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Instituto Politécnico Nacional UPIITA Ingeniería Mecatrónica ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS

PROGRAMA SINTÉTICO UNIDAD ACADÉMICA:

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA EN INGENIERIA Y TECNOLOGIAS AVANZADAS.

PROGRAMA Ingeniería en Mecatrónica ACADÉMICO: UNIDAD DE Análisis y Síntesis de Mecanismos APRENDIZAJE:

NIVEL:

II

PROPOSITO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE: Diseña mecanismos de sistemas mecatrónicos, con base en métodos y técnicas matemáticas. CONTENIDOS I. Conceptos básicos y clasificación de mecanismos II. Análisis cinemático de mecanismos 2D. III. Trenes de engranaje y Levas IV. Síntesis de mecanismos Prof. Dr. Juan Alejandro Flores Campos. V. Análisis dinámico de mecanismos 2D.

Encuadre temático: Análisis y Síntesis de Mecanismos. II. Análisis cinemático de mecanismos 2D 2.1 Fundamentos matemáticos (vectores).

Instituto Politécnico Nacional

Prof. Juan Alejandro Flores Campos

UPIITA

Ingeniería Mecatrónica

Ejemplo: Cinemática directa e inversa. Obtener el modelo cinemático del siguiente mecanismo de cadena cinemática abierta. (robot planar de 2 GDL) Plantearemos una metodología de estudio: Para la obtención del modelo cinemático Llamada también ecuación de lazo.

Metodología de estudio: 1) Definición del problema. 2) Observar que las bases locales son una rotación de la base inercial fija. 3) Ecuación de lazo.

La norma del parámetro 𝑝𝑝 es arbitraria, para este curso la norma 𝑝𝑝 parámetros de Euler, 1847.

2

= 1, llamados los

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Ejemplo: Cinemática directa e inversa. Obtener el modelo cinemática del siguiente mecanismo de cadena cinemática abierta. 𝑒𝑒𝑗𝑗

𝑒𝑒𝑗𝑗1 𝑒𝑒𝑗𝑗2

𝑗𝑗=1,2

= 𝒆𝒆𝟏𝟏 , 𝒆𝒆𝟐𝟐

Es la base global inercial fija.

𝑗𝑗=1,2

= 𝒆𝒆𝟏𝟏𝟏𝟏 , 𝒆𝒆𝟐𝟐𝟏𝟏

base local móvil 1.

𝑗𝑗=1,2

= 𝒆𝒆𝟏𝟏𝟐𝟐 , 𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐

base local móvil 2.

Observar como se alinea el primer vector de la base al eslabón en estudio.

La norma del parámetro 𝑝𝑝 es arbitraria, para este curso la norma 𝑝𝑝 parámetros de Euler, 1847.

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= 1, llamados los

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Ejemplo: Cinemática directa e inversa. Obtener el modelo cinemática del siguiente mecanismo de cadena cinemática abierta. Observar que las bases locales son una rotación de la base global fija. El formato general, es 1 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗=1,2 = 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑒𝑒𝑗𝑗 𝑗𝑗=1,2 = ⋅ {𝑝𝑝 ∗ 𝑒𝑒𝑗𝑗 𝑗𝑗=1,2 } 𝑅𝑅𝑐𝑐 = b2 ⊕ b3 𝑝𝑝 2 En forma compacta:

𝑒𝑒11 = 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑒𝑒1

𝑒𝑒12 = 𝜌𝜌 𝑞𝑞 , 𝑒𝑒11

1 = ⋅ {𝑝𝑝 ∗ 𝑒𝑒1 } 𝑝𝑝 2

1 = ⋅ {𝑞𝑞 ∗ 𝑒𝑒11 } 𝑞𝑞 2

Vectores de posición. Ecuación de lazo.

𝑝𝑝

𝑞𝑞

2 2

=1

=1

𝑏𝑏2 = 𝑙𝑙2 ⋅ 𝑒𝑒11 𝑏𝑏3 = 𝑙𝑙3 ⋅ 𝑒𝑒12

La norma del parámetro 𝑝𝑝 es arbitraria, para este curso la norma 𝑝𝑝 parámetros de Euler, 1847.

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= 1, llamados los

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Ejemplo: Cinemática directa e inversa. Obtener el modelo cinemática del siguiente mecanismo de cadena cinemática abierta. Explicitando el vector de posición. 𝑅𝑅𝑐𝑐 = 𝑙𝑙2 ⋅ 𝑝𝑝 ∗ 𝑒𝑒1 ⊕ 𝑙𝑙3 ⋅ 𝑞𝑞 ∗ 𝑒𝑒11 = 𝑙𝑙2 ⋅ (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 ) ∗ (1,0) ⊕ 𝑙𝑙3 ⋅ {(𝑞𝑞1 , 𝑞𝑞2 ) ∗ (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 ) ∗ (1,0)}

𝑅𝑅𝑐𝑐 = 𝑙𝑙2 ⋅ (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 ) ⊕ 𝑙𝑙3 ⋅ {(𝑞𝑞1 , 𝑞𝑞2 ) ∗ (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 )} Separando en componentes:

𝑥𝑥𝑐𝑐 = 𝑙𝑙2 𝑝𝑝1 + 𝑙𝑙3 (𝑞𝑞1 𝑝𝑝1 − 𝑞𝑞2 𝑝𝑝2 )

𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝑙𝑙2 𝑝𝑝2 + 𝑙𝑙3 (𝑞𝑞2 𝑝𝑝1 + 𝑞𝑞1 𝑝𝑝2 )

Ecuación de lazo: Es una expresión matemática que representa las restricciones físicas de movimiento de un mecanismo, y la relación entre sus parámetros y variables. La norma del parámetro 𝑝𝑝 es arbitraria, para este curso la norma 𝑝𝑝 parámetros de Euler, 1847.

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Definición del problema: i) Cinemática directa: Dados como datos: 𝒍𝒍𝟐𝟐 , 𝒍𝒍𝟑𝟑 , 𝒑𝒑𝟏𝟏 , 𝒑𝒑𝟐𝟐 , 𝒒𝒒𝟏𝟏 , 𝒒𝒒𝟐𝟐 encontrar: 𝑹𝑹𝑪𝑪 que satisfaga la ec. (1). Sist.Ecs. 2x2 lineal.

𝑥𝑥𝑐𝑐 = 𝑙𝑙2 𝑝𝑝1 + 𝑙𝑙3 (𝑞𝑞1 𝑝𝑝1 − 𝑞𝑞2 𝑝𝑝2 )

𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝑙𝑙2 𝑝𝑝2 + 𝑙𝑙3 (𝑞𝑞2 𝑝𝑝1 + 𝑞𝑞1 𝑝𝑝2 )

(1)

ii) Cinemática Inversa: Dados como datos: 𝒍𝒍𝟐𝟐 , 𝒍𝒍𝟑𝟑 , 𝑹𝑹𝑪𝑪 encontrar: 𝒑𝒑𝟏𝟏 , 𝒑𝒑𝟐𝟐 , 𝒒𝒒𝟏𝟏 , 𝒒𝒒𝟐𝟐 Sist. ecs. 4x4 NO lineal del tipo polinomial iii) Síntesis: Dados como datos: 𝑹𝑹𝑪𝑪 , 𝒑𝒑𝟏𝟏 , 𝒑𝒑𝟐𝟐 , 𝒒𝒒𝟏𝟏 , 𝒒𝒒𝟐𝟐 encontrar: 𝒍𝒍𝟐𝟐 , 𝒍𝒍𝟑𝟑 Sist. ecs. Sobre-determinado. Las incógnitas deben satisfacer la ecuación de lazo, ver ecuación (1).

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Caso II. 𝑎𝑎12 = 𝜌𝜌 𝑸𝑸 , 𝑎𝑎11 =

ii) Cinemática Inversa: Se proponen las siguientes incógnitas: 𝑷𝑷𝟏𝟏 , 𝑷𝑷𝟐𝟐 , 𝑸𝑸𝟏𝟏 , 𝑸𝑸𝟐𝟐

𝑷𝑷 = (𝑷𝑷𝟏𝟏 , 𝑷𝑷𝟐𝟐 )

𝑸𝑸 = (𝑸𝑸𝟏𝟏 , 𝑸𝑸𝟐𝟐 )

Construir bases: 𝑎𝑎11 = 𝜌𝜌 𝑷𝑷 , 𝑒𝑒11 = 𝑷𝑷

𝑎𝑎12 𝐐𝐐

2

=1

Caso I. = 𝜌𝜌 𝑸𝑸 , 𝑒𝑒12 =

2

=1

1 𝑷𝑷

2

1 𝑸𝑸

Configuración deformada.

b21 = 𝑙𝑙2 ⋅ 𝑎𝑎11

1 𝑸𝑸

2

⋅ {𝑸𝑸 ∗ 𝑎𝑎11 }

b31 = 𝑙𝑙3 ⋅ 𝑎𝑎12

Configuración no deformada.

⋅ {𝑷𝑷 ∗ 𝑒𝑒11 }

2

⋅ {𝑸𝑸 ∗ 𝑒𝑒12 }

Las incógnitas deben satisfacer la ecuación de lazo. Ver ecuación 1).

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ii) Cinemática Inversa: Caso I. Explicitando el vector de posición. 𝑅𝑅𝑐𝑐1 = b21 ⊕ b31 𝑎𝑎11 = 𝜌𝜌 𝑷𝑷 , 𝑒𝑒11 =

1 𝑷𝑷

⋅ {𝑷𝑷 ∗ 𝑒𝑒11 } 2

𝑅𝑅𝐶𝐶𝐶 = 𝑙𝑙2 ⋅ 𝑃𝑃 ∗ 𝑒𝑒11 ⊕ 𝑙𝑙3 ⋅ 𝑸𝑸 ∗ 𝑒𝑒12

𝑎𝑎12 = 𝜌𝜌 𝑸𝑸 , 𝑒𝑒12 =

1 𝑸𝑸

2

⋅ {𝑸𝑸 ∗ 𝑒𝑒12 }

𝑅𝑅𝐶𝐶𝐶 = 𝑙𝑙2 ⋅ (𝑃𝑃1 , 𝑃𝑃2 ) ∗ (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 ) ⊕ 𝑙𝑙3 ⋅ (𝑄𝑄1 , 𝑄𝑄2 ∗ (𝑞𝑞1 , 𝑞𝑞2 ) ∗ (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 )}

𝑅𝑅𝐶𝐶𝐶 = 𝑙𝑙2 𝑃𝑃1 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃2 𝑝𝑝2 , 𝑃𝑃2 𝑝𝑝1 + 𝑃𝑃1 𝑝𝑝2 + 𝑙𝑙3 [(𝑄𝑄1 , 𝑄𝑄2 ) ∗ (𝑞𝑞1 𝑝𝑝1 − 𝑞𝑞2 𝑝𝑝2 , 𝑞𝑞2 𝑝𝑝1 + 𝑞𝑞1 𝑝𝑝2 )]

𝑅𝑅𝐶𝐶𝐶 = 𝑙𝑙2 𝑃𝑃1 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃2 𝑝𝑝2 + 𝑙𝑙3 [𝑄𝑄1 (𝑞𝑞1 𝑝𝑝1 − 𝑞𝑞2 𝑝𝑝2 ) − 𝑄𝑄2 (𝑞𝑞2 𝑝𝑝1 + 𝑞𝑞1 𝑝𝑝2 ), 𝑄𝑄2 (𝑞𝑞1 𝑝𝑝1 − 𝑞𝑞2 𝑝𝑝2 ) + 𝑄𝑄1 (𝑞𝑞2 𝑝𝑝1 + 𝑞𝑞1 𝑝𝑝2 )] Separando en componentes y considerando la norma unitaria de los parámetros incógnita, se tiene:

𝑓𝑓𝑓 = −𝑥𝑥𝐶𝐶𝐶 + 𝑙𝑙2 𝑃𝑃1 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃2 𝑝𝑝2 + 𝑙𝑙3 [𝑄𝑄1 (𝑞𝑞1 𝑝𝑝1 − 𝑞𝑞2 𝑝𝑝2 ) − 𝑄𝑄2 (𝑞𝑞2 𝑝𝑝1 + 𝑞𝑞1 𝑝𝑝2 )] == 0 𝑓𝑓𝑓 = −𝑦𝑦𝐶𝐶𝐶 = + 𝑃𝑃2 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃1 𝑝𝑝2 + 𝑙𝑙3 [𝑄𝑄2 (𝑞𝑞1 𝑝𝑝1 − 𝑞𝑞2 𝑝𝑝2 ) + 𝑄𝑄1 (𝑞𝑞2 𝑝𝑝1 + 𝑞𝑞1 𝑝𝑝2 )] == 0 𝑓𝑓𝑓 = 𝑃𝑃 21+𝑃𝑃 22−1 == 0

𝑓𝑓𝑓 = 𝑄𝑄 21+𝑄𝑄 22−1 == 0

Sistema de ecuaciones de 4X4 no lineal del tipo polinomial, en términos de sus incógnitas : Incógnitas: 𝑷𝑷𝟏𝟏 , 𝑷𝑷𝟐𝟐 , 𝑸𝑸𝟏𝟏 , 𝑸𝑸𝟐𝟐

En el caso I, el ángulo 𝜑𝜑2 se mide desde la configuración no deformada. En el caso II, el ángulo 𝜑𝜑2 se mide desde la configuración deformada.

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ii) Cinemática Inversa: Caso II. Explicitando el vector de posición. 𝑅𝑅𝑐𝑐1 = b21 ⊕ b31 𝑎𝑎11 = 𝜌𝜌 𝑷𝑷 , 𝑒𝑒11 =

1 𝑷𝑷

⋅ {𝑷𝑷 ∗ 𝑒𝑒11 } 2

𝑅𝑅𝐶𝐶𝐶 = 𝑙𝑙2 ⋅ 𝑃𝑃 ∗ 𝑒𝑒11 ⊕ 𝑙𝑙3 ⋅ 𝑸𝑸 ∗ 𝑎𝑎11

𝑎𝑎12 = 𝜌𝜌 𝑸𝑸 , 𝑎𝑎11 =

1 𝑸𝑸

2

⋅ {𝑸𝑸 ∗ 𝑎𝑎11 }

𝑅𝑅𝐶𝐶𝐶 = 𝑙𝑙2 ⋅ (𝑃𝑃1 , 𝑃𝑃2 ) ∗ (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 ) ⊕ 𝑙𝑙3 ⋅ (𝑄𝑄1 , 𝑄𝑄2 ∗ (𝑃𝑃1 , 𝑃𝑃2 ) ∗ (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 )}

𝑅𝑅𝐶𝐶𝐶 = 𝑙𝑙2 𝑃𝑃1 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃2 𝑝𝑝2 , 𝑃𝑃2 𝑝𝑝1 + 𝑃𝑃1 𝑝𝑝2 + 𝑙𝑙3 [(𝑄𝑄1 , 𝑄𝑄2 ) ∗ (𝑃𝑃1 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃2 𝑝𝑝2 , 𝑃𝑃2 𝑝𝑝1 + 𝑃𝑃1 𝑝𝑝2 )]

𝑅𝑅𝐶𝐶𝐶 = 𝑙𝑙2 𝑃𝑃1 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃2 𝑝𝑝2 + 𝑙𝑙3 [𝑄𝑄1 (𝑃𝑃1 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃2 𝑝𝑝2 ) − 𝑄𝑄2 (𝑃𝑃2 𝑝𝑝1 + 𝑃𝑃1 𝑝𝑝2 ), 𝑄𝑄2 (𝑃𝑃1 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃2 𝑝𝑝2 ) + 𝑄𝑄1 (𝑃𝑃2 𝑝𝑝1 + 𝑃𝑃1 𝑝𝑝2 )] Separando en componentes y considerando la norma unitaria de los parámetros incógnita, se tiene:

𝑓𝑓𝑓 = −𝑥𝑥𝐶𝐶𝐶 + 𝑙𝑙2 𝑃𝑃1 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃2 𝑝𝑝2 + 𝑙𝑙3 [𝑄𝑄1 (𝑃𝑃1 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃2 𝑝𝑝2 ) − 𝑄𝑄2 (𝑃𝑃2 𝑝𝑝1 + 𝑃𝑃1 𝑝𝑝2 )] == 0 𝑓𝑓𝑓 = −𝑦𝑦𝐶𝐶𝐶 = + 𝑃𝑃2 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃1 𝑝𝑝2 + 𝑙𝑙3 [𝑄𝑄2 (𝑃𝑃1 𝑝𝑝1 − 𝑃𝑃2 𝑝𝑝2 ) + 𝑄𝑄1 (𝑃𝑃2 𝑝𝑝1 + 𝑃𝑃1 𝑝𝑝2 )] == 0 𝑓𝑓𝑓 = 𝑃𝑃 21+𝑃𝑃 22−1 == 0

𝑓𝑓𝑓 = 𝑄𝑄 21+𝑄𝑄 22−1 == 0

Sistema de ecuaciones de 4X4 no lineal en términos de sus incógnitas del tipo polinomial: Incógnitas: 𝑷𝑷𝟏𝟏 , 𝑷𝑷𝟐𝟐 , 𝑸𝑸𝟏𝟏 , 𝑸𝑸𝟐𝟐

El Caso I y el Caso II, el mecanismo llega a la misma posición, pero el ángulo del eslabón 2, resulta de una composición de rotaciones que se debe discretizar para obtener su valor real.

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ii) Cinemática Inversa: Actividad: Programar las ecuaciones en Mathematica ®. Y graficar los resultados de simulación.

La norma del parámetro 𝑝𝑝 es arbitraria, para este curso la norma 𝑝𝑝 parámetros de Euler, 1847.

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Resumen y observaciones y comentarios del métodod de álgebra compleja 1) El sistema de ecuaciones no lineal que se obtiene para resolver la cinemática inversa es del tipo polinomial, ofrece un rango de solución posible acotado de -1,1 debido a la definición de la norma unitaria: se divide en dos (0,1) solución codo arriba y (-1,0) solución codo abajo.

𝑷𝑷

2

=1

𝐐𝐐

2

=1

2) En los sistemas de ecuaciones trigonométricos (senos y cosenos), se trata de sustituir estos por funciones tangentes que son más estables y presentan menor variación numérica en los extremos. Debido a que el método de Newton Rhapson es sensible a las variaciones numéricas. Rango de solución (-2pi, 2pi) 3) Las configuraciones deformadas del mecanismo tienen como referencia única la configuración no deformada (home). Es decir, todos los desplazamientos se miden desde la configuración no deformada. Permitiendo que los valores iniciales x0 sean constates a lo largo de la trayectoria propuesta. 4) Sin embargo, es posible obtener la solución simbólica con el comando de Solve[], nativo de Mathematica 10.0. o cualquier software de cálculo simbólico formal. La norma del parámetro 𝑝𝑝 es arbitraria, para este curso la norma 𝑝𝑝 parámetros de Euler, 1847.

2

= 1, llamados los

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Método de Newton-Rhapson. El método de Newton Rhapson es un método numérico iterativo utilizado para encontrar las raíces de un sistema de ecuaciones no lineal. Es decir, determinar el valor de la raíz x que satisfaga la ecuación 3)

𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 0

3)

Se puede expresar la raíz de la siguiente forma:

𝑥𝑥̅ ∆𝑥𝑥

𝑥𝑥 = 𝑥𝑥̅ + ∆𝑥𝑥

𝐹𝐹 𝑥𝑥 𝜖𝜖 ℛ𝑚𝑚 representa un vector de funciones no lineal. representa el vector de incógnitas. 𝑥𝑥 𝜖𝜖 ℛ𝑛𝑛

4)

Es el vector estimado, definido por el usuario. Es un factor de corrección a calcular...

0𝜖𝜖 ℛ 𝑚𝑚

representa el vector nulo aditivo.

𝜕𝜕𝐹𝐹𝑖𝑖 ∆𝑥𝑥𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖 4

𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝐹𝐹 𝑥𝑥̅ + �

Para calcular el factor de corrección es necesario representar el sistema de ecuaciones no lineal en un sistema lineal alrededor del punto 𝑥𝑥̅ aplicando la serie truncada de Taylor. En este caso particular: m=4 y n=4.

𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓1 𝑓𝑓2 𝑓𝑓3 𝑓𝑓4 𝜖𝜖 ℛ 4 𝑥𝑥 = 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 𝑄𝑄1 𝑄𝑄2 𝜖𝜖 ℛ 4

El comando en mathematica es FindRoot[] y en matlab solve().

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Método de Newton-Rhapson. La serie truncada de Taylor que expresada de la siguiente forma: 𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝑓𝑓1 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓1 𝑥𝑥̅ + 𝜕𝜕𝑃𝑃1 � ∆𝑃𝑃1 + 𝜕𝜕𝑃𝑃1 � ∆𝑃𝑃1 + 𝜕𝜕𝑃𝑃1 � ∆𝑃𝑃2 + 𝜕𝜕𝑄𝑄1 � ∆𝑄𝑄1 + 𝜕𝜕𝑄𝑄1 � ∆𝑄𝑄2 + 1

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝑥𝑥̅

1

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝑥𝑥̅

2

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝑥𝑥̅

1

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝑥𝑥̅

2

𝜕𝜕𝑓𝑓

Higher order terms

𝑥𝑥̅

𝑓𝑓2 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓2 𝑥𝑥̅ + 𝜕𝜕𝑃𝑃2 � ∆𝑃𝑃1 + 𝜕𝜕𝑃𝑃2 � ∆𝑃𝑃1 + 𝜕𝜕𝑃𝑃2 � ∆𝑃𝑃2 + 𝜕𝜕𝑄𝑄2 � ∆𝑄𝑄1 + 𝜕𝜕𝑄𝑄2 � ∆𝑄𝑄2 + 1

𝑥𝑥̅

1

𝑥𝑥̅

1

𝑥𝑥̅

𝜕𝜕𝑓𝑓

1

𝑥𝑥̅

1

𝑥𝑥̅

1

𝑥𝑥̅

𝜕𝜕𝑓𝑓

2

𝑥𝑥̅

2

𝑥𝑥̅

2

𝑥𝑥̅

𝜕𝜕𝑓𝑓

1

𝑥𝑥̅

1

𝑥𝑥̅

1

𝑥𝑥̅

𝜕𝜕𝑓𝑓

2

𝑥𝑥̅

2

𝑥𝑥̅

2

𝑥𝑥̅

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝑓𝑓3 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓3 𝑥𝑥̅ + 𝜕𝜕𝑃𝑃3 � ∆𝑃𝑃1 + 𝜕𝜕𝑃𝑃3 � ∆𝑃𝑃1 + 𝜕𝜕𝑃𝑃3 � ∆𝑃𝑃2 + 𝜕𝜕𝑄𝑄3 � ∆𝑄𝑄1 + 𝜕𝜕𝑄𝑄3 � ∆𝑄𝑄2 + 𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝑓𝑓4 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓4 𝑥𝑥̅ + 𝜕𝜕𝑃𝑃4 � ∆𝑃𝑃1 + 𝜕𝜕𝑃𝑃4 � ∆𝑃𝑃1 + 𝜕𝜕𝑃𝑃4 � ∆𝑃𝑃2 + 𝜕𝜕𝑄𝑄4 � ∆𝑄𝑄1 + 𝜕𝜕𝑄𝑄4 � ∆𝑄𝑄2 + En forma compacta

𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝐹𝐹 𝑥𝑥̅ + 𝐽𝐽(𝑥𝑥) ∆𝑥𝑥

El comando en mathematica es FindRoot[] y en matlab solve().

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Método de Newton-Rhapson. El método de Newton Rhapson es un método numérico iterativo utilizado para encontrar las raíces de un sistema de ecuaciones no lineal. Es decir, determinar el valor de la raíz x que satisfaga la ecuación 3) 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑓𝑓

𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝐹𝐹 𝑥𝑥̅ + 𝐽𝐽(𝑥𝑥)̅ ∆𝑥𝑥

𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 0

0 = 𝐹𝐹 𝑥𝑥̅ + 𝐽𝐽(𝑥𝑥)̅ ∆𝑥𝑥 0 = 𝐹𝐹 𝑥𝑥̅ + 𝐽𝐽(𝑥𝑥)̅ ∆𝑥𝑥

Por lo tanto, el factor de corrección se puede calcular con la siguiente expresión

∆𝑥𝑥 = − 𝐽𝐽(𝑥𝑥)̅

−1 𝐹𝐹

𝑥𝑥̅

1

𝜕𝜕𝑃𝑃1 𝜕𝜕𝑓𝑓2 𝜕𝜕𝑃𝑃1 𝐽𝐽 𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝑓𝑓3 𝜕𝜕𝑃𝑃1 𝜕𝜕𝑓𝑓4 𝜕𝜕𝑃𝑃1

1

𝜕𝜕𝑃𝑃2 𝜕𝜕𝑓𝑓2 𝜕𝜕𝑃𝑃2 𝜕𝜕𝑓𝑓3 𝜕𝜕𝑃𝑃2 𝜕𝜕𝑓𝑓4 𝜕𝜕𝑃𝑃2

1

𝜕𝜕𝑄𝑄1 𝜕𝜕𝑓𝑓2 𝜕𝜕𝑄𝑄1 𝜕𝜕𝑓𝑓3 𝜕𝜕𝑄𝑄1 𝜕𝜕𝑓𝑓4 𝜕𝜕𝑄𝑄1

Jacobiano

1

𝜕𝜕𝑄𝑄2 𝜕𝜕𝑓𝑓2 𝜕𝜕𝑄𝑄2 𝜕𝜕𝑓𝑓3 𝜕𝜕𝑄𝑄2 𝜕𝜕𝑓𝑓4 𝜕𝜕𝑄𝑄2

𝜖𝜖 ℛ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥̅

∆𝑃𝑃1 ∆𝑃𝑃2 ∆𝑥𝑥 = 𝜖𝜖 ℛ 𝑚𝑚𝑚𝑚1 ∆𝑄𝑄1 ∆𝑄𝑄2 Vector factor corrección

En el método de Newton- Rhapson además del vector función 𝑭𝑭 𝒙𝒙 es necesaria su derivada con respecto a las variables 𝑭𝑭𝑭 𝒙𝒙 . Es decir, su jacobiano.

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Método de Newton-Rhapson. El método de Newton Raphson es un método numérico iterativo utilizado para encontrar las raíces de un sistema de ecuaciones no lineal. Es decir, determinar el valor de la raíz x que satisfaga la ecuación 3)

𝑥𝑥̅

1) Se estima la solución basado en algún criterio, experiencia, o método gráfico. (educated guess)

∆𝑥𝑥 = − 𝐽𝐽(𝑥𝑥)̅

2) Calcular el factor de corrección 3) Sumar el factor de corrección al valor estimado para obtener una aproximación nueva 4) Evaluar en las ecuaciones no lineal y aplicar criterios de paro si fuera el caso.

𝑥𝑥̅

𝑥𝑥

𝐹𝐹 𝑥𝑥 ≤ 𝜀𝜀 umbral, 𝜀𝜀 = 1𝑥𝑥10−6

−1

𝐹𝐹 𝑥𝑥̅

𝑥𝑥 = 𝑥𝑥̅ + ∆𝑥𝑥 𝐹𝐹 𝑥𝑥 == 0 no

Criterios de paro…

Algorítmo de Newton-Rhapson.

El comando en Mathematica® es FindRoot[] y en Matlab® solve().

𝐹𝐹 𝑥𝑥 == 0

si

𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟

# 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 250

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Método de Newton-Rhapson.

Actividad: Usando código del software de Mathematica® 10.0. Desarrolle el algoritmo de Newton Rhapson. 1) Calcular el ángulo que debe rotar cada eslabón para que el efector final alcance el punto (-40,50). 2) Considere el criterio de paro: F 𝑥𝑥 ≤ 𝜀𝜀 umbral, 𝜀𝜀 = 1𝑥𝑥10−6 3) Calcule el número Máx de Iteraciones para alcanzar la solución del punto 2). 4) Finalmente, compare sus resultados con el Comando FindRoot[] Reporte su procedimiento y sus conclusiones . Recuerde enviar sus evidencias (programas, simulaciones, código, etc ) a los jefes de grupo.

El comando en mathematica es FindRoot[] y en matlab solve().

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FIN…

El comando en mathematica es FindRoot[] y en matlab solve().

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Instituto Politécnico Nacional UPIITA Ingeniería Mecatrónica ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS Prof. Dr. Juan Alejandro Flores Campos.

Nombres: Instrucciones. Del modelo del examen, utilizando los 4 métodos: Método Gráfico, Método Analítico, Método de Álgebra Compleja, Método Matricial y haciendo uso de software como Mathematica® 8.0 y GeoGebra obtener lo siguiente:

Equipo #5

•Grados de libertad. •Análisis de posición: q = 0 a 360°. •Análisis de velocidad: 𝑞𝑞̇ = 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋.

Incluyendo: 1.- Redacción del problema. 2.- Dibujo del mecanismo con datos. 3.- Desarrollo detallado de las soluciones obtenidas; fórmulas, gráficas, validación de resultados numéricos, programas, entre otros.

Unidad de aprendizaje. Plan 1999.

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Realizar el análisis cinemático del mecanismo mostrado en la figura y posteriormente modelar su movimiento en los programas de simulación. Datos conocidos:

El presente examen responderá a los análisis de posición y velocidad por cuatro métodos: método gráfico, método analítico, método matricial y método de álgebra compleja y se demostraran mediante los software de simulación.

AC= 250 [mm] CB= 400 [mm] BD= 1500[mm] AE= 900 [mm] La= 50 [mm] 𝑞𝑞= 60 [Deg] 𝑞𝑞= ̇ 600 [rpm]