PAs y PGs en matemáticas

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS APUNTE: PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Def: Sucesión: Una sucesión es un conjunto ordenado de números que se deducen unos de otros mediante una regla definida. Los números de la sucesión reciben el nombre de términos.

Def: Progresión Aritmética (P.A) : Una Progresión Aritmética (P.A) es una sucesión en la cual todos los términos posteriores al primero, se deducen del anterior añadiendo una constante que se denomina diferencia ( d )

Ejemplo:

3, 7, 11, 15, ....

Es una P.A ya que cada término se deduce sumando 4 unidades al anterior. Es decir, 7 – 3 = 4; 11 - 7 = 4; 15 – 11 = 4

Formulas de las Progresiones Aritméticas:

a 1 = 1º término n = Número de términos

d = Diferencia El término n – ésimo viene dado por: tn = a1 + (n − 1) ⋅ d La suma de los primeros n términos:

sn =

n [2a1 + (n − 1) ⋅ d ] 2

ó

sn =

n [a1 + t n ] 2

Ejemplos:

1.)

Sea la P.A 3, 7, 11, 15, ... determine el 6º término y la suma de los 10 primeros términos: a1 = 3 ; d = 7 − 3 = 4 t6 = 3 + (6 −1) ⋅ 4 = 3 + 5 ⋅ 4 = 3 + 20 = 23

∴ el 6º término es 23 s10 =

10 [ 2 ⋅ 3 + (10 − 1) ⋅ 4 ] = 5[6 + 36] = 5 ⋅ 42 = 210 2

La suma de los 10 primeros términos es 210

2.)

¿Que término de la P.A 5, 14, 23, .... es 239?

a1 = 5

d = 14 − 5 = 9

;

;

t n = 239

tn = a1 + (n − 1) ⋅ d 239 = 5 + (n − 1) ⋅ 9 234 = 9n − 9 243 = 9n ⇒

3.)

243 = 27 = n 9

∴ El término 27º es 239

Encuentre cuatro términos en P.A tales que, la suma de los dos primeros sea 12 y la suma de los otros dos sea 300. Sean los números x − d , x, x + d , x + 2d Luego

x − d + x = 12

y

2 x − d = 12

x + d + x + 2d = 300 2 x + 3d = 300

Resolviendo el sistema:

2 x − d = 12 2 x + 3d = 300

Por lo tanto, los números son:

4.)

4d = 288 d = 72

⇒ x = 42

-30, 42, 114 y 186

El diario “Metro” inicia su actividad el primer día con 10.000 ejemplares, si cada día el tiraje aumenta en 505 ejemplares. Determine el total de diarios que emitirá el día 100 y el último día de un año bisiesto. a1 = 10.000 ;

d = 505

tn = a1 + (n − 1) ⋅ d t100 = 10.000 + (100 − 1) ⋅ 505 = 10.000 + 99 ⋅ 505

t100 = 10.000 + 49.995 = 59.995 ∴ Los ejemplares emitidos para el día 100 serán 59.995 diarios. t366 = 10.000 + (366 − 1) ⋅ 505 = 10.000 + 365 ⋅ 505 t 366 = 10.000 + 184.324 = 194.324 ∴ Los ejemplares emitidos para el día 366 serán 194.324 diarios.

Def.: Progresión Geométrica (P.G) Una Progresión Geométrica (P.G) es una sucesión en la cual todos los términos; se deducen del anterior multiplicándolos por una constante llamada razón ( r ).

Ejemplo: 5, 10, 20, 40, .... Es una P.G. ya que cada término se obtiene multiplicando por 2 el anterior, es decir: 10 20 = 2; = 2; 5 10

40 = 2 20

Formulas de las Progresiones Geométricas:

El término n – ésimo viene dado por:

tn = a1 ⋅ r ( n −1) La suma de los primeros n términos:

s n = a1

(r

)

−1 r −1 n

r ≠1

Ejemplos: 1.) Sea la progresión 5, 10, 20, 40, .... Determine el 7º término de la progresión:

a1 = 5 ;

r=2

t n = a1 * r ( n −1)

t7 = 5 ⋅ 26 = 5 ⋅ 64 = 320 ∴ El séptimo término de la progresión geométrica es 320

2.) Hallar la suma de los 5 primeros términos de la progresión 2,6,18,54,....

a1 = 2 ; s n = a1 s5 = 2

(r

(3

r=3

)

−1 r −1 n

)

−1 3 −1 5

= 2

(243 −1) 2

= 242

∴La suma de los 5 primeros términos de la P.G es 242

3.) Si

1 1 1 están en P.A, entonces a, b y c están en P.G y ; b − a 2b b − c

Como

1 1 1 están en P.A ; y b − a 2b b − c

Entonces

1 1 1 1 − = − 2b b − a b − c 2b

2b − (b − c) b − a − 2b = 2b(b − a ) 2b(b − c) −a−b b+ c = 2b(b − a ) 2b(b − c) b+ c −a −b = (b − a ) (b − c)

(−a − b)(b − c) = (b + c)(b − a ) − ab + ac − b 2 + bc = b 2 − ab + bc − ac ac − b 2 = b 2 − ac 2ac = 2b 2 a b = b c

∴ a, b y c están en (P.G).

Aplicaciones de las Progresiones: Interés Simple e Interés Compuesto Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco paga intereses. Dependiendo de que se retiren o no los intereses periódicamente, el interés se llama simple o compuesto. ¿En cuánto se convierte un capital de $1.600.000 al 10 % en dos años a interés simple? ¿Y a interés compuesto? Veamos cada caso por separado: Interés simple. •

Como el interés que produce 1 peso en 1 año es de 10/100 pesos = 0,1 pesos, el interés total es: 1.600.000 · 0,1 = 160.000 pesos Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo: $1.600.000. En el segundo año, el capital vuelve a producir otras $160.000

•

En los dos años el interés producido es: 160.000 + 160.000 = 320.000 pesos. Por tanto, el capital se convierte en los dos años en: 1.600.000 + 320.000 = 1.920.000 pesos

•

Se puede obtener directamente el interés en los dos años: i = 1.600.000 · 0,1 · 2 = 320.000 pesos En general, si C es el capital, r es el tanto por ciento anual y t es el tiempo en años, entonces el interés simple es:

Interés compuesto. •

En el primer año la ganancia del capital es la misma estando depositado a interés simple o a interés compuesto: 160.000 pesos

Al final del primer año las 160.000 pesos ganados no se retiran, por lo que el capital, al empezar el segundo año, es de 1.760.000 pesos En el segundo año el interés que 1.760.000 pesos producen es: 1.760.000 · 0,1 = 176.000 pesos •

En los dos años el interés producido es: 160.000 + 176.000 = 336.000 pesos Por tanto, el capital de 1.600.000 pesos se convierte en los dos años en: 1.600.000 + 336.000 = 1.936.000 pesos

•

Se puede obtener directamente el capital final al cabo de los dos años: C = 1.600.000 · (1 + 0,1)2 = 1.936.000 pesos

En general, el capital final (Ct) que se obtiene a partir de un capital C en t años, al tanto por ciento anual r es: