengesneden buis met constante dikte t = 10 mm en straal R = 150 mm is onderhevig aan zuivere wringing om de as van de buis (O  G). De buis is 5 m lang en is ge2 2 maakt van staal S235. E = 21 000 kN/cm ,  = 0,3 , fy = 235 kN/cm (fig. 39).

I t 2Rt 2 1 2R 3 2Rt 3 It  ; weerstandsmoment    t  ds  3 0 3 t 3

(80)

2M x 3M x 3M x n  n  max  G  t  (81) 3 It Rt 2Rt 2 Volgens het vloeicriterium van Hencky, Hüber en von Mises zal het staal beginnen vloeien als 2 de vergelijkingsspanning  max 3 de vloeispanning van 23,5 kN/cm evenaart. Dat gebeurt  xs  2G  n 

2Rt 2  max  4,26 kNm . De overeenstemmende specifieke 3  2(1  ). max torsiehoek   max   0,168 radialen/m en de hoekverdraaiing van de uiteinGt Et den van de buis ten opzichte van elkaar, namelijk 5 = 0,84 radialen = 48°, is zeer groot. bij een wringkoppel van M x 

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.52

max

z

Hier is h constant: h = R en (s) = 0 - hs = 0 - Rs . Voor het 2

punt 1 is 1 = 0 - 2R en u1 = u0 2

R

s

t O

Mx

0 1

y

Figuur 39

2R  . Bij Mx = 4,26 kNm is de welvingsverplaatsing van de rand 1 met betrekking tot de rand 0: u1 - u0 2 = -2R  = - 23,7 mm. Bij wringing in de aangegeven zin schuift de rand 1 langs de rand 0 in de zin van de negatieve x-as, en de verschuiving is bijna 2,5 maal de wanddikte; ze is onafhankelijk van de lengte van de buis. Men merkt hoe torsieslap een opengesneden buis wel is. Ter vergelijking: indien de buis niet opengesneden ware, is de wringconstante vol-

gens lid 6.7.2: (R 4u  R i4 ) 2  R  t 3 3R 2  2  R 3  t    I t  3  152  675  I t en bedraagt de maxi2 2 3 t 2  Mx  R u  M  R Mx  t R  x    max . Het gesloten male spanning xs =  max 1  It 675  t 45 (R 4u  R i4 ) 675  I t  I t1 

profiel is derhalve ongeveer 700 keer torsiestijver dan het opengelegde. De hoekverdraaiing van de uiteinden van de buis ten opzichte van elkaar zal geringer zijn dan 0,1° en de maxima2 le spanning zal amper 23,5/45  0,5 kN/cm bedragen. Dat de specifieke torsiehoek, teweeggebracht door een gegeven wringend koppel, zo veel groter is voor een open gesneden cilinder komt doordat de relatieve welvingsverplaatsing u1 – u0 zich nergens kan voordoen bij een gesloten buis. Een en ander verklaart waarom dunwandige, enkelvoudig samenhangende profielen eigenlijk niet zo best geschikt zijn om belangrijke wringkoppels op te nemen en waarom gesloten profielen daartoe betere diensten bewijzen.

6.8.2 Gewalste open profielen 6.8.2.1 -oppervlak, torsiestijfheid, spanningen De meeste gewalste profielen (hoekstalen, kanaalprofielen, T- en I-profielen) hebben een doorsnede, die uit langwerpige rechthoeken samengesteld is. Over bijna de gehele lengte van elke rechthoek is het -oppervlak nog een parabolische cilinder. Bij de verschillende parabolische cilinders behoort echter één waarde van  en derhalve hebben zij blijkens (76) hoogten, die evenredig zijn met het vierkant van de respectievelijke wanddikten. De inhoud G 3 van het gehele lichaam tussen de staafdoorsnede en het -oppervlak is  dx dy   ti hi 6 i A . Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie G 3  ti hi 3 i

4.53

Mx 1 3 (82)   t hi G 3 i i Dit kan men ook uitdrukken door te zeggen, bij voorh1 beeld voor het in de figuur 40 weergegeven profiel, dat het wringend moment Mx in de gehele doorsnede de som is van de wringende momenten t1 G 3 G 3 en M x1  t 1  h1 , M x2  t2  h2 3 3 h2 t2 G 3 M x3  t  h 3 , opgenomen door de afzonderlijke 3 3 rechthoeken, of nog dat de sterkte van het samenstel t3 van rechthoeken de som is van de sterkten van de h3 rechthoekige profielen afzonderlijk. Bij buiging geldt die uitspraak niet: de buigsterkte van een I-profiel belast in het vlak van zijn lijf is immers veel groter Figuur 40 dan de som van de buigsterkten van het lijf en van de twee flenzen afzonderlijk. Als een van de onderdelen een lichtjes veranderlijke dikte heeft

Derhalve: M x 

en I t 

vervangt men de desbetreffende term

t 3i  h i

ei

door  t (s) 3  ds . Voor elke rechthoek afzonder0

lijk geldt maxi = G.ti . De hoogste schuifspanning ontstaat bijgevolg in het dikste onderdeel van het profiel : 3M x  t max  max  G  t max  3  ti  hi

en weerstandsmoment 

It

3  ti hi

 i t max 3t max

(83)

i

waarin tmax de dikte van de dikste wand voorstelt. Met de ingewikkelde overgangen tussen de parabolische cilinders aan de ontmoetingen van de verschillende rechthoeken stemmen verstoringen overeen van het eenvoudige spanningsbeeld, dat beschreven is in Q §6.7.3. Zo valt het raakvlak aan het -oppervlak sa men met de staafdoorsnede in een inspringende en ook in een uitspringende rechte hoek (bij voorbeeld in Q en P in de figuur 41, aangezien het daar de randen P van de twee belendende rechthoeken bevat. De doorQ snede PQ van het -oppervlak moet plaatselijk heel wat steiler zijn dan de parabolische doorsneden van P de cilindrische gedeelten van het oppervlak. Zoniet Figuur 41 zou haar top, die voorzeker dichter bij Q ligt dan bij P, niet dezelfde hoogte kunnen bereiken. Derhalve zijn er spanningsconcentraties in de doorsnede PQ, vooral nabij de inspringende hoek Q, met schuifspanningen die aanmerkelijk hoger zijn dan buiten het storingsgebied. Men matigt de Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.54

steilte van het -oppervlak en de spanningsconcentratie door de inspringende hoeken af te ronden. De afrondingen tussen de samenstellende rechthoeken vergroten de stijfheid van het profiel in een mate, die aan de hand van wringproeven wordt bepaald. It is bij gewalste profielen, hoek1 stalen uitgezonderd, dan ook wat groter dan  t 3i h i , en wel gemiddeld ongeveer 1,1 maal 3 i groter bij kanaalprofielen en T-profielen; 1,25 maal groter bij normale I-profielen en 1,3 maal groter bij breedflenzige I-profielen.40 y

6.8.2.2 Welving van de staafdoorsneden Bij wijze van voorbeeld passen we (78) toe voor het symmetrisch, gelijkflenzig kanaalprofiel dat ook ter sprake kwam bij de studie van de schuifspanningen door dwarskracht (fig. 42). We onderstellen dat de draaiingsas door het midden van het lijf gaat en dat Mx een positieve grootheid is. De waarde van h in de betrekking (78) is: ht/2 voor de bovenflens, 0 voor het lijf, ht/2 voor de onderflens. Bijgevolg:    0   h t / 2  s tussen 0 en 1;    0   h t / 2  b tussen 1 en 2;    0   h t / 2  b  h t / 2  s' tussen 2 en 3. De welvingsfunctie is constant langs de hartlijn van het lijf. De welvingsverplaatsingen ten opzichte van het lijf zijn u  u    (    )      0  h t / 2  b , het-

b s’

t1 3

2 t

z

O

ht

A  B s A 0

geen geeft u  u   h t / 2  b  s tussen 0 en 1; u  u   0 tussen 1 en 2; u  u    h t / 2  s' tussen 1 en 3. De welvingsfunctie  -  is voor de beide flenzen grafisch voorgesteld in de figuur 43. Bij wringing in de afgesproken zin verplaatst de tip 0 van de onderflens zich in de zin van de x-as ten aanzien van het lijf, en de tip 3 van de bovenflens verschuift in de andere zin. De dwarsdoorsnede blijft niet vlak. Wanneer men de torsieas elders plaatst, hoger of lager in het lijf of buiten het lijf, vindt men andere welvingsverplaatsingen.

40

1

B

Figuur 42

Figuur 43

Bij het raadplegen van catalogi van profielstaalproducenten is het in deze context zinvol om enige waakzaamheid aan de dag te leggen in verband met het toegeleverde cijfermateriaal.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

6.9

4.55

Dunwandige, meervoudig samenhangende profielen

6.9.1 Tweevoudig samenhangende doorsnede (fig. 44) In een tweevoudig samenhangend profiel nemen we  = 0 op de buitenrand en is  = K op de binnenrand. De wanddikte kan best lichtjes veranderlijk zijn langs de uitgestrektheid van de doorsnede maar is bij onderstelling gering ten opzichte van de hoogte en breedte van die staafdoorsnede. We nemen opnieuw een kromlijnige coördinaat s die vanaf een willekeurig punt van het middelvlak vertrekt. Plaatselijk staat de n-as loodrecht op de s-as volgens de inmiddels gebruikelijke afspraak.Wegens de dunheid van de wand is het begrijpelijk dat de hoogtelijnen van het oppervlak dezelfde vorm hebben als de randcontouren  van de staafdoorsnede. Bijgevolg is  xs   in de n sectie 1-1 overal ten naaste bij evenwijdig met de raaklijn aan het middelvlak en is die schuifspanning tevens de totale schuifspanning. De schuifstroom

q(s) 

t (s ) 2

  xs t (s )  2

A’ n

1

z

1

y q(s) 

G =K

=0 Figuur 44

 dn  K  0  K is constant langs de tweevoudig samenhangende doorsnede.

Wegens de dunheid van de wand mogen we verder onderstellen dat de helling van het oppervlak overal weinig afwijkt van de gemiddelde helling. Dit komt erop neer dat de totale schuifspanning constant is over de wanddikte: q = xs.t. Blijkens (61) is Mx = 2K.A’, waarin A’ geen uitstaans heeft met de eigenlijke materiaaldoorsnede, en gewoon de oppervlakte van de figuur omsloten door het middelvlak voorstelt. Bijgevolg is: q   xs .t 

Mx 2A '

(84)

De schuifspanning is het grootst waar de wand het dunst is:  max 

q t min



Mx . 2A't min

We passen nu de stelling van Prandtl (58) toe, waarbij we de hartlijn van de wand als kromme ds R nemen,   xs  ds  q    2G  A' en bepalen hiermee de specifieke torsiehoek en de R R t (s) wringconstante:

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie



ds 4  A' 2 en I t   ds 4G  A' 2 R t (s)  R t (s) Mx

4.56

(85)

Men kan de welving van de staafdoorsnede berekenen door uit te gaan van de definitie Mx     van de glijding  xs   en van de inmiddels bekende uitdruk h   xs  G  2A't (s)  s  G It Mx  king van de specifieke torsiehoek   . Men bekomt   h , en door inteG  It s 2  A't (s) gratie

(s)  1 

I t s ds s    h  ds 2  A' 0 t (s) 0

(86)

1 is de welvingsfunctie van de hartlijn van de staafdoorsnede ter plaatse van de sectie 1-1, de laatste integraal in het rechterlid van (86) is niets anders dan tweemaal de oppervlakte beschreven door de voerstraal die het draaiingscentrum met een punt van het middelvlak verbindt tijdens het doorlopen van de tak 1-s. Opmerkingen: 1) Indien het tweevoudig samenhangend profiel i langwerpige uitsteeksels heeft, kan men daar desgewenst mee rekening houden. Vermits de specifieke torsiehoek constant is, geldt volgens de formules (85) en (82): M x1 M x1  M x 2 Mx M x2 = waaruit   .       t 3i  h i 4G  A' 2     G t 3i  h i  t 3i  h i  4A ' 2 4A ' 2 ds   3 i G  G    ds i 3   ds i 3  R t (s)      R t (s)   R t (s)  Mx1 en Mx2 zijn de gedeelten van het totaal wringend moment die opgenomen worden door de het profiel ontdaan van de uitsteeksels en de uitsteeksels respectievelijk. In een praktische omstandigheid heeft de tweede term in de noemer van de laatste breuk slechts een gering gewicht. 2) In lid 6.8.1. kwamen we tot de bevinding dat een cirkelvormige buis een veel groter wringend moment kan opnemen dan wanneer men ze overlangs openrijt. Algemeen is een tweevoudig samenhangende doorsnede beter bestand tegen wringing dan een enkelvoudig samenhangend. Dat is begrijpelijk omdat de schuifspanningen in het eerstgenoemde overal in dezelfde zin om de kokerholte werken en dat de momentenarm van de spankrachten derhalve van dezelfde orde van grootte is als deze van de dwarsafmetingen van de koker, terwijl de schuifspanningen in het enkelvoudig samenhangend profiel van zin veranderen over de wanddikte en de momentenarm van de spankrachten slechts van de orde van grootte van de dikte is.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.57

6.9.2 Meer dan tweevoudig samenhangende doorsnede Het profiel in figuur 45 is viervoudig samenhangend. Langs iedere inwendige begrenzing is  = Ki en langs de buitenrand is  = 0. We leggen een lus om elke holte en laten de punten van de lus samenvallen met het middelvlak van de profielwand. Bovendien kiezen we een omloopzin s voor iedere lus i en rekenen de schuifstromen qij in de wandgedeelten ij positief wanneer hun zin met de doorloopzin overeenstemt. Naar analogie met de uiteenzetting in lid 6.9.1 ontwikkelen we de uitdrukking van de schuifstroom:

n

B Snede B-B

q10

q13

3

n

3

K3

1 A

2

A

K2

B

K1

K2

Snede A-A Figuur 45

q ij  

t ij / 2

  dn  K i  K j  t ij / 2 n 

(87) Hierbij is de n-as gericht van cel i naar cel j - of naar de buitenkant van het profiel waar j = 0 gesteld wordt - als de omloopzin de tegenwijzerzin is.We passen de stelling van Prandtl toe voor iedere holte i:   xs  ds   (K i  K j )  R

R

ds  2G.A'i t (s)

(88)

Het wringend moment wordt berekend zoals in lid 6.9.1: M x  2 K i  A i'

(89)

i

Men kan (88) schrijven voor elke cel en heeft aldus n vergelijkingen, die samen met (89) een stelsel vormen van n+1 lineaire vergelijkingen met de n+1 onbekenden Ki (i = 1,…,n) en . Bij gegeven Mx kan men dit stelsel oplossen naar de specifieke torsiehoek  en naar de constanten Ki en dan overal de schuifstroom en de schuifspanningen berekenen met (88).

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.58

6.10 Slotopmerkingen We hebben spanningstoestanden bestudeerd louter afstammend van schuifspanningen. Dit mag de lezer niet in de waan brengen dat er nergens in het lichaam trek- of druknormaalspanningen aanwezig zouden zijn. Het tegendeel is waar en zulks wordt onmiddellijk gestaafd door de eigenschappen van de cirkel van Mohr:  In de mantel van de massieve ronde as van figuur 31 zijn constante normaalspanningen werkzaam volgens richtingen die schroeflijnvormig over het oppervlak gewikkeld zijn en die met de beschrijvenden hoeken van 45° insluiten. De normaalspanningen zijn in absolute waarde even groot als de gevonden schuifspanning; de trekspanningen stemmen overeen met de schroeflijnen die in de zin van Mx om het oppervlak gewonden zijn en de drukspanningen heersen langs de helices die tegen die zin draaien.  Hetzelfde geldt voor de buitenkant van de opengesneden buis in figuur 39 maar aan de binnenkant zijn de trek- en drukrichtingen net andersom. Vanzelfsprekend zijn er begrijpelijke verstoringen van dit eenvoudige spanningsbeeld in een nauwe strook, grenzend aan de open gelegde rand.  Over de volledige dikte van de linker zijwand van het in figuur 44 afgebeelde kokerprofiel werken trekspanningen en drukspanningen. Om hun richting te vinden construeert men in gedachten een lokaal xns-assenkruis. Wanneer men het xs-vlak om de n-as laat wentelen over een hoek van 45° stemt de gewentelde stand van de x-richting overeen met de richting van de drukspanningen en de gedraaide stand van s met de trekrichting. Er werd reeds op gewezen dat de berekende schuifspanningsverdeling maar tot stand kan komen indien het wringkoppel overeenkomstig die verdeling in het profiel geleid wordt. Zulks in de praktijk bewerkstelligen is niet altijd voor de hand liggend. Indien de krachtsinleiding niet in overeenstemming is, komt de berekende schuifspanningsverdeling volgens de Saint-Venant pas tot stand op een afstand van de plaats waar het wringkoppel ingeleid wordt van de orde van grootte van de grootste dwarsafmeting van de doorsnede. Maar er is meer: ten gevolge van de verstoring van het reguliere wringspanningenpatroon moet men zich tevens vragen stellen omtrent één van de uitgangshypothesen, namelijk dat de vorm van de projectie van de dwarsdoorsnede gedurende het draaien om de overlangse as niet verandert. Om de vormvastheid van dunwandige kokers te vrijwaren zal men bijvoorbeeld verstijvingmiddelen aanbrengen ter hoogte van de opleggingen en daar waar zware, excentrische lasten ingeleid worden. Die verstijvingsmiddelen kunnen bestaan uit schotten of diafragma’s, of uit gekruiste trekstangen en drukschoren die de overstaande hoeken van de koker verbinden.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.59

Bijlage A: Enkelvoudige buiging In figuur A1 is een eenvoudige, prismatische balk getekend die op buiging belast wordt. We nemen aan dat de uitgangsonderstellingen, vermeld in lid 2.1, van toepassing zijn. Beschouw twee doorsneden AB en A’B’ die haaks op de balkas staan en die een korte afstand dx van elkaar verwijderd Symmetrievlak zijn. Alle langsvezels tusX A A’ sen AB en A’B’ hebben in de onbelaste stand van de balk vanzelfsprekend deB dx B’ X Snede XX zelfde lengte dx. Ten geO volge van de overdwarse belasting buigt de balk door in het symmetrievlak Figuur A1 d – er is immers geen enkele A z A’ reden waarom langsvlakE F ken evenwijdig met het C D y symmetrievlak tijdens de doorbuiging niet evenwijB B’ Neutrale vezel dig met dat vlak zouden blijven - en met name wentelen de doorneden AB en A’B’ ten opzichte van elkaar over een kleine hoek d. Daarbij beschrijven vezels zoals o.a. AA’ en BB’ een elementair cirkelboogje met krommingsmiddelpunt O terwijl ze toch de vervormde stand van de doorsneden AB en A’B’ onder een rechte hoek ontmoeten. Sommige vezels worden tijdens de doorbuiging korter en andere langer dan hun aanvankelijke lengte dx. Er is bijgevolg een vezel, in de figuur aangeduid als CD, die zijn oorspronkelijke lengte behoudt. We noemen die vezel de neutrale vezel en de bijhorende kromtestraal duiden we aan met het symbool z. Bijgevolg geldt dx = z  d . Een vezel EF op een afstand y boven de neutrale verkrijgt de lengte (z  y)  d en daarmee gaat de stuik (  y)  d   z  d y gepaard. Krachtens de wet van Hooke heerst in de vezel x  z   z  d z y EF een (druk)spanning  x  E   x  E  . z De integraal van de normaalspanningen over de dwarsdoorsnede A levert de normaalkracht N die krachtens één van de uitgangsonderstellingen gelijk aan nul moet zijn: E N    x  dA    y  dA  0   y  dA  0 . Een neutrale vezel CD die aanvankelijk in  z A A A het symmetrievlak gelegen bevat bijgevolg het zwaartepunt van de overdwarse doorsneden en y valt met andere woorden samen met de hartlijn van de balk. Uit  x  E  leren we verder z dat de buignormaalspanningen lineair over de hoogte van een willekeurige dwarsdoorsnede veranderen; ze bereiken een extremale waarde ter hoogte van de onder- en bovenrandvezels Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bijzondere aspecten van de balkentheorie

4.60

van de balk en worden nul waar y = 0. De z-as door het zwaartepunt van de dwarsdoorneden wordt daarom ook wel de neutrale lijn of de neutrale as genoemd (fig. A2). We berekenen y nu het moment van de Mz elementaire krachtjes spanningen x  dA , die op de doorsnede inwerken, om de z-as. Deze spanningsresultante is kennelijk gelijk aan het buigend moment Mz dat de bedoelde dwarsdoorsnede belast:

M z     x  y  dA  A

x

Z y t

1 

Na enig rekenwerk met het symbolisch algebrapakket Maple luiden ze: X3 := 

15  2 l (  22 1 ) 4 f

3

Figuur 23

5 4 3 2 3 Y3 := 2  33  2 M3 := 2  l4  l2  l

(20) De dimensieloze coördinaat  legt de stand van de beweeglijke kracht vast (fig. 23). De invloedslijnen worden grafisch in de figuren 24, 25 en 26 voorgesteld.

7

De ontwerpers van weleer ervoeren zulks als een nadeel, want rekentuig zoals wij dat thans kennen, bestond toentertijd helaas niet. Vandaar dat men een grote spitsvondigheid etaleerde om via de methode van het elastisch centrum en een oordeelkundig gekozen assenstelsel de vergelijkingen te ontkoppelen. Vandaag wordt de koppeling niet langer als een nadeel gezien. Indien de lezer graag meer verneemt over de methode van het elastisch centrum kan hij altijd bij de samensteller van onderhavige syllabus terecht.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bogen en boogconstructies

9.25 

X3.f/ Figuur 24: invloedslijn horizontale reactie M3/



Figuur 25: invloedslijn reactiekoppel Y3

 Figuur 26: invloedslijn verticale oplegreactie

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bogen en boogconstructies

9.26

1.11.3 Invloedslijn van andere snedekrachten De betrekkingen (15) en (16) kunnen gebruikt worden om invloedslijnen voor buigende momenten en normaalkrachten in om het even welke boogdoorsnede, gekenmerkt door de kromlijnige coördinaat s, op te sporen. Daartoe deelt men beide leden van de gelijkheden (15) en (16) door de amplitude F van de veranderlijke kracht en schrijft men:

M(s) M 0 (s) (21)   i M 3  i X 3  y  i Y3  (  x ) F F N(s) N 0 (s) (22) i N (s )    i X 3  cos   i Y3  sin  F F M 0 (s) N (s) en 0 zijn niets anders dan de invloedslijnen van het buigend moment en de F F normaalkracht in de boogdoorsnede s van het isostatische hoofdsysteem. i M(s) 

1.12 Spanningen in bogen Gewoonlijk zijn de dwarskrachten in een boog klein ten aanzien van de normaalkrachten en de buigende momenten, en zijn de schuifspanningen in volwandige bogen dan ook gering. Mits de kromtestraal van de boogas niet te klein is ten opzichte van de hoogte van de doorsnede mogen de overlangse normaalspanningen berekend worden met de gewone formule N M    y van de samengestelde buiging. In onderstaande onderstellen we het buigend A I moment positief. y ds = r.d y0

(23)

Vr

Het tweede gedeelte van de plaatselijke middelpuntzoekende kracht is evenredig met y en verandert van zin ter hoogte van de z-as. Dat gedeelte onderwerpt het materiaal van een boog met rechthoekige doorsnede met breedte b en hoogte h (fig. 29) aan de loodrecht op het vlak Gxz werkende trekkracht h 2 My

M b h 2 3M per eenheid van lengte  bdy     8 2hr z x G h bh 3 0 Ir r 12 3M 3M van de boogas of aan de trekspanning  2bhr 2Ar wanneer M > 0, en aan een even grote drukspanning 3eN b wanneer M < 0. Deze spanning, ter grootte (M 2rA Figuur 29 = - N.e, e: excentriciteit van de normaalkracht), is veel kleiner dan die welke volgt uit de overlangse normaalN My kracht, namelijk , die zelf doorgaans gering is in verhouding tot de buigspanningen  , A I en men hoeft er zich verder niet om te bekommeren voor een volle, rechthoekige doorsnede.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bogen en boogconstructies

9.28

Op de bodem van een stalen of betonnen boogsegment met kokerprofiel (fig. 30) en met lengte 1 ter hoogte van de boogas, werkt per eenheid van breedte de radiale kracht Ma N  N Ma  t o . Op het deksel van de     , die in feite slechts middelzoekend is wanneer I A I r A  N Mc  t b koker werkt per eenheid van breedte de radiale kracht    , die middelpuntvliedend I r A is wanneer M  0 . Deze radiale krachten, tezamen met de radiale component van de rechtstreeks op deksel en bodem aangrijpende, uitwendige belasting, doen in de koker overdwarse buigspanningen ontstaan, die men zeker moet becijferen en waarvoor men een betonnen koker desnoods moet wapenen wanneer de koker breed is en zijn elementen dun zijn en wanneer r betrekkelijk klein is. Bij de berekening van de overdwars in de koker werkende buigende momenten bedient men zich van en schema zoals dat in de rechterhelft van de figuur 30 en past men bijvoorbeeld de methode van Gehler toe. De gevonden steunpuntreacties Y1 en Y2 zijn in feite fictief en worden als krachten in het vlak van elke lijfplaat overgebracht: daardoor neemt men aan dat het geheel van de genoemde radiale krachten in evenwicht wordt gehouden door een kracht in het vlak van elke lijfplaat van de koker. tb c

pb

a

po

M>0

a

to

b Y1

Y2

Figuur 30

Een en ander geldt eveneens voor andere profielvormen, zoals I-profielen en cirkelvormige kokers. Met de vectorsom van de middelpuntzoekende krachten en van de radiale component van de uitwendige belasting maken evenwicht: in de dwarsdoorsnede werkende krachten, die gelijk zijn aan het verschil tussen de schuifstromen in de beide secties, welke het boogsegment begrenzen. In het bovenstaande hebben we geen rekening gehouden met de invloed van de radiale vervorming van de dwarsdoorsnede op de normaalspanningsverdeling. Die invloed mag buiten beschouwing blijven voor betonnen kokerdoorsneden en, wegens de grootte van de kromtestraal r, zelfs voor stalen bogen met I-profiel of kokerprofiel. Figuur 31 illustreert het genoemde effect wanneer het buigend moment negatief is: door de overdwarse buiging gaat het materiaal van de flenzen dichter naar de horizontale zwaarteas en zijn een vermindering van het traagheidsmoment en een aanvreten van de buigsterkte in het vlak van de boog immanent. Tevens zullen de overlangse trekspanning in de tip van de bovenflens en de absolute waarde van de overlangse drukspanning in de tip van de onderflens verminderen.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bogen en boogconstructies

9.29

A pb po M

M A

Snede AA Figuur 31

2

Boogconstructies

2.1

Algemeen

vervorming dwarsdoorsnede door overdwarse buiging

Volwandige bogen, vervaardigd eigenlijke boog hanger van staal, van gewapend beton of van hout, kunnen bijvoorbeeld dienen als spanten voor een dakconstructie. Boogwerking als beschreven in lid 1.4 van onderhavig hoofstuk ontstaat eveneens in rijvloerconstructie draagsystemen die de algemene vorm Figuur 32 hebben van een boog en waarvan de geboorten onverschuifbaar of nagenoeg onverschuifbaar zijn, maar die samengesteld zijn uit driehoeken of die bestaan uit een boog, een horizontale staaf en koppelingen tussen beide. Het laatste geval doet zich voor bij bruggen: de eigenlijke boog draagt immers een rijvloer die steunt op of hangt aan de boog; in het vlak van de boog bevindt zich ter hoogte van de vloer meestal een langsbalk die door stijlen of hangers en mogelijk ook door schuine staven verbonden is met de boog (fig. 32). In deze paragraaf behandelen we de elastische krachtenverdeling in een aantal van die boogconstructies. Het samenstel van een boog en een ander buigstijf constructiedeel bezit meer stijfheid bij vervorming in het vlak van de boog dan de boog alleen. Daardoor vermindert het gevaar voor algemene knik in dat vlak.

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bogen en boogconstructies

2.2

9.30

Samenstel boog-balk-vertikalen

2.2.1 Balk geplaatst boven de boog (fig. 33)

? 

R2

R3

R4

R1

R5

R6 R7

Figuur 33

Een ontwerper kan geneigd zijn om de balk te beschouwen als een doorgaande ligger op mesopleggingen. Op die grondslag kunnen de momentenverdeling in de balk en de oplegkrachten die hij uitoefent op de stijlen, berekend worden. Indien men vervolgens aanneemt dat die krachten de belasting van de boog vormen, vindt men met de theorie uit lid 1 de spanningsresultanten welke door genoemde krachten in de boog veroorzaakt worden. Deze werkwijze weerspiegelt in

twee opzichten het werkelijke gedrag van het stelsel niet:  De boog is vervormbaar en de stijlen fungeren niet als verticaal onbeweegbare steunpunten voor de balk.  De stijlen bezitten een zekere buigstijfheid en oefenen ook momenten uit op de balk en op de boog. De geschetste rekenwijze kan slechts min of meer betrouwbare uitkomsten leveren  indien de buigstijfheid van de boog veel groter is dan die van de balk, bijvoorbeeld tien maal groter, zodat de zakkingen van de boog gering zijn en ze de momentenverdeling in de balk niet al te sterk beïnvloeden,  en indien de stijlen bovendien zeer buigzaam zijn of op één na scharnierend verbonden zijn aan de boog en aan de ligger. Is geen van beide voorwaarden vervuld, dan moet het samenstel worden berekend als een vierendeelboog (genoemd naar de Vlaamse ingenieur Jules Arthur Vierendeel 1852 - †1940) waarbij de buigstijfheid van de stijlen en gebeurlijk de afmetingen van de knopen (fig. 34) niet wordt veronachtzaamd. Berekening van Bouwkundige Constructies I

Figuur 34

Bogen en boogconstructies

9.31

Is de tweede voorwaarde vervuld, dan kan het systeem worden behandeld als een verstijfde buigingsboog en mag de in 2.2.2 uiteen te zetten methode toegepast worden met geringe, voor de hand liggende aanpassingen.

2.2.2 Verstijfde buigingsboog 2.2.2.1 Algemeen Een verstijfde buigingsboog is een boogligger waarvan de geboorten verbonden zijn door een trekbalk. De trekker en de boog bezitten een niet-verwaarloosbare buigstijfheid en zijn verenigd door twee stijve knopen en door buigzame hangers (fig. 37). De belangrijke belastingen, meestal ingeleid door de dwarsdragers van een brugvloer, grijpen aan op de trekbalk. De krachtenverdeling in het samenstel hangt in hoge mate af van de verhouding van de buigstijfheid van boog en trekker. We spreken van het grensgeval van een buigingsboog als de de stijfheid van de trekband verwaarloosbaar is ten aanzien van die van de boog. Het tegenovergestelde grensgeval is dat van een boog waarvan de stijfheid in het verticale vlak maar net voldoende is om knikken tussen de knooppunten in te voorkomen. Zo'n boog wordt verstijfd door een forse trekbalk, zo niet zou de boog in zijn geheel reeds knikken in zijn vlak onder een evenwichtsbelasting en zou hij zeker geen veranderlijke belastingen kunnen verdragen. Een dergelijke boog wordt staafboog genoemd en het samenstel slappe boog hangers - stijve trekbalk heet verstijfde staafboog. Een verstijfde staafboog kan bezwaarlijk mooier worden genoemd dan een verstijfde buigingsboog, maar is een economischer liggertype omdat een buigingsboog de montage van meer staal of het storten van meer beton op grote hoogte vergt dan een staafboog. Daar de blijvende belasting in de praktijk ten naaste bij gelijkmatig verdeeld is langs de horizontale is het logisch aan de hartlijn van de boog de vorm te geven van een parabool van de tweede graad of van een veelhoek ingeschreven in zo'n parabool en met hoekpunten boven de hangers. Een verstijfde buigingsboog wordt statisch bepaald opgelegd, op een vast en op een beweegbaar oplegtoestel. Afgezien van wind- of remkrachten oefent hij geen horizontale krachten uit op zijn steunpunten.

sterke as in boogvlak

W

wervelstraat van von Karman

zwakke as Figuur 36

Figuur 35

Berekening van Bouwkundige Constructies I

Bogen en boogconstructies

9.32

De hangers kunnen strengen of roeden of profielstaven zijn. In het laatstgenoemde geval wordt een profiel met zeer verschillende hoofdtraagheidsmomenten, bijvoorbeeld een IPE, gekozen en wordt de sterke as van het hangerprofiel geplaatst in het vlak van de boogligger (fig. 35); de buigstijfheid van de hangers om die as helpt zich verzetten tegen knik van de boog loodrecht op zijn vlak. Ingeval elke hanger bestaat uit evenwijdige draden is zijn rekstijfheid goed bekend; ingeval hij een streng is of uit enkele strengen bestaat is er altijd onzekerheid omtrent de grootte van de elasticiteitsmodulus. Bij enkele boogconstructies en ook bij hangbruggen heeft men trillingen van lange hangkabels en zelfs van zeer slanke buisvormige stijlen waargenomen. De trillingen doen zich voor loodrecht op de windrichting, worden veroorzaakt door wervels van von Karman (fig. 36) en kunnen vermoeiingsbreuken teweeg brengen. Men kan ze voorkomen door ervoor te zorgen dat de kritieke windsnelheid hoger ligt dan de maximale te verwachten windsnelheid. Wanneer trillingen toch optreden bij hangkabels kan men ze bestrijden met eenvoudige voorzieningen die trillingsenergie opslorpen door inwendige wrijving. 2.2.2.2 Benaderingsmethode Deze eenvoudige berekening is nuttig omdat zij de ontwerper in staat stelt redelijke afmetingen te kiezen voor de doorsneden van de onderdelen van de constructie. Voor een boogligger van enig belang moet daarna een nauwkeuriger berekening worden verricht. We nemen aan dat alleen verticale uitwendige krachten aangrijpen. Aangezien ook de hangers uitsluitend verticale krachten uitoefenen op de boog en op de balk, vloeit hieruit voort dat de horizontale component H van de totale kracht in de boogdoorsneden constant is over de spanwijdte en gelijk aan de trekkracht in de balk. Symbolen met ' en met " hebben respectievelijk betrekking op de boog en op de balk (fig. 37).

E’I’ q’ 