8va 8va Olimpíada Paceña de Matemática Un proyecto de interacción social de la Carrera de Matemática, Facultad de Ciencias Puras y Naturales, Universidad Mayor de San Andrés, La Paz, Bolivia.
Categoría
α
Primera Fase
8 de junio del 2013
Instrucciones
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Por favor favor no abras este folleto hasta que se te indique. La prueba tiene una duración mínima mínima de 30 minutos y una duración máxima de 45 minutos. minutos. Por favor favor apaga tu celular mientras mientras dure la prueba. prueba. No está permitido: permitido: utilizar calculadoras, calculadoras, consultar consultar apuntes apuntes o libros. Te hemos proporcionado proporcionado 4 hojas: 2 en este folleto, 1 de respuesta respuesta y 1 para operaciones operaciones auxiliares. auxiliares. Esta es una prueba de 7 problemas de selección selección múltiple. múltiple. Marca la alternativa alternativa que encuentr encuentres es correcta en la hoja de respuestas. respuestas. Al finalizar la prueba prueba entregarás entregarás solamente solamente tu ho ja de respuestas. respuestas. Puedes Puedes llevarte llevarte el resto de hojas que te entregamos.
Apoyan
Sociedad Boliviana de Matemática Carrera Carrera de Matemática Matemática Av.Villazón 1995 Predio Central UMSA, Planta Baja del Edificio Viejo, Teléfono 2441578, e-mail:
[email protected]
http://www.opmat.org
8va OPM - Categoría
α
- Primera fase
1. Cinco discos de papel fueron colocados uno a uno sobre una mesa, como se muestra en la figura de la derecha. ¿En qué orden fueron colocados los discos? (A) U,R,V,S,T (B) R,S,U,V,T (C) V,R,S,U,T (D) T,U,R,V,S (E) V,R,U,S,T
1
U
V
T
S
R
2. En la multiplicación de la derecha, la suma de los cuatro números en las cajitas es (A) 13
(B) 12
(D) 9
8
7
9
×
4
9
2
1
7
5
8
7
9
1
1
3
5
1
6
4
3
2
4
(C) 27
(E) 22
6
8
3. La señora Soledad posee tres terrenos cuadrados: uno de ellos tiene de lado 10 metros y los otros dos tienen 20 metros de lado cada uno. La señora Soledad quiere cambiar sus tres terrenos por otro terreno cuadrado, cuya área sea la suma de las áreas de sus tres terrenos. El lado del nuevo terreno debe ser: (A) 24 metros (B) 25 metros (C) 40 metros (D) 30 metros (E) No se puede saber 4. Los cuadrados de abajo tienen todos el mismo tamaño
I II III IV ¿Cuál de ellos tiene la región sombreada con mayor área? (A) I
(B) II
(C) III
V
(D) IV
(E) V
5. En un poblado del yungas paceño, la temperatura máxima registrada el martes fue 4 grados más caliente que la registrada el lunes. La temperatura máxima del miércoles fue 6 grados mas fría que la registrada el lunes. Si la temperatura máxima registrada el martes fue de 22 grados, ¿cuál fue la temperatura máxima registrada el miércoles? (A)
20
grados
(B)
24
grados
(C)
12
grados
(D)
32
grados
(E)
16 grados
6. Si este año el 1 de junio fuese martes. ¿Qué día de la semana sería la navidad, es decir, el 25 de diciembre? (A) Martes
(B) Jueves
(C) Viernes
(D) Sábado
(E) Domingo
Recuerda junio, septiembre y noviembre tienen 30 días, mientras que julio, agosto, octubre y diciembre 31 días.
7. El piso de una cocina fue revestido con cerámicas blancas y negras, como se muestra en la figura. Cada cerámica negra costó 20 Bs. y cada cerámica blanca costó 30 Bs., ¿cuánto se gastó en la compra de los ladrillos? (A) 1260 Bs.
(B) 1440 Bs.
(D) 1770 Bs.
(E) 1890 Bs.
(C) 1740 Bs.
˜ a de Matema ´ tica 8va Olimp´ ıada Pacen Un proyecto de interacci´on social de la Carrera de Matem´atica, Facultad de Ciencias Puras y Naturales, Universidad Mayor de San Andr´es,
La Paz, Bolivia.
Categor´ ıa α
Soluciones de la Primera Prueba de Clasificaci´on 8 de mayo del 2013 1. Respuesta: (C) Soluci´ on. Del gr´ afico se aprecia que primero se puso V , luego R, S , U y
T .
2. Respuesta: (A) on directamente y llenar las cajitas: 1+9+1+2 = 13. Soluci´ on. Basta realizar la multiplicaci´ 3. Respuesta: (D) area del nuevo terreno es: 10 2 + 202 + 202 = 102 × (1 + 4 + 4) = 102 × 32 = 302. Soluci´ on. El ´ Luego el lado del cuadrado pedido es 30 metros. 4. Respuesta: (E) on sombreada en el ´ultimo cuadrado es m´ as grande que las Soluci´ on. Observe que la regi´ otras (las a´reas de I, II y IV son iguales, la III es menor a todas). 5. Respuesta: (C) axima temperatura que se registr´o el martes fueron 22 grados, luego la Soluci´ on. La m´ m´axima del lunes fue de 22 − 4 = 18 grados y, el mi´ercoles tuvo una temperatura 18 − 6 = 12 grados. 6. Respuesta: (D) ıan martes; Soluci´ on 1. En junio el 1, 1 + 7 = 8, 8 + 7 = 15, 15 + 7 = 22 y 22 + 7 = 29 ser´ el 1 de julio ser´ıa jueves, adem´as el 8, 15, 22 y 29 de julio ser´ıan jueves; as´ı, el 1 de agosto es domingo y, el 8, 15, 22 y 29 son domingo; luego, el 1 de septiembre es mi´ ercoles, lo son tambi´en: el 8, 15, 22 y 29. El 1 de octubre es viernes, los son tambi´en el 8, 15, 22 y 29; el 1 de noviembre es lunes, tal como 8, 15, 22 y 29. Entonces finalmente, el 1, 8, 15, 22 y 29 ser´ıan mi´ercoles. As´ı, el 25 (Navidad!) ser´ıa s´abado. Soluci´ on 2. Todos los d´ ıas desde junio hasta diciembre son 30 × 3 + 3 1 × 4 = 214. Como el primer d´ıa, que corresponde a junio es martes, lo ser´ an tambien el 8, 15, 22, 29, 36,. . .. Es decir, aquellos d´ıas que al dividir entre 7 el resto es 1. Como 214 = 7 × 30 + 4, entonces el 31 ser´a viernes, luego es f´acil ver que el 25 es s´abado. 7. Respuesta: (D) ıa gastado 30 × 7 × 9 = 1890 Bs. Soluci´ on. Si todos los ladrillos costaran 30 Bs., se habr´ Pero, tenemos 12 ladrillos negros, de modo que se gastan 1890 − 12 × 10 = 1770 Bs.
1
8va Olimpíada Paceña de Matemática Un proyecto de interacción social de la Carrera de Matemática, Facultad de Ciencias Puras y Naturales, Universidad Mayor de San Andrés, La Paz, Bolivia.
Categoría
β
Primera Fase
8 de junio del 2013
Instrucciones
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Por favor no abras este folleto hasta que se te indique. La prueba tiene una duración mínima de 1 hora y una duración máxima de 1 hora y 30 minutos. Por favor apaga tu celular mientras dure la prueba. No está permitido: utilizar calculadoras, consultar apuntes o libros. Te hemos proporcionado 6 hojas: 3 en este folleto, 1 de respuesta y 2 para operaciones auxiliares. Esta es una prueba de 12 problemas de selección múltiple. Marca la alternativa que encuentres correcta en la hoja de respuestas. Al finalizar la prueba entregarás solamente tu ho ja de respuestas. Puedes llevarte el resto de hojas que te entregamos.
Apoyan
Sociedad Boliviana de Matemática Carrera de Matemática Av.Villazón 1995 Predio Central UMSA, Planta Baja del Edificio Viejo, Teléfono 2441578, e-mail:
[email protected]
http://www.opmat.org
8va OPM - Categoría β - Primera fase
1
1. Antonio y Carla juegan un juego de dos personas en el que el ganador obtiene 2 puntos y el perdedor 1 punto. Si Antonio ganó exactamente tres juegos y Carla obtuvo un marcador final de 5 puntos, ¿cuantos juegos se jugaron? (A) 7
(B) 8
(C) 4
(D) 5
(E) 11
2. Tres naipes se colocan en una fila. El trébol está a la derecha del corazón y el diamante. El 5 está a la izquierda del corazón. El ocho está a la derecha del 4. De izquierda a derecha los naipes son: (A) 4
♥, 5 ♦, 8 ♣ (D) 4 ♦, 5 ♣, 8 ♥
(B) 5
♦, 4 ♥, 8 ♣ (E) 5 ♥, 4 ♦, 8 ♣
(C) 8
♣, 4 ♥, 5 ♦
3. Cada uno de los dígitos 3, 5, 6, 7 y 8 es colocado en uno de los cuadros del diagrama de la derecha. Si el número de dos dígitos se substrate del número de tres dígitos, ¿cuál es el menor número que se puede obtener? (A) 269
(B) 278
(D) 271
(E) 261
1
1
1
1
1
(C) 484
4. Los boletos de una rifa son numerados del 1000 al 9999. Wara compró todos los boletos en los cuales el dígito siete aparece exactamente tres veces y no aparece el cero. ¿Cuántos boletos compro Wara? (A) 32
(B) 36
(C) 45
(D) 46
5. En el diagrama de la derecha todos los triángulos son equiláteros. Si AB = 16, entonces el área total de todos los triángulos negros es
√ √ (D) 64 3 (A) 37 3
√
(B) 32 3 (E)
(E) 48 A
√
(C) 27 3
√
64 3 3
B
C
Triángulo de Sierspinski 6. En un cierto mes, tres de los domingos caen en fechas que son números pares. El décimo día de este mes es (A) Lunes
(B) Martes
(C) Miércoles
(D) Jueves
(E) Viernes
7. La profesora de Gabriela compró 96 dulces para repartirlos por igual a cada uno de sus estudiantes sin que sobren dulces. El día que los iba a repartir todos sus alumnos fueron a clases excepto Gabriela. La profesora distribuyó los dulces por igual a cada estudiante pero sobraron 5 dulces.¿Cuántos alumnos tiene el curso de Gabriela? (A) 6
(B) 8
(C) 12
(D) 14
(E) 16
8va OPM - Categoría β - Primera fase
8. En una hoja cuadrada de papel de 30 cm de lado, blanca de un lado y de color ceniza del otro, se marcó un cuadrado ABCD con líneas segmentadas como en la Figura 1. La hoja se dobló a lo largo de las líneas segmentadas y el resultado se muestra en la Figura 2, la parte de color ceniza es un cuadrado de área 144 cm2 . ¿Cuál es la longitud del segmento P A? (A) 21cm
(B) 22cm
2
A
P D
B C
Figura 1 (C) 23cm
Figura 2
(D) 24cm
(E) 25cm
9. Mil cubos de lado 1 son apilados para formar un cubo mayor de lado 10. El cubo mayor se pinta y luego se separa en los cubos originales. El número de cubos pequeños que por lo menos tienen un lado pintado es (A) 600
(B) 520
(C) 488
(D) 480
(E) 400
10. El menor número primo que divide a 3 11 + 513 es: (A) 3 (D) 2
(C) 311 + 513
(B) 5 (E) Ninguno anterior
11. El valor de la fracción
√
2 2 (A) 3
√ √ 6) √ es 3 2+ 3
2( 2 +
(B) 1
√
2 3 (C) 3
(D)
4 3
(E)
16 9
12. Los números naturales mayores a uno se acomodan en cinco columnas de la siguiente forma 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14
· · · · · · · ·
¿En qué columna estará el número 2013? (A) Primera
(B) Segunda
(C) Tercera
(D) Cuarta
(E) Quinta
8va Olimp´ıada
˜ a de Matema ´tica Pacen Un proyecto de interacci´on social de la Carrera de Matem´atica, Facultad de Ciencias Puras y Naturales, Universidad Mayor de San Andr´es,
La Paz, Bolivia.
Categor´ ıa
β
Soluciones de la Primera Fase 8 de junio del 2013 1. Respuesta: (C) Soluci´ on. Como Antonio gan´ o tres juegos, a Carla le corresponde 3 puntos. Sabemos que el marcador final de Carla es 5 puntos, por lo cual los 2 puntos lo obtuvo de un triunfo, puesto que si estos los obtuviera de dos derrotas, Antonio tendr´ıa 5 triunfos, pero sabemos que s´olo gan´ o en 3 oportunidades. 2. Respuesta: (B) on nos dice que el coraz´on y el diamante estan a la izquierda, Soluci´ on. La primera condici´ pero desconocemos en principio el orden entre los dos, sin embargo, la segunda condici´on nos dice que el de la derecha, entres ambos, es el coraz´on y que el 5 debe ser diamante. La u ´ltima condici´on significa que el 8 es tr´ebol y el 5 es coraz´on. 3. Respuesta: (A) umero de la sustracci´o n de un n´ umero de dos Soluci´ on. El objetivo es obtener el menor n´ d´ıgitos de otro n´ umero de tres d´ıgitos que se pueden formar con los n´umeros 3,5,6,7,8. Primero formemos el menor de los n´umeros de tres d´ıgitos, esto se hace poniendo el menor como la centena, en este caso 3, en la decena 5 y en la unidad 6, es decir, tenemos el n´umero 356. Segundo formamos el mayor de los n´ umeros de dos d´ıgitos, para esto ponemos en la decena 8 y la unidad 7, es decir, se tiene el n´umero 87. Efectuando la sustracci´on, 356 − 87 = 269. 4. Respuesta: (A) umeros de cuatro d´ıgitos de tal manera que Soluci´ on. Estamos buscando la cantidad de n´ tres de ellos sean 7 y el cuarto no sean ni cero ni siete. Analicemos el caso en que los tres primeros d´ıgito son 7, para la cuarta tenemos 8 elecciones, no consideramos 0, 7, entonces se tiene 8 boletos de rifa. Resumimos todos los casos en el siguiente cuadro, donde las casillas indican los d´ıgitos y la cantidad de n´umeros posibles, la primera fila indica el caso descrito anteriormente: 1 1 1 8 = 8 1 1 8 1 = 8 1 8 1 1 = 8 8 1 1 1 = 8 Sumando la cantidad de boletos de rifa 8 + 8 + 8 + 8 = 32. 1
a
8va OPM - Soluciones - Categor´ıa β - 1 Fase
2
5. Respuesta: (C) Soluci´ angulo es equil´ atero, todos sus lados son iguales a on. Como el tri´ 16. Cada lado contiene a los lados de 8 tri´angulos equil´ ateros negros, cada uno de estos 16 tienen lados iguales a 8 = 2. Calculamos el a´rea de cada tri´angulo equil´atero negro sabiendo que tiene lado 2, necesitamos calcular su altura que podemos denotar por h y los lados por√ l = 2. Por pit´agoras la altura 2 es, 2l + h2 = l 2 , reemplazando los datos se tiene que h = 3. √ lh 2 3 √ Luego, el ´area de un tri´angulo equil´atero negro es: A = = = 3. 2 2 De la figura se tiene que existen 27 √ tri´angulos equil´ateros, de donde el ´area total de los tri´angulos equil´ ateros negros es 27 3. 6. Respuesta: (A) Soluci´ on. Observemos que el primer domingo par puede ser el 2, 4 o 6. Si el domingo es 2, los otros domingos ser´an: 9, 16, 23 y 30. Si el domingo es 4, los otros domingos son: 11, 18,25. Si el domingo es 6 los otros son: 13, 20, 27. De estos casos se observa que el ´unico mes que cumple con la condici´on es 2, 9, 16, 23 y 30 (tres domingos pares) Por lo cual el d´ecimo d´ıa en ese mes es lunes. 7. Respuesta: (B) Soluci´ on. La idea de la Profesora de Gabriela es distribuir los 96 dulces por igual entre sus estudiantes, como no se puede dividir los dulces, buscamos que n´umeros dividen a 96. Estos son: 1, 2, 3, 6, 8, 12, 16, 32, 48 y 96. Pero, como Gabriela no fue a clases, la profesora distribuyo 96 − 5 = 91 dulces por igual a sus alumnos, con el mismo razonamiento buscamos los divisores de 91. Estos son 1, 7, 13 y 91. Debemos buscar que n´umero est´a en la primera lista y el n´umero menos uno est´a en la segunda lista. Como la distribuci´on de 91 dulces fue menos Gabriela, estuvieron 7 alumnos. Adem´ as la Profesora tenia la idea de distribuir 96 a los alumnos por igual, entonces el n´umero de alumnos (incluyendo a Grabiela) es 8. 8. Respuesta: (A) Soluci´ on. Introduzcamos x y y como se muestra en las figuras:
P
x
A
y
y D
B C
Figura 1
Figura 2
Tenemos que el lado del cuadrado es x + y = 30. Queremos determinar P A = x . Sabemos que el cuadrado de color ceniza tiene ´area de 144 cm2 , por la construcci´on el lado de este cuadrado es a = x − y , de donde se tiene que su ´area es a2 = 122, as´ı a = 12. De las igualdades x − y = 12 y x + y = 30, sumando miembro a miembro ambas, obtenemos 42 2x = 12 + 30. As´ı, x = = 21. 2
a
8va OPM - Soluciones - Categor´ıa β - 1 Fase
3
9. Respuesta: (C) Soluci´ on 1. Con los cubos peque˜ nos se forma un cubo mayor de lado 10, para dar respuesta debemos observar que los cubos peque˜nos que forman las aristas se encuentran en dos caras y los v´ertices en tres caras del cubo mayor. El n´umero de cubos peque˜nos que forman las aristas y v´ertices pintadas en el cubo mayor es de 104. Sin tomar en cuenta a los cubos peque˜nos de las aristas y v´ ertices, se tiene en las seis caras del cubo mayor cubos peque˜n os de 8 × 8 = 64 que en las seis caras son 6 × 64 = 384. El n´umero de cubos peque˜nos que tienen al menos un lado pintado son 104 + 384 = 488. nos sin pintar conforman el cubo de 8 × 8 × 8 del interior. Soluci´ on 2. Los cubos peque˜ 3 3 Entonces, 10 − 8 = 488 tienen por lo menos una cara pintada. 10. Respuesta: (D) Soluci´ on. 3 es impar, elevado a cualquier potencia tambi´ en es impar. Similarmente, 5 13 es impar. Por tanto, 311 + 513 es par, es decir, divisible por 2. 11. Respuesta: (D) on es Soluci´ on 1. El cuadrado de la fracci´ √ √ √ 4(2 + 2 12 + 6) 4(8 + 4 3) 16(2 + 3) 16 √ √ == √ = 9 . = 9(2 + 3) 9(2 + 3) 9(2 + 3)
16
4 = . 9 3 √ on por 2, obtenemos Soluci´ on 2. Mutiplicando el numerador y denominador de la fracci´ Por tanto, la fracci´on es igual a
√ √ √ 6) 2(2 + 12) √ = √
2( 2 +
3 2+
3
3 4+2
3
=
4(1 +
√ 3) √
3 1+ 3
2
4 = . 3
12. Respuesta: (E) on de n´umeros busquemos alguna propiedad, por ejemplo la columna Soluci´ on. En la sucesi´ tercera son m´ultiplos de 4, la primera y la quinta se obtienen de sumar 8 al anterior n´umero. Analicemos la quinta columna. Primero, borramos las filas que no tiene n´umeros en la quinta columna. La caracter´ıstica de los n´umeros obtenidos en las filas que quedaron son: Primera fila es 5 Segunda fila es 13 = 5 + 8 Tercera fila es 21 = 13 + 8 = 5 + 8 + 8 = 5 + 2 × 8 Cuarta fila es 29 = 21 + 8 = 5 + 3 × 8. Luego la fila n tiene en la quinta columna a: x = 5 + (n − 1)8. Considerando x = 2013, tenemos 2013 = 5 + (n − 1)8, resolviendo para n tenemos 2013 − 5 + 8 n = = 252. 8 As´ı, el n´ umero 2013 se encuentra en la columna quinta y fila 252.
8va Olimpíada Paceña de Matemática Un proyecto de interacción social de la Carrera de Matemática, Facultad de Ciencias Puras y Naturales, Universidad Mayor de San Andrés, La Paz, Bolivia.
Categoría
γ
Primera Fase
8 de junio del 2013
Instrucciones
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Por favor no abras este folleto hasta que se te indique. La prueba tiene una duración mínima de 1 hora y una duración máxima de 1 hora y 30 minutos. Por favor apaga tu celular mientras dure la prueba. No está permitido: utilizar calculadoras, consultar apuntes o libros. Te hemos proporcionado 6 hojas: 3 en este folleto, 1 de respuesta y 2 para operaciones auxiliares. Esta es una prueba de 12 problemas de selección múltiple. Marca la alternativa que encuentres correcta en la hoja de respuestas. Al finalizar la prueba entregarás solamente tu ho ja de respuestas. Puedes llevarte el resto de hojas que te entregamos.
Apoyan
Sociedad Boliviana de Matemática Carrera de Matemática Av.Villazón 1995 Predio Central UMSA, Planta Baja del Edificio Viejo, Teléfono 2441578, e-mail:
[email protected]
http://www.opmat.org
8va OPM - Categoría
γ
- Primera fase
1
1. Un periódico de 60 páginas se arma con 15 hojas de papel, que se colocan una encima de otra y luego se doblan a la mitad. Si en un periódico falta la página 8, ¿cuáles otras faltarán obligatoriamente? (A) 7, 9 y 10
(B) 7, 42 y 43
(C) 7, 48 y 49
(D) 7, 53 y 54
(E) 7, 52 y 53
2. Las letras de la palabra “GAUSS” y los dígitos del número “2013” se van moviendo cíclicamente separadamente y son ordenados así: 1. AUSSG 0132 2. USSGA 1320 3. SSGAU 3201 .. .. .. . . . Si este proceso se continua, ¿en qué lugar estará GAUSS 2013 por primera vez? (A) 10.
(B) 5.
(C) 9.
(D) 16.
(E) 20.
3. El precio de un estacionamiento en Sopocachi se establece por un valor fijo para las dos primeras horas y un adicional por cada hora extra. Si el estacionamiento por 4 horas cuesta 11 Bs. y por 6 horas cuesta 16 Bs., ¿cuánto cuesta el estacionamiento por 9 horas? (A) 28,5 Bs.
(B) 30 Bs.
(C) 18,5 Bs.
(D) 23,5 Bs.
(E) 26 Bs.
4. Q es el punto de intersección de las diagonales de una de las caras de un cubo de lado 2 como se muestra en la figura. La longitud de QR es (A) 2 (D)
√
12
(B)
√
(E)
√
8
(C)
√
5
Q
6
R
5. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor divisor primo de 2 16 − 1? (A) 256
(B) 254
6. Sea T =
entonces (A) 0 < T < 1
(C) 132
(D) 288
(E) 509
1
√ − √ 1 √ + √ 1 √ − √ 1 √ + √ 1 , 3− 8 8− 7 7− 6 6− 5 5−2 (B) T < 0
(C) T > 2
(D) T = 1
(E) 1 < T < 2
7. Cada vez que un jaboncillo se usa, su volumen disminuye en un 10 %. ¿Cuál es el menor número de veces que debe usarse para que quede menos de la mitad de su volumen original? (A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
8va OPM - Categoría
γ
- Primera fase
2
8. Si este año el 1 de junio fuese martes. ¿En qué día de la semana sería la noche buena? (A) Martes
(B) Jueves
(C) Viernes
(D) Sábado
(E) Domingo
9. El dígito de las unidades del número que se obtiene al operar 2013 × 22015 es: (A) 1
(B) 4
(C) 2
(D) 8
(E) 6
10. En la figura adjunta el triángulo ABC es tal que AB = 4 y AC = 8. Si M es el punto medio de B C y AM = 3, ¿cuál es la longitud de BC ? A
B
√
C
M
√
(A) 2 26
(B) 2 31
√
(C) 9
(E) No se tiene suficiente información para responder.
(D) 4 + 2 13
11. ¿Qué números positivos satisfacen la ecuación (log3 x)(log 5) = log3 5? (A) 3 y 5 solamente. (B) 3, 5 y 15 solamente. (C) Todos los números de la forma 5 · 3 con n y m enteros positivos. (D) Todos los números positivos distintos a 1 (E) Ninguna de las respuestas anteriores. x
n
m
12. En la figura adjunta AB y BC son lados adyacentes del cuadrado ABCD, M es el punto medio de AB , N es un punto medio de BC , finalmente, AN y CM se intersectan en el punto O . El cociente del área del cuadrilátero AOCD sobre el área del cuadrilátero ABCD es 5 3 2 (A) (B) (C) 6 4 3
√
3 (D) 2
(E)
D
C
N
O
√
3−1 2
A
M
B
8va Olimp´ıada
˜ a de Matema ´tica Pacen Un proyecto de interacci´on social de la Carrera de Matem´atica, Facultad de Ciencias Puras y Naturales, Universidad Mayor de San Andr´es,
La Paz, Bolivia.
Categor´ ıa
γ
Soluciones de la Primera Fase 8 de junio del 2013 1. Respuesta: (D) Soluci´ on. La hoja exterior contiene las p´ aginas 1, 2, 59 y 60; la siguiente 3, 4, 57 y 58; la siguiente 5, 6, 55 y 56; la siguiente 7, 8, 53 y 54. 2. Respuesta: (E) Soluci´ on. GAUSS aparece en los lugares 5,10,15,20,etc. 2013 aparece en los lugares 4,8,12,16,20. 3. Respuesta: (D) Soluci´ on. Como 4 horas cuestan 11 y 6 horas cuestan 16, entonces las dos horas adicionales cuestan 5, luego cada hora cuesta 2.5 Bs. Entonces, 3 horas extras cuestan 7.5, luego las nueve horas cuestan 16 + 7,5 = 23,5. 4. Respuesta: (E) Soluci´ on. Introduzcamos P en el v´ ertice que muestra la figura.
Q
R
P
√
Por el Teorema de Pit´agoras la diagonal donde se encuentra Q mide 2 2. Luego P Q = 2. Nuevamente por el Teorema de Pit´agoras, tenemos QR 2 = 22 + ( 2)2, as´ı QR = 6. 5. Respuesta: (B) Soluci´ on. Factorizamos la expresi´ on 216 1 = (28 1)(28 + 1) = (24 1)(24 + 1)(28 + 1) = (22 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) = 3 5 17 257.
√
√
−
− − − · · ·
√
Como los n´ umeros 3, 5, 17, 257, son todos primos, tenemos que la diferencia entre el mayor divisor primo y el menor es 257 3 = 254.
−
1
8va OPM - Soluciones - Categor´ıa
6. Respuesta: (C) Soluci´ on. Racionalizar
√ a −1 √ b
la expresi´on
√ − √
γ
a
- 1 Fase
2
significa multiplicar el numerador y el de-
nominador por a b, de esta forma el numerador que se obtenga ya no tendr´a raices. Racionalizando cada uno de los t´erminos obtenemos T = (3 + = 5
√
8)
−(
√ √ 8+
√ √
7) + ( 7 +
6)
√ √ √ − ( 6 + 5) + ( 5 + 2)
7. Respuesta: (C) Soluci´ on.La primera vez que se usa el jaboncillo queda 0 ,9 de el, la segunda (0,9)2 de el, la tercera (0,9)3 y as´ı sucesivamente. Haciendo c´alculos encontramos que estos n´umeros son aproximadamente 0.9, 0.81, 0.72, 0.65, 0.59, 0.53 y 0.47. Es decir, que son necesarios 7 usos para que sobre menos de la mitad del jaboncillo. 8. Respuesta: (C) ıan martes; Soluci´ on 1. En junio el 1, 1 + 7 = 8, 8 + 7 = 15, 15 + 7 = 22 y 22 + 7 = 29 ser´ el 1 de julio ser´ıa jueves, adem´as el 8, 15, 22 y 29 de julio ser´ıan jueves; as´ı, el 1 de agosto es domingo y, el 8, 15, 22 y 29 son domingo; luego, el 1 de septiembre es mi´ ercoles, lo son tambi´en: el 8, 15, 22 y 29. El 1 de octubre es viernes, los son tambi´en el 8, 15, 22 y 29; el 1 de noviembre es lunes, tal como 8, 15, 22 y 29. Entonces finalmente, el 1, 8, 15, 22 y 29 ser´ıan mi´ercoles. As´ı, el 24 (Noche buena!) ser´ıa viernes. Soluci´ on 2. Todos los d´ ıas desde junio hasta diciembre son 30 3 + 3 1 4 = 214. Como el primer d´ıa, que corresponde a junio es martes, lo ser´ an tambien el 8, 15, 22, 29, 36,. . .. Es decir, aquellos d´ıas que al dividir entre 7 el resto es 1. Como 214 = 7 30 + 4, entonces el 31 ser´a viernes, luego es f´acil ver que el 25 es viernes. 9. Respuesta: (B) Soluci´ on. Notamos que 1 2 tiene al 2 como d´ıgito de las unidades 22 tiene al 4 como d´ıgito de las unidades 23 tiene al 8 como d´ıgito de las unidades 24 tiene al 6 como d´ıgito de las unidades 25 tiene al 2 como d´ıgito de las unidades 26 tiene al 4 como d´ıgito de las unidades Se nota que exiten un patr´ on c´ıclico de cuatro t´erminos. Entonces, como 2015 = 4 503 + 3, el d´ıgito de las unidades de 22015 es 8, luego el d´ıgito de las unidades de 1023 22015 es 4. 10. Respuesta: (B) on de esta Soluci´ on.Trazamos la altura sobre el lado BC , denotemos al punto de intersecci´ altura con BC por N . Sean x = BM y y = N M . Entonces usando el Teorema de Pit´agoras tres veces:
×
×
× ×
×
h2 + (x + y)2 = 64 h2 + y 2 = 9 h2 + (x y)2 = 16
−
Sustrayendo dos veces la segunda ecuaci´on de la suma de la primera y tercera obtenemos 2x2 = 62. As´ı x = 31 y B C = 2 31.
√
√
8va OPM - Soluciones - Categor´ıa
γ
a
- 1 Fase
3
11. Respuesta: (D) Soluci´ on. Note que si no existe log 5 para x = 1. Podemos convertir todos los logaritmos para una base dada, por ejemplo 10, entonces log10 x log10 5 log10 5 (log3 x)(log 5) = = = log3 5 log10 3 log10 x log10 3 para cualquier x positivo distinto de 1. 12. Respuesta: (C) on de las medianas Soluci´ on. Trazamos las diagonales DB y AC . Como O es la intersecci´ 1 1 de ABC , la altura de AOB desde O es la altura de ABC desde C , es decir del 3 3 lado del cuadrado. Denotamos la longitud del lado por s. Tenemos entonces 1 area AOB = (area ABC ) 3 1 1 2 1 = = s2 . s 3 2 6 1 Similarmente, area COB = s2 . El area de AOCD se obtiene sustrayendo las areas de los 6 1 2 2 2 tri´angulos AOB y COB del cuadrado, entonces area AOCD = s 2 s = s . Finalmente, 3 3 2 area AOCD 2/3s 2 = = . area ABCD 3 s2 x
×
x
−
