Pauta Solemne 2

´ Universidad Andres es Bello Bello Facultad acultad de Ingenier´ ıa ´ ticas Depar Depart tamento de Ma Matem tematicas a

´ CALCULO II (FMM133) SOLEMNE 2 Octubre 23, 2009. Duraci´ on: on: 90 minutos. Importante: No se asignar´ an puntos por respuestas sin justificaci´ an on. on. Problema 1 : (1.2 ptos)  Calcule el ´area area comprendida entre las curvas y = x2 , y = y  = 3x.

x2  , 3

Soluci´ on: on: 3

A =

9

x2

       − 3  + 3   3  2  + −  x2

dx

x

0

=

x3

9

3

x2

0

= (2)( (2)(3) 3) = 36

−

x3

2 9  (3)(81) 0+ 2

3 9

x2

−

3



dx

3

 27  27 −  (9)(81) − + 9 2 9

Problema 2 : (1.2 ptos)  Un s´olido olido se genera haciendo girar la regi´on on acotada por y = 0 2 e y = 9 x alrededor del eje y. Se perfora un orificio cil´ındrico ındrico circular de radio r, centrado en el eje de revoluci´on. on. Obtenga el volumen del s´olido olido resultante.

√  −

Soluci´ on on 1:

  √  9− 1  − 3 (9 − )  3

V  = 2π

x2 dx

x

r

3

= 2π

2 3/2

x

r

2π = (9 3

2 3/2

−r )

Soluci´ on on 2:

 √  −     ( 9− ) − √     −   1  (9 − ) − 3 9 r2

V  = π

y2

2

r2 dy

0

9 r2

= π

r2 y

y3

0

=

2π (9 3

2 3/2

−r )

Problema 3 : (1.2 ptos)   Hallar el ´area de la superficie que se genera al girar la curva 1   entre x = 1 y x  = 2. y  =  x 3 + 12x Soluci´ on:  Tenemos b S  = 2π y (x) 1 + ( y  (x))2 dx

    a

En nuestro caso 1 y   = 3x2 12x 1 (y  )2 = 9x4 12  + 144x 1 + ( y  )2 = 9x4 + 12  +

−

 

2

−  

4

1 144x4

1 12x2

= 3 x2 + 2

S  = 2π

   1  1  + 3 + 12  12    1 + +3 3 144  1  − 288 + 2  6  4 1  64  1 1  1  x3

x

1

2

= 2π

x

= 2π

x2

x5

x3

1

= 2π

x2

x2

dx

dx

2

x6

x2

1

 − 288(4) + 2 − 6  + 288  + 2

6

Problema 4 : (1.2 ptos)  Calcule la longitud de arco del gr´afico de la funci´on f (x) = ln

con 0

≤x≤



1 1

1 . 2

Soluci´ on:  Tenemos

2

−x



b

L  =

   

1 + ( y  )2 dx

a

En nuestro caso 1  = ln(1) ln(1 x2 ) = ln(1 x2 ) y  = ln 1 x2 2x y   = 1− x −2x +x = 1+2x +x = (1+x )  1 + ( y )2 = 1 + (1−4xx ) = 4x +1 (1−x ) (1−x ) (1−x ) 1+x x −1+2 2 1 1  2 1 + ( y ) = 1−x = 1−x = 1 + 1−x = 1 + 1−x  + 1+x Tenemos entonces



−



−

−

−

−

2

2

2

2 2

 

2 2

2

4

2

2 2

2

−

2

2

  

1

1 + 1 + x x

1/2 0

1/2

=



dx −1 + 1 − (−x − ln(1 − x) + ln(1 +  x))|   1 +  x  −x + ln 1 − x  0

=

2 2

−

1/2

L =

2 2

4

2 2

0

3 2 1 2

=

− 12 + ln

=

− 12  + ln 3

+0

−0

Problema 5 : (1.2 ptos)  Considere la funci´on f (x) = (x 2)2 + 1 en el intervalo [1, 3] y la partici´on = 1; 1,5; 1,75; 2,25; 2,5; 3 . Plantee la suma inferior de Riemann L( , f ). (no efect´ue las operaciones) Sugerencia: represente gr´aficamente la curva, la partici´on y los rect´angulos correspondientes.

 P  {

P 

−

}

Soluci´ on:

L( , f ) = (1,5 1)f (1,5)+(1,75 1,5)f (1,75)+(2,25 1,75)f (2)+(2,5 2,25)f (2,25)+(3 2,5)f (2,5)

P 

−

−

−

−

−