Pauta Certamen Recuperativo (1)

Universidad Católica de la Santísima Concepción Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática y Física Aplicadas CC/KT/JP/ I - semestre 2013

Certamen Recuperativo Estadística MAT 2203 Ejercicio 1 (10 puntos): Se toman muestras independientes de tamaño 36 y 64 de la producción uva la comuna de Casa Blanca, ubicada en la quinta región, correspondientes a dos cosechas contrapuestas, A y B. Si la producción en ambas cosechas se distribuye normalmente con medias de 2600 y 2550 cajas de uva y desviaciones estándar de 160 y 180, respectivamente a) ¿Cuál es la probabilidad de que la producción media de uva de la cosecha A supere en 10 cajas a la cosecha B? Solución: A: Cosecha A

B: Cosecha B

n A : 36

nB : 64

X A ~ N (  2.600; 2  160 2 )

X B ~ N (  2.550; 2  180 2 )

P( x A  10  x B )  P( x A  x B  10) , luego, por propiedad, tenemos

x A  x B ~ N (2.600  2.550,

160 2 180 2  ) 36 64

    10  (2.600  2.550)   P( x A  10  x B )  P( x A  x B  20)  P Z    P( Z  1.146)  0.874928 2 2 160 180      36 64   La probabilidad que la producción media de uva de la cosecha A supere en 10 cajas a la cosecha B, es de un 87% (5 puntos)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la producción total de la cosecha A sea a lo sumo 95.000? Sea T la producción total de la cosecha A

T ~ N (n; n 2 )  T ~ N (36 * 2.600;36 *160 2 )  T ~ N (93.600;921.600)

 95.000  93.600  P(T  95.000)  P Z    P( Z  1.45833)  1  P( Z  1.46)  1  0.072145  0.927855 921.600   La probabilidad de que la producción total de la cosecha A sea a lo sumo 95.000, es de un 93% (5 puntos)

Ejercicio 2 (20 puntos): Sea

una muestra aleatoria obtenida de una población

que sigue una distribución de Poisson de parámetro

desconocido. Obtener un estimador

eficiente para . a)

Obtener un estimador eficiente para

p ( x;  ) 

e  

x! ln p ( x;  )  x ln( )    ln( x!)  ln p ( x;  ) x  1   (x  ) 



  ln p ( x;  )  2   E  X     2 1 V (X )  1 E   2 E( X  ) 2   2  ,   2               ln p ( x;  )  2  n nE    ,        1   ln p ( x;  )  2  E        En donde

2 ,



 n



2 n

(10 puntos)

es la varianza de la población. Por tanto, el estimador eficiente del

parámetro λ de Poisson es la media muestral

b)

x

Probar que el estimador eficiente encontrado en a) es insesgado.

Por lo anterior en la letra a) , el parámetro λ se estima mediante la media muestra aleatoria; siendo la media

 

x muestral un estimador insesgado del parámetro λ, en

efecto

E X 

c)

El estimador es consistente.

En efecto

x de una (5 puntos)





E x  y V x 

2

n Luego, lim E ( x)    0 y lim V ( x)  0



Por lo tanto,



x es un estimador consistente de λ

(5 puntos)

Ejercicio 3 (15 puntos): El tiempo de germinación de cierta planta se distribuye según una v.a

cuya función de densidad es

a) Se toma una muestra aleatoria de tamaño verosímil para .

. Calcular el estimador máximo

Debemos calcular la función de verosimilitud para obtener el estimador máximo verosímil. (3pts) Aplicando logaritmo se tiene que (3pts) Derivando e igualando a cero se tiene (4pts) b) Si se toma una muestra aleatoria de 100 plantas y se obtiene el estimador máximo verosímil de ? Si

y

. ¿Cuál es

, se tiene que (5pts)

Ejercicio 4 (15 puntos): Un fabricante desea comparar el proceso de armado común para uno de sus productos con un método propuesto que supuestamente reduce el tiempo de armado. Se seleccionaron ocho trabajadores de la planta de armado y se les pidió que armaran las unidades con ambos procesos. Los siguientes son los tiempos observados en minutos.

Solución: Trabajador

Proceso actual

Proceso propuesto

d

1

38

30

8

2

32

32

0

3

41

34

7

4

35

37

-2

5

42

35

7

6

32

26

6

7

45

38

7

8

37

32

5

Al 5% de significación, ¿existe alguna razón para creer que el tiempo de armado para el proceso actual es mayor que el del método propuesto por más de dos minutos?

d  4.75

d  2

Sd 

( d ) 2

n 1

n



276  7

38 2 8  3.69

H 0 : 1  2  2

(2 puntos)

H 1 : 1   2  2

tc 

d   4.75  2   2.1079 Sd 3.69 n

Valor-p

(5 puntos)

(2 puntos)

8

 P(Tn1  t c )  P(T7  2.11)  0.025

(3 puntos)

Conclusión: Puesto que el valor-p es menor que 0.05, se rechaza H0, por lo tanto, el tiempo de armado para el proceso actual no es mayor que el del método propuesto por más de dos minutos. (3 puntos)