PAUTA-PRUEBA ESTADISTICA

UNIVERSIDAD DE ATACAMA ´ FACULTAD DE INGENIER´IA / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

ESTAD´ISTICA Y PROBABILIDADES ´ PAUTA DE CORRECCION: PRUEBA PARCIAL No 2 Profesor: Hugo S. Salinas.

Primer Semestre 2011

1. El gerente gerente de una compa˜ compa˜ n´ n´ıa ıa de auto au tom´ m´oviles oviles compra neum´aticos aticos en lotes de 500. Por experiencias anteriores, sabe que uno de cada mil neum´aticos, aticos, adquiridos adquiri dos en un determinado determina do almac´ a lmac´en, en, sale defectuoso y debe reemplazarse en la primera semana de uso. Calcular la probabilidad de que en un lote de neum´aticos: aticos: a )

contenga s´olo olo uno defectuoso. Soluci´ on on: Sea X  : n´umero umero de neum´aticos aticos defectuosos en un lote de 500. Se sabe que la probabilidad de ´exit ex itoo es p = 0.001. Aqu´ Aqu´ı la variable aleatoria aleato ria X  se distribuye binomial y la podemos aproximar a una Poisson con λ = E (X ) = np = 500 0.001 = 0. 0.5. Por lo tanto (λ = 0.5) y se pide X 

×

∼ P 

0.51 e P ( P (X  = 1) = 1!

−0.5

= 0.3033

(8 ptos.) b)

no tenga m´as as de tres defectuosos. Soluci´ on on: P ( P (X 

≤ 3)

= P ( P (X  = 0) + P ( P (X  = 1) + P ( P (X  = 2) + P ( P (X  = 3) 0.50e 0.5 0.51e 0.5 0.52 e 0.5 0.53 e 0.5 = + + + = 0.9982 0! 1! 2! 3! −

−

−

−

(8 ptos.) c)

ning´ un un neum´atico atico sea defectuoso. Soluci´ on on:

0.50 e P ( P (X  = 0) = 0!

−0.5

= 0.6065

(8 ptos.) 2. En cierto cierto servicio servicio telef´onico, onico, la probabilidad de que una llamada sea contestada en menos de 30 segundos es 0.75. Supongamos que las llamadas son independientes. ´  PAUTA PAUTA DE CORRECCI ON: PRUEBA PRUEBA PARCIAL ARCIAL N o 2 

1

a )

Si una persona llama 10 veces, ¿cu´al al es la probabilidad de que exactamente nueve de las llamadas sean contestadas en un espacio de 30 segundos? Soluci´ on on: Sea X  : n´umero umero de llamadas contestadas (en menos de 30 segundos) de un total de 10 intentos. intentos. Entonces X  (n = 10, 10, p = 0.75). Por lo tanto

∼B

P ( P (X  = 9) =

10 9

(0. (0.75)9 (0. (0.25)1 = 0.1877

(5 ptos.) b)

Si una persona llama 20 veces, ¿cu´al a l es la probabilidad de que al menos 16 de las llamadas sean contestadas en menos de 30 segundos? Soluci´ on on: En este caso sea X  (n = 20, 20, p = 0.75)

∼B

20

20  (0. (0.75) (0. (0.25) P ( P (X  ≥ 16) = x

x

x=16

20−x

= 0.4148

(5 ptos.) c)

Si una persona llama 20 veces, ¿cu´al a l es el n´umero umero promedio de llamadas que ser´ ser´ıan contestadas en menos de 30 segundos? Soluci´ on on: Del item b) E (X ) = np = 20 0.75 = 15. Por lo tanto se espera que se contesten 15 llamadas en promedio. (5 ptos.)

×

d )

¿Cu´al al es la probabilidad de tener que llamar cuatro veces para obtener la primera respuesta en menos de 30 segundos? Soluci´ on on: Sea Y  : n´umero umero de llamadas sin responder hasta la primera respuesta (en menos de 30 segundos). Entonces Y  ( p = 0.75). Tener que llamar cuatro veces para obtener la primera respuesta es equivalente a decir que no contestaron en tres ocasiones. Por lo tanto (0.25)3 (0. (0.75) = 0. 0.01172 P ( P (Y  = 3) = (0.

∼G

(5 ptos.) e)

¿Cu´al a l es el n´umero umero promedio de llamadas necesario para obtener dos respuestas en menos de 30 segundos? Soluci´ on on: Sea U  : n´umero umero de llamadas sin responder hasta obtener dos respuestas (en menos de 30 segundos). Entonces U  (r = 2, p = 0.75). 75 ). De aqu aq u´ı, E (U ) = 2 0.075.25 = 1.33 es el n´umero umero promedio promedio de fracasos fracasos (llamadas sin responder) responder) hasta lograr dos respuestas respuestas.. Por lo tanto, esto es equivalente a decir que se necesitan entre 3 y 4 llamadas hasta obtener dos respuestas. (5 ptos.)

∼ BN 

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×

2

3. La nueva nueva ley 20001, art´ art´ıculo primero, establece la prohibici´on on de que un trabajador cargue pesos superiores a 50 kilogramos, esto con el fin de cuidar la integridad f´ f´ısica de los cargadores. Supongamos que un cargador de una Feria, carga sacos de frutas que tienen en promedio un peso igual a los 49.5 kilos y una desviaci´on on est´andar andar igual a los 1.8 kilos y adem´as as carga sacos de verduras que tienen en promedio un peso igual a los 49.8 kilos y una desviaci´on on est´andar andar igual a los 1.5 kilos. Con estos antecedentes:

Primero: Sean X  : peso de un saco de frutas, con media 49.5 y desviaci´on est´andar andar 1.8 (en kilos) e Y  : peso de un saco de verduras, con media 49.8 y desviaci´on on est´andar andar 1.5 (en kilos). a )

Si el cargador cargador en un d´ d´ıa de trabajo carga 100 sacos de frutas ¿Cu´al al es la probabilidad que en promedio haya cargado un peso no reglamentario? Soluci´ on on: Sea X  el promedio promed io de los lo s 100 sacos de d e frutas. Entonces, por p or Teorema Central del L´ımite, ımite, se tiene que X  N (49 N (49..5, 1.8/ 100). Se pide:

√

∼  50 − 49.  49.5 = 1 − P ( P ( P (X > 50) = 1 − P ( P (X  ≤ 50) = 1 − P  Z  ≤ P (Z  ≤ 2.78) = 1 − 0.9973 0.18

Por lo tanto P ( 0.0027. P (X > 50) = 0.

(8 ptos.) b)

Si una camionet camionetaa de fletes soporta soporta un peso m´ aximo de 15000 kilogramos y un trabajador aximo carga 300 sacos de verdura en ella ¿Cu´al al es la probabilidad que la camioneta no soporte el peso de los sacos de verdura cargados por el trabajador? Soluci´ on on: Sea Y  el promedio de los 300 sacos de verduras. Entonces, por Teorema Central del L´ımite, ımit e, se tiene tien e que Y  N (49. (49.8, 1.5/ 300) (300 49. 49.8, 300 1.5). Se Y  N (300 pide:

√

∼

⇔ ∼

×

√ ×

 15000 − 14940    = 1−P ( P ( P ( Y > 15000) = 1−P ( P ( Y  ≤ 15000) = 1−P  Z  ≤ P (Z  ≤ 2.31) 25. 25.980  Por lo tanto P ( 0.0104. P ( Y > 15000) = 1 − 0.9896 = 0. (8 ptos.)

c)

Si el cargador cargador en un d´ d´ıa de trabajo carga 196 sacos de frutas y 100 sacos de verdura verdura ¿Cu´al al es la probab probabili ilidad dad que en promed promedio io duran durante te el d´ıa, haya haya cargad cargadoo un peso no reglamentario? Soluci´ on on: Sea T  : el peso promedio de 196 sacos de frutas y 100 sacos de verdura. Es decir, 196X  196X + + 100Y  100Y  = T  = 296

 X +  X  + Y  296

Esta variable se distribuye normal con media E (T ) T ) y varianza V ( V (T ) T ) tal que: E (T ) T ) = V ( V (T ) T ) =

 E (X ) +  E (Y )Y )  49.  49.8 9720 + 4980 49.5 + 49. = 49. 49.60 296  V (V (X )296+  V (V (Y )Y ) =  3.24296+  2.25 = 635. 635.04 + 225 2962

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=

3

2962

=

2962

= 0.0098

Es decir, T 

∼ N (49. (49.60, 60, 0.099). Por lo tanto:

P ( P (T > 50) = 1

− P ( P (T  ≤ 50) = 1 − P 

 − 49. 49.60 = 1 − P ( Z  ≤ P (Z  ≤ 4.04) = 0 0.099



50

(8 ptos.) 4. Supongamos Supongamos que hay hay dos m´ aquinas aquinas disponibles disponibles para cortar cortar corchos corchos para botellas botellas de vino. La primera m´aquina aquina produce corchos cuyo di´ametro ametro tiene una distribuci´on on normal de media 3 cms. y desviaci´on on est´andar andar 1 cm. La segunda m´aquina aquina produce corchos cuyo di´ametro ametro tiene una distribuci´on on normal de media 3.04 cms. y desviaci´on on est´andar andar 0.02 cms. Los corchos catalogados como aceptables tienen un di´ametro a metro que va desde los 2.9 hasta los 3.1 cms. Supongamos que los porcentajes de producci´on o n de las m´aquinas a quinas 1 y 2 son 40% y 60%, respectivamente.

Primero: Sean X  e Y  las variables aleatorias que registran los di´ametros ametros de los corchos (en cms.) producidos por las m´aquinas aquinas 1 y 2, respectivamente. Se sabe que X  (3, (3, 1) e (3. (3.04, 04, 0.02). Y 

∼ N 

∼ N 

a )

¿Qu´e m´aquina aquina produce prod uce corchos co rchos aceptable a ceptabless con co n mayor probabilidad? probabi lidad? Soluci´ on on: Seg´ un un la distribuci´on on de probabilidad para los di´ametros ametros de los corchos producidos por la m´aquina aquina 1, tenemos que esta m´aquina aquina producir´a un corcho aceptable con probabilidad P (2 P (2..9

≤ X  ≤ 3.1) = P 

Por lo tanto, P (2 P (2..9

 2.9 − 3 1

≤ Z  ≤

−

3.1 3 1



= P ( P (Z 

≤ 0.1) − P ( P (Z  ≤ −0.1)

≤ X  ≤ 3.1) = 0.0.5398 − 0.4602 = 0.0.0796.

Ahora, para la m´aquina aquina 2. P (2 P (2..9

≤ Y  ≤ 3.1) = P 

 2.9 − 3.04 0.02

≤ Z  ≤

≤ ≤

−

3.1 3.04 0.02



= P ( P (Z 

≤ 3) − P ( P (Z  ≤ −7)

−

Por lo tanto, P (2 0.9987 0.0000 = 0. 0.9987. P (2..9 Y  3.1) = 0. Finalmente, podemos decir que la m´aquina aquina 2 produce corchos aceptables con mayor probabilidad. (6 ptos.) b)

Supongamos que se toma un corcho al azar y el di´ametro mide m´as as de 3.1 cms. ¿Cu´al al es la probabilidad que provenga de la m´aquina aquina 1? Soluci´ on on: Sea U  la variable aleatoria que registra el di´ametro ametro de un corcho elegido al azar. Para cada i = 1, 2, sea M i el evento: el corcho es producido por la m´aquina aquina i. Con esto,

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4

podemos calcular calcular la probabilida probabilidad d solicitada: solicitada:

|

|

P ( P (M 1)P ( P (U > 3.1 M 1 ) P ( P (M 1 )P ( P (U > 3.1 M 1 ) + P ( P (M 2 )P ( P (U > 3.1 M 2 ) 0.4P  Z 1 > 3.11 3 = 3.04 0.4P  Z 1 > 3.11 3 + 0. 0.6P  Z 2 > 3.10.02 0.4(1 P ( P (Z 1 0.1)) = 0.4(1 P ( 0.6(1 P ( P (Z 1 0.1)) + 0. P (Z 2 3)) 0.4(1 0.5398) 0.18408 = = = 0.9958 0.4(1 0.5398) + 0. 0.6(1 0.9987) 0.18408 + 0. 0.00078

P ( P (M 1 U > 3.1) =



| 

−

− −

≤ −

−



−

≤



|

−

−



≤

−

(6 ptos.) corchos sucesiva e independientemente independientemente entre si hasta encontrar cuatro c ) Se van midiendo corchos corchos aceptables. Determinar la probabilidad de examinar 10 corchos para cumplir con lo solicitado. Soluci´ on on: Sea W  la variable aleatoria que registra el n´umero umero de corchos NO aceptables que se deben examinar hasta obtener cuatro corchos aceptables. Es decir, W  (r = 4, p) donde  p es la probabilidad de obtener un corcho aceptable. Ahora, es claro que la probabilidad de tener un corcho aceptable, depender´a de la m´aquina aquina que lo haya producido. Luego

∼ BN 

≤ ≤  −≤ ≤ | − ≤ ≤

 p = P (2 P (2..9 U  3.1) = P ( P (M 1 )P (2 P (2..9 U  3.1 M 1 ) + P ( P (M 2 )P (2 P (2..9 U  3.1 M 2 ) 2.9 3 3.1 3 2.9 3.04 3.1 3.04 = 0.4P  + 0. 0.6P  Z 1 Z 2 1 1 0.02 0.02 = 0.4(P  4(P ((Z 1 0.1) P ( 0.1)) + 0. 0.6(P  6(P ((Z 2 3) P ( 7)) P (Z 1 P (Z 2 = 0.4(0. 4(0.5398 0.4602) + 0. 0.6(0. 6(0.9987 0.0000) = 0.03184 + 0. 0.59922 = 0. 0.63106

≤ − −



≤−



−

≤ ≤ | − ≤ ≤ − ≤ − ≤−



Por lo tanto la probabilidad que se pide es P ( P (W  = 6) =

6 + 4 − 1

(0. (0.63106)4 (0. (0.36894)6 = 0.0359

6

(6 ptos.) d ) Supongamos que se examinan 50 corchos sucesiva e independientemente entre si y se cuenta el n´umero umero de corchos aceptables. Determinar la probabilidad que hayan al menos 45 corchos aceptables. Soluci´ on on: Del item c) p = 0.63106 es la probabilidad de encontrar un corcho aceptable. Sea V  : n´umero umero de corchos aceptables en un lote de 50. De aqu´ aqu´ı, V  (n = 50, 50, p = 0.63106). Por lo tanto 50 50 (0. (0.63106)v (0. (0.43262)50 v P ( P (V  45) = v v =45

∼B

≥

 

−

(6 ptos.)

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5