Paulo Cezar Pinto Carvalho - Introdução À Geometria Espacial - SBM, 2005

 

Introdução à eoinetria Espacial Paulo Cezar Pinto Carvalho

ª edição 2

5

Rio de Janeiro

ll SBM COLEÇÃO DO PROFESSOR DE M TEMÁT  C

 

Introdução Geometria Espacial Copyright© Copyrigh t© 20052005-19 1993 93,, Paulo P aulo Cezar Pinto Carvalho Direitos reservados pela Sociedade Brasileira de Matemática Sociedade Brasileira d e Matemática

President e: Hilário Alencar Presidente: Vice-Presidente: Paolo Piccione Diretores: João Xavier José Espinar Marcela de Souza Walcy Wal cy Santos Editor Executivo Hilário Alencar

ssessor Editorial

Tiago

Costa

Rocha

Coleção Professor d e Matemática Comitê Editorial Bernardo Lima Djairo de Figueiredo Ronal Ro naldo do Garcia Editor-Chefe) Editor-C hefe)

José Espinar José Cuminato

Sílvia Lopes

Capa Ana Luisa Passos Videira

Distribuição

vendas

Sociedade Brasileira de Matemática Castorina

Estrada Dona 22460-320 Rio de Janeiro 110 R J Sala 109 - Jardim Botânico Telefones: 21) 2529-5073 http://www.sbm.org.br / email:[email protected] email:[email protected]

ISBN

85-85818-73-5

FIC HA CATALOGRÁFI FICHA CATALOGRÁFICA CA PREPARADA PELA SEÇÃO DE TRATAMENTO TRATAMENTO DA INFORM INF ORMAÇÃ AÇÃO O DA BIBLIOTECA BIBLIOTECA PROFESSOR ACHILLE BASS BASSII - ICMC/USP ICMC/USP

C33li

Carvalho, Paulo Cezar Pinto Introdução geometria espacial/ Paulo Cezar Pinto Carva Ca rvalho lho.. - 4.ed .ed. - Rio ddee Janeiro: SBM, 2005. 126 p. Coleçã Coleçãoo do Profes Pro fessor sor de Matemática; 10) ISBN

85-85818-73-5

1

Geometria

espacial. I. Título.

 

IIIS COLEÇÃO

M

O PROFESSOR

E

M TEMÁTIC

Logaritmos - E L Lima Anális Aná lisee Co Combinató mbinatória ria e Probabili Probabilidade dade com as soluçõ soluções es dos exer exercíc cícios ios A. C Morgado J B Pitombeira P. C P. Carv alho e P. Fernandez Medida e Forma Forma em Geometri Geometria a Compri Comprimento, mento, Are Area, a, Volume e Semelhança) E L Lima

Meu Professor de lvfatemátic lvfatemática a e outras Histórias - E L Lima com a Coordenadas no Plano com as soluções dos exercícios - E L Lim a com colaboração de P. C P. Carvalho Trigonometria, Números Complexos - M P. do Carmo A. C Morgado e E. Wagner Notas Históricas de J B Pitombeira Coordenadas no Espaço - E

L Lima

Progre Pro gressõ ssões es e Mat emáti emática ca Financeira - A C Morgado E Wagner e S. C Zani Construções Geométricas - E Wagner com a colaboração de J P. Q Carneiro Geometr Geometria ia Espacial - P. C P. Carvalho

Introdução

Geomet Geo metria ria Eucli diana Plana - J

L M Barbosa

Isometrias - E L Lima A Matemática do Ensin Ensino o Médio A. C Morgado

Vol

1 - E L Lima P. C P. Carvalho E. Wagner e

A Matemática do Ensino Médio Vol. 2 - E L Lima P. C P. Carvalho E Wagner e A C Morgado A Matemática do Ensino Médio Vol. 3 E A C Morgado

L

Lima P. C P. Carvalho E. Wagner e

Matemática e Ensino - E L Lima Temas e Problem Problemas as - E L Lima P. C P. Carvalho E. Wagner e A. C Morgado Episódios da História Antiga da Matemática - A Aaboe Exame de Textos: Análise de livros

de

Matemática - E L Lima

A Matemática do En Ensi sino no Medio Vo Vol. l. 4 - Exercícios e Soluções - E L Lima P. C P. Carvalho E Wagner e A. C Morgado Construções Geométricas: Exercícios e Soluções - S. Lima Netto Um Convite Tópicos

de

D.C de Mor ais Filho Mate Matemáti mática ca - D.C

Matemática Elementar - Volume 1 - Números Reais - A Caminha

Tópicos de Matemática Elementar - Volume 2 - Geometria Euclidiana Plana - A Caminha

Tópicos

de

Matemática Elementar - Volume 3 - Introdução

Análise - A Caminha

Tópicos

de

Matemática Elementar - Volume 4 - Combinatória - A. Caminha

Tópicos

de

Matemática Elementar - Volume 5 - Teoria dos Números - A Caminha

Tópicos

de

Matemática Elementar - Volume 6 - Polinômios - A. Caminha

 

  umário

Prefácio Introdução 2

3

Propriedades iniciais 21

Construção de pirâmides

22

Exercícios Exercí cios

14

Paralelismo d e retas

31

Construç Cons trução ão de

32

Exercícios

u

7

paralelepípedo

19 21

4

5

Paralelismo d e reta e plano

23

41

26

Exercício Exer cícioss

Paralelismo d e planos

29

 

SUMÁRIO 51

Construção de sistemas de coordenadas

para

o espaço

5 2 tridimensional Con Constr struçã uçãoo de prismas 5 3 Exercícios 6

Planos paralelos

35

36 41

proporcionalidade

6 1 Constr Con struçã uçãoo de pirâmides semelhantes 6 2 Exercícios 7

e rpe ndic ula rismo ri smo de r e t a 71

72 73 74 75

76 8

Constr ução Construção Construção Constru ção Constru Cons trução ção Construção Constru ção Construção Exercíc Exercícios ios

de de de de de

e

plano

um sist sistema ema ortogonal de coordenadas um prisma reto pirâmides pirâmide s regulares um tetrae tet raedro dro regular regular um octaedro regular

4

45 48

51 57 58 59

60 61

62

Planos perpendiculares

65

8 1 Exercícios Exercício s

69

Aplicações: projeções ângulos

91 92 93 94 95

Distância Distâ ncia entre entr e do dois is pontos Pla Plano no mediador Distância de ponto a plano Distância de ponto a reta Distância Distâ ncia entre retas reve reversas rsas

distâncias

71 7

72

74 77 82

9 6 Ângulo entre planos 9 7 Ângulo entre entr e 9 8 Exercícios 1

reta

e plano

85

87 89

Esfera

95

10 1 Exercíc Exercícios ios

99

 

SUMÁRIO

Noções de Geometria Descritiva

11 1 Repr Represent esentação ação 11 2 Representação 11 3 Exercícios

d e ret s

de

planos

1 1 1 3 1 4 1 8

Referências

111

Índice Remissivo

113

 

  refácio

O principal objetivo deste livro é discutir e esclarecer as dificuldades encontradas ao se fazer a transição d a Geometria Plana para a Geometria Espacial. Inicialmente o trabalho oi concebido como uma

introdução ao livro Coordenadas no Espaço de autoria de Elon Lages Lima desta mesma coleção visando preparar o leitor para a passagem de u m sistema bidimensional de coordenadas para u m sistema tridimensional. Percebemos no entanto que a relevância do material comportava u m volum volumee separado. separ ado.

Mesmo ao nível do Segundo Grau a Geometria Espacial costuma receber um tratamento axiomático. Neste livro livro procura pro cura mos explicar que uma das causas para esta abordagem são as dificuldades dificuldades encontraencontr adas pelo estudante n a passagem d a Geometria Plana para a Espacial. Na Geometria Plana dispomos de excelentes modelos concretos para os objetos com que lidamos j á que as superfícies sobre as quais escrevemos ou desenhamos são bons modelos para o plano d a Geometria. Na Geometria Espacial não tem temos os as mesmas mes mas facilidades. facilidades.

Assim o

desenvolvimento cuidadoso d a teoria é essencial para a compreensão

 

Prefácio das relações relações existentes existent es entre entr e objetos no espaço. espaço. Com este objetivo em mente procuram proc uramos os conduzir o leitor ao longo longo do processo processo de escolha escolha de um conjunto conju nto adequado adequa do de de aaxiomas xiomas vistos como u m conjunto mínimo de propriedades capazes de caracterizar as relações entre pontos retas e plano no espaço tridimensional. O restan res tante te do livr livro o

dedicado ao est estudo udo de paralelismo e perpenperp en-

dicularismo entre entr e retas e planos planos sempre com com o cuidado cuida do de de indicar de de que forma os resultados obtidos se relacionam aos axiomas iniciais. Uma preocupação sempre presente no texto

a de tentar tornar

mais concretos os modelos d a Geom Geometr etria ia Espacial. Com esta es ta fi fina nali li-dade procuramos a cada no novo vo conceito introd int roduzi uzido do indica ind icarr que novos novos objetos podem ser construídos a partir de dele le.. Desta Des ta forma forma pirâmides prismas poliedros regulares regulares etc são introduzido intro duzidoss assim que s conceitos necessá necessários rios são são apresentados. apresentado s. A mesma preocupação preocu pação nos levo levou u a incluir um capítulo capít ulo sobre Geometria Geometr ia Descritiva Descritiva com ênfase ênfase nos problemas de interseção envolvendo retas e planos. Este prefácio não estaria completo sem uma palavra de agradeciment o a Elon Lages mento Lages Lima e a Edua Eduard rdo o Wagner cujas sugestões concontribuíram em muito para a forma final do texto.

Rio de Janeiro Janei ro maio de 199 1993 3

Paulo Cezar

into Carvalho

 

C PÍTULO

Introdução

A transição

da

Geometria

Plana para

a Geometria Geome tria Espacial em

geral efetuada no final do Segundo Grau é muitas vezes difícil para o alu aluno. no. É fáci fácill ent entend ender er porque isto isto ocor ocorre. re. Como hab habita itante ntess de um

mundo tridimensional temos grande gra nde facilid facilidade ade para lidar com o mundo bidimensional d a Geometria Plana. Modelos concretos para os objetos com que lidamos n a Geometria Plana são fáceis de construir e manipula mani pular. r. As superfícies sobre as quais es escreve crevemos mos ou desenhamos são excelentes modelos para o plano d a Geometria e permitem repres rep resent entar ar com fidelidad fidelidadee retas polígo polígonos nos círculos círculos e demais demai s figuras figuras planas. O u seja podemos pode mos facilmente concreti conc retizar zar as noções noções abstratas d a Geometria. Quando passamos para o mundo tridimensional d a Geometria Espacial passamos a enfrentar limitações de diversa ordem. m primeiro lugar pelo menos com a tecnologia at atua uall não dispomos de uma forma prática para representar com fidelidade objetos tridimensionais. m 1

 

Introdução

2

geral, ger al, recorremos a projeções projeções bidimensionais de tais objetos. Mas estas projeções distorcem ângulos, modificam comprimento de segmentos e não permitem distinguir pontos que estejam sobre a mesma linha de projeção. Ilustram Ilus tramos os estas dificuldades dificuldades com com o seguinte exemp exemplo. lo. Tomamos um losango B C D e afirmamos que suas diagonais C e B D for ângulo lo reto Figura 1.la . Mesmo que uma pessoa tenha mam u m ângu dificuldades em demonstrar tal propriedade, terá grandes chances de reconhecê-la como verdadeira com auxílio d a intuição. E m último caso, poderá facilmente verificar experimentalmente que a propriedade de fato parece ser verdadeira. verdadeira. Tomamos agora um tetraedro regular BCD

e afirmamos que duas arestas opostas

B

e

CD

formam u m

ângulo reto Figura 1 1 b). Mesmo Mesmo pessoas familiarizada famili arizadass com com o te traedro regular terão pouca ajuda de sua intuição para entender e demonstrar tal propriedade. E m particular, a figura em perspectiva de u m tetraedro não ajuda muito a entender enten der a situação na verdade, ambas as propriedades podem ser obtidas como casos particulares de u m mesmo teorema, como veremos mais tarde).

c D

B

e a)

B

b)

Figura 1.1: Geometria Plana x Geometria Espacial Estas dificuldades são parte d a razão pela qual a Geometria Espa

cial costuma ser introduzida de modo bem mais formal que a Geome tria Plana. J á que nossa intuição não é uma aliada tão confiável como n a Geometria Plana, sentimos uma necessidade maior em nos apoiar-

 

Introdução

3

mos em uma teoria sistemática. Há, no entanto, uma outra boa razão. A Geometria tem sid sido, o, po porr século séculos, s, um dos melhores exemplos de uma teoria matemática rigorosa, em que resultados (teoremas) são demons trados utilizando argumentos lógicos, a partir de alguns fatos tomados como ponto de partida (postulados). O estudo d a Geometria Espacial Espacial nestas bases introduz a argumentação lógica em Matemática, exata mente em um campo em que sentimos necessidade de auxiliar nossa intuição empregando argumentos sólidos. Há, no entanto, um problema com a introdução do tratamento lógico-matem lógico -matemático ático quando se inicia a Geometria Espacial. m geral, é escolhido um sistema de axiomas para a Geometria como u m todo; de uma certa forma, a Geometria Plana, j á conhecida, é reaxiomati reaxio mati zadaa . Prefer zad Preferimos imos aqui fazer, fazer, de forma mais explícita, a passagem d a Geometria Plana para a Espacial; isto é admitimos conhecidos todos os resultados d a Geometria Plana, válidos em cada plano do espaço. Nos preocupamos apenas com as propriedades adicionais que deverão

exprimir as relações fundamentais de pontos, retas e planos no espaço. Um outro aspecto que perseguimos é tornar tão concretas quanto possíve pos sívell as propriedades proprieda des que demonstraremos. demonstr aremos. Com esta finalida finalidade de da mos ênfase especial constr mos con struçã ução o de figuras figuras espaciais espaciai s (pirâmide, (pirâmi de, pris mas,, poliedros regulares). Optamos mas Opt amos por construi const ruirr cada ca da figura figura impor tante assim que tenhamos recurso para tal. Por exemplo, pirâmides

são construídas assim que enunciamos o postulado que nos permite escolher u m ponto exterior a u m plano dado. Nossa Nossa intenção é fazer com que o leitor perceba, de imediato, a importância de cada novo conceito.

 

CAPÍTULO

Propriedades n cia s

A Geometria Espacial examina as propriedades de figuras que são construídas a partir de certos elementos básicos do espaço: pontos retas e planos. Todos os termos em itálico n a sentença anterior são considerados primitivos.

A o invés de tentar defini-los, os caracteri

zamos por meio de certas propriedades fundamentais, chamadas de postulados que servem de ponto de partida para a teoria a ser desen volvid vol vida. a. Como Como é usual, representaremo repres entaremoss pontos por po r letras maiúsculas , retas por letras minúsculas (r, s t .. .) e planos por le A, B, C, (3, Y,

). tras gregas a, A Geometria é uma teoria matemática que viza criar uma abstra

ção de u m mundo que faz parte de nossa realidade. Desta forma, é razoável razo ável que as propriedades proprie dades escolhidas escolhidas como como postulados postul ados sejam ver ver dadeir as e óbvia dadeiras óbviass . Isto Is to é elas devem exprimir fatos que indiscu tivelmente correspondam à nossa intuição a respeito dos elementos geométricos básicos. básicos. Isto Ist o parece parec e vago vago,, e de uma certa forma é: n a ver5

 

Propriedades iniciais

6

dade, não h á u m conjunto fixo de postulados.

á alguma liberdade

para escolhermos como postulados as propriedades que nos pareçam

mais óbvias óbvias e mais simples de serem utiliz uti lizada adass para demonstr demonstrar ar teoteoremas. Frisamos que a Geometria Plana foi adotada como ponto de partida.. Desta tida Des ta forma, forma, não precisamos precisamos enunciar enuncia r propriedades propri edades a respeito de retas e pontos contidos em u m plano. N o entanto, devemos reafirmar, para o espaço, as propriedades básicas de pontos e retas. o stu l a d o 1

or

dois pontos

do

espaço passa

uma

e

somente uma

reta. o stu l a d o 2

Dada

uma

reta

do

espa es paço ço existe exi stem m pontos ponto s que que perten-

cem à reta e pontos que não pertencem à reta.

A seguir enunciamos as propriedades básicas a respeito de pontos e planos. ostulado 3

passa

um

e

o

três pontos

somente u m

plano.

Dado

plano

o stu l a d o 4

cem

or

um

do

do

espaço não situados

n a mesma

reta

espa es paço ço exis tem pontos pon tos que que pertenperten -

plano e pontos que não pertencem

o

plano.

Os postulados acima estabelecem propriedades importantes sobre o espaço espaço e seus seus pontos, retas re tas e p plano lanos. s. Intuitivamente, Intuiti vamente, o Postulado Postu lado 3 estabelece que, enquanto a reta é uma entidade unidimensional, o plano é uma entid entidade ade bidimensio bidimensional. nal. J á o Postula Post ulado do 4 diz diz que o espaço tem dimensão superior ao plano (isto é é pelo menos tridimensional). Decorre também dos postulados postul ados 3 e 4 que que por do dois is pontos dados passa sempre u m plano (que (que não é único). Além dos postulados acima precisaremos de mais u m postulado.

 

 

Entretanto, antes de enunciá-lo, vejamos algumas propriedades que podem ser obtidas utilizando somente os os qua tro primeiro primeiross postulados. a Geometria Plana sa Fazemos, primeiro, a seguinte observação. bemos que dois pontos A e B situados no mesmo plano determinam uma única reta r Figu Figura ra 2.1). 2.1). Por Po r outro lado, lado, o Postulado Postu lado 1 diz diz que existe uma única reta do espaço passando por estes dois pontos; esta reta, portanto, só pode ser a reta r que está contida no plano. E m consequência, temos a propriedade a seguir.

7

A

B

Figura 2.1: Inclusão

eorema 2 1

Se

um

reta

t em

da reta

dois

e

em

um

plano

seus pontos

em

um

plano

então ela está contida neste plano. D

Este teorema exprime uma propriedade fundamental a respeito do compor com portam tament ento o de retas ret as e planos. planos. O leitor dev devee notar que o que nos permitiu demonstrá-lo oi o fato de admitirmos conhecidos os resulta dos d a Geometria Plana. Se não não admitíss admitíssemos emos tais resultados, resultados, seria natural esco escolher lher a proprieda propr iedade de acima como como um postulad postulado. o. Dev Devemo emoss observar, também, que, de acordo com esta propriedade, uma reta e um plano plan o no espaço espaço só só po podem dem ter uma das seguintes posições relativas: a reta pode estar est ar contida contid a no plan plano; o; pode ser secante ao ao plano se ela possui u m único ponto em comum com o plano); ou pode ser paralela ao plano se não possui pont po nto o ccomum omum com o plano).

 

ropriedades iniciais

 

Tam bém com o auxílio Também auxílio d a propriedade acima, podemos estabelecer outr ou tras as formas formas de determin dete rminação ação do do plano, plano, envol envolven vendo do retas. Natura Nat urallmente, o ponto de partida é o Postulado 3 segundo o qual um plano é determinado por três pontos não colineares. Teorema 2 2

passa

um

o r uma

único plano.

único plano.

reta r e or

um

ponto A exterior exter ior a esta reta reta

duas retas concorrentes s e t passa

um

b)

a)

Figura 2.2: Determinação do plano

Sejam B e C dois pontos distintos em r Figura 2.2a). 2.2a ). Pelo Postul Pos tulado ado 3 existe um único plano passando passand o por A B e

Demonstração

C. Mas este plano contém a reta r j á que contém dois de seus pontos. ara a segunda parte, seja P o ponto de interseção de s e t e sejam Q e R pontos tomados sobres e t ambos distintos de P Figura 2.2b). O único plano definido por P Q e R necessariamente contém s t j á que contém dois pontos de cada uma das retas. Dissemos acima que ainda nos falta um postulado para estabelecer as propriedades fundamentais do espaço e de seus pontos, retas e planos. Este Est e pos postul tulado ado fina finall se se refere refere

à

tridimensionalidade do espaço.

 

 

esforço de abstração, vemos que todas as propriedades vistas até o momento valeriam para pontos, retas e planos situados em um espaço, digamos, de dimensão 4. Vamos precisar de u m postulado adicional capaz de fixar, definitivamente, a dimensão do espaço em 3. Podemos chegar a este último postulado examinando o que j á sabe mos sobre a interseção de dois planos. Se dois planos têm dois pontos m um

comuns A e B então eles têm em comum pelo menos a reta r definida por estes dois pontos. Se existir algum ponto C, comum aos planos e

não situado em r, então os planos são necessariamente coincidentes, j á que os três pontos não colineares A, B e C definem u m único plano, pelo Postulado 3. Sobram ainda o caso em que os planos não têm nenhum ponto em comum e o caso em que os planos possuem apenas um ponto pon to em comum. comum. É pro prováv vável el que est estaa última últi ma possibilidade possibilidade tenha causado estranhez estr anhezaa no leit leitor; or; o último postulado consistirá justamente em eliminar esta es ta possibilidade: num espaço ddee dimensão 3 doi doiss planos não podem ter u m únic únicoo ponto comum ist istoo pode pod e muito bem ocorrer em u m espaço de dimensão superior). o stu l a d o 5

Se dois planos possuem

possuem pelo menos mais

um

um

ponto em comum então eles

ponto em comum comu m e portanto, pe pelo me-

nos uma reta em comum).

Observe que, que, em consequência ddoo P Postu ostulado lado

5

existem apenas três

para dois planos posições relativas planoquando s do espaço: el eles esponto pode po dem m co coinci inci dentes; dente s; eele less podem ser ser paralelos não têm emser comum); ou eles eles podem pod em ser secantes quando quan do têm uma reta em comum). Com auxílio do Postulado 5 vamos a seguir demonstrar um teo rema que, muitas vezes, é adotado, no lugar do Postulado 5 como u m postulado capaz de caracterizar a tridimensionalidade do espaço. Este teorema expressa a propriedade que um plano tem de separar o espaço. Note que u m ponto é capaz de separar uma reta mas não um plano; uma reta é capaz de separar u m plano mas não o espaço. espaço. Intui-

 

10

Propriedades Propri edades ini inicia ciais is

tivamente, a propriedade de separação do espaço por u m plano tr duz o fato de que o espaço tem um só dimensão a mais que o plano. Teorema 2 3

Todo plano divide o espaço e m dois semi-espaços que

segu inte propriedade: se dois pon pontos tos A e B estão e m u m mesmo têm a seguinte semi-espaço então o segment segmento o A B está contido neste semi-espaço e não corta o plano; se o oss pon pontos tos A e B estão em semisemi-espa espaços ços distintos dist intos

o segmento A B corta o plano.

Utilizaremos, n demonstração, o fato de que u m ret divide o plano plan o em dois dois semi-planos semi-planos este fato é usualmente usual mente ado t do como u m postulado d Geometria Plana). Seja P um ponto qualquer do espaço que não pertenç ao plano Demonstração

a. Vamos dividir os pontos do espaço que não pertencem a a em dois conjuntos, chamados de semi-espaços, de acordo com o seguinte critério: u m semi-espaço é formado por todos os pontos Q exteriores ao plano a tais que o segmento P Q não cort o plano pla no este est e é o semi semi espaço que contém P ; o outro semi-espaço é formado pelos pontos Q exteriores a a t is que o segmento P Q cort o plano. Mostramos, a seguir, que estes semi-espaços gozam d propriedade do enunciado do teorema. Sejam A e B pontos situados no semi-espaço que contém P. Seja 3 um plano passando por P A e B

este plano é único se P A e B não são colineares, mas existe em qualquer caso). Se o plano 3 não corta o plano a o segmento A B t mbém não cort a. Suponhamos, então, que e 3 tenh m pon pontos tos comuns. Como e 3 são distintos, s u interseção é um ret r que divide 3 em dois dois semi-planos Figura Figu ra 2.3a). Como os segmentos P A e P B não cort m a certamente não cortam r logo, A e B est estão ão no mesmo semi-plano. Mas isto signifi significa ca que o segmento A B está contido neste semi-plano e assim não cort r e em consequência, não corta a .

Se A e B estão ambos situados no semi-espaço que não contém P

Figura Fig ura 2.3b), 2.3b), a situação situa ção é análoga: análoga: existe u m plano 3 que passa por

 

2.1

Construção de pirâmides

a

a)

e)

b)

Figura 2.3: Um plano separa o espaço P A e B que corta a segundo

uma reta

r. N o plano j3, A e B estão

ambos situados no semi-plano oposto ao de P em relação a r. Logo, o segmento A B não corta r e assim não corta

a

Finalmente, consideremos o caso em que está em um semi-espaço e B no outro out ro (Figur (F iguraa 2.3 2.3c). c). Como antes, existe u m plano j passando · por P A e B que corta a segundo a reta r Agora, no plano /3, A estáá situado est situa do no semi-plano semi-plano de P e B

situado no outro semi-plano em relação a r. Logo, o segmento A B corta a reta r e, assim, o plano está

a

Nos exerc1c10s, pedimos ao leitor que, usando o teorema acima como u m postulado, demonstre a afirmativa do Postulado 5, mos assim que poderíamos poderí amos utilizá-lo utilizá-lo como como o postulado postul ado mensionalidade do espaço . trando

da

tridi

Encerramos esta seção construindo, com o auxílio das propriedades básicas aqui apresentadas, nosso primeiro poliedro.

21

onstrução d e pirâmides

Considere

um

polígono plano A 1, A 2  

An e

um

ponto V ex

terior ao plano do polígono, o qual existe pelo Postulado 4 (Figura

 

12

Propriedades iniciais

2.4). Traçamos os segmentos V A 1 , V A 2 , , V An. ada dois vértices consecutivos de A 1 A2 An determinam com V um triângulo. Estes triângulos, juntamente com o polígono A 1 A2

An delimitam uma

região do espaço, que é a pirâmide de b se A 1 A2 An e vértice V A região do espaço limitada pela pirâmide é formada pelos pontos dos segmentos de reta que ligam o vértice vértic e aos pontos pont os do polígono-base. Os segmentos V A 1 , V A 2 , , V An são chamados arestas laterais e os triângulos V A 1 A 2 , V A 2 A 3   V A n A 1 de faces laterais d a pirâmide. Pirâ Pi râmi mide dess tria triang ngul ular ares es - ou tet tetrae raedro dross - aprese apresenta ntam m a part partic icul ular ari i dade de que qualquer de suas faces pode ser considerada a base d a pirâmide.

B

a)

b)

Figura 2.4: Uma pirâmide pentagonal e um tetraedro

Uma pirâmide é u m cas caso o parti pa rticula cularr de u m poliedro. Um poliedro é toda reg região ião do do espaço delimi del imitada tada por u m conjunto de polígonos planos, chamados faces do poliedro, que satisfazem as seguintes condições: • a interseção inters eção de dois dois polígonos é vazia ou é u m vértice comum aos dois ou é u m lado ou arest ar esta) a) comum aos dois. dois. • cada lado de u m polígono é lado de exatamente mais u m outro polígono.

 

21

Construção de pirâmides a mesma forma que n a Geometria Plana

3

em que a palavra polígono pode indicar tanto a região por ele delimitada quanto o seu

contor cont orno no - a palavra palavra poli polied edro ro é utiliz utilizada ada tanto para indicar a região do espaço quanto para indicar a coleção de polígonos que limita esta região. Consideremos uma pirâmide quadrangular de base A B C D e vértice V Fig Figura ura 2. 2.5) 5).. As arestas ares tas laterais laterai s opostas oposta s V e V C determinam u m plano a enquanto V B e V D determinam u m plano f3 Qual é a interseção de a e 3?

E xemplo 2 4

T

Figura 2.5: Os planos a e f3 são distintos A , por exemplo, está em a mas não em 3) e têm u m ponto comum V. Logo, sua interseção é uma reta r que passa por V. Para localizarmos u m segundo ponto de r consideremos as interseções de a e f3 com o plano d a base, que são as diagonais A C e B D respectivamente, do quadrilátero ABCD. Logo, o ponto de interseção de A C e B D é comum aos três planos a f3 e ABCD; portanto, está n a reta de interseção de a e 3. Assim, a e f3 se cortam segundo a reta que passa por de A C e BD.

V

e pelo ponto de interseção

 

14

Propriedades Propri edades ini inicia ciais is

Encerramos esta seção com a seguinte observação. Todos os os postu post u lados discutidos até o momento mome nto são postul pos tulados ados de de posiçã posição o . O u seja, eles não envolvem conceitos ligados a ordem ou comparação, neces sários para estabelecer as noções de medida de segmentos e ângulos e de congruên cong ruência cia de figuras. figuras. Na realidade, reali dade, como adota ad otamos mos a Geo Geo metria Plana como ponto de partida, de lá consideramos conhecidos todos estes conceitos, que culminam com os casos de congruência de triângulos, fundamentais para a Geometria Plana métrica. Para a Geometria Espacial, é suficiente estender os casos de congruência de triângulos, de modo a poder utilizá-los para estabelecer congruência de figura figurass planas, planas , mas possivelmente possivelmente situa si tuadas das em planos distintos. Isto é acrescentamos nossa lista list a o postul pos tulado ado a seguir. seguir. Postulado d e congruência Os casos de congruência de triângulos

Geometria Plana também são válidos para triângulos situados em

d

planos distintos

(A rigor, basta estabelecer como postulado um dos casos de con gruência; os demais podem ser deduzidos a partir dele.)

2 2

Exercícios

2.1 Quantos são os planos determinados por 4 pontos não coplana

res? 2.2 Considere u m conju conjunto nto de de pelo pelo menos três trê s retas reta s distintas. Mos Mos tre que, se duas quaisquer destas retas são concorrentes, então elas estão todas num mesmo plano ou passam todas pelo mesmo ponto. 2.3 Seja u m a figura tal que quatro quaisquer de seus pontos sejam coplanares. Mostre que F é plana, isto é, está contida em u m

 

2.2

Exercícios

15

plano. 2.4 Duas retas r e s s ã o concorrentes em em um ponto pon to O. Fora do plano determinado p o r r e s tomamos um ponto P qualquer qualquer.. Qual é a interseção do plano definido por r e P com o plano definido por P? s 2.5 2.5 Dois triângu triâ ngulos los A B C e D E F situados em dois planos distintos, são tais que as retas A B A C e B C encontram as retas D E D F e E F nos pontos M N e P respectivamente. Mostre que M N e P são colineares. 2.6 Suponha que em u m lugar do Postulado 5 (segundo o qual a interseção de dois planos não pode ser u m único ponto) tivés semos adotado a propriedade d separação do espaço por u m plano. Isto é, tivéssemos o seguinte: ostulado 5 .

Um plano divide os pontos que lhe são exteriores

e m do dois is subconjuntos

chamados semi-espaços

e form

que u m

segmento com extremos no mesmo semi-espaço não corta o plano e u m segmento com extremos e m semi-espaços diferentes corta o plano.

Utilizando os Postulados 1 2, 3, 4 e 5 , mostre most re que a interse ção de dois planos não pode ser u m úni único co ponto. (Isto mostra mos tra que substituindo 5 por 5 obtemos um sistema sistem a equivalente equivalente de postulados p r a Geometria.) 2.7 Um conjunto F de pontos do espaço chama-se convexo quando, dados dois pontos A e B em F o segmento A B está contido em F . Diga quais dos conjuntos de pontos abaixo são convexos: a) Um plano; plano ; b) Um semi-espaço; semi-e spaço; c

 

Os pontos interiores a u m pirâmide;

ropriedades iniciais

 6

d

Os pontos pont os interiores interiores a um tetraedro. tetr aedro.

2.8 Considere uma pirâmide quadrangular V-ABCD. Sejam M N e P pontos das arestas laterais laterais V A V B e V C respectivamente. O plano determinado por M N e P corta a aresta V D em u m ponto Q Diga como Q pode ser obtido a partir de lvf [Sugestão: considere

os

N

e

P

pontos de interseção das diagonais dos

quadriláteros A B C D e MNPQ.]

 

C PÍTULO

Paralelismo de retas

O leitor talvez tenha observado que não mencionamos n a seção anterior u m do doss caso casoss clá cláss ssic icos os de de determinação do do plano - por mei meio o de um par de retas paralelas. Para tal, primeiro precisamos definir retas paralelas no esp espaç aço. o. Na Geometria Plana, duas retas d distin istin tas podem ser ser concorrentes concorrentes quando possuem possuem exatamente exata mente u m ponto

comum) ou paralelas quando não possuem nenhum comum) nenh um ponto pont o comum). comum). a mesma forma, n a Geometria Espacial duas retas distintas podem ter u m único ponto em comum ou nenhum ponto em comum; mas

conveniente separar esta última situação em dois casos. efinição 3 1

Duas retas

o

espaço chamam-se paralelas quando

não possuem ponto comum mas estão contidas em Quando duas retas

o

u

mesmo plano.

espaç es paço o não estão estão contidas no mesm o plano o

que necessariamente implica em que elas não possuam ponto comum) elas são chamadas

e

retas reversas.

17

 

Paralelismo de retas

18

esta definição decorre imediatamente o caso de determinação do

plano através de duas retas paralelas r e s. Por definição, certamente existe um plano a que as contém. Para mostrar que a é único, tomemos u m ponto A qualquer sobre

s

Figura 3.1).

A 8

O.

r

Figura 3.1: Duas retas paralelas determinam um único plano Se existisse um outro plano o/ também contendo r e s, os planos a e a ambos conteriam r e A o que é impossível, j á que uma reta e u m ponto exterior determinam u m único plano. Uma outra consequência d a def definiç inição ão de retas ret as paralelas par alelas é a validade do fato a seguir, que é uma extensão para o espaço do Postulado de Euclides sobre as paralelas. Teorema 3 2

Por u m

ponto fora

e uma

reta se pode traçar

uma

única reta paralela a ela.

Seja r uma reta dada e seja A u m ponto situado Figura Fig ura 3.2). 3.2). Seja a o plano determinado por A e r . Seja

Demonstração

fora de r

s a paralela a r em a, traçada por A. Para mostrar que s é a única paralela a r traçada por A suponha que uma outra reta s passe por A e seja paralela a r. Como s é paralela a r, existe u m plano a contendo r e s . Mas tal plano a contém r e A e portanto, coincide com a . Logo s da mesma forma que s) é uma paralela r traçada a.

por A e contida em Pelo Postulado de Euclides, s e s coincidem, o que demonstra a unicidade da reta paralela.

O paralelismo de retas no espaço possui propriedades semelhantes

 

3.1

Construç Cons trução ão de u m paralelepípedo

9

~------s

A ~ s

r

Figura 3.2:

Reta paralela a uma reta passando por um ponto

ao paralelismo no plano.

m particular, se duas retas distintas r e s

mesm

reta t entã então o r e s são parale paralelas las entre entr e si. A seguir, usamos a construção d a reta paralela a uma reta dada por u m ponto dado para construir u m paralelepípedo. são paralelas à

3 1

onstrução de u m paralelepípedo

O paralelepípedo ABCDEFGH d a Fi Figur guraa 3. 3.3 3 um poliedro que pode ser construído a partir de três segmentos de reta não coplanares AB, A D e A E isto significa que o ponto E não pertence ao plano definido por A B e AD . Inicialmente, conduzimos por B e D paralelas a A D e AB, obtendo o paralelogramo ABCD. A seguir, traçamos as paralelas a A E por cada u m dos pontos B C e D. Tomando segmentos iguais a A E sobre estas retas, no mesmo semi-espaço de E são obtidos os pontos F , G e H . Finalmente, são traçados os segmentos EF, FC, G H e H E. Estes segmentos se situam no mesmo plano, j á que as retas E F e G H são paralelas basta bas ta notar que A B F E e CDHG são paralelogramos). Paralelepípedos Paralele pípedos são exemp exemplos los de de poliedros poliedros convexos. Isto é, u m paralelepípedo fica inteiramente contido no semi-espaço determinado por cada uma de suas faces. Aproveitamos o exemplo acima para ilustrar a existência de retas

reversas. As retas definidas pelas arestas A E e BC, por exemplo, são

 

Paralelismo de retas

2

----------

---~

e A

B

Figura 3.3: Construção de

um

paralelepípedo

reversas. De fato, por construção, E não pertence ao único plano que contém A, B e C, o que mostra que as retas A E e B C não estão situadas em um mesmo plano. A construção da reta paralela a uma reta por um ponto dado nos permite definir ângulo entre retas arbitrárias do espaço. Se as retas são concorrentes, o ângulo entre elas é definido, de acordo com a Geometri met riaa Plana, Plan a, como o menor ângulo formado formado por el elas as.. O ccaso aso de retas ret as reversas, no entanto, representa uma sit situaç uação ão nova nova.. Vamos Vamos definir o ângulo entre retas reversas como o ângulo formado por duas retas concorrentes, paralelas às retas dadas. P a r a que esta definição faça sentido é preciso que este ângulo não dependa das paralelas escolhidas. De fato isto ocorre, como como mostr mos traa o teorem teo remaa a segu seguir: ir: Teorema 3 3

Sejam (r,

s) e (r , s ) dois pares

de

retas concorrentes

tais que r e r são paralelas entre si e s e s também são paralelas entre si.

ângulo formado por r e s é igual

ao

ângulo formado por r e s .

Sejam A o ponto de interseção de r e s e B o ponto de interseção de r e s (Figura 3.4). Sobre r e s, tomemos pontos A 1 e Demonstração

A2 e tracemos as paralelas A 1 B 1 e A2 B 2 à

reta

AB. Os quadriláteros

A A 1 B 1 B , A A 2B 2B e A 1 A2 B 2 B 1 são parale paralelogramo logramos. s.

B B1 , A A2

=

B B2 e A1B 1

Logo Logo,, A A 1

= A2 B 2 . Logo, os triângulos

B B   B 2 são iguais, o que mostra que os

=

e ângulos A e B são iguais. AA 1A

 

3.2 Exercícios

2

Portanto , o ângu Portanto, ângulo lo entre entre as retas re tas r e s é igual ao ângulo entre as retas r e s.

Figura 3.4: Pares de retas paralelas determinam ângulos iguais Retas do espaço que formam ângulo reto são chamadas de retas ortogonais. Assim, retas perpendiculares são retas ortogonais que são coplanares portan portanto, to, concorr concorrentes) entes).. 3 2

Exercícios

3.1 Mostre que duas retas re tas distinta dist intass paralelas a paralelas entre si.

um

mesma

ret

são

3.2 É verdade que duas rreta etass distintas distint as ortogonais a u m terceira são

sempre paralelas entre si? 3.3 Seja r um ret qualquer e s um ret não paralela a r. Mostre que todas as retas paralelas a s e concorrentes com r estão contidas no mesmo plano.

 

Paralelismo

22

de

retas

3.4 Sejam A B C e D ponto pontoss quaisquer do espaço não necessanecessariamente coplanares). Sejam M N P e Q os pontos médios de A B B C C D e D A respectivamente. Mostre que M N P Q é u m paralelogramo. 3.5 Mostre que os três segmentos que unem os pontos médios das arestas opostas de um tetr edro qualquer A B C D se encontram em um mesmo ponto. 3.6 Sejam r e s dua duass retas ret as reversas. reversas. Sejam A e B pontos distintos de r e C e D pontos distintos de B D são reversas. 3

s

Mostre que as retas A C e

7 Sejam r e s duas retas revers reversas, as, A um ponto em r e B u m ponto em s Qual é a interseção do plano a definido por r e B com o plano 3 definido por s e A

 

C PÍTULO

Paralelismo de reta

e

plano

Começamos por rever as possíveis posições relativas de uma reta r e u m plano a do espaço. H á três casos possíveis para a interseção de e a Se existirem dois o u mais pontos de interseção, então estará obrigatoriamente contida em a Se existir u m único ponto comum a r e a dizemos que r e a são secantes Finalmente, quando r e a não possuem pontos em comum, eles são paralelos Nas aplicações, planos são tipicamente definidos através de u m dos casos de determinação j á vistos isto é, através de de pontos e retas retas). ). É

útil, portanto estabelecer critérios capazes de oferecer conclusões a respeito dos planos baseados em propriedades de suas retas. Veremos nas próximas seções vários teoremas cujo papel será estabelecer tais critérios. O teorema a seguir é u m deles. Teorema 4 1

m

plano a e

ralelos se e somente se existe

a são pa-

um a

reta r não contida

uma

reta s paralela a r e contida em

em

O ..

23

 

Paralelismo de reta e plano

24

Demonstração

Suponha primeiro que r seja paralela a a

Figura

4.1). Seja A u m ponto qualquer de a e consideremos o plano 3 determinado por r e A

Os planos

a

e f3 são distintos e possuem o ponto A

e m comum. Logo eles eles pos possuem suem uma reta s e m comum. As retas r e s são paralelas, pois são coplanares e não possuem ponto e m comum

se existisse tal ponto comum ele seria u m ponto comum a r e a o que contradiria o fato de r ser parale la a a . Logo, de fato existe uma reta s e m a que é paralela a r. Para a volta que é a parte mais útil do teorema), suponha que a reta s de a seja paralela a r. Seja 3 o plano definido por r e s. Os planos a e 3 são distintos e poss uem a reta s em comum. Como a reta r

está contida em /3 se ela cortasse o plano a seria necessariamente necessariamente

e m um ponto d a interseção s de a e /3. Mas isto é impossível, j á que

r e s são paralelas. Logo, r é paralela a a .

Consideremos, agora, dois planos a e /3 que se cortam segundo uma retas. S e r é uma reta de 3 e é paralela a s , então a

é

paralela a

pelo teorema anterior. Este fato pode ser utilizado para estabelecer

paralelismo de retas no espaço.

Figura 4.1: Critério de paralelismo de reta e plano

Exemplo 4 2

Consideremos uma pirâmide V ABCD e m que a base

A B C D é u m paralelogramo

Figura 4.2) 4.2)..

Consideremos o plano plan o a

definido pelos pontos V A e B . A reta C D é paralela a

o:

j á que ela

é paralela à reta A B contida e m a . Esta é uma situação típica em

 

 5

que o teorema anterior é utilizado como um critério de paralelismo de ret e plano. Exemplo 4 3

Consideremos

u

paralelepípedo ABCDEFGH. O

que podemos dizer a respeito d ret r de interseção dos planos a e 3 determinados pelos pares de arestas opostas AE, CG) e BF, DH) Figura 4.3)? Observamos, inicialmente, inicialmen te, que é a ret que passa pelos pontos O e Q de interseção inter seção das diagonais diagon ais das bases. bases. Além disso, disso, podemos afirmar que r é paralela às arestas AE, BF, CG e DH. D e fato, A E é paralela a /3 j á que é paralela à ret B F de /3. Mas A E está contida no plano a Portanto, A E é necessariamente paralela à ret r de interseção de a e /3. V

e Figura 4.2: Identificando

ret

e plano paralelos

 

Paralelismo de reta e plano

 6

Figura 4.3:

4 1

Exercícios

4. 4.1 1 Mostre Mos tre que se se uma reta é para paralela lela a dois dois planos secantes então entã o ela é paralela reta de interseção dos dois planos. 4.2 Suponha que os planos

a

3 e

Y

têm exatamente u m ponto em

comum. Mostre que não existe nenhum nen humaa reta simultaneamente paralela a a 3 e Y.

4.3 Sejam r e s duas retas reversas. e paralelo a s 4.4

onstrua por um ponto

onstrua um plano contendo r

um plano paralelo a duas retas não

paralelas r e s. 4.5 Sejam

r

s

P

u m ponto do espaço. onstrua e retas reversas e uma reta passando por P e se apoiando em r e s. Considere as

diversas situações possíveis. 4.6 Dadas três retas r s e t reversa reversass duas a duas construa cons trua uma reta paralela a t e que se apoia em r e s. Mostre que a solução é

única.

 

41

4

Exercícios

27

7 Seja A B C D um paralelogramo parale logramo.. Pelos vértices A, B , C e D são traçad tra çadas as retas paralelas entre si si. Um plano plano a corta estas retas em pontos A , B , C e D , situados no mesmo semi espaço relativo ao plano de ABCD, de modo que A A e D D = d. Mostre que a + e b d.

=

a

B E = b CC

=e

 

C PÍTULO

Paralelismo de planos

3

Como Com o vimos vimos anteriormen anteri ormente, te, se dois dois planos distintos distint os a e do espaço possuem um ponto comum, eles possuem u m r e t em comum. Desta forma, dois planos do espaço podem pode m ser coincidentes, secantes secan tes se pospossuírem u m ret em comum), ou paralelos se não possuírem pontos comuns). comu ns). Os resultados estabelecidos estabelecidos até aqui mostram mostr am que que nenh nenhuma uma outr situação pode ocorrer. Mas n realidade, ainda não mostramos que a terceira situação pode ocorrer, isto é não construímos ainda pares de de planos parale paralelos. los. Nesta Nest a seçã seção, o, mostramo mos tramoss ccom omo o fazer fazer esta construção.. Primeiro, estabelecemos um critério de paralelismo de construção planos baseado em retas. Teorema 5 1 Se

e 3 são para paralel lelos os então entã o

é paralelo

a cada reta de

/3. Reciprocamente se o plano a é paralelo a duas retas concorrentes contidas ao plano /3 então a e 3 são paralelos. Demonstração

A primeira parte do teorema é a mais simples e a 9

 

30

Paralelismo de planos

menos inter interessa essante. nte. De fato, uma reta de 3 não pode ter pontos comuns com a e é, portanto, paralela a a Para a segunda parte que é a que interessa), interessa), tomemos duas retas r etas e s do plano f3 concorrentes em A ambas paralelas ao plano Figura Figur a 5.1). Os planos e 3 são distintos; su suponh ponhamos amos que ssee cortem cort em segundo uma reta t. As re retas tas e s nã nãoo corta cortam m e portanto, não podem cortar a reta t que está contida em a Mas isto significa significa que as reta re tass e s que estão no mesmo plano 3 que t são ambas paralelas a t, o que contradiz a unicidade d a paralela a t passando por A. Logo e 3 não possuem uma reta comum, o que mostra que eles são paralelos. O teorema anterior estabelece que quando dois planos são paralelos, cada reta de u m é paralela ao outro. Por outro lado, para demonstrar que dois planos são paralelos basta exibir u m par de retas

concorrentes de u m deles tais que ambas sejam paralelas ao outro plano. É fundam fun dament ental al que as ret retas as sejam efetivamente concorrentes. Um plano pode ser paralelo a uma infinidade de retas paralelas de outr ou troo sem que os planos sejam paralelos. De fato, se dois dois planos são secantes, cada u m deles é paralelo a todas as retas do outro que são paralelas à sua reta de interseção Figura Figu ra 5.2 5.2). ).

Figur Fig uraa 5. 5.1: 1: Paralelismo de planos

 

Figura 5 2: O plano a

é

paralelo a uma infinidade de retas de 3

Com o auxílio do teorema anterior estamos aptos, agora, a cons-

truir planos paralelos.

Teorema 5 2

Por

todo ponto A exterior a

um

plano dado a passa

exatamente

um

plano 3 paralelo a

a.

Para demonstrar a existência do plano, tomemos

Demonstração

duas retas concorrentes r e s contidas em a

s as paralelas a r e s traçadas por

Figura 5.3). Sejam r e

e seja 3 o plano definido por

e s . As retas r e s são paralelas a a e portanto o plano 3

é

r

paralelo

a a.

Figura 5.3: Construção do plano paralelo

Para mostrar que o plano é único, suponhamos que existam dois

planos 3 1 e

paralel paralelos os a a, ambos passando por

Figura 5.4).

 

Paralelismo de planos

32

Como é um a

planos são distintos e ambos passam por A sua interseção ret r paralela a a. Tomamos u m ret s em a , não paralela

os

que determina com A um plano /. A interseção de / e 1 é u m ret t que é necessariamente paralela a s já que t e s são coplanares e estão contidas em planos paralelos). Observe Observe que, que, por po r ser paralela para lela a s t é necessariamente distinta de r. Analogamente, a interseção de r

e é u m ret u t mbém paralela a s. Como t u passam ambas por A elas são necessar nece ssariame iamente nte coincidentes. Lo Logo go 1 e 2 contêm, além d ret r de interseção, u m segunda ret comum t = u. Logo, necessar iamente coincidentes. coincidentes. Port Po rtant anto, o, o plano paralelo 2 são necessariamente 1 e f

a

a

por A é único.

teore ma anterior, construímos o único) teorema único) plano paralelo paralelo a a por A através de duas retas concorrentes quaisquer, ambas paralelas a a . Como as retas escolhidas foram completamente arbitrárias, o No

argumento do teorema anterior mostra que o plano /3 paralelo a a passando por A contém todas as paralelas a a conduzidas por A. Na verdade o plano paralelo 3 é a união de todas estas retas. Uma outr forma de fazer a mesma afirmação é dizer que u m ret não pode ser paralela a u m plano a e secante a um plano 3 paralelo a a. Mais precisamente, temos o teorema a seguir:

 

33

Figura 5.4: Unicidade do plano paralelo

Teorema 5 3

Se uma reta corta

plano paralelo a este.

Se um

um

plano, corta também qualquer

plano corta

uma

reta, corta também

qualquer reta paralela a ela.

Sejam e 3 planos paralelos e r uma reta secante a a Figura 5.5). Seja A o ponto de interseção de r e a . Como r passa por A certamente r não está contida em /3. Se r fosse paralela a /3, estaria necessariamente contida em a o que é impossível. impossív el. Logo, Logo, r é necessariamente secante a /3. Para a segunda parte, suponha que a reta r cor ta o plano e considere uma reta r paralela a r. O plano Y determinado por r e Demonstração

r é certamente secante a a sendo a interseção uma reta s. Como r é secante a s, sua paralela r , contida no mesmo plano que r e s,

certamente também é secante a s e portanto, a a .

 

Paralelismo de planos

34

r

r

r

b)

a) Figu Fi gura ra 5 5:

/

------+-',,,_~_,,,,_ 1 1

\

_\~ -~'

1

1

1

1

Figura 5 6: Planos paralelos cortados por

um

plano secante

O teorema a seguir diz o que ocorre quando um plano secante dois planos paralelos Teorema 5 4

Se

um

plano a corta

um

ele corta u m plano paralelo a 3 segundo

plano 3 segundo uma

uma

reta paralela a

cort

reta

r,

r.

 

5.1 Const Construção rução de sistemas de coord coordenadas enadas para o espaço espaço tridimensio tridimensional nal

Seja /3 u m plano paralelo a 3 Fig Figura ura 5.6). 5.6). O plano a é distinto de /3 por cortar um plano paralelo a /3 ) e não é paralelo a /3 , j á que por u m ponto qualquer de r passa u m único plano (/3) paralelo a /3 . Logo, a corta /3 segundo uma re ta s As retas r e s são coplanares e não têm pontos comuns, comuns, por estar es tarem em em planos paralel paralelos. os. Demonstração

Logo,

sé

paralela

ar

35

Utilizaremos as ferramentas desenvolvidas nesta seção para algumas construções fundamentais.

1

Construção d e sistemas d e coordenadas para o espaço tridimensional tridimensional Y

Começamoss com dois eixos O e Começamo de mesma origem O e tomamos u m terceiro eixo eixo O não contido contid o no pla plano no dos dois dois primeiros Figura 5.7). z

Figura 5.7: Sistema de coordenadas para o espaço tridimensional

Dois a dois, os três eixos determinam três planos, que chamaremos de

 

36

OXY O X Z e O Y Z

Paralelismo de planos

Dado um ponto qualquer P do espaço, condu zimos por ele um plano paralelo ao plano O XY. Como a reta O Z é secante ao plano O X Y ela também é secante a cada plano paralelo a OXY. Logo, o plano conduzido por P e paralelo a O X Y corta O Z em um único ponto, que permite definir uma das coordenadas de P

As demais coordenada coord enadass são definidas definidas analogamente. analogament e. Na prátic prá tica, a, ao criarmos um sistema de eixos para o espaço, preferimos utilizar retas mutuamente perpendiculares, como veremos posteriormente.

5 2

onstrução d e prismas

n um polígono contido em um plano o: Figura 5.8). Seja A1 A2 Escolhemos um ponto B   qualque qualquer, r, não pertencente pertencen te a o: o r B   traça, mos o plano 3 paralelo a o: Pelos demais vértices A2 , n traçamos , Bn Tomemos retas paralelas a A 1 B 1 que cortam 3 nos pontos B 2 , doiss segmentos consecutivos doi consecutivos assim determinados: determi nados: A1 B 1 e A2 B 2 , por exempl exe mplo. o. O quadriláter quadri látero o A 1 B 1 B 2 A2 é plano, j á que os lados A 1 B 1 e A2 B 2 são paralelos. paralel os. Mas isto implica impl ica em que os outros dois lados também sejam paralelos, pois pois estão contidos em planos paralelos. Por tanto, tant o, o quadriláte quadr ilátero ro é um paralelogramo paralelogramo.. Os paralelogramos paralelogramos assim assim An e B 1 B 2 Bn determinados, juntamente com os polígonos A 1 A2 n e determinam um poliedro chamado de prisma de bases A 1 A2 Bn A região do espaço delimitada por um prisma é formada B 1B2 pelos pontos dos segmentos nos quais cada extremo está em u m dos , AnBn são chamadas de polígonos-base. As arest are stas as A1 B 1 , A2 B 2 , aresta are stass laterais. Todas as as arestas aresta s laterais late rais são são paralelas e de mesmo comprimento; arestas laterais consecutivas formam paralelogramos, n que são chamad cha mados os de de fac faces es latera lat erais is do prisma. As bases A 1 A2 Bn são iguais. e B 1 B2 iguais. De fato, estes es tes polígonos possuem possu em lados res res pectivament pecti vamentee iguais e paralelos port po rtan anto to possuem ângulos iguais), j á

que as face facess later la terais ais são são paralelogramos. Qu Quand ando o a base base é um parapar a-

 

5.2 5.2 Construç Cons trução ão de prismas

37

lelogramo o prisma é um paralelepípedo, que j á construímos de uma outra forma n a seção 3 Paralelepípedos são prismas que têm a particularidade de que qualquer de suas faces pode ser tomada como base

duas faces opostas quaisquer são iguais e paralelas).

Figura 5.8: Prismas

Vamos tomar três pontos M N e P em três arestas paralelas A E B F e D H de u m paralelepípedo A B C D E F G H e estudar a seção determinada no paralelepípedo pelo plano definido por estes três trê s pontos. Como duas du as faces faces opostas oposta s de de u m paralelepípedo são

Exemplo 5 5

paralelas, qualquer plano que corte estas faces o faz segundo retas paralelas. rale las. Este fato fato será fundam fun damenta entall para o estudo d a seção. Para fixar as ideias, suponhamos que as medidas das arestas do paralelepípedo sejam A B = A D = 6 e A E = 5 Vamos examinar diversas situações. 1 caso: M

=A

N

=

F P

=

H

Figura 5.9)

Neste caso, o plano M N P corta apenas três faces do paralelepípedo, determinando como seção o triângulo A F H . 2°

caso: M

=A

BN

=

l DP

Fig ura 5. 5.10 10)) = 3 Figura

 

38

Paralelismo de planos J á temos a interseção do plano M N P com as faces A B F E e

A D H E que são os segmentos A N e AP, respectivamente. Vejamos

o que ocorre n a face C D H G Como esta face é paralela a A B F E, a interseção do plano M N P com esta face estará na reta paralela a A N passando por P, que corta C G e m Q Seja P Q a paralela a C D traçada por P . O triângulo PQ Q é igual ao triângulo A B N caso EN l O quadrilátero PQ CD é um paraALA) e portanto QQ lelogramo. Logo, CQ = 3 Assim, o plano M N P corta a aresta C G em u m ponto Q tal que

DQ

M

= CQ

QQ

=4

B

A

Figura 5.9:

 

5.2 5.2 Cons Construç trução ão de prismas

39

G

H

Q

Q

e D M

face C D H G

B

A

Figura 5.10: A seção é o quadrilátero M N Q P , que é um paralelogramo, j á que os lados opostos são respectivamente paralelos. Na verdade, o fato de o quadril qua driláter átero o M N P Q ser um paralelogramo pode ser explorado para calcular, de u m outro modo, o segmento DQ. Para tal, basta considerar as diagonais P N e M Q de M N PQ que se cortam ao meio em u m ponto O . D a mesma forma, as diagonais de A B C D se corta cor tam m ao meio meio em O (Figur (Fi guraa 5.11). 5.11). No trapéz tra pézio io B N P D , 00

é base média. Logo, 00

No triângulo ACQ,

00

= EN

2

Y J

.

também é base média e assim,

Note que, no caso geral, em que M não coincide com A AM C Q é u m trapézio, no qual se tem

Temos, portanto, A M

+ CQ =

BN

+ D P (esta relação é válida

qualquer plano transversal às arestas AE, BF, CQ = 1 3 e portanto, C Q = 4.

 

para

G e DH . Logo: O

Paralelismo de planos

4

H

º

e

\

=

B

A

Figu Fi gura ra 5 11 11: T

T

T

\f

=A

Figura 5.12: 3° caso: M

=

A BN

=

3 DP

=

3 Figu Fi gura ra 5.12 5.12))

A situação situ ação é parecida pare cida com a do cas caso o anterior. A diferença é que a paralela a A N tr ç d por P cort a aresta CG em um ponto T e m seu prolongamento. De fato, empregand empr egando o o mesmo mesmo método do cas caso o anterior, vemos que T = 6. Isto significa que o plano d seção não mais corta a aresta CG. A seção não é mais um quadrilátero, como no caso ca so anterior, mas um u m pentágono M NQRP onde Q e R são os pontos

 

5.3

Exercícios

41

de interseção do plano M N P com as arestas F G e G H. A posição dos pontos Q e R sobre estas arestas pode ser determinada usando semelhança semel hança de triângulos. triâng ulos. P

R

e TG

R

No plano

d

face CDHG os triângulos

são semelhantes. Logo,

RH R

ou seja,

PH TG

RH 6-RH

Logo, RH = 4. No plano são semelhantes. Logo,

d

-

1

face BCGF os triângulos N FQ e TGQ FQ

FN

GQ

GT

ou seja, FQ 6 FQ

Assim,

5 3

t mbém

FQ

=

2 1

-

4.

Exercícios

5.1 Sejam a , f e , três trê s planos distintos. distint os. Mostre Most re que as posições posições relativas possíveis dos planos são: a

Os três trê s planos são paralelos. paralelos.

b

Doi Doiss deles deles são paralelos e o terceiro é secante seca nte a ambos, cortando-os segundo retas paralelas.

c

Os três planos se cortam segundo

d

Os três planos se cort co rtam am dois dois a dois dois segundo três retas paralelas.

um

reta.

 

Paralelismo de planos

42

e

Os três planos se cortam dois a dois segundo três retas concorrentes; o ponto comum às três retas é o único ponto comum aos três planos.

5.2 Seja r uma reta secante a um plano a e P um ponto exterior a Mostre que existe uma única reta que passa por P , encontra r e é paralela a a. a

onstrua um par de planos 5.3 Sejam r e s duas retas reversas. paralelos contendo r e s, respectivamente.

5.4 Por

u

ponto qualquer d a aresta A B de um tetraedro qualquer

A B C D é traçado u m plano paralelo às arestas A C e BD. Mostre que a seção determinada por este plano no tetraedro é u m

paralelogramo. 5.5 Seja A B C D E F G H u m paralelepípedo tal que A B AD A E = 6. Estude as seções determinadas neste paralelepípedo pelos planos definidos pelos ternos de pontos M, N, P) abaixo:

=

a

M

b

DH M = A N

c

M

=

A N

A N

= ponto médio de =

C e P

CG e P

= ponto médio de

= ponto médio de

CG e P

= ponto médio de FG

= ponto médio de

FG

d

M

= ponto médio de

ponto médio de G H

AE

N

= ponto médio de

BC

P

=

 

C PÍTULO

Planos paralelos e proporcionalidade O Teore Teorema ma de Tal Tales es - a respe respeito ito d a proporciona proporcionalidade lidade dos segmen segmen tos determinados em duas secantes por u m feixe de retas paralelos um dos teoremas fundamentais d a Geome Geometri triaa Plana. Pla na. Os casos casos de semelhança de triângulos, por exemplo, decorrem decorre m dele. dele. Na Geomet Geo metri riaa é

Espacial, existe u m análogo ao Teorema de Tales para feixes de planos paralelos. ara demonstrá-lo, precisaremos do seguinte fato: dois segmentos e

retas paralelas compreendidas entre planos paralelos são iguais. Na

verdade, j á demonstramos este fato quando construímos prismas n a seção seçã o anterior. Mas repetimos repet imos aqui o argumento.

e AB

segmentos paralelos compreendidos entre entr e os planos

ef

e

CD

são

Figura Fig ura 6.1), 6.1),

então o quadrilátero A B D C é plano. Logo Logo,, as reta re tass A C e B D são paralelas, j á que não têm ponto comum por estarem situada sit uadass em planos planos paralelos. ortanto A B D C é u m paralelogramo e A B = C D Teorema 6 1

Um feixe

e

planos paral paralelo eloss determin dete rmina a segmentos pr pro o

4

 

Planos paralelos e proporcionalidade

44

B

Figura 6.1: Segmentos de retas paralelas entre planos paralelos porcionais sobre duas retas secantes quaisquer

A demonstração cons consiste iste em reduzir o teorem teoremaa p r o seu correspondente no plano, que é o teorema de Tales sobre feixe de retas paralelas. Sejam n: 3 e Y três planos paralelos e sejam r 1 e r 2 duas retas secantes quaisquer Figura 6.2) 6.2).. A ret r 1 cort os planos Demonstração

os

nos pontos A1, B 1 e C1 e r 2 corta mesmos planos nos pontos A2, B2 e C 2 . Pelo ponto A 1 de r 1 traçamos u m ret r; paralela a r 2 , que cort os três planos nos pontos A 1 , B e C~ As retas r 1 e r~ determinam um plano, que cort f e Y segundo as retas paralelas B 1 B~ e C 1 C~ Logo, pelo Teorema de Tales p r retas paralelas, temos

B 2C 2

Mas A 1B~ = A2B2, B~C~ = B2C2 e A1C~ = A2C2 por serem segmentos de de retas paralelas paralel as compreendidos entre ent re reta retass paralelas. Logo Logo,, temos

B1C1

A1C1

B2C2

A2C2.

 

6.1

Construção de pirâmides semelhantes

Figura 6.2: Teorema de Tales

6 1

45

para

planos paralelos

onstrução d e pirâmides semelhantes

An e vértice V Consideremos agora uma pirâmide de base A 1 A2 Figura Figu ra 6.3). 6.3). Tracemos um plano paralelo base, que cort co rtaa as arestas ares tas Bn e que divide a pirâmide em laterais segundo o polígono B 1 B 2

Bn e o outro dois poliedros: dois poliedros: um deles deles é a pirâmide pirâm ide de base B 1 B 2 An e B 1 B Bn é chamado de tronco e pirâmide de bases A1 A Consideremos as duas pirâmides e examinemos suas faces laterais.

 

Planos paralelos e proporcionalidade

 6

Na face face lateral lat eral

A 1 A2   por exemplo o segmen segmento to B 1 B 2 é paralelo

base. m consequênc consequência ia o triângulo triâ ngulo A 1 A2 . Logo temos

B 1 B 2 é semelhante ao triângulo

Aplicando o mesmo raciocínio para as demais face facess laterais laterai s concluímos que a razão entre entr e duas aarestas restas correspondentes das duas pirâmides é sempre igual a k. V

Figura 6.3: Seccionando

V

uma pirâmide por um plano paralelo

base

Na verdade as duas dua s pirâmides do do exemplo exemplo são semelhantes na razão k ou seja é possível possível estabel est abelece ecerr uma correspondência entre seus seus pontos de modo que a razão entre os comprimentos de segmentos correspondentes nas duas figuras seja constante. sta correspondência é estabelecida d a seguinte form forma: a: dado dad o u m

ponto P d a pirâmide V A 1 A2 V B 1B2

An seu correspondente n a pirâmide

Bn é o ponto P sobre V P tal que

certamente certa mente pertence perten ce

VP

=

VP

= k. O ponto

P

segunda pirâmide. pirâmide. Além Além diss disso o tomando u m

segundo par de pontos correspondentes Q e Q ,

os

triângulos V P Q e

 

61

Construção de pirâmides semelhantes

47

V P Q são semelhantes n razão k, o que implica em P Q PQ

= k. Logo, a

razão entre os segmentos correspondentes correspo ndentes nas duas pirâmides pirâmid es igual a k o que demonstra a sua semelhança.

sempre

O que fizemos acima pode ser visto de maneira mais geral e transformado em um método p r obter u m figura semelhante a uma figura fig ura dada. Dado um um ponto V do espaço e um número real k f. O a homotetia de centro V e razão k é a função a que associa a cada ponto P do espaço o ponto P sobre V P t l que V P = k V P Figura 6.4).

Figura 6.4: Figuras homotéticas

Duas figuras F e F são homotéticas quando existe u m homotetia a t l que

a(F) = F . Assim, as duas pirâmides do exemplo anterior são

homotéticas. Duas figuras homotéticas são sempre semelhantes, pelo mesmo mes mo argumen argu mento to utilizado utiliza do acima: acima: dados dois dois pontos pont os e Q em F seus correspondentes P e Q em F são tais que os triângulos V P Q e V P Q são semelhantes n razão k

 

Planos paralelos e proporcionalidade

 8

6 2

xercícios

6.1 Seja P u m ponto exterior a u m plano a . Para cada ponto seja X o ponto do segmento P Q que o divide n a razão

de

XP =k.

XQ

Qual é o lugar lug ar geométri geométrico co do ponto po nto X quando Q percorr percorree o plano

a? 6. 6.2 2 Considere dois planos e /3 Qual é o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos cujos extremos estão nas retas r e s Examine todas as possíveis posições relativas de r e s. 6.3 Considere uma reta r e um plano a . Qual é o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos cujos extremos estão em r e a respectivamente? Examine todas as possíveis posições relativas d e r e a. 6.4

Dada uma reta r secante ao plano e a a construir u m segmento cujos

e u m ponto P exterior a r extremos estão em r e a e

cujo ponto médio seja P. 6.5 Dadas as retas reversas duas a duas r s e t encontrar uma reta que as encontre nos pontos R e T respectivamente de modo

que S seja ponto médio de RT. 6.6 Mostre que dois poliedros homotéticos possuem faces respectivamente paralelas. 6.7 V Veri erifiq fique ue atravé atr avéss de u m exemplo que dois dois poliedros com arestas respectivamente proporcionais não são necessariamente semelhantes. Mostre porém que dois dois tetra tet raedr edr os de arestas are stas resrespectivamente proporcionais proporcionais são semelhantes. semelhantes.

 

6.2

Exercícios

49

6. 6.8 8 Seja um tetrae tet raedro dro qualquer, no qual A , B , C e D são os baricentros das faces opostas aos vértices A , B , C e D. a

Mostre que as re reta tass A A e B E são concorrentes.

b

Mostre que o pont po nto o G comum a A A e B B é GA

GB

GA

GB

t l

que

1

c

Conclua que as quatro retas contram no ponto A

d

Mostre que que o tetra te tra edr o A B C D é homotético ao tetraedro A B CD. Qual é o centro de homotetia? Qual é a razão razão d homotetia?

AA , BE , C C

e

DD

se en-

 

C PÍTULO

Perpendicularismo de reta e

Introduzimos

agora

o conceito de

plano

reta perpendicular

a

um

plano.

para Geometria do Espaço. N a realidade, é fundamental para o espaço seja talveznoção a forma mais intuitiva dea passar do plano conduzir uma reta perpendicular ao plano d a Geometria Plana. É exatamente o que fazemos quando estendemos u m sistema de coordenadas Esta

bidimensionais para u m sistema de coordenadas coor denadas tridime tridimensionais nsionais.. E n tre as construções mais fundamentais d a Geometria Espacial estão conduzir uma reta perpendicular a u m plano passando por um ponto e sua dual , que consiste e m traçar u m plano perpendicular a uma reta por u m ponto). Mostraremos nesta seção que é possível fa fazer zer tais construções. efinição 7 1 Diz-se que

um

reta é perpendicular a u m plano quando

ela é ortogonal a toda reta contida no plano Figura 7.1).

Observe que

para r ser perpendicu perpendicular lar

a

basta n a

verdade, que

51

 

5

Perpendicularismo de reta e plano

r

Figura 7.1: Uma reta perpendicular a um plano

ela seja perpendicular às retas de a que passam pelo seu ponto A de interseção com a se isto ocorrer, ela será necessariamente ortogonal a qualquer outra reta de a , j á que toda reta de a possui uma paralela

passando por A ste tipo de argumento pode ser utilizado para obter algumas re-

lações importantes entre paralelismo e perpendicularismo.

1) Se a reta r e o plano plan o a são perpendiculares, toda reta

r

paralela

a r é perpendicular a a; todo plano a paralelo a a é perpendicular a

r.

2) Duas retas distintas r e r perpendiculares a

u m mesmo

paralelas; dois planos distintos a e f perpendiculares a reta

rsão

plano são

uma mesma

paralelos (Figura 7.2).

As demonstrações das afirmativas e m 1) são imediatas e deixadas por conta do leitor. A demonstração das propriedades e m 2) é muito

mais sutil isto ocorre porque porqu e para demonstrar as afirmativas e m 2)

 

r r

Figura 7.2: Retas paralelas perpendiculares a planos paralelos

precisamos usar a tridimensionalidade precisamos tridimension alidade do espaço). espaço). Suponham Supo nhamos os que r e r' sejam ambas perpendiculares ao plano a e que r e r' não sejam

paralela s Figura paralelas Figu ra 7.3) 7.3).. Pelo ponto pon to de interseção de r' e a traçamos a reta r , paralela a r. Como r' não é paralela a r, as retas r' e r são distintas e determinam determin am u m plano 3, qu quee corta cort a a segundo a r e t a s Como r' e r são ambas perpendiculares a a, resulta que r' e r são ambas perpendiculares a s Mas isto significa significa que, que, no plano 3, existem duas perpendiculares r e t a s pass passando ando pelo mesmo mesmo ponto, o que que é uma contr adição. contradiçã o. Logo Logo,, se as reta re tass r e r' são ambas perpendiculares a a , então elas elas são necessariamente paralelas entre entr e si. A demonstra demon stração ção d a outra

afirmativa afirma tiva em 2) é análoga análo ga e

Até o momento, definimos

reta

também

fica como exercício.

perpendicular a

um

plano e enun-

ciamos algumas propriedades decorrentes d a definição. Mas não demonstramos ainda que tais objetos existem. Dado u m plano, existem de fato retas ret as que são perpen perpendicul diculares ares a ele? ele? Observe que a defin definição ição de

reta

perpendicular a

um

plano exige

bastante d a

reta, pois pede

 

Perpendicularismo de

5

reta

e plano

r

Figura

7.3: Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas

que ela seja ortogonal a todas as retas do plano. Existem mesmo retas e planos com esta propriedade? Nossa intuição nos diz que sim, mas o próximo teorema será crucial para demonstrar que isto é verdade. Neste teorema, mostraremos que para que uma reta seja perpendicular

a

um

plano

basta

que ela seja

perpendicular

a

duas retas

concorren-

tes do plano. Isto faz com que, de posse deste teorema, construir u m plano perpendicular a uma reta se transforme numa tarefa muito mais simples do que antes: basta tomar duas retas perpendiculares reta dada. É exatamente o que faremos após demonstrar este próximo teorema. Teorema 7 2

Ser

é ortogonal a

então r é perpendicular a

um

par

e

retas concorrentes

e

a

a

Sejam s e t duas retas de a que se encontram em A, ambas ortogonais a r. Sem perda de generalidade, podemos supor q u e r passa por A senão tomamos uma paralela r passando por A Figura 7.4). Vamos mostrar que toda reta u de a passando por A é perpendicular a r. Se u coincide com s ou t então u é certamente perpendicular a r. Senão, tomemos uma reta v de a tal que seu ponto de interseção U com u esteja entre os pontos de interseção e T com Demonstração

 

55

s e

t

m cada semiplano determinado por a tomemos pontos A 1 e

A   tais que A A 1

=

AA2•

r

Figura 7.4: Condição

para perpendicularismo de reta e plano

Os triângulos retângulos A   A S e A   A S são certamente iguais, j á que A 1 A = A 2 A e o cateto A S é comum. comu m. Logo, Logo, A 1 S = A 2 S. Ana logamente, os triângulos A 1 A T e A 2 A T são iguais, daí resultando

A 1 T = A 2 T. Examinando, então, os triângulos A 1 S T e A 2 S T obser vamos que o lado S T é comum e os demais lados são respectivamente

- -

da

iguais.. Porta iguais Por tant nto, o, estes triângul triâ ngulos os são iguais. iguais. Mas igualdade de A 1 S T e A 2 S T resulta também a igualdade de A 1 S U e A 2 S U SU é omum, A 1 S = A 2 S e os ângulos A 1 S U e A 2 S U são iguais . Logo, Logo, A 1 U = A 2 U e daí, os triângulos A 1 A U e A 2 AU são iguais, por possuí rem lados lados respectivamente respectivament e iguais. iguais. Mas Mas isto acarreta a igualdade dos ngulos A   A U e A   AU. Como

são colineares, cada um daqueles ângulos é necessariamente reto. Ou seja, u é perpendicular A 1,

A e

A2

ar

 

Perpendicularismo de reta e plano

56

Assim, provamos que toda reta de a passando por A é perpendicular a r e portanto, que r e a são perpendiculares. Estamos prontos, finalmente, para constr construir uir retas e planos planos perpen diculares. Teorema 7 3

Por u m

perpendicular a

uma

ponto dado, se pode traçar

reta dada.

Por um

um

único plano

ponto dado, se pode traçar

única reta perpendicular a u m plano dado. Demonstração Para traçar o plano perpendicular à reta r passando uma

por u m ponto A começamos traçando dois planos distintos 1 e 2 contendo r Figura 7.5), Por um ponto B sobre r traçamos, em cada u m dos planos 1 e 2 , retas s 1 e s 2 , ambas perpendiculares a r.

O plano a determinado por s 1 e s 2 contém duas retas concorrentes perpendiculares a r ; logo, a é perpendicular a r Finalmente, traçamos pelo ponto A u m plano a paralelo a a , que também é perpendicular a r, em virtude de teorema anterior desta seção. Para ver que a é o único plano perpendicular a r passando por A basta observar que, se existisse um outro, ele também teria que ser paralelo a a, de acordo com as propriedades vistas no início desta seção. Mas só existe exist e u m plano paralelo a a passando por A. Vejamos, agora, como construir a reta perpendicular ao plano a passando pelo ponto A. Sobre a tomamos duas retas concorrentes e traçamos os planos 1 e 2 , perpendiculares a estas retas e contendo seu ponto po nto de interseção Figura Figur a 7.6). 7.6). Sejam s 1 e s 2 as retas de inter seção de 1 e 2 com a e seja r a reta de interseção de 1 e 2 . A reta é perpendicular às retas s 1 e s 2 , por estar contida em planos que são perpendiculares a cada uma delas. Portanto, r é perpendicular a a Finalmente, Finalme nte, traçamos por p or A a paralela r a r, que é perpendicular a a pelas proprieda pr opriedades des enunciadas enun ciadas no iníci início o desta des ta seção seção.. Para a unicidade, basta observar que uma outra reta perpendicular a a passando por A teria que ser também paralela a r. Mas existe uma única paralela a r passando por A.

 

7.1

Constr Con struçã ução o de

um

sistema ortogonal de coordenadas r A

57

Figura 7.5: Construção do plano perpendicular a

uma reta

A s construções que acabamos de introduzir nos permitem enrique-

cer enormemente o nosso acervo de figuras espaciais.

7 1

onstrução de um sistema ortogonal

d e coordenadas Podemos modificar o sistema de coordenadas tridimensional introduzido n a seção 5 tomando os eixos O X O Y e O Z mutuamente perpendiculares. Ist Isto o corresponde a tomar o sistema de coordenadas retangulares d a Geometria lana e acrescentar um terceiro eixo perpendic pen dicula ularr ao plano dos dos dois primeiros. Como vimos n a seção 5 as coordenadas coorden adas de ca cada da ponto pont o do espaço espaço são obtidas obti das conduzindo planos paralelos ao plano definido por dois dos eixos e obtendo a interseção com o terceiro eixo. N o caso de eixos perpendiculares, isto equivale a conduzir por planos a f e I perpendiculares a cada eixo e obter as interseções A P  e destes deste s planos com o eixo eixo corresp corr esponde ondente nte Figura Figu ra 7.7 7.7). ). Como veremos veremos mais mais tarde, isto é o mesmo que obter a

 

Perpendicularismo de reta e plano

58

projeção ortogonal de P sobre cada eixo.

r

1

Figura 7.6: Construção d a reta perpendicular a um plano

7 2

onstrução de u m prisma reto rismas

retos são prismas obtidos tomando, para as arestas late

rais, retas perpendiculares ao plano d a base Figura 7.8a). E m con sequência, as faces laterais são retângulos. H á diversos casos particulares importantes. Quando a base é u m polígono regular obtemos u m prisma regular. Quando a base é u m retângulo obtemos u m pa-

ralelepípedo retângulo

ou bloco retangular , no qual cada face é u m

retângulo assim, u m paralelepípedo retângulo é u m prisma reto onde qualquer face serve como base). Ainda mais especial é o caso do cubo - ou hexágono regular - , paralelepípedo retângulo no qual cada face é u m quadrado

Figura 7.8b).

 

7.3 7.3 Constr Con strução ução de pirâmid pirâmides es regulares

z

59

y

Figura

7 7: Sistema de coordenadas ortogonais

b)

a)

Figura 7.8: Prismas retos

73

onstrução d e pirâmides regulares

São construídas tomando um polígono regular A 1 A2

An como

base e escolhendo como vértice um ponto V situado sobre a perpendicular ao plano do do polígo polígono no conduzida condu zida pelo pelo seu centro O Figura Fig ura 7.9) 7.9).. Os triângulos retângulos V O A 1   V O A 2   VOAn são triângulos retângulos iguais, por possuírem catetos respectivamente iguais V O é comum a todos e OA 1 = O A 2 = = OAn j á que O é o centro do polígono). E m consequência V A 1 = V A2 = V An o que faz com que as faces laterais sejam triângulos isósceles iguais.

 

Perpendicularismo de reta e plano

60 V

Figura 7.9: Pirâmides regulares

74

Construção Cons trução

e um

tetraedro regular

Consideremos u m pirâmide triangular triang ular regular de bas basee A B C e vértice V. Um tetr edro regular é obtido escolhendo o vértice V sobre a perpendicular ao plano d base tr ç d por seu centro O) de modo que que as arestas laterais laterai s V A V B e V C sejam iguais às arestas A B A C e B C d base Figura Figu ra 7.10) 7.10).. A s faces d pirâmide assim obtid são triângulos equiláteros iguais. Além disso, se por A tomamos a perpendicular ao plano de V B C que cort este plano em P os triângulos retângulos A P B A P V e A P C são iguais, j á que suas hipotenusas são iguais e o cateto A P é comum a todos os três. Assim, temos P B = P C = PV. Logo, P é o centro do triângulo equilátero V B C o que faz com que a pirâmide seja regular qualquer que seja a face tom d como base. A Figur Fig uraa 7.1 7.10 0 sugere que que as retas ret as V O e A P isto é as retas perpendiculares a duas faces do tetr edro regular traçadas traça das pelo pelo vértice vértice oposto a c d um destas faces) sejam coplanares. De fato isto ocorre. Consideremos o plano a determinado pela ret V O e pelo vértice A. Este plano corta o plano d base A B C segundo a ret AO. Mas como A B C é u m triângulo equilátero de centro O, A O corta o lado B C em seu ponto médio

M

Logo, a

ltur

VM d

face V B C está contida no

plano a; em particular, o ponto P que é o centro de V B C está neste

 

7.5 Construç Cons trução ão de u m octaedro regular

61

plano. Logo, a ret V P está contida em a: o que mostra que V P e O são concorrentes. Como os pontos de V O são equidistantes de A B e C e os pontos de P são equidistantes de V B e C o ponto de interseção de V O e P é u m ponto equidistante dos quatro vértices

do tetraedro, chamado de

centro

do tetraedro. tetraed ro. O argumento acima

mostra, n realidade, que as quatro perpendiculares traçadas de cada vértice face face oposta opo sta passam pass am todas tod as pelo pelo ponto pon to O. O. V

e

B

Figura 7.10: Tetraedro regular

75

onstrução de um octaedro regular

Um octaedro regular pode pod e ser construído a p rtir de três trê s segmentos segmentos iguais e mutuamente perpendiculares A B C D e E F que se cortam no ponto pon to médio médio O de c d um deles Figur Fig uraa 7.11). 7.11). Os segmentos definido definidoss por pares formados por estes seis seis pon pontos tos exceto os que definem os segmentos segment os origina originais) is) são todos tod os iguais. iguais. Traç Traçando ando todos estes segmentos segmentos obtemos u m poliedro com oito faces triangulares regulares, chamado de octaedro regular regular.. Um octaedro regular regular pode ser t mbém obtido

 

62

Perpendicularismo de reta e plano

tomando duas pirâmides quadrangulares regulares iguais em que as faces laterais são triângulos equiláteros e justapondo estas pirâmides através de suas bases.

O tetraedro regular, o hexaedro regular e o octaedro regular são exemplos exem plos de poliedros regular regulares. es. Um poliedro regular é um poliedro em que todas as faces são polígonos regulares iguais e todos os vértices são incidentes ao ao mesmo mesmo número de de arestas. aresta s. Além dos três poliedros regulares apresentados nesta seção é possível demonstrar que existem ape nas dois apenas dois outros: o dodecaedro regular, com 12 faces pentagonais, e o icosaedro regular, com 20 faces triangulares. E

F

Figura 7 11: Octaedro regular

7 6 71

xercícios Demonstre a

s

seguintes propriedades:

Seja r uma reta perpendicular ao plano a Toda reta paralela a r é perpendicular a a ; todo plano paralelo a a é perpendicular a r

 

7.6

Exercícios b

Do Dois is planos distintos distin tos perpendiculares perpendicu lares

63

mesma reta são pa-

ralelos entre si. 7.2 Mostre q que ue por um pon p onto to dado se se pode traçar uma única reta ortogonal a duas retas não paralelas dadas. 7.3 Demonstre o Teorema das Três Perpendiculares: sejam A B e C pontos não colineares. Se as retas A B e A C são ortogonais reta r então B C também é ortogonal a r 7.4 Dois triângulos A B C e B C D são retângulos em B . Mostre que se o cateto A B é ortogonal hipotenus hipotenusaa C D então o cateto B D é ortogon ortogonal al hipotenusa hipoten usa AC. 7.5 O triângulo A B C retângulo em A está contido em u m plano o: Sobree a perpendicula Sobr per pendicularr a o traçada por C tomamos um ponto D. o r C traçamos, por sua vez, as perpendiculares C E e C F a A D e B D respectivamente. Mostre que: a

A B é perpendicular a AD;

b

C E é perpendicular a EF;

c

DF

é perpendicular a EF.

7.6 Sejam r uma reta do espaço e P u m ponto exterior a r. Qual é o lugar geométrico dos pés das perpendiculares traçadas de P aos planos que contém r? 7. 7 Mostre que os centros das faces de u m cubo são vértices de um

octaedro regular e que os centros das faces de u m octaedro regular são vértices de u m cubo. 7.8 Mostre que os centros das faces de um tetraedro regular são vértices de u m outr o tetraedr tetr aedr o regul regular. ar. Qual é a razão razão entre as arestas dos dois tetraedros?

 

6

Perpendicularismo de

ret

e plano

7.9 Sejam V A V B e

VC

três segmentos mutuamente perpendi-

culares. Mostre que a projeção de V sobre o plano ortocentro do triângulo ABC.

ABC

é o

7.10 Pelo vértice A do triângulo A B C traça se u m perpendicular A A a seu plano. Sejam H e H os ortocentros dos triângulos A B C e A B C . Mostre que H H é perpendicular ao plano de A B C .

 

C PÍTULO

Planos perpendiculares

Tomemos dois planos plano s secantes seca ntes

e

{

e tracemos um plano

Y

per-

pendicular s u ret r de interseção, que cort e { segundo as retas s e t O ângulo entre s e t não depende d posição escolhida p r 1 odos os planos perpendiculares a r são paralelos entre si e portanto, cortam

e

{

segundo retas respectivamente paralelas). Quando

formam u m ângulo reto, reto , dizemos que os planos l res Figura 8.1).

e

{

s

t

são perpendicu-

Figura 8 1: Planos perpendiculares Note que, se

e

{

são perpendiculares, então a ret 65

 

s de

é

Planos perpendiculares

 

perpendicular às retas r e t de /3. Logo, s é uma reta de a que é perpendicular a /3. Na verdade a existência em um plano de uma reta perpendicular a u m outro é condição necessária e suficiente para que os

planos sejam perpendiculares.

Teorema 8 1 um

Dois planos a e 3 são perpendiculares se e

deles contém

Demonstração

um

Se

reta perpendicular

ao

s omente

se

outro.

a e f3 são perpendiculares então certamente certame nte existe

uma reta de a perpendicular a /3 conforme explicamos no parágrafo

anterior. Por outro lado, suponhamos que uma reta r de a seja perpendicular a 3 Fig Figura ura 8.2). 8.2). O plano a corta 3 segundo uma reta t que é perpendicular a r. Pelo ponto de interseção de r e t traçamos a reta s contida em f3 e perpendicular a t O plano definido por r e s é perpendicular a t j á que contém duas retas que lhe são perpendiculares. Mas r e s são perpendiculares, j á que r é perpendicular a /3. Portanto a e 3 são de fato perpendiculares.

t

.

Figura 8.2: Critério de perpendicularismo de planos

Nos exemplos vistos no final d a seção anterior aparecem vários pares de planos perpendiculares. Por exemplo, os planos OXY O X e O Y em u m sistema ortogonal de coordenadas são mutuamente perpendiculares cada u m deles contém u m eixo perpendicular a cada u m

 

67

dos outros dois). A s faces laterais de u m prisma reto são perpendiculares ao plano d a bas base. e. O plano contendo as as altura alt urass V O e A P do tetraedro regular V A B C é perpendicular às faces A B C e V B C E m todos estes exemplos, utilizamos o teorema anterior para estabelecer pares de planos perpendiculares a partir de uma reta per-

pendicular a um deles. Por outro lado, planos perpendiculares podem ajudar a mostrar que uma reta é perpendicular a u m plano, através do teorema a seguir. Teorema 8 2

Se

um

plano a

a é perpendicular pendicular a 3.

r

de

à

reta

é de

perpendicular a interseção

de

um

plano 3 e a reta

a e 3, então r é per-

Podemos utilizar novamente a Figura 8.2 em nossa

Demonstração

argumentação. Seja r uma reta de a perpendicular à reta t de interseção de a e 3. Pelo ponto de interseção de r e t traçamos a reta s de /3 também perpendicular a t O plano determinado por r e s é perpendicular a t Como a e 3 são perpendiculares, o ângulo entre r e s é reto. Assim, r é perpendicular a um par de retas s e t de 3 e é então, perpendicular a 3. Observe que, em consequência do teorema acima, se u m a reta r e u m plano a são ambos perpendiculares a u m m e s m o plano 3, então r

é

paralela a a ou está contida

reta paralela a r

em

a

asta ver que a contém uma

De fato, podemos sempre traçar em a uma reta

perpendicular à sua interseção com 3; esta reta é perpendicular a 3 e portanto, é paralela a r Exemplo 8 3

Tomemos u m cubo A B C D E F G H e consideremos o

plano diagonal B F H Figur Fi guraa 8.3). 8.3). Afirmamos Afirmamos que a diagonal A C d a face A B C D é perpendicu perpendicular lar a este plano. plano. Uma das muitas forma formass de provar este fato é a seguinte: os planos A B C D e B F H D são perpendiculares, porque a reta B F de B F H D é perpendicular a ABCD; como a diagonal A C é perpendicular à diagonal B D que é a reta de

 

Planos perpendiculares

 8

interseção de B C D e B F H D concluímos, pelo teorema anterior, que C é perpendicular ao plano diagonal B F H D Consideremos agora o problema de traçar u m plano perpendicular a u m plano dado. Se fornecermos fornecermos apen ap enas as u m ponto A que o plano deva conter, temos uma infinidade de soluções. soluções. Realmente, Realme nte, basta tomar a reta r perpendicular ao plano dado passando por A Todo plano contendo esta reta é perpendicu perpendicular lar ao plano dado Figura 8. 8.4) 4)..

Figur Fig uraa 8.3: 8.3: No entanto, quando impomos a condição de que o plano perpendicular contenha uma reta não perpendicular ao plano dado, passamos a ter solução única. Teorema 8 4

Por uma

reta não perpendicular a

um

plano passa

um

único plano perpendicular a este plano. Demonstração

Seja

r

uma reta não perpendicular a um plano a A

Figura 8.5). o r u m ponto qualquer de r traçamos a reta s peré pendicula pendi cularr ao plano. Como r não perpendicular a a r e s são concorrentes e assim definem u m plano /3 que é perpendicular a a por conter a reta s perpendicular a a . ara mostrar que f3 é único

 

81

Exercícios

69

A

.......__

Figura 8.4: Planos perpendiculares a um plano dado passando por um ponto dado basta observar que, se um outro plano /3 também passasse por

fosse perpendicular a a tal plano teria que conter

s

ser paralelo a s por conter o ponto A . Mas p o r r e plano, o que mostra que /3 coincide com

e já que não pode

s

r

passa u m único

/3.

Exemplo 8 5 Voltemos ao cubo A B C D E F G H do exemplo anterior

e consideremos a diagonal B H perpendicular ao plano d a face

8 1

O único plano que contém B H e é A B C D é o plano diagonal B F H D.

Exercícios

8.1 Mostre Most re que que dois dois planos são perpendicu perpen dicular lares es se se e só se duas du as reta re tass respectivamente respectivamen te perpendiculares perpendic ulares a cada um deles são ortogonais.

8.2 Mostre que se u m plano

contém uma reta perpendicular a

 

Planos perpendiculares

70

~

Figura 8 5: Pla Plano no perpendicular a um p plano lano dado cont contendo endo

uma reta

u m plano /3 então o plano 3 contém uma reta perpendicular ao

plano

o:

8 3 Mostre que u m plano é perpendicular a dois planos secantes se e somente se ele é perpendicular planos 84

m u m cubo BHG

e

BCDEFGH

EFDC

reta de interseção dos dois

mostre que

são perpendiculares

os

planos diagonais

 

CAPÍTULO

Aplicações: projeções ângulos

e

distâncias

Nes ta seção Nesta seção aplicamos aplicamos os conceitos desenvolvidos nas seções anteriores para es estu tuda darr problemas métricos no no es espaç paço o envolv envolvend endo o cálcul cálculo o de ângulo ânguloss e distâncias. As ferramentas ferra mentas para tal vêm d a Geometria Plana.

9 1

istância entre dois pontos

A distância entre ent re dois dois pontos ponto s e B é simplesmente a medida do segmento A B o plano plano a distânci dist ânciaa entre ent re d doi oiss pontos é frequente-

mente obtida obt ida utilizando utilizando o Teorema de Pitágoras. Isto ocor ocorre re porque muitas vezes dispomos das medidas das projeções de um segmento segundo duas direções perpendiculares. sta situação também ocorre frequentemente frequent emente no no espaço. espaço. Novamente Novamente a ferramen ferr amenta ta a utilizar utili zar é o Teorema de Pitágoras. 7

 

Aplicações: projeções, ângulos e distâncias

72

Exemplo 9 1 Consideremos o problema de calcular a diagon diagonal al B H d

de

AD

um

=

b

=

paralelepípedo retângulo A B C D E F G H de arestas A B = a e A E = e Figura Fig ura 9.1). 9.1). Resolv Resolvemo emoss o problema prob lema utilizando o

Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos A B D e B D H este segundo triângulo é retângulo porque B H é perpendicular perpendicul ar ao ao plano d a base

e

assim, perpendicular à

reta

B D que

está

contida

nesta

base).

Temos: BD 

= a 2 + b2 no triângulo

d2 = B D  

+ c2

ABD

no triângulo BDH .

Logo,

m

particular, a diagonal de um cubo de aresta a mede

H G

E

e A

Figu Fi gura ra 9.1: Diagonal de

um

palelepípedo

d

a-/3.

9 2

Plano mediador

Qual é o lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes

de dois pontos dados A e B

 

9.2 Plano Pla no mediador

73

Sabemos que, no plano, o conjunto dos pontos equidistantes de A e B é a reta mediatriz de AB; isto é a perpendicular a A B passando pelo seu seu ponto pon to médio M A situaçã sit uação o é análoga análog a no espaço. espaço. Um ponto P do espaço é equidistante de A e B se e somente se P M é perpendicular a A B Figura

9.2 . A

B

9.2: 2: O plano media mediador dor Figura 9.

De fato, se P M é perpendicular a A B os triângulos retângulos P M A e P M B são iguais, por possuírem u m cateto comum P M e catetos iguais M A e M B assim, P A = P B Por outro lado, se P A = P B então os triângulos P A M e P B M são iguais, por possuí-

rem lados respectivamente iguais; logo, os ângulos P M A e P M B são iguais e por porta tanto nto,, retos retos.. Provamos, então, que os pontos do espaço equidistante de A e B são todos aqueles pontos P tais que a reta P M é perpendicular a AB. Mas estes são exatamente os pontos do plano que passa por M e é perpendicular a AB; este é o chamado plano mediador de AB. xemplo 9 2 Vamos resolver agora o problema que mencionamos n a

introdução deste livro. O u seja, vamos provar que as arestas opostas

 

Aplicações: projeções, ângulos e distâncias

7

e um

tetraedro regular são ortogonais Na verdade, vamos preferir mos trar mostr ar alg algo o mais geral pode parecer paradoxal que seja mais mais simples simples demons dem onstr trar ar um resul re sultad tado o mais mais geral, geral, mas às às veze vezess isto ocorre: ocorre: fazendo fazendo

o teorema tão geral quanto possível identificamos com mais facilidade as técnicas a usar). usar ). Dados pontos A B , C e D do espaço tais que A B = A D e C B = C D o que ocorre no tetraedro regular e ocorre t mbém em u m losango ABCD , afirmamos que as retas A C e B D

são ortogonais. Realmente, a condição d d implica que A e C estão ambos no plano mediador de BD. Mas tod ret conti contida da em em um plano que é perpendicular a B D é certamente ortogonal a BD.

e

D

B

a)

Figura 9.3: As arestas opostas de

A

D B

b) u m tetr edro regular são ortogonais

9 3

Distância d e ponto

plano

Dado u m plano a e u m ponto P do espaço, o ponto Q em que a ret perpendicular a a tr ç d por P corta o plano a é chamada de projeção ortogonal de P sobre a Fig Figura ura 9.4). 9.4). O comprimento compri mento do do segmento P Q é a distância de P a a Note que se é u m outro ponto qualquer do plano, o triângulo P Q R é retângulo e tem P Q como c teto e P R como hipotenusa. Assim, o comprimento d perpendicular P Q é menor que o comprimento de qualquer oblíqua P R

 

9. 9.3 3 Distância de ponto pon to a plano

Figur Fig uraa 9. 9.4: 4: Distância de

7

ponto a plano

paralela a u m plano Figura Figur a 9.5a), todos todo s os seus pont os estão pontos estã o a igual dist di stân ânci ciaa do plano. De fato, fato, se de dois dois pontos Pi e P 2 d ret r paralela a traçamos as perpendiculares Pi Q1 e Q 2 Se um

a

a

ret

r é

obtemos u m retângulo PiP2Q2Q 1. Logo, PiQ1

= P2Q2.

 

Aplicações: projeções, ângulos e distâncias

76

b)

a) Figura 9.5:

Analogamente, se 3 é u m plano paralelo a a todos os seus pontos estão mesma distância d de a Figu Figura ra 9.5b). 9.5b). O número númer o d é a distância entre os planos a e /3 Note que d é igual ao comprimento do segmento determinado pelos planos em qualquer reta perpendicular a ambos. Note também que qualquer segmento de extremos em tem comprimento maior do que ou igual a d. Exemplo 9 3

m

um tetraedro regular

ABCD

de

aresta

a

e 3

a, qual é

a distância do vértice A ao plano B C D Isto é qual é a altura do tetraedro?) Empregamos, mais uma vez o teorema teor ema de Pitágoras Pitág oras.. Seja a projeção de A sobre o plano B C D Figura 9.6). J á vimos antes que o ponto H é o centro do triângulo equilátero BCD Examinemos o triângulo retângulo A H B O lado A B é a aresta do tetraedro; logo,

=

O lado H B é o raio do círculo circunscrito ao triângulo equilátero de lado a; logo AB

a.

Temos, então:

 

9.4 Distância de ponto a reta

77

e, daí, AH

a\1 6_

Na figura 9.6 representamos não somente o triângulo A H mas a seção completa o triângulo ABM determinada no tetraedro regular pelo pe lo plano que o contém. O ponto M é o ponto médio d aresta CD N o triângulo A B M aparecem quase todos os elementos métricos importantes do tetraedro regular. Além d ltur do tetraedr tetr aedro o que que é a altur al tur a relativa a A do triângulo ABM , nele aparecem o ângulo entre duas faces, o ângulo entre u m ares aresta ta e uma fa face, a distância distânci a entre arestas opostas e os raios das esferas inscrita, circunscrita e tangente às aretas are tas do tetraedr tetr aedro. o. Identificaremos alguns des desse sess elementos elementos mais tarde; os demais aparecerão nos exercícios.

e

Figu Fi gura ra 9.6: Altu Altura ra do tetraedro regular

9 4

Distância d e ponto

reta

Dado um ponto P e um ret r do espaço, o ponto Q em que a ret r cort o plano perpendicular a r passando por P é chamado de projeção ortogonal de P sobre r Figura 9. 7).

 

 8

Aplicações: projeções, ângulos e distâncias

Figura 9.7: Distância de ponto a reta

O comprimento d o segmento P Q pertence

é

a distância de P a r. Se P não

reta r os pontos P e Q são distintos e P Q é a única reta

perpendicular a r traçada por

P e

r

definem u m único plano e,

neste plano, P Q é a única perpendicular a r passando por P . Se R é u m outro ponto qualquer de r, o triângulo P Q R tem hipotenusa P R e cateto PQ; logo P Q < P R (isto é, o comprimento d a perpendicular é menor que o comprimento de qualquer oblíqua).

Assim, o cálculo d a distância de u m ponto a uma reta envolve o traçado d a perpendicular

muito comum

é aquela

de referência

reta passando pelo ponto. Uma situação

onde a reta r esteja situada sobre u m plano

por exempl exemplo, o, o plano plan o do chão).

Nestas situações, é

muitas vezes desejável que a construção d a reta perpendicular se apoie

em elementos deste plano de referência. Isto se torna simples com o auxílio do chamado Teorema das Três Perpendiculares.

Se três pontos não coplanares A B e C sã são o tais

que

s

retas A B e A C

são ambas ortogonais a uma certa reta r, então a reta B C também é ortogonal a r. O leitor j á foi convidado a demonstrar esta propriedade no exer-

 

9.4 9.4 Distânc Dis tância ia de pon to a reta

9

cício 7.3. Para a prova, basta observar que se r é ortogonal às retas concorr,entes A B e A C do plano ABC, então r plano; logo,

é

perpendicular ao

ortogonal a BC.

Suponhamos, então, que

r

esteja e m u m plano

u m ponto exterior a este plano

Figura 9.8 .

a

e que P seja

A perpendicular a r

passando por P pode ser constituída d a seguinte forma: projetamos P ortogonalmente e m a , obtendo u m ponto P . No plano a , conduzimos a reta perpendicular a r passando por P , que corta r e m u m ponto Q a reta P Q é perpendicular a r passando por Q. De fato, como P P e P Q são ambas ortogonais a

das Três Perpendiculares.

r, P Q é perpendicular a r, pelo Teorema

É

claro que esta construção equivale a

traçar por P o plano perpendicular a

Nos livros-texto

r.)

comum chamar-se de Teorema das Três Três Perpen Perp en

diculares a propriedade que descreve a situação acima: Se por u m ponto P traçamos traça mos a perpendicular P P u m ponto qualquer

reta P Q

é

ao plano a e por

de a traçamos a reta r perpendicular a P Q

a

perpendicular a r .

 

80

Aplicações: projeções, ângulos e distâncias p

Figura 9.8:

Observe que a distância de P a r (isto é o comprimento do segmento PQ pode ser calculada com o auxílio do Teorema de Pitágoras, uma vez conhecidos os comprimentos do segmento P P (distância de a a e P Q (distância de P à reta r . m muitos problemas práticos, estas duas últimas distâncias são fáceis de calcular, bastando escolher escol her sabiam sab iament entee o plano de refe referên rência cia conten contendo do r. P

um cubo A B C D E F C H de aresta a qual é a distância do vértice B à diagonal AC? Sabemos que temos que considerar a perpendicular B T traçada de B à reta AG. Mas onde fica o ponto T? Uma forma de resolver o problema é considerar o triângulo ABC, onde B T é a altura. E xemplo 9 4

m

Uma outra solução, mais trabalhosa, mas que nos d á a oportunidade de explorar os conceitos acima, consiste em considerar um plano conveniente contendo A C e traçar esta perpendicular em duas etapas, como explicado acima. É natural que este plano de referência referência seja o plano diagonal A E CC (Fig (Figura ura 99.9a). .9a). O primeiro passo é traçar a perpendicular de B a este plano. Mas o pla plano no d a face A B C D é perpendicular ao plano A E CC (note que o plano diagonal contêm a reta A E que é perpendicular ao plano ABCD). Logo, para traçar a reta

 

9.4 9.4 Distância Distâ ncia de ponto a reta

8

perpendicular ao plano A E C C basta traçar por B a perpendicular à reta A C de interseção inter seção dos planos. Mas como A C é a diagonal do quadrado ABCD, a perpendicular traçada por B é a outra diagonal po nto o médio O de ambos. O resto rest o B D do cubo, que corta A C no pont ocorre no plano A E C C Figura 9.9b); pelo ponto O devemos traçar a perpendicular O T a AC. a semelhança dos triângulos AOT e ACC, temos

OT

OA

CC

AC

ou seja, a /2

OT

a

aJ3

e daí OT

= a\/ 6

6 .

Finalmente, no triângulo retângulo BOT, temos

Portanto, B T = a\/ 6

3 .

Há outras formas de obter a resposta respo sta ao ao problema. problema. Uma soluçã solução o elegante consiste em ver que o ponto pon to está es tá a uma distância igual a a mesma forma, o ponto C a de cada u m dos pontos B , E e D. está a uma distância a /2 destes mesmos pontos. E m consequência a reta A C é a perpendicular ao plano do triângulo equilátero B D E que

pass a pelo passa pelo seu seu centro. Logo Logo a distânci distâ nciaa de de B a A C é simplesmente o raio do círculo circunscrito a u m triângulo equilátero de lado a /2 Exemplo 9 5 A construção em duas etapas d a perpendicular a uma reta aparece também ao se obter as coordenadas de u m ponto P em

 

82

Aplicações: projeções, ângulos e distâncias

A

o

e

b)

a) Figura 9.9:

u m sis sistema tema ortogonal de de coordenadas coordena das no no espa espaço. ço. Os pontos

Pi P2  

- cuja cujass po posi siçõ çõees sobr sobree os eixos fornecem as coordenadas de

P

P3

- são

obtidos obtid os traçando por P os planos perpendiculares a cada um dos eixos 7.7). ). Alternativa Alternativamente, mente, podemos encarar encar ar tais O X O Y e O Z Figura 7.7 pontos como sendo obtidos através d a seguinte sequência de constru ções: primeiro, projetamos P sobre os planos OXY O X Z e O Y Z or estas projeções, traçamos perpendiculares aos eixos contidas naqueles planos, assim determinando os pontos P i P2 e

P3  

Pelo teorema das

três perpendiculares, esta construção é equivalente a traçar por P os planos perpendiculares a cada eixo, assim determinando as projeções ortogonais de

9 5

P

sobre cada eixo.

istância entre retas reversas

Vimos acima aci ma diversos casos e m que defini definimos mos a distân dis tância cia entre entr e duas figuras - i s t o é do dois is conjuntos conjuntos de pontos - do espa espaço ço.. Todos Todos estes estes casos são situações particulares abrangidas pela seguinte definição: dadas dad as duas figura figurass Fi e F 2 definimos a distância entre Fi e F 2 como o

 

95

Distância entre retas reversas

83

comprimento do menor segmento que tem extremos em 1 e 2 . Por exemplo, a distância de u m ponto a um plano foi definida de modo a ser, de fato, o comprimento do menor segmento com um extremo no ponto dado e outro no plano. Vamos empregar esta definição para u m par de retas do espaço. Segundo esta es ta defini definição ção,, a distân dis tância cia entre duas re reta tass concorrentes ou coincidentes) é igual a zero. Se as retas ret as são paralelas paralela s logo logo coplanares),

ocorre uma situação j á estudada n a Geometria Plana: cada ponto d a primeira reta está a uma distância constante d a segunda.

sta

distânciaa constante distânci constan te que que é o comprimento do segmento segmento determinado determinad o por qualquer perpendicular a ambas) é a distância entre as retas. O caso mais interessante ocorre quando as duas retas são reversas. Também neste caso o segmento de comprimento mínimo é dado por uma reta perpendicular a ambas; mas agora existe uma só perpendi

cular comum às duas retas. Vere Veremo mos, s, a seguir seguir,, como construi cons truirr esta es ta perpendicular comum. Primeiro mostraremos o seguinte: dadas duas retas reversas r e s, existe u m par de planos paralelos a e /3 contendo r e s respectivamente estes planos paralelos constumam ajudar-nos a visualizar u m par de retas revers reversas) as).. Construímos tais planos planos traçando, por um

ponto qualquer de r, a reta s paralela a s e traçando por um ponto qualquer de s a reta r paralela a r Figura 9.10). A s retas r e s determinam o plano a e as retas s e r determinam o plano /3. Os planos a e 3 são distintos disti ntos caso caso contrário contr ário r e s estariam no mesmo plano). Por outro lado, as retas s e r de 3 são paralelas às retas s e r

de

a;

logo elas são paralelas a

a

o que mostra que

os

planos

e 3

são paralelos. Para construir uma perpendicular comum a duas reversas r e s

Figura 9.11), começamos por traçar o par de planos paralelos a e 3 contendo cada uma das retas. A seguir, seguir, por u m ponto A 1 qualquer de r traçamos uma reta t perpendicular ao plano /3 que o corta em B 1 . Por B 1 , traçamos a paralela r

ar

A reta

r

está contida em 3 e

 

84

Aplicações: projeções, ângulos e distâncias

no ponto B 2 • Finalmente, por B 2 traçamos a reta t paralela a A 1 B 1 . Note que as retas t , t, r e r estão todas em um mesmo plano. Logo, t c o r t a r e m um ponto A2 • A reta t forma ângulo reto com r e s (por ser ser perpend pe rpendicular icular aos planos a e /3 e é concorrente com ambas. É, portanto, uma perpendicular comum a r e s.

c orta s

Â

r

--

B

r

~

Figura

9.10: Planos paralelos contendo duas retas reversas

a unicidade, basta observar que se existisse outra perpendicular comum C D ela seria necessar necessariament iamentee pa paralela ralela a A 2 B 2   por serem ambas perpendiculares aos planos a e /3. Mas assim os pontos C D A2 e B 2 est estar ariam iam todos nnoo mesmo mesmo pla plano. no. Des Desta ta form forma, a, as retas r e s seriam coplanares, o que é uma contradição. A construção acima poderia, também, ser descrita do seguinte modo: pela reta r, traçamos o único plano que a contém e é per pendicular aos planos paralelos a e /3. O ponto onde a reta s corta este plano pertence à perpendicular comum. Deste ponto, basta con duzir a reta perpendicular aos planos a e 3; ela certamente cortará a Para mostrar

retas

Como a perpendicular comum a comum aos planos

a

r

e

s

é

também

a perpendicular

e /3, o comprimento do segmento por ela determi-

 

9.6 9.6 Ângulo entr entree planos

8

nado é o menor comprimento possível de u m segmento cujos extremos sejam quaisquer pontos de a e 3. E m particular, como r e s estão respectivamente contidas em a e 3, qualquer segmento com extremos nesta reta terá comprimento maior que o segmento d a perpendicular

comum. Lo Logo go,, o com compri primen mento to do segmento segme nto

da

perpendicular comum

exprime a distância entre as duas retas.

Figura 9.11: Perpendicular comum a duas Exemplo 9 6 Consideremos as diagonais

retas

reversas

e H de duas faces opostas de um cubo A B C D E F G H (Figura 9.12 9.12). ). A perpendic perpendicular ular comum às retas A C e H a reta 0 0 , onde O e O são os centros das faces A B C D e E F G H

96

AC

Ângulo entre planos

definir planos perpendiculares j á introduzimos a forma pela qual o ângulo entre dois planos a e 3 será medido. medido. Quando Quan do a e 3 são paralelos ou coincidentes, o ângulo entre eles é igual a zero, por definição. Se a e 3 são secantes, traçamos u m plano Y perpendicular à reta de interseção de a e 3, que corta a e 3 segundo as retas r e s Ao

respectivamente respecti vamente ((Fig Figura ura 9.13) 9.13).. A medida med ida do do ângulo ent entre re ooss planos planos

 

Aplicações: projeções, ângulos e distâncias

86

medida medi da do ângulo entre ent re as reta re tass r e s é assim, u m valor entre 0° e 90°). Note que este ângulo é o mesmo é

por def defini inição ção,, igual

qualquer que seja o plano 1 : todos os planos perpendiculares de interseção de o e f são paralelos entre si, determinando com retas de interseção respectivamente paralelas.

reta o

ef

B

Figura 9.12: Tomemos agora u m ponto A qualquer sobre o plano I e dele traça mos as retas r e s perpendiculares a o e f3 Estas retas r etas estão contidas em I e são perpendiculares a r e s, respectivamente. Portanto, o ân gulo formado por r e s é igual ao ângulo formado por r e s, que por suaa vez su vez é igual ao ângulo formado pelos planos. Ou seja, demonst demo nstra ra mos que o ângulo formado por dois planos é igual o ângul ângulo o f armado arma do por duas retas respectivamente perpendiculares a estes planos.

Convém aproveitar a ocasião para falar em medida de u m diedro. Um diedro ou ângulo diedro) é a figura formada por dois semiplanos - c h ama d os de faces do died diedro ro - limita limitado doss pela pela mesma mesma reta, chamada de aresta do diedro Figura Figu ra 9.14). ara medir u m diedro, conduzimos u m plano perpendicu perpe ndicular lar

aresta are sta e medimo medimoss o ângulo ângulo entre as semiretas determinadas em cada fa face ce.. Observe que a medida med ida de um ângulo diedro pode variar entre 0° e 180°. Note também que o ângulo entre dois planos secantes é igual dois eles.

medida medi da do menor diedro formado por

 

9. 9.77 Ângulo ent entre re

ret

e pla plano no

87

Figura 9.13: Ângulo entre planos

Figura 9.14: Medida de 9 7

Ângulo entre ret

e

um

diedro

pl no

Vejamos agora como definir o ângulo entre um ret e u m plano. Naturalmente, este ângulo deverá ser igual a 9 ° quando a ret é perpendicular ao plano e deverá ser igual a zero quando a ret está contida no plano ou é paralela a ele. Se um ret r é oblíqua a u m plano a definimos o ângulo entre r e como o ângulo ângu lo que r forma com s u projeç projeção ão ortogonal orto gonal sobre Fig Figura ura 9.15). 9.15). Note que o ângulo que r forma com é igual ao complemento do ângulo que com u m ret perpendicular a a

r

forma

 

88

Aplicações: projeções, ângulos e distâncias

Figura 9.15: Ângulo entre reta e plano Consideremos agora uma reta qualquer s contida no plano o: e vamos comparar o ângulo 0 formado por r e s com o ângulo 0 formado por r e o: Figura 9.16).

Figura 9.16: Podemos supor que s passa pelo ponto O em que r corta o: or um ponto P de s exterior a o tracemos a perpendicular P Q ao plano o e a perpendicular R reta s Os triângulos retângulos Q P e O R têm a hipotenusa comum O P enquanto os catetos opostos aos ângulos 0

 

9.8

Exercícios

e

são tais que P R 2 PQ. E m consequência, sen0 2 sen0 e, assim,

0

89

2 0. Além disso, a igualdade só ocorre quando a reta s é a projeção ortogonal de r sobre a Portanto, o ângulo entre uma reta r e u m 0

plano a do

é

igual

ao menor

ângulo ângul o armado por r e uma reta qualquer

plano a .

Qual é o ângulo diedro formado por duas faces de um tetraedro regular regular A B C D? Qual é o ângulo formado por uma aresta e uma face que não a contém? A solução para ambos os problemas se encontra no mesmo triân gulo, que é a seção determinada por um plano que contém uma aresta (por exemplo, A B e o ponto pont o médio M d a are aresta sta oposta op osta (Figura 9. 9.17 17). ). Como vimos, este plano é perpendicular à aresta BC. Logo, o ângulo Exemplo 9 7

 =

-

-

A M B é o ângulo entre en tre as faces faces A C D e B C D e o ângulo 3 = A B M é o ângulo entre B A e o plano d a fa face ce.. Então, Ent ão, sendo H o centro d a

face ABC , temos:

av 3

HM cosa

- 6- = · av 3 3

AM

2

av 3

H

cos/3= = AB

3

=

=

v3 .

3 a Os valores aproximados destes ângulos são a = 71 ° e f = 55°.

9 8

Exercícios

9.1 Mostre que os seis planos mediadores das arestas de u m tetraedro

qualquer passam por u m mesmo ponto, que é equidistante dos quatro vértices.

9.2 Qual é o lugar geométrico dos dos pontos equidistante equid istantess de de três trê s pontos pont os

não colineares?

 

Aplicações: projeções, ângulos e distâncias

9

e Figura 9.17: 9.3 9.3 Qual é o lugar geométrico geométrico d dos os pontos equidista equid istantes ntes de doi doiss planos secantes dados? E se os planos forem paralelos? 9.4 9.4 Qual é o lugar luga r geométrico geométrico dos dos pontos equidistantes equidist antes de duas retas ret as dadas? Examine tod s as possíveis posições relativas das retas. 9.5 9.5 Seja O a projeção ortogonal de u m ponto P sobre u m plano a. Considere u m circunferência de centro O contida em a. Mostre que tod s as retas tangentes a distância de P.

est

circunferência estão à mesma

9.6 Seja A B C D u m quad quadrado rado de lado a e P A u m segmento, t mbém de comprimento a perpendic perpendicular ular ao ao plano do quadrado. Calcul Calculee a medida do diedro determinado pelos triângulos

PC B

e

P C D.

9.7 Considere três retas mutuamente perpendiculares x y e z concorrentes e m O. Uma ret r passa por O e forma ângulos iguais a a /3 e a

Y

com

x y

e z.

Mostr Mostree que cos cos 2 a

cos2 3

cos2

Y

=1

 

9.8 Exercícios

91

b) Calcule

Y,

se o:

3

60°

9.8 Sejam o: e 3 doi doiss planos plan os secantes. Considere um ret r qualquer contida em o:. Mostre que o ângulo entre r e 3 é máximo quando é perpendicular à interseção de o: e 3 retas de um plano o: que são perpendiculares à s u interseção com o plano 3 são, por est razão, chamadas de retas de máximo declive de o: em relação a

/3 . 9. 9.9 9 Pelos pontos pont os A, B e C d Figu Figura ra 9.18 9.18 são são traç traçadas adas perpendicula res ao plano do papel. N o mesmo semi-espaço são determinados os pontos

A ,B

e

C

=a

tais que A A

BB

= b e C C = e. a

e

e

B

Figura 9.18: Determine: a) O ponto pont o em que a

ret

A B encontra o plano do papel.

b) A ret de interseção do plano definido por A , B e C com o plano do papel. c

O pé

d

perpendicular baixada de

d) O ângulo formado pela e

ret

A à ret

BC.

A B com o plano do papel.

O ângulo que o plano definido por A , B e C forma com o plano do papel.

 

Aplicações: projeções, ângulos e distâncias

92

9.10 9.1 0 Na Figu Fi gura ra 9.19, 9.19, é d d a base A B C de u m pirâmide triangular V-ABC, além dos comprimentos das arestas laterais V A , V B e

vc a

Determine a projeção ortogonal de

b

Determine, Determin e, graficamente, a

c

Ache o ângulo que a aresta lateral V A forma com o plano d base.

d

Ache Ache o ângulo ângul o que a fa face ce la late tera rall

sobre o plano A B C. pirâmide.

d

V AB

forma com o plano

base.

d

e

ltur

V

Ache o ângulo formado pelas faces laterais

9.11 Considere

um

octaedro regular de aresta

a

V AB

e

V AC.

Determine:

a

A distân dis tância cia entre duas face facess opostas. opost as.

b

O ângulo diedro formado por dua duass fa face cess adjacentes. A

VA V

vc

Figura 9.19: 9.12 Sejam r e s duas retas ortogonais e r e s as suas projeções ortogonais sobre um plano a. Sob que condições r e s formam ângulo reto? 9.13 Sejam

r

e

s

duas retas reversas ortogonais e M N o segmento

d

perpendicular comum. Tomam-se um ponto A sobre

r

e um

 

98

Exercícios ponto

B

93

sobre

função de

MA

9 14 Mostre Most re que a opostas de elas

s

= ret

Calcular o comprimento do segmento a

N

=

be M N

=

B

em

e

que une os pontos médios de duas arestas

um tetr edro

regular é a perpendicular comum a

9 15 Mostre que a seção seção determi dete rmi nada na da em u m cubo por um plano que passa pelo seu centro e é perpendicular a u m diagonal é um hexágono regular 9 16 Qual Qua l é a seção seção deter de ter minad min adaa em em u m plano paralelo às arestas médio d aresta C D

um

B

tetraed ro regula tetraedro regularr B C D por e C D e passando pelo ponto

 

CAPÍTULO 1

sfera

Nesta seção, usamos distâncias para estudar algumas propriedades d a esfera, o análogo tridimensional do círculo. A esfera de centro O e

raio R é o conjunto dos pontos do espaço cuja distância a O é igual a R . Os pontos cuja distância a O é menor que R são interiores à esfera e aqueles cuja distância a O é maior que R são exteriores a ela. Tomemos uma esfera

E

e u m plano

a:

e examinemos as possíveis

posições relativas de E e a:. Tudo depende d a distância d O, a do centro O d a esfera ao plano a:.

d O, a é maior que o raio R , o plano é exterior à esfera. De fato, qualquer ponto de a: estará a uma distância maior que R do ponto O; logo, nenhum ponto de a: pertence a E. Se

Se

d O, a é exatamente igual a R, o único ponto de

a:

uma distância R de O é o ponto P pé d a perpendicular a

que está a a:

traçada

po r O Figur por Fi guraa 10.1). 10.1). Dizemos, Dizemos, neste nest e caso, caso, que que o plano a: é tangente à esfera no ponto P. o r um ponto qualquer d a esfera passa um único 9

 

Esfera

96

plano tangente a ela, perpendicular ao raio no ponto de contato.

o

Figura 10.1: Plano tangente

à esfera

Finalmente, consideremos o caso em que d O, a < R (Figura 10.2). Seja O o pé d a perpendicular traçada de O ao plano a . Qualquer que seja o ponto pont o em a , o triângulo P 0 0 é retângulo em O . Logo, po2 e, assim,

P0

=

R

=

po,2

+ 00,2

se e só se

Portanto, os pontos de a que estão n a esfera se encontram em u m círculo de centro O e raio

Dizemos, neste caso, que o plano a é

secante

à es esfer fera. a. Qua Quando ndo o plano

a passa pelo centro d a esfera (isto é, d O, a ) = O , o círculo por ele

determinado tem raio máximo, igual ao raio d a esfera, e é dito um círculo máximo d a esfera. O estudo das posições relativas de uma reta r e uma esfera é é análogo. Se a distância d O, r) entre o centro d a esfera e a reta é

 

97

o

Figura 10.2:

Plano secante

esfera

maior que R, não h á pontos comuns entre a reta e a esfera. e d O, r é igual ao raio R , então o único ponto d a reta que pertence à esfera é o p é d a perpendicular baixada de O à reta

r

dizemos, então, que r

é tangente à esfera. Por u m ponto qualquer Q d a esfera passam uma infinidade de retas tangentes, todas elas contidas no plano tangente à esfera em Q veja novamente a Figura 10.1). Finalmente, se d O, r é menor que R , existem exatamente dois pontos de r em comum com a circunferência, simétricos em relação ao pé d a perpendicular traçada por O. Neste caso, a reta é secante à esfera. Vejamos algumas esferas associadas ao tetraedro regular. Tomemos, mais uma vez, o plano que contém uma aresta A B e o ponto médio M da aresta oposta C D Figura 10.3). á vimos anteriormente anteriorme nte que este plano contém as as perpendiculares A H e B H às E xemplo 10 1

faces B C D e A C D traçadas por A e B, respectivamente, que chamamoss de mo de alturas altu ras do tetraedro tetr aedro.. O ponto de interseção interseção destas alturas alt uras é o ponto O, que chamamos de centro do tetraedro, pelo qual também passam, como j á vi vimo mos, s, as outras out ras duas alturas alt uras do tetraedro. tetra edro. Como Como cada altura é o conjunto dos pontos equidistantes dos vértices de uma face fa ce,, o ponto pon to O é equidistan equidi stante te dos dos vértices do tetraedr tetr aedro; o; ou seja, seja, é centro de uma esfera que os contém, chamada de esfera circunscrita

 

Esfera

9

ao tetraedro. O raio R desta esfera é o comprimento compri mento do segmento O A A

A

B

e

a) Figura 10.3: Esferas no

b) tetraedro regular

Por outro lado, o comprimento do segmento O H é a distância

do ponto O à face BC D. Mas, d a igualdade dos triângulos OH A e O H B concluímos que O H = OH . Isto mostra que o ponto O é equidistante das faces A B C e BCD; n a verdade, podemos repetir o mesmo argumento com cada par de faces e concluímos que O é equidistante de todas as faces faces do do tetr te trae aedr dro. o. Logo Logo,, O é o centr ce ntro o de

uma esfera tangente às faces do tetraedro, chamada de esfera inscrita

no tetraedro. O raio r desta esfera é o comprimento compriment o do segmento OH. Finalmente, consideremos a distância do ponto O às arestas do tetraedro. O segmento

OM

é perpendicular a CD, por estar em u m

plano perpendicular a CD. Logo O M é a distância de O à aresta CD. Mass este argumento Ma argume nto pode ser repetido para cada plano contendo duas alturas do tetraedro tetraedr o para mostrar que o segmento que liga O ao ponto médio de cada aresta é perpendicular a cada aresta. Um argumento baseado em igualdade de triângulos mostra, além disso, que todos

 

10.1 Exercícios

99

também é centro de uma estes segmentos são iguais. igua is. Logo Lo go, , o po ponto nto O esfera tangente a todas as arestas do tetraedro regular, cujo raio r é o comprimento do segmento OM. É simples calcular calcul ar os os raios R r e r das três esfera esferass descritas acima. acima. Entre os raios R e r das esferas ciscuns cis cunscrit critaa e inscri ins crita ta valem as relações: relações: R

R

+r = ª  

os dois raios compõem a

3) 2

= + r2

no

altura

triângulo retângulo

do tetraedro)

BOH

Resolvendo o sistema encontramos R

=

= av'6 4

e r = av'6. 12

o que determina a posição do ponto O sobre cada altura do tetraedro. ara achar o raio r d a esfera tangente às arestas, usamos agora o triângulo O H M , no qual o cateto O H é o raio r d a esfera inscrita. ortanto R

Temos: e

daí,

3r,

r

10 1

I

a\ '2

.

xercícios

10.1 Sejam dois pontos não diametralmente opostos de uma esfera. Mostre que existe u m e somente u m círculo máximo d a esfera passando por A e B . 10.2 Mostre que dois círculos máximos de uma esfera se encontram em dois pontos diametralmente opostos.

 

Esfera

1

10.3 Mostre que a interseção de duas esferas é vazia u m ponto ou uma circunferência.

10.4 Sejam P e Q pon pontos tos do espaço. espaço. Qual Qua l é o lugar luga r geométrico dos pés das perpendiculares baixadas baixad as de P às retas passando por Q? Qual é o lugar geométrico dos pés das perpendiculares baixadas de P aos planos passando por Q? 10.5 Seja P u m ponto exterior a u m plano a e Q u m ponto de a . Qual é o 1ugar 1ugar geométrico dos pés das perpendiculares traçadas de P às retas de a que passam por Q? 10.6 Seja B C D E F G H u m cubo. Mostre que A C F e H são vértices de um tetraedro regular. Utilize Utilize este fato para mostrar que o raio d a esfera tangente às arestas de u m tetraedro regular de aresta a é

r

=

a v2/4

10.7 E m um cubo de aresta

a

calcule os raios das esferas circunscrita

inscrita e tangente às arestas. 10.8 E m u m octaedro regular de aresta

a

calcule

s

raios das esferas

circunscrita inscrita e tangente tange nte às às arestas. arestas. 10.9 Quatro esferas de raio 1 são tangentes entre si exteriormente três a três e tangenciam internamente uma esfera de raio R Determine R. 10.10 10.1 0 Consider Cons ideree nove esferas de de raio R interiores a u m cubo de aresta sendo uma com centro no centro do cubo e cada uma das demais tangen tang entes tes a três trê s face faces. s. Calcule R em função de a. a

10.1 10 .11 1 Mostre Most re que todo tetraedro admite uma esfera circunscrita e uma esfera inscrita insc rita.. Que condições condições el elee deve satisfazer satis fazer para admitir uma esfera tangente às arestas?

 

CAPÍTULO

Noções de

Geometria

escritiva

maiores dificuldades n a Geometria Espacial é a necessidade de representar figuras espaciais nas superfícies planas de que Uma das

dispomos para desenhar o u escrever. De u m modo geral, esta representação é feita através d e projeções. Há duas formas principais de se projetar uma figura F e m u m plano a : através de uma projeção central ou cônica ou através de uma projeção paralela ou cilíndrica . No caso de uma projeção central Figura 11.la), a projeção de cada ponto P de F é a interseção com a d a reta O P, onde O é u m ponto fixo, chamado de centro de projeção. E m uma projeção paralela Fi Fi-gura 11.lb), a projeção d e cada ponto reta que passa por P e é paralela a uma

P é a interseção com a d a

direção fixa ~ , chamada de direção de projeção. U m caso particular importante de projeção paralela ocorre quando é perpendicular a Neste caso, é projetada ortogonalmente sobre É importante notar que h á perda de informação ao se projetar a

a

1 1

 

Noções de Geometria Descritiva

102

b)

a) Figura 11.1:

Projeção

figura sobre um plano. pontos pertencentes a uma

uma

central e projeção paralela

projeção paralela, por exemplo, paralela à direção de projeção são

E m uma reta

indistinguíveis em projeção. Para que exista uma correspondência bi unívoca entre as figuras espaciais e sua representação em projeção é necessário recorrer a mais de uma projeção. Gasp Ga spar ar Mong Mongee 1746 1746-18 -1818) 18) idealizou um sist sistema ema de projeções nnoo qual um ponto é representado por suas proj projeçõe eçõess A 1 e A2 em dois planos de referência 1r 1 e r2 , perpendiculares entre si. É cômodo ima ginar que 1r 1 é um plano horizontal e r2 é um plano vertical. Uma vez efetuada efet uada a projeção de sobre sobre r1 e r2 Fig Figura ura 11.2a) 11.2a),, giramos ou rebatemos) r1 em torno de sua reta x de interseção com 1r2 chamada de linha e terra , até que ele venha a coincidir com r2 . Des Desta ta fo forma rma,, ambas amb as as projeçõ projeções es do po pont ntoo ficam ficam em um mesmo plano. O desenho assim obtido é chamado de épura. Note que, n a épura, as projeções de um ponto qualquer estão sempre sobre sobre uma reta perpendicular à linha de terra Figura 11.2b). O conjunto de técnicas utilizadas para repre sentar figuras espaciais segundo o método descrito acima constitui a chamada Geometria Descritiva. Veremos a seguir alguns problemas

 

11.1 11 .1 Rep Represe resentaç ntação ão de retas

1 3

que ocorrem n a repres representaçã entação o de pontos, reta r etass e plano planos. s. Tais problemas fornecem uma excelente oportunidade de colocar em jogo as propriedades estudadas anteriormente.

------t-

a)

b)

---x

Figura 11.2: O método

11 1

d a Geometr ia Descr Descritiva itiva

Representação d e retas

Uma reta r é representada n a épura por suas projeções r 1 e r 2

Figura 11.3). E m geral, estas projeções são retas, mas podem se reduzir a um único ponto quando r é perpendicular a u m ou outro plano de projeção. Note que pontos A 1 e A2 de r 1 e r 2 situados em uma mesma perpendicular à linha de terra correspodem às projeções de u m ponto pertencente à reta.

Exemplo 11 1

Obter as projeções dos pontos H e V em que a reta

r dada por suas projeções, fura os planos de projeção

r1

e

r2

Figura

11.4). A projeção H 2 de H no plano vertical está sobre a linha de terra Figura 11.5); logo, H 2 é a interseção de r 2 com a linha de terra e H 1

 

1 4

Noções de Geometria Descritiva

X

Figura 11.3: Projeção de

um

ret

X

Figura 11.4: é o ponto correspondente sobre r 1 . A obtenção de

11 2

é análoga.

epresentação d e planos

Podemos recorrer a qualquer u m das formas de determinação de u m plano: através atrav és de três trê s pontos não colineare colineares, s, u m r e t e um ponto exterior a ela, ela, duas retas re tas concorrentes concorrentes ou ou duas ret retas as paralelas. O mais comum é representarmos um plano pelos seus tr ços a1 r1 e a1 r2 em 1 e 2 isto é pelas retas de interseção com a 1 e a 2   . Como os traços estão contidos em um dos planos de projeção, a projeção no outro plano é

 

11 2

Representação de planos

105

b)

a)

Figura 11.5: Pontos em que uma reta fura os planos de projeção

a própria linha de terra e é omitida n a representação Figura 11.6). Note que planos paralelos a u m dos planos de projeção só possuem u m traço.

Exemplo 11 2

Determine as projeções da reta r de interseção de

dois planos a e /3 dados por seus traços traço s Figura Fig ura 1 11 1. 7). 7). A solução consiste e m achar os pon pontos tos e V em que r fura os planos de projeção de a e 3 em

1r 1 ;

1r 1

e

2

se existirem). H é a interseção dos traços

logo, sua projeção H 1 coincide com H enquanto H 2

está n a linha de terra. D a mesma forma, V é a interseção dos traços de a e 3 e m 1r2 Figura 11.8).

 

Noções de Geometria Descritiva

106

X

Ct 1

Figura 11.6: Representação de

um plano por seus traços

X

Figura 11. E xemplo 11 3

Determine o ponto

:

em que a ret

projeções, fura o plano a:, dado por seus traços em 11.9).

r

por suas

d d 1

e

Figura

2

A ideia é utilizar um plano conveniente 3 passando pela ret

r

O

ponto em que r fura a: estará, necessariamente, n ret de interseção de o e 3, cuja determinação foi vis vista ta no exemplo exemplo anterior. anterior . O mais simples

é

passar por

r

um plano

planos de projeção proj eção digamos, digamos,

r 1 de

r

enquanto o traço em

3 .

2

que seja perpendicular a um dos O traço de

é a ret

3

em

é

perpendicular

a projeção à

linha de

 

11.2 11 .2 Representação Repres entação de planos

107

X

Figura 11.8: Interseção de dois planos

X

Figura 11.9: passando pelo seu ponto de interseção com r 1 Figura 11.10). A reta s de interseção de a e 3 pode então ser determinada. determin ada. Note que a projeção horizontal s 1 de s também coincide com r 1 ambas s projetam proj etam segundo segundo o plano /3 . ara achar o ponto pon to em que r fura a basta achar o ponto de interseção de r e s que é encontrado através d a interseção de suas projeções r   e s   • terra

 

Noções de Geometria Descritiva

1 8

11 3

Exercícios

11.1 1.1 Qual é o lugar luga r geométrico dos dos pontos pont os do espaço que possuem projeções coincidentes n a épura? 11.2 11 .2 Diga que particula partic ularid ridades ades aprese apr esenta ntam m as pr projeções ojeções de uma reta que seja:

a

perpendicula perpen dicularr ao plano

b

parale par alela la ao plano

c

paralela a ambos os planos

r1

d

ortogonal ortog onal

e

r1 ;

r1 ;

interseção de

r1

e

r2 ;

r2 .

11.3 11 .3 Dadas as projeções de duas retas, retas , d dete eterm rmina inarr se se elas elas ssão ão conco concorrrentes, paralelas ou reversas. 11.4 Dadas as projeções de dois pontos A e B determine o comprimento do segmento A B

b)

a) Figura 11.10: Interseção de reta e plano

 

11.3 Exercícios

1 9

11.5 11 .5 Diga que particula part icularidad ridades es apresentam aprese ntam os os traços de de um plano que seJa: a

paralelo ao plano

r1 ;