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Encuadre temático: Análisis y Síntesis de Mecanismos. II. Análisis cinemático de mecanismos 2D 2.1 Fundamentos matemáticos (vectores).

Instituto Politécnico Nacional

Prof. Juan Alejandro Flore Campos

UPIITA

Ingeniería Mecatrónica

Ejemplo: Cinemática directa e inversa. Obtener el modelo cinemático del siguiente mecanismo de cadena cinemática abierta. (robot planar de 2 GDL) Plantearemos una metodología de estudio: Para la obtención del modelo cinemático Llamada también ecuación de lazo.

1) Definición del problema. 2) Observar que las bases locales son una rotación de la base inercial fija. 3) Ecuación de lazo.

La norma del parámetro 𝑝𝑝 es arbitraria, para este curso la norma 𝑝𝑝 parámetros de Euler, 1847.

2

= 1, llamados los

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Instituto Politécnico Nacional UPIITA Ingeniería Mecatrónica ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS

PROGRAMA SINTÉTICO UNIDAD ACADÉMICA:

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA EN INGENIERIA Y TECNOLOGIAS AVANZADAS.

PROGRAMA Ingeniería en Mecatrónica ACADÉMICO: UNIDAD DE Análisis y Síntesis de Mecanismos APRENDIZAJE:

NIVEL:

II

PROPOSITO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE: Diseña mecanismos de sistemas mecatrónicos, con base en métodos y técnicas matemáticas. CONTENIDOS I. Conceptos básicos y clasificación de mecanismos II. Análisis cinemático de mecanismos 2D. III. Trenes de engranaje y Levas IV. Síntesis de mecanismos Prof. Dr. Juan Alejandro Flores Campos. V. Análisis dinámico de mecanismos 2D.

Instituto Politécnico Nacional UPIITA Ingeniería Mecatrónica Análisis y Síntesis de Mecanismos

Introducción: Iniciaremos nuestro estudio con los conceptos básicos del algebra lineal para deducir una transformación lineal ortogonal, cuya matriz asociada tiene determinante positivo. Esta transformación representa una rotación de un cuerpo rígido, y está definida como:

𝜌𝜌 𝑝𝑝 ,∘ : 𝓥𝓥 → 𝓥𝓥

La transformación ro mapea elementos del espacio vectorial 𝓥𝓥 al mismo espacio vectorial 𝓥𝓥.

Donde 𝜌𝜌 mapea todo el espacio vectorial ∘ de 𝓥𝓥 al espacio 𝓥𝓥. Esta transformación la usaremos para modelar los mecanismos de cadena cinemática abierta y cerrada. Siendo Sir William Hamilton (1843) quien inició esta teoría, posteriormente Euler con su parámetro de rotación.

Sir William Hamilton (1843) matemático inglés.

II. Análisis cinemático de mecanismos 2D. 2.1 Fundamentos matemáticos

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Ingeniería Mecatrónica

Introducción: Iniciaremos nuestro estudio básico con enfoque mecatrónico y robótica con los conceptos básicos del algebra lineal: Grupos campos 𝜌𝜌 𝑝𝑝 ,∘ : 𝓥𝓥 → 𝓥𝓥 espacio vectorial y transformación lineal para proponer una transformación lineal, ortogonal, cuya matriz asociada tiene determinante positivo. Esta transformación representa una rotación de un cuerpo rígido, y está definida como:

Donde 𝜌𝜌 mapea todo ∘ el espacio vectorial de 𝓥𝓥 al mismo espacio 𝓥𝓥. Esta transformación la usaremos para modelar los mecanismos de cadena cinemática abierta y cerrada. Siendo Sir William Hamilton (1843) quien concibió esta teoría, posteriormente Euler con su parámetro de rotación.

Sir William Hamilton (1843) matemático inglés. Inventor de los vectores

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Encuadre temático: Análisis y Síntesis de Mecanismos. II. Análisis cinemático de mecanismos 2D 2.1 Fundamentos matemáticos (vectores).

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Definición Rotación: Matemáticamente una rotación es una transformación lineal, ortogonal de determinante positivo.

𝜌𝜌 𝑝𝑝 ,∘ : 𝓥𝓥 → 𝓥𝓥

Definida como:

1 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑟𝑟 = ⋅ {𝑝𝑝 ∗ 𝑟𝑟} 𝑝𝑝 2

Donde

𝑟𝑟 𝜖𝜖 𝓥𝓥

Multiplicación escalar

⋅ ∶ 𝛼𝛼 × 𝑢𝑢 𝜖𝜖 𝒱𝒱

Es un vector a rotar.

∗: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2

Donde

parámetro de rotación. 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 𝜖𝜖 𝓥𝓥, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓.

2

Llamada operación multiplicación definida en grupo multiplicativo.

< 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 > = � 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑖𝑖 𝜖𝜖 ℛ 𝑖𝑖=1

𝑝𝑝

2

2

=< 𝑝𝑝, 𝑝𝑝 >= � 𝑝𝑝𝑖𝑖2 ℛ 𝑖𝑖=1

La norma del parámetro 𝑝𝑝 es arbitraria, para este curso la norma 𝑝𝑝 parámetros de Euler, 1847.

2

𝑝𝑝

= 1, llamados los

2

= 𝑝𝑝1 2 + 𝑝𝑝2 2 1/10

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Definición Rotación: A continuación demostraremos las propiedades de la transformación propuesta. Definición Transformación lineal: Una transformación es lineal si cumple con las siguientes propiedades:

i) Propiedad aditiva (superposición): 𝑻𝑻 𝒖𝒖 ⊕ 𝒗𝒗 = 𝑻𝑻𝑻𝑻 ⊞ 𝑻𝑻𝑻𝑻

ii) Propiedad homogeneidad 𝑻𝑻 𝜶𝜶 ⋅ 𝒖𝒖 =∝⊙ 𝑻𝑻𝑻𝑻

∀ 𝒖𝒖, 𝒗𝒗 ∈ 𝓥𝓥 𝒚𝒚 𝜶𝜶 ∈ 𝒌𝒌

Si se cumplen todas las propiedades entonces, la pareja (𝓥𝓥,⊕) tendrá estructura de grupo conmutativo ó grupo abeliano.

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1 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑟𝑟 = 𝑝𝑝

𝜌𝜌 𝑝𝑝 ,∘ : 𝓥𝓥 → 𝓥𝓥

2

⋅ {𝑝𝑝 ∗ 𝑟𝑟}

i) Propiedad aditiva (superposición): 𝑻𝑻 𝒖𝒖 ⊕ 𝒗𝒗 = 𝑻𝑻𝑻𝑻 ⊞ 𝑻𝑻𝑻𝑻

𝜌𝜌 𝑝𝑝 , (𝒖𝒖 ⊕ 𝒗𝒗) =

1 𝑝𝑝

2

⋅ {𝑝𝑝 ∗ (𝒖𝒖 ⊕ 𝒗𝒗)}

Aplicando la propiedad de distributiva de la operación ∗ bajo la operación ⊕, (definición de campo). Después aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación escalar (espacio vectorial).

1 = 𝑝𝑝

2

⋅ {𝑝𝑝 ∗ 𝒖𝒖 ⊕ 𝑝𝑝 ∗ 𝒗𝒗}

La propiedad aditiva se satisface...

=

1 𝑝𝑝

2 ⋅ {𝑝𝑝 ∗ 𝒖𝒖} ⊕

1 {𝑝𝑝 ∗ 𝒗𝒗} 𝑝𝑝 2

𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑢𝑢 ⊕ 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑣𝑣 1/10

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1 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑟𝑟 = 𝑝𝑝

𝜌𝜌 𝑝𝑝 ,∘ : 𝓥𝓥 → 𝓥𝓥 ii) Propiedad homogeneidad

2

⋅ {𝑝𝑝 ∗ 𝑟𝑟}

𝑻𝑻 𝜶𝜶 ⋅ 𝒖𝒖 =∝⊙ 𝑻𝑻𝑻𝑻 Aplicando la propiedad asociativa de la operación multiplicación escalr definida en espacio vectorial.

𝜌𝜌 𝑝𝑝 , (𝛼𝛼 ⋅ 𝒖𝒖) =

1 ⋅ {𝑝𝑝 ∗ (𝛼𝛼 ⋅ 𝒖𝒖)} 𝑝𝑝 2

= 𝜶𝜶 ⋅

1 ⋅ {𝑝𝑝 ∗ 𝒖𝒖} 𝑝𝑝 2

La propiedad homogénea se satisface... Por lo tanto, 𝜌𝜌 𝑝𝑝 ,∘ : 𝓥𝓥 → 𝓥𝓥 es lineal.

= 𝜶𝜶 ⋅ 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑢𝑢

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Definición Transformación Ortogonal: Una transformación que conserva las magnitudes (norma) y los ángulos relativos sin cambio, es llamada transformación ortogonal y se puede identificar con el determinante de su matriz igual a +1.

i) Propiedad de ortogonalidad:

𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑢𝑢 , 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑣𝑣

= 𝒖𝒖, 𝒗𝒗

Donde: ∘,∘ : 𝓥𝓥 × 𝓥𝓥 → ℛ

Función producto interno ó Función producto punto.

Desarrollando el lado izquierdo para llegar al lado derecho de la igualdad:

𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑢𝑢 = 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑣𝑣 =

1 𝑝𝑝 2

1 𝑝𝑝 2

⋅ 𝑝𝑝 ∗ 𝑢𝑢

⋅ 𝑝𝑝 ∗ 𝑣𝑣

1 = ⋅ (𝑝𝑝1 𝑢𝑢1 − 𝑝𝑝2 𝑢𝑢2 , 𝑝𝑝2 𝑢𝑢1 + 𝑝𝑝1 𝑢𝑢2 ) 𝑝𝑝 2 1 = ⋅ (𝑝𝑝1 𝑣𝑣1 − 𝑝𝑝2 𝑣𝑣2 , 𝑝𝑝2 𝑣𝑣1 + 𝑝𝑝1 𝑣𝑣2 ) 𝑝𝑝 2

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la función de producto interno y factorizando la norma.

1 ⋅ (𝑝𝑝1 𝑢𝑢1 − 𝑝𝑝2 𝑢𝑢2 , 𝑝𝑝2 𝑢𝑢1 + 𝑝𝑝1 𝑢𝑢2 ), (𝑝𝑝1 𝑣𝑣1 − 𝑝𝑝2 𝑣𝑣2 , 𝑝𝑝2 𝑣𝑣1 + 𝑝𝑝1 𝑣𝑣2 ) 𝑝𝑝 2

Si se cumplen todas las propiedades entonces, la pareja (𝓥𝓥,⊕) tendrá estructura de grupo conmutativo ó grupo abeliano.

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Definición Transformación Ortogonal: Desarrollado la función de producto interno.

= =

1 𝑝𝑝 2 1 𝑝𝑝 2

⋅ (𝑝𝑝1 𝑢𝑢1 − 𝑝𝑝2 𝑢𝑢2 , 𝑝𝑝2 𝑢𝑢1 + 𝑝𝑝1 𝑢𝑢2 ), (𝑝𝑝1 𝑣𝑣1 − 𝑝𝑝2 𝑣𝑣2 , 𝑝𝑝2 𝑣𝑣1 + 𝑝𝑝1 𝑣𝑣2 )

⋅ (𝑝𝑝12 𝑢𝑢1 𝑣𝑣1 − 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝑢𝑢1 𝑣𝑣2 − 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝑢𝑢2 𝑣𝑣1 + 𝑝𝑝22 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2 + ⋯ 𝑝𝑝22 𝑢𝑢1 𝑣𝑣1 + 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝑢𝑢1 𝑣𝑣2 − 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝑢𝑢2 𝑣𝑣1 + 𝑝𝑝12 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2 )

Factorizamos a 𝑝𝑝12 expresión.

= =

1 𝑝𝑝 2

1 𝑝𝑝 2

⋅ (𝑝𝑝12

y 𝑝𝑝22 , y cancelando términos, queda la siguiente

𝑢𝑢1 𝑣𝑣1 + 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2 + 𝑝𝑝22

⋅ (𝑝𝑝12 + 𝑝𝑝22 ) 𝑢𝑢1 𝑣𝑣1 + 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2

La transformación es ortogonal…

𝑢𝑢1 𝑣𝑣1 + 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2 )

=

1 𝑝𝑝 2

⋅ (𝑝𝑝12 + 𝑝𝑝22 ) 𝑢𝑢1 𝑣𝑣1 + 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2

𝑢𝑢1 𝑣𝑣1 + 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2 = 𝒖𝒖, 𝒗𝒗

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Definición Determinante de la matriz asociada a la transformación: Para obtener la matriz asociada a la transformación 𝜌𝜌 𝑝𝑝 ,∘ . Primero se aplica la transformación a cada uno de los vectores de la base, a la imagen se representa como una combinación lineal de 𝓥𝓥, y los coeficientes los coloco en la matriz ortogonal.

1 𝑀𝑀𝜌𝜌 𝑝𝑝 ,∘ = ⋅ 𝑝𝑝 2

𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷[𝑀𝑀𝜌𝜌 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷[𝑀𝑀𝜌𝜌

𝑝𝑝 ,∘

]=

𝑝𝑝 ,∘

]=

𝑝𝑝1 𝑝𝑝2

−𝑝𝑝2 𝑝𝑝1 𝜖𝜖 𝑀𝑀2×2

1 ⋅ (𝑝𝑝1 𝑝𝑝1 𝑝𝑝 2 1 ⋅ 𝑝𝑝 2

La transformación 𝜌𝜌 𝑝𝑝 ,∘ representa una rotación.

− (−𝑝𝑝2 𝑝𝑝2 ))

𝑝𝑝1 2 + 𝑝𝑝2 2 = +1

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Significado físico de los componentes del parámetro de rotación 𝑝𝑝. 1 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑟𝑟 = ⋅ {𝑝𝑝 ∗ 𝑟𝑟} 𝑝𝑝 2

parámetro de rotación.

𝑝𝑝 = 𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 𝜖𝜖 𝓥𝓥, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓.

De la figura se observa que 𝑒𝑒11 resulta de rotar el vector 𝑒𝑒1 de la base B, con el parámetro 𝑝𝑝. Recordar que son vectores orto-normales.

𝑒𝑒11 = 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑟𝑟 = 𝑝𝑝

2

=1

1 1 ⋅ 𝑝𝑝 ∗ 𝑒𝑒 = ⋅ (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 ) ∗ (1,0) 1 𝑝𝑝 2 𝑝𝑝 2

𝑒𝑒1 , (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 ) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝜃𝜃 = 𝑒𝑒1 2 𝑝𝑝1 = 𝑒𝑒1

2

⋅ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝜃𝜃

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝜃𝜃 =

𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒11 𝑒𝑒1 𝑒𝑒11

(1,0), (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 ) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝜃𝜃 = 𝑒𝑒1 2 𝑒𝑒1

2

=1

𝑝𝑝1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝜃𝜃 = 𝑒𝑒1 𝑝𝑝1 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝜃𝜃

Figura 1. fenómeno geométrico rotación.

Nombre base.

2

𝑒𝑒11

𝑒𝑒21

Vector B 𝜖𝜖 ℛ 2 . # rotación.

Notación utilizada.

La operación multiplicación representa un rotación y la operación aditiva una translación.

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Significado físico de los componentes del parámetro de rotación 𝑝𝑝. 1 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑟𝑟 = ⋅ {𝑝𝑝 ∗ 𝑟𝑟} 𝑝𝑝 2

parámetro de rotación.

𝑝𝑝 = 𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 𝜖𝜖 𝓥𝓥, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓.

El componente 𝑝𝑝2 lo podemos obtener de la definición de norma: 𝑝𝑝 2 = 1.

𝑝𝑝

2

= 𝑝𝑝12 + 𝑝𝑝22

𝑝𝑝1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

1=

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃

+

𝑝𝑝22

1 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃 = 𝑝𝑝22

𝑝𝑝2 = ± 1 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃 = ±𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

El elemento 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 Es llamado par ordenado.

Figura 1. fenómeno geométrico rotación.

Significado físico 𝑝𝑝1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝑝𝑝2 = ±𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

Cantidad de rotación. Eje de giro.

Signo + rotación. Signo – reflexión (rotación 180). 1/10

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Quizz.

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¿Es lo mismo?...

Método álgebra compleja.

𝑒𝑒11

1 1 = 𝜌𝜌 𝑝𝑝 , 𝑟𝑟 = ⋅ 𝑝𝑝 ∗ 𝑒𝑒1 = ⋅ (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 ) ∗ (1,0) 𝑝𝑝 2 𝑝𝑝 2

𝑒𝑒11 = (𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 )

Método analítico.

𝑒𝑒11 = 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝑖𝑖 0 = 𝑒𝑒 𝑖𝑖(𝜃𝜃+0) = (cos 𝜃𝜃 + 𝑖𝑖 sin 𝜃𝜃) 𝑒𝑒11 = (cos 𝜃𝜃 + 𝑖𝑖 sin 𝜃𝜃)

𝜃𝜃 [rad]

El elemento 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 Es llamado par ordenado.

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Mathematica 10.0 • Fin…

Instituto Politécnico Nacional UPIITA Ingeniería Mecatrónica ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS Prof. Dr. Juan Alejandro Flores Campos.

Nombres: Instrucciones. Del modelo del examen, utilizando los 4 métodos: Método Gráfico, Método Analítico, Método de Álgebra Compleja, Método Matricial y haciendo uso de software como Mathematica® 8.0 y GeoGebra obtener lo siguiente:

Equipo #

•Grados de libertad. •Análisis de posición: q = 0 a 360°. •Análisis de velocidad: 𝑞𝑞̇ = 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋.

Incluyendo: 1.- Redacción del problema. 2.- Dibujo del mecanismo con datos. 3.- Desarrollo detallado de las soluciones obtenidas; fórmulas, gráficas, validación de resultados numéricos, programas, entre otros.

Unidad de aprendizaje. Plan 1999.

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Realizar el análisis cinemático del mecanismo mostrado en la figura y posteriormente modelar su movimiento en los programas de simulación. Datos conocidos:

El presente examen responderá a los análisis de posición y velocidad por cuatro métodos: método gráfico, método analítico, método matricial y método de álgebra compleja y se demostraran mediante los software de simulación.

AC= 250 [mm] CB= 400 [mm] BD= 1500[mm] AE= 900 [mm] La= 50 [mm] 𝑞𝑞= 60 [Deg] 𝑞𝑞= ̇ 600 [rpm]