Pauta_Interrogacion_1

´ lica de Chile Pontificia Universidad Ca Cat tolica o Chile ´ ticas Facultad acultad de Matem aticas a ´ tica Depar Depart tamento de Matem Matem atica a

Segundo Semestre de 2012 MAT 1419 – C´ alculo alculo I Pauta Interrogaci´ on on 1

1. Halle las constant constantes es a, b

 ∈ R  tal que l´ım

→+∞

x



ax + b

−

x3 + 1 x2 + 1



= 0  .

Soluci´ on. on.  Tenemos que 3

ax + b

+1 2 +1

−  xx

= = =

(ax + b)(x2 + 1) (x3 + 1) x2 + 1 ax3 + ax + bx2 + b x3 1 x2 + 1 (a 1)x3 + bx2 + ax 1 . x2 + 1

−

− −

−

−

Como el polinomio del denominador tiene grado 2 es necesario para que el l´ımite sea cero que el grado del polinomio del numerador sea menor estricto que 2, se sigue que a

2. ¿Hay un n´ umero umero  a

−1 =0

y b  = 0 =

⇒

a  = 1

y

b  = 0

 ∈ R  tal que

3x2 + ax + a + 3 l´ım →−2 x2 + x 2 existe? Si es as´ as´ı, encontrar el valor valor de a  y el valor del l´ımite.

−

x

Soluci´ on. on.  Como el denominador tiende a 0 cuando x tiende a cero cuando x 2. En otras palabras,

olo si el numerador → −2 el l´ımite existe s´olo

→−

l´ım (3x2 + ax + a + 3) = 0 =  3( 2)2 + a( 2) +  a + 3 = 0 =

⇒ −

→−2

x

−

⇒

a  = 15

Con  a  = 15, el l´ımite ımi te es 3x2 + 15x + 18 →−2 x2 + x 2

l´ım

3(x + 2)(x + 3) 3(x + 3) 3( 2 + 3) 3   = l´ım = = = →−2 (x 1)(x + 2) →−2 x 1 2 1 3

l´ım

−

− − −

− 3. Determine Determine el valor valor de a, b ∈ R  de modo que la funci´on on  f  : R → R  definida por x

−

=

x

  | − |    −  −     − − − − x

f (x) =

x

a

1

1 sen

1

x

1

1

1

x

(x 1

1)2

+ b

si x <  1 si x  = 1 si x >  1

−  −1 .

sea continua en  x  = 1. Soluci´ on. on.  Para que f  sea continua en x  = 1 es necesario y suficiente que

l´ım f (x) =  f (1) = a

→1

x

− 1 .

Tenemos que

 | − |   − ∈ −{ }   ≤ ⇒ − | − | ≤  | − |   ≤  | − | l´ım f (x) = l´ım ım

→1−

→1−

x

y com comoo l´ım

→1

x

1

x

 1 =

−1

 | − |

1  se tiene que

R

1

1 sen

x

x

1

x

−1

1  = 0, por el Teorema del Sandwich se tiene que

x

l´ım f (x) = l´ım ım

→1−

→1−

x

Por lo que a

1

x

1

x

x

Como la funci´ on seno es acotada entonces para todo x on

−1 ≤ sen

1

1 sen

x

x

− 1 = 0 de donde

 | − |   1

1 sen

x

x

−1

= 0 .

a = 1 . Por otro lado, el l´ımite ımite lateral p or la derecha es

l´ım f (x) =

l´ım

→1+

→1+

x

1

x

=

l´ım

→1+

x

1

  − −   − − −

1

x

1

(x 1 (x 1

2

− 1)

+ b

   

2

2

=

l´ım

→1+

x

=

l´ım

→1+

x

= b

2

− 1) ·  1 + 1 − (x − 1) x− 1 + 1 − (x − 1) (x − 1) + b (x − 1)(1 + 1 − (x − 1) ) x−1 + b 1 + 1 − (x − 1)

 

 

2

+ b

2

2

de donde b  = 0 . Por lo tanto, para f  sea continua en x  = 1, a = 1 y b = 0. 2

R 4. a) Si x + y =  R , entonces pruebe que  y ′′  =  − 3  . 2

2

2

y

b) Se˜ nale el punto en que la recta tangente a la curva y  = 1 + 2e nale 3x y  = 5. Escriba la ecuaci´on on de dicha recta tangente.

−

x

− 3x, es paralela a la recta

Soluci´ on. on.

a) Deriv Derivando implicitamente implicitamente la ecuaci´ ecuaci´ on on x2 + y 2 =  R 2 obtenemos 2x + 2 yy ′  = 0 =

⇒

y ′  =

− xy

(1)

Derivando implicitamente la ecuaci´ on on x +  yy ′  = 0 se obtiene 1 + y ′ y′  +  yy ′′  = 0 despejando on on (1) obtenemos y′′  y usando la ecuaci´ 2

y ′′

=

−1 − (y′) y

=

−

x2 1+ 2 y y

   =

−

y2 + x2 y2 y



2

=

−x

+ y 2 y3

=

− Ry

2

3

.

b) Usando la regla del producto y la regla de la cadena se obtiene 1 x g ′ (x) = a2 − x2 +  · 2

    −

2

2

+

 a 2

2

·

1

    · − 1

1 x2 a2 + a2 x2 2 2 a2 x2 2 a2 x2 (a2 x2 ) x2 + a2 2 a2 x2 2(a2 x2 ) 2 a2 x2

=

− √  −

− √  − − − = √  − = a −x √  g′ (x) = a − x . =

 

2

Por lo tanto,

2

−2x √  2 a −x

2

2

2

√  −

x a

2

1 a