Pauta Certamen 1

 

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PAUTA Certamen 1 - MAT070

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5 de Abril de 2019

´ toma el valor de 1.  Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Si la proposicion verdad V, V, demu estrela, e´ strela, en caso contrario, d´e un contraejemplo: a)

(10 Ptos.)   ∀ n  ∈  Z  : 4n2 + 7n 7n + 6  es un un numero ´ entero impar. impar.

b)

´ (10 Ptos.) Si m  es un numero entero impar entonces  3m  3m2 + 7m 7m + 8  es par.

Desarrollo:

afirmaci´on afirmaci ´ es Falsa. Basta tomar  n   = 0   ∈   Z  de donde  4n  4 n2 + 7n 7 n + 6 = 6, que que es es un un numero ´ par. ´ Observaci´on:   Cualquier Cualquier numero par permite construir el contraejemplo contraejemplo para la afirmacion ´ planteada.

a)   Esta

b)

Esta proposici proposici´on o´ n es Verdadera. En efecto: ´ impar. impar. Entonces,   m  = 2k + 1  para algun ´  k  ∈   Z. Metodo e´ todo Directo 1:   Sea  m  un numero Reemplazando: 3m2 + 7m 7m + 8 = 3(2k + 1) 2 + 7(2k 7(2k + 1) + 8 = 12 12k k 2 + 26k 26k + 18 = 2(6k 2 + 13k 13k + 9 )

     =   ∈Z

= 2 , ∴

  ∈  Z

 obtenemos un n´umero par, como se quer´ıa ıa probar.

Metodo e´ todo Directo 2:   Supongamos que m  es un entero impar. Entonces,   m2 es un entero impar,   3m2 es un entero impar y  7  7m m es un entero impar (todos son productos de impares). 2 ´ ´ Por lo tanto,   3m + 7m   es un numero par, pues es suma de dos n umeros impares. Y, 2 7m) + 6  es un n´umero umero par, par, pues es suma de dos n umeros ´ pares. (3 (3m m + 7m

  Supongamos que m   y   3m2 + 7m Metodo e´ todo por Contradicci Contradicci´on: ´ 7m + 8  son enteros impares. Entonces, 3m2 + 7m 7m + 8  impar   ⇒   3m2 + 7m 7m + 8 = 2k 2k + 1   para alg´un k  ∈   Z. Lu Lueg ego, o, 3m2 + 7m 7m = 2k − 7 = 2(k 2(k − 4) + 1 = 2 2 + 1 ,

  =  = k  k − 4  ∈  Z

Notamos que 3m2 + 7m 7m  = 3( 3(m m2 + m  m)) + 4m 4 m  = 3 m(m + 1) +

4m         numero ´ par

´ . lo cual es una contradiccion on.

= 2n ,

n  ∈  Z

numero ´ par

Lueg Luego, o,   3m2 + 7m 7m + 8  es un entero par.

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´ viajan 120  personas. De ´ 2.   (20 Ptos.) En un avi avion De  ´estas, estas,   23  no llevan computador,   54  no llevan tablet y 72  no llevan ni computador ni tablet. ¿Cu antas a´ ntas personas personas llevan computador computador y tablet? ¿Cu´ ¿Cuantas a´ ntas personas llevan solo tablet? Desarrollo:

Metodo e´ todo 1: Sean C={pasajeros que llevan computador} computador}   y

T= T={{pasajeros que llevan tablet} tablet}

Se sabe que:  1 1 computador.  de los pasajeros llevan computador, es decir,  · 120 = 40  llevan computador. 3 3  1 1  de los pasajeros llevan tablet, es decir,  · 120 = 24  llevan tablet. 5 5 Haremos un diagrama de Venn para ilustrar la situaci on, ´ en donde hemos incluido a los 72 pasajeros que no llevan ni tablet ni computador:

C x

  y

T z

72

Se tiene que: x +  + y  y   = 40 y +  + z  z   = 24 x +  + y  y +  + z  z   = 48

de donde:   z  = 8 pasajeros llevan solo tablet,   y  = 16 pasajeros llevan tablet y computador, computador, y, finalmente (aunque no se pide), x  x =  = 24  pasajeros llevan solo computador.  2 Metodo e´ todo 2:   Se tiene que los que no llevan computador computador son   · 120 = 80; los que viajan viajan sin 3  4 tablet son  · 120 = 96. 5 Sea  z   el numero ´ de pasajeros que llevan tablet pero no computador,  y   el numero ´ de los que llevan tablet y computador y x  el n umero ´ de los que llevan computador pero no tablet, entonces, sabemos que z + 72 = 80 =⇒   z  = 8   y   x + 72 = 96 =⇒   x  = 24

Luego, para determinar los que llevan tablet y computador: x + y  + y +  + z  z +  + 72 = 120 120 =⇒   8 + y +  y +  + 24 + 72 = 120 120 =⇒   y  = 16

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Sean   a, b   ∈   R; resuelva la siguiente ecuacion, o´ n, explicitando las restricciones necesarias: 2x + a  + a  x − b   3ax + ax + (a ( a − b)2   +   = b a ab Desarrollo: Para que las expresiones que forman la ecuacion ´ existan, debe darse:  a   = 0  y  b   = 0.

  a)   (15 Ptos. Ptos.)

2x +  + a  a  x − b   3ax + ax + (a (a − b)2     +   = ab b a (2 (2x x +  + a  a))a +  + b  b((x − b) = 3ax + ax + (a (a − b)2

/ · ab

ab + b  b2 2ax + ax + a  a2 + bx − b2 = 3ax + ax + a  a2 − 2ab + 2ab − 2b2 =   ax − bx 2b(a − b) =   x(a − b)

se presentan dos casos, a saber,  a  a =  = b  b   ∨   a   =  b. Si a  a =  = b  b , queda la identidad 0 = 0, por lo que cualquier  x  ∈  R es soluci´on. Si a   dividir la ecuaci ecuacion ´ por a − b, obteniendo que x = =  b , podemos dividir  x  = 2b b)   (15 Ptos.)

La distancia entre dos estaciones estaciones ferroviarias ferroviarias es de 112 kil kilometros ´ . El tren ordinario demora 40 minutos m  m´as a´ s que el tren r´ rapido a´ pido en recorrer esta distancia. Hallar la velocidad de cada tren, si se sabe que la diferencia entre sus velocidades es de 14 kil kilometros ´ por hora. Desarrollo: a´ pido y t  el tiempo que Sean:  vo  la velocidad del tren ordinario,  vr  la velocidad del tren r apido demora el tren r´ rapido a´ pido en hacer el trayecto, luego como  40  minutos es lo mismo que   23   de hora, el tiempo tiempo que demora demora el tren tren ordinario ordinario en hacer el trayecto es  t  t +  +   23 . Las velocida  112   112 , y ad adem em´as a´ s   vr − vo  = 14, de donde donde ssee obtien obtiene: e:   ,   vo  = des est´ estan a´ n dadas por:   vr   = t t +   32 112   112  − = 14  2 t t + 3

dividiendo por 14 se obtiene: 8t   −   8 2 = 1 t + 3  t =  = 2. Como Ordenando obtenemos la ecuacion: ´  3  3tt2 + 2t − 16 = 0, cuyas ra´ ra´ıces ıces son t  t =  =  − 83  y  t ´ por hora y t >  0 , se tiene que   t  = 2  horas, luego las velocidades son:  vr   = 56  kilometros vo  = 42 ki  killometros ´ por hora.

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´ de las siguientes inecuaciones: 4. Determine Determine el conjunto conjunto soluci soluci´on a)

(15 Ptos.)   |x − 1| − 2  <  | x + 1| Ordenamos de manera que a ambos lados de la desigualdad desigualdad queden queden expreDesarrollo:   Ordenamos siones no negativas: |x − 1| − 2   <   |x + 1 | |x − 1|   <   2 + |x + 1|



( )2

2x + 1 x2 − 2x + 1   <   4 + 4 |x + 1| + x2 + 2x 2 x + 4 |x + 1| −2x <   4 + 2x 0   <   |x + 1 | + x +  x + 1

Separamos esta  esta  ultima ´ inecuacion ´ en dos casos: x + 1  ≥  0 , es decir decir,,   x  ∈   [−1, ∞[ ⇒   0  < x + 1 + x +  x +  + 1   ⇒ −2  <