Paso 2 Algebra Corregido

 

Paso 2 Profundizar y contextualizar el conocimiento de la Unidad 1.

Presentado por: HEBDER FONSECA GUERRERO COD.79800361 MARIA YOLANDA MORENO VELASQUEZ CÓD. 55110824 ALBERT HENRY MUÑOZ TINJACA COD.  551108764 COD. 

TUTOR. CARLOS EDMUNDO LOPEZ SARASTY

UNIVERSIDAD NACIONAL A DISTANCIA ASIGNATURA: DIDACTICA

 

INTRODUCCIÓN Las matemáticas un mundo inmerso entre los diferentes grupos sociales que se establecen en las diferentes comunidades. Pero para entender su funcionamiento y aplicación hay que desglosar y profundizar en cada uno de sus componentes; Para este caso  puntual se va a trabajar el desarrollo del pensamiento pensa miento algebraico, lo cual implica el reconocimiento y uso del lenguaje propio de esta ciencia, el desarrollo de expresiones algebraicas, la implementación de herramientas tecnológicas y los conceptos que conducen al entendimiento y solución de cada problema presentado.

 

TAREA 1: Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas:

2

2

3

 x − 2 ) ( x + 2 ) −2 ( x

3

( x + 4 x +4 ) −2 ( x − 4 x +4 ) 2

3 x

2

2

2

+ 12 x + 12−2 x + 4 x −4

2

 x + 16 x + 8

3

2

( x +1 ) −( x + 1 ) −( x +1 )  x + 3 x + 3 x + 1−( x + 2 x + 1 ) − x −1 3

2

3

2

3

2

2

2

 x + 3 x + 3 x + 1− x −2 x −1− x −1  x + 2 x −1

( x +2 ) ( 2 x −3 ) +2 (3 − x ¿¿ 2) ¿ 2

2 x  x

−3 x + 4 x −6 + 6 −2 x

2

 

4. x −( x + 3 ) = 9 2

2

2

2

 x −( x + 6 × + 9 )−9 2

2

 x − x −6 x −9 =9

− 6 × − 9 =9 −6 x =18 ×=

−18 6

 x =−3

5.4 ( x + 2 )−3 ( x + 2 )

2

4

2

( x + 2 )−3 (× + 2 )

4  x

+ 8−3 ( x + 2 )= )=− −3 ( x + 4 x + 4 )❑

4  x

+ 8−3 x −12 ×−12

2

2

2

−3 x + 8 x −4 Tarea 2. De la siguiente lista de polinomios R(x)= x2 − 4 S(x)= (2x − 3)2   N(x)= x2 -2x +1 M(x)= x3 +2x2 +5x +8 Q(x) = 4x5 − 6x4 +2x3 + 9x2 − 12x P(x) = 2x3 - 3x2 + 4x Realizar las siguientes operaciones:

1. P(x) – N(x) (x) P(x) = 2 x −3 x + 4 x  3

2

2

 N(x) =  x −2 x + 1

 

P(x) – N(x) = ( 2 x ¿ ¿ 3 −3 x + 4 x )−( x −2 x + 1) ¿ 2

2

2x³-3x²+4x-x²+2x-1 2x³ - 4x² + 6x -1

2. Q(x) + R(x) Q(x) = 4  x −6 x + 2 x + 9 x −12 x 5

4

3

2

R(x) =  x −4   2

Q(x) + R(x) = ( 4 x ¿ ¿ 5 )+(−6 x )+( 2 x )+( 9 x + x )+(−12 x )+(− 4 )¿ 4

3

2

Q(x) + R(x) = 4 x −6 x + 2 x + 10 x −12 x −4 5

4

3

2

3. S(x) -M(x) S(x) = (2 x −3 )

2

M(x) =  x −2 x + 5 x + 8 3

2

Reagrupación S(x) -M(x)

Primero se resuelve S(x) M(x) = 4 x ² −12 x + 9 Ahora se reagrupan 4  x ²

3

2

−12 x + 9 − x + 2 x −5 x −8

− x + ( 4 x + 2 x ) + (− 12 x −5 x ) + ( 9− 8 ) 3

3

2

2

− x + 16 x ² −17 x + 1

2

 

4. N(x).M(x)

( x −2 x + 1 )( x +2 x +5 x +8 ) 2

3

2

( x ) ( x +2 x + 5 x + 8 ) −2 x ( x + 2 x + 5 x + 8 ) +1 ( x +2 x + 5 x +8 ) 2

3

2

3

2

3

2

( x +2 x + 5 x +8 x )−( 2 x + 4 x +10 x + 16 x ) + ( x +2 x +5 x +8 ) 5

4

5

4

5

3

3

2

3

4

2

3

4

2

3

3

2

3

2

2

 x + 2 x + 5 x + 8 x −2 x − 4 x −10 x −16 x + x + 2 x + 5 x + 8  x + 2 x −11 x + 8

5. Q ( x )  P ( x ) 4 x

5

4

3

3

4  x

5

2

−6 x + 2 x + 9 x −12 x 2 x −3 x + 4 x 2

4

3

2

3

2

−6 x + 2 x + 9 x −12 x 2 x −3 x + 4 x

 

-4 x + 6 x −8 x 5

3

4

3

2

2 x

-3

2

−6 x + 9 x −12 x 6 x

3

2

−9 x + 12 x

0

4  x 5

4

3

2

3

2

2

−6 x + 2 x + 9 x −12 x =¿(2 x −3 x + 4 x ¿ ( 2 x −3 )

 

Tarea Ta rea 3. Re Real aliz izar ar la lass sigui siguien entes tes divi divisi sion ones es de pol polin inom omio ioss apli aplican cando do la divi divisi sión ón sintética. a.   ¿+1)÷ ( x + 1 ) 2

+ 3 + 6 + 1−1 −2−1 −5

2

+ 1 + 5− 4

2 x

3

2

+ 3 x + 6 x + 1   4 =2 x + x + 5−  x + 1  x + 1 2

b.   ( x + x −5 x −2 ) ÷ ( x −2 ) 3

2

+ −5 −2 2

1 1

+ 2 +6 + 2 + +

1 3 10

3

2

 x + x −5 x −2 = x 2 + 3 x + 1  x − 2

 ( ) ( ) c. 6 x + 7 x −6 x + 7 x −2 ÷ 3 x −1 4

3

2

3

2 x

4

+

7 x 3

2

3 2

−2 x +

7 x 3

2

1

3

3

− ÷ x−

7

7

2 1

3

3

3 3

1

2

3

3

+ −2 + − +2 3 2

+1 − +

+ 3 −1+ 2 0

 

6 x

4

3

2

+ 7 x −6 x + 7 x −2 = 2 x + 3 x − x + 2 3 x −1 3

2

d. ( 6 x −13 x + 8 x −3 ) ÷ (2 x −3 ) 3

3

2

−13 / 2 + 4 −3 / 2 1 / 2 −3 / 2 −4 0

3

−8 0 − 3 / 2

3x²-8x-3/2 División sintética de polinomios

d. (3x4 -2x3 +x2 +15x+4) ÷(3x+4) −2 / 3 + 2 / 3 + 5 + 4 / 3− 4 /3

1

−4 3

−2

1

 10 5

8

40

3

9

+ −

− 20 / 27

+ 16 / 27

3 9

X³- 2x² +10/3x +5/9 +16/27/3

Tarea 4. Los siguientes polinomios propuestos terminen el valor de la variable x en las siguientes expresiones racionales y compruebe su solución con Geogebra. 2

−2 7 x − 4  x + 1 +  x + 2 − 2 x =3

2 x

 

( 2 x −2 ) ( x +2 ) +( 7 x −4 ) ( x x  +1 ). =2 x +3 2

( x +1 ) ( x + 2 )

2 x

3

+ 4 x − 2 x − 4 + 7 x + 11 x + 4 . =2 x + 3  x + 3 x + 2 2

2

2

+ 11 x + 9 x . 2 x + 3 = 1  x + 3 x + 2

2 x

3

2

2

3

2 x

3

+ 11 x + 9 x −2 x −9 x −13 x −6= 0

2

−4 x − 6=0

2 x

2 x

2

3

Factorizando:

( 2 x −6 ) ( 2 x + 2 ). 2

S1= X −3 =0  X =3

=0

2

2

3

2

+ 11 x + 9 x =2 x + 9 x + 13 x + 6

 

B] 2 x

2

−9 x −1 3 x −5 + + 3 = x  x + 1 2 x + 3

( 2 x − 9 x − 1 ) ( x + 1 ) +( 3 x −5 ) ( 2  x + 3 ). = x 2

( 2 x + 3 ) ( x + 1 )

3

2

7

2

10

1 6

.

2

15

 x −  x − 2 x − +  x − x − 2 x + 5 x + 3 3

2 x 3

2 x 3

2 x

2

3

= x −3

− x −11 x −16= ( 2 x + 5 x + 3 ) ( x −3 ) 2

2

2

3

2

− x −11 x −16= 2 x − x −12 x −9 =0

2

− x −11 x −16− 2 x + x + 12 x + 9= 0

−1 x −7= 0 − x =7

 

 x =−7

+ 3 = 4 x + 1 4

13 2 x

52 + 8x = 12x +3 8x – 12x = 3 – 52 -4x = -49/4 X = 49/4

1

  3

 3

8

 x + + 4 +  x −4 = x 2 x−+16  x

 

( x +1 ) ( x −4 ) +3 ( x + 4 )   3 x + 8   = ( x + 4 ) ( x − 4 )  x −16 2

2

 x −4 x + x − 4 + 3 x + 12   3 x + 8 = 2 2  x −16  x −16 2

 x2 + 8 =  32 x + 8  x −16  x −16 2

( x −16 )   x + 8 =   3 x +8 ( x −16 ) 2

2

2

2

 x −16  x −16

2

 x + 8=3 x + 8 2

 x + 8− 8=3 x + 8− 8 2

 x =3 x  x 2−3 x =3 x −3 x 2

 x −3 x =0  x ( x − 3 )=0  x =0

ó  x −3 =0  x −3 + 3 =0 + 3  x =3

 

Solución con CAS de Geogebra

  x −2  x + 1 3 x + 2 − 2 x − 3 =0

( x + 1 ) ( 2 x −3 )−( 3 x +2 ) ( x −2 )   =0 ( 3 x + 2 ) ( 2 x −3 )

2 x

2

−3 x + 2 x −3−( 3 x −6 x + 2 x −4 ) =0 6 x − 9 x + 4  x −6 2

2

2 x

2

2

−3 x + 2 x −3−3 x + 6 x −2 x + 4 =0 6 x −5 x −6 2

2

− x + 3 x + 1 =0 6 x − 5 x − 6 2

2

 

2

(6 x −5 x −6 )

− x + 3 x + 1 6 x 2

−

5 x

−

6

= 0 ¿)

 

2

− x + 3 x + 1= 0 Usando ecuación cuadrática tendremos a=-1; b=3 y c=1

−3 ± √ 3 − 4 (−1 ) ( 1 )  x = 2 (− 1 ) 2

 x =

−3 ± √ 9 + 4 −2

 x =

13 −3 ± √ 13 −2

 x 1=

−3 + √ 13 13 −3− √ 13 13 ox = −2 −2 2

Solución con CAS de Geogebra

 

Tarea 5. Determine el dominio de las siguientes funciones y comprobar con el recurso Geogebra.   x −2

f  ( ( x )=

( x +1 ) ( x −3 )

En esta función racional, el dominio estará determinado por todos los valores que  pueda tomar la variable independiente (x) de manera que no se generen indeterminaciones. Para el caso particular de la división, se genera indeterminación si el denominador es cero. Para Pa ra dete determ rmin inar ar cu cuán ándo do se cu cump mple le es esta ta co cond ndic ició iónn vo voyy a igua iguala larr a ce cero ro el denominador y luego, resolver la ecuación generada:

( x + 1 ) ( x −3 )=0 Para que el producto de dos factores sea igual a cero es necesario que uno de los dos sea cero, o suficiente que los dos sean cero. En este particular:

( x + 1 ) ( x −3 )=0 ( x + 1 )=0 o ( x −3 )=0 ( x + 1 )=0  x + 1−1= 0−1  x =−1

En la segunda ecuación:  x −3 =0  x −3 + 3 =0 + 3  x =3

Es decir, el denominador será cero si x=-1 o si x =3. Por lo tanto, para estos valores gráficamente habrá asíntotas verticales. Por lo tanto, el dominio estará compuestos por  todos los reales sin incluir el conjunto formado por los números -1 y 3

 

Sea f  ( ( x )=

  x −2 ( x + 1 ) ( x −3 )

D: { x / x ∈ R ∧ x ≠−1 ∨ x ≠ 3 } Prueba con geogebra:

La gráfica demuestra que en x=-1 y x=3 hay asíntotas por lo cual estos valores no hacen  parte del dominio de la función.  b. f  ( ( x  x )= √  x  x −1 +3 La función racional en los reales solo se define si la cantidad subradical es mayor o igual a cero. En este particular tendríamos  x −1 ≥ 0

Al resolver esta inecuación tendremos que:  x −1 ≥ 0  x −1 + 1 ≥ 0 + 1  x ≥ 1

 

Es decir, si x toma valores inferiores a 1 la cantidad subradical será negativa y la función no estará definida allí. Por lo tanto, el dominio estará definido por: D: { x / x ∈ R ∧ x x ≥ 1 }

Prueba con geogebra:

c.   f  ( ( x )=

  x −1 ( x − 4 ) ( x +2 )

En esta función racional, el dominio estará determinado por todos los valores que  pueda tomar la variable independiente (x) de manera que no se generen indeterminaciones. Para el caso particular de la división, se genera indeterminación si el denominador es cero. Para Pa ra dete determ rmin inar ar cu cuán ándo do se cu cump mple le es esta ta co cond ndic ició iónn vo voyy a igua iguala larr a ce cero ro el denominador y luego, resolver la ecuación generada:

( x − 4 ) ( x + 2 )=0

 

Para que el producto de dos factores sea igual a cero es necesario que uno de los dos sea cero, o suficiente que los dos sean cero. En este particular:

( x − 4 ) ( x + 2 )=0 ( x − 4 )= 0 o ( x + 2 )=0 ( x − 4 )= 0  x − 4 + 4 =0 + 4  x = 4

En la segunda ecuación:  x + 2=0  x + 2−2 =0−2  x =−2

Es decir, el denominador será cero si x=4 o si x =-2. Por lo tanto, para estos valores gráficamente habrá asíntotas verticales. Por lo tanto, el dominio estará compuestos por  todos los reales sin incluir el conjunto formado por los números 4 y -2 Sea f  ( ( x )=

  x −1 ( x − 4 ) ( x +2 )

D: { x / x ∈ R ∧ x ≠ 4 ∨ x ≠−2 } Prueba con geogebra:

 

d. f  ( ( x )=

  x +5  x ² + 12 x + 27

(X +9) (X+3) =0 X + 9 =0

x+3=0

X= -9

x= -3

D: { x / x ∈ R ∧ x ≠− 9 ∨ x ≠−3 } e. f  ( ( x )= 4 −√ 1−2 x  1-2x ≥0 -2x≥-1 -x ≥-1/2 X≤½ D: { x / x ∈ R ∧ x x ≤ 1 / 2 }

 

Tarea 6. Factorizar los siguientes ejercicios

a. m − 4 m+ 3 ; 27− x  y 2

3

3

reescribimos la expresión. 2

m − 4 m+ 3

Luego pasamos a factorizar la expresión. 2

m −m − 3 m + 3

Lo siguiente que procedemos hacer es factorizar m de la expresión. m × ( m −1)− 3 (m −1 )

Ahora factorizaremos m−1 de la expresión.

( m −1 ) × ( m −3 )  Y finalizamos dando el resultado

( m −1 ) × ( m −3 )   m − 4 m+ 3 ; 27− x  y =(m−1) × (m−3 ) 2

3

3

Paso 2. 27

3

− x  y

3

Escribimos nuestra factorización en forma exponencial con un exponente de 3. 3

3

Así: 3 − x  y

3

Luego multiplicamos los términos con exponentes iguales, multiplicando sus bases. 3

3

−¿

Usamos la siguiente fórmula para factorizar. 3

3

2

2

a b =( a−b )( a + ab +b )

Ahora reemplazamos nuestros valores

(3 − xy ) × ¿

 

Evaluamos la potencia.

(3 − xy ) × ¿  Y damos la solución a la potencia.

(3 − xy ) × ( 9 + 3 xy + x  y ) 2

2

 27 − x  y =( 3− xy ) × ( 9 + 3 xy + x  y ) 3

3

2

2

c) 18a³ -8a; 3m³ - 6m² + 15m   3m³- 6m+15m Pasamos a factorizar l expresión Factorizamos 3m del exponente   3mx( m -2m+5 Factorizamos 2

  3mx(m -2m+5) resultado final. 2

 b.   y −2 y + y −2 ; 2 a + 8 a 3

2

3

Inicialmente:  y −2 y + y −2  3

2

Factorización por factor común por agrupación de términos.  y −2 y + y −2 =( y −2 y ) + (  y −2 ) 3

2

3

2

 y ( y −2 ) + 1 ( y −2 ) 2

2

( y +1 ) ( y −2 ) A continuación: 2a

2a

3

+8 a

( a ¿ ¿ 2+ 8 ) ¿

 

e) 4 b − 4 b −24 ; c −25 2

2

Inicialmente factor común: 4

( b − b− 6 ) 2

2

Al interior del paréntesis podemos factorizar como un trinomio de la forma  x + bx + c 4

[ ( b−3 ) ( b +2 ) ]

A continuación: c −25  Diferencia de cuadrados 2

( c −5 ) ( c + 5 ) Tarea 7. Efectuar las operaciones de las siguientes expresiones algebraicas y simplificarlas: 51 ad

a.

60 bc

∗48 ab   Al multiplicar expresiones racionales se debe hallar el producto de

27 cd

los numeradores y dividirlo entre el producto de los denominadores: 51 ad 60 bc

∗48 ab

27 cd

2

2448 a

bd

2

1620

c bd

Es posible simplificar si reescribimos 2

2

2

2

¿ 2 ¿ 3 ∗17 a bd 2 ¿ 3 ∗3 ∗5 c bd

2

2

2

2

2

2

∗17 a 3∗15 c

2

2

2

 

68 a 45 c

2 2

 b. 99 a c

3

2

54 a

2

c   27 b   ÷ 12 ab

Al dividir expresiones racionales se debe hallar el producto del numerador  de la primera fracción por el denominador de la segunda para hallar el numerador de la res respu puest esta, a, lu lueg egoo mult multip ipli lica carr el denom denomin inado adorr de la pr prim imera era fracc fracció iónn po porr el numerador de la segunda para obtener el denominador de la respuesta:

( 99 a c ) ( 12 ab ) ( 27 b ) ( 54 a c ) 3

2

1188 a

2

2

3

c b 2 2 1458 a c b

Es posible simplificar si reescribimos 1188 a

2

3

c b 2 2 1458 a c b

3

2

3

∗ ∗3 ∗11 a c b 2∗ 3 ∗3 a c b

2 2

3

3

2

2

 

∗

2 11 a

2

3

c b 22 c = 3 2 2 27 3 a c b

c.  x − y

2

∗ x −9 y

2

 x + 3  y 2 2  x − y

Antes de realizar las operaciones es posible factorizar:  x − y ∗( x + 3 y )( x −3 y )  x + 3  y ( x + y )( x − y )

( x − y )( x + 3 y )( x −3 y ) ( x + 3 y )( x + y )( x − y ) Simplificando obtenemos:

( x −3 y ) ( x + y )

d) +1  − +2  + +3  3

2

 

Vamos a identificar cual es el mínimo común divisor (m.c.d), en este caso es

+1−



(+2)+2(+3)3

  Resolvemos los paréntesis:

3



 

+1−2−2+3+3



2





3

Identificamos términos semejantes y de una vez los ordenamos:

3+22−+1





3

Esta es la simplificación y la fracción más simple que se puede lograr para este ejercicio.  4  2 − −  + +  2− 2

4  x 2

+ 

−  

 –x-y + x+y : Simplificamos la expresión

4x 2y Movemos la expresión debido a que hay dos sumandos dan 0  8y Se simplifican los números 8-y resultado final.  Elaborar en forma individual y publicar en el foro las diapositvas en las que se

expone en forma pedagógica: los elemenos, caracerístcas y procedimienos de la Unidad 1 (emátcas que se necesian) para resolver los ejercicios que selecciono.

 

 

 

BIBLIOGRAFIA Carlos, L.(2020).OVI lenguaje algebraico. Bogotá D.C. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Obtenido y recuperado de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/36117

 Clasificación de las Expresiones Algebraicas. Elles, L. (2018). OVI Clasificación de las Expresiones algebraicas [Archivo de video]. Recuperado de https:// www.youtube. utube.com/wa com/watch?v= tch?v=V-_5W V-_5W9MxeO4 9MxeO4&featu &feature re https:/ /www.yo

Moreno Y. (2014). OVI Algebra Simbólica. Bogotá D.C. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Obtenido y recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11601 Murrray R. (2000). Formulas y Tablas de Matemática Aplicada. Bogotá D.C. Mc Graw Hill. Páginas 5 – 9 – 13