parte_1_1

Encuadre temático: Análisis y Síntesis de Mecanismos. II. Análisis cinemático de mecanismos 2D 2.1 Fundamentos matemáticos (vectores).

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Prof. Juan Alejandro Flore Campos

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Ingeniería Mecatrónica

Ejemplo: Cinemática directa e inversa. Obtener el modelo cinemático del siguiente mecanismo de cadena cinemática abierta. (robot planar de 2 GDL) Plantearemos una metodología de estudio: Para la obtención del modelo cinemático Llamada también ecuación de lazo.

1) Definición del problema. 2) Observar que las bases locales son una rotación de la base inercial fija. 3) Ecuación de lazo.

La norma del parámetro 𝑝𝑝 es arbitraria, para este curso la norma 𝑝𝑝 parámetros de Euler, 1847.

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= 1, llamados los

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Instituto Politécnico Nacional UPIITA Ingeniería Mecatrónica ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS

PROGRAMA SINTÉTICO UNIDAD ACADÉMICA:

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA EN INGENIERIA Y TECNOLOGIAS AVANZADAS.

PROGRAMA Ingeniería en Mecatrónica ACADÉMICO: UNIDAD DE Análisis y Síntesis de Mecanismos APRENDIZAJE:

NIVEL:

II

PROPOSITO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE: Diseña mecanismos de sistemas mecatrónicos, con base en métodos y técnicas matemáticas. CONTENIDOS I. Conceptos básicos y clasificación de mecanismos II. Análisis cinemático de mecanismos 2D. III. Trenes de engranaje y Levas IV. Síntesis de mecanismos Prof. Dr. Juan Alejandro Flores Campos. V. Análisis dinámico de mecanismos 2D.

Instituto Politécnico Nacional UPIITA Ingeniería Mecatrónica Análisis y Síntesis de Mecanismos

Introducción: Iniciaremos nuestro estudio con los conceptos básicos del algebra lineal para deducir una transformación lineal ortogonal, cuya matriz asociada tiene determinante positivo. Esta transformación representa una rotación de un cuerpo rígido, y está definida como:

𝜌𝜌 𝑝𝑝 ,∘ : 𝓥𝓥 → 𝓥𝓥

La transformación 𝜌𝜌 mapea elementos del espacio vectorial 𝓥𝓥 al mismo espacio vectorial 𝓥𝓥.

Donde ∘ significa que mapea todo el espacio vectorial de 𝓥𝓥 al espacio 𝓥𝓥. Esta transformación la usaremos para modelar los mecanismos de cadena cinemática abierta y cerrada. El matemático Inglés Sir William Hamilton (1843) inició esta teoría, posteriormente Euler aportó el parámetro de rotación.

Sir William Hamilton (1843) matemático inglés dedujo los vectores en el espacio tetradimensional su álgebra fue llamada álgebra de Quaterniones ℛ

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II. Análisis cinemático de mecanismos 2D. 2.1 Fundamentos matemáticos

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Introducción: Iniciaremos nuestro estudio basándonos en los conceptos básicos del algebra lineal: Grupos campos espacio vectorial y 𝜌𝜌 𝑝𝑝 ,∘ : 𝓥𝓥 → transformación lineal para proponer una transformación lineal, ortogonal, cuya matriz asociada tiene determinante positivo. Esta transformación representa una rotación de cuerpo rígido, y está definida como:

𝓥𝓥

Donde 𝜌𝜌 mapea todo ∘ el espacio vectorial de 𝓥𝓥 al mismo espacio 𝓥𝓥. Esta transformación la usaremos para modelar los mecanismos de cadena cinemática abierta y cerrada. Siendo Sir William Hamilton (1843) quien concibió esta teoría, posteriormente Euler con su parámetro de rotación.

Sir William Hamilton (1843) matemático inglés. Inventor de los vectores

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Definición Grupo: Sea 𝓥𝓥 un conjunto de al menos dos elementos, y sea ⊕: 𝓥𝓥 × 𝓥𝓥 → 𝓥𝓥 una operación binaria definida sobre 𝓥𝓥 . Se dice que la pareja 𝓥𝓥,⊕ es un grupo aditivo (abeliano), si cumple con las siguientes propiedades: i) Propiedad de Cerradura: ∀ 𝒖𝒖 ∈ 𝓥𝓥, 𝒚𝒚 𝒗𝒗 ∈ 𝓥𝓥, se debe cumplir que:

𝒖𝒖 ⨁ 𝒗𝒗 ∈ 𝓥𝓥

ii) Propiedad Asociativa: ∀ 𝒖𝒖, 𝒗𝒗, 𝒘𝒘 ∈ 𝓥𝓥, se c𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞:

(𝒖𝒖⨁𝒗𝒗)⨁𝒘𝒘 = 𝒖𝒖⨁(𝒗𝒗⨁𝒘𝒘)

iv) Existencia del Inverso 𝒆𝒆. ∀ 𝒖𝒖 ∈ 𝓥𝓥, ∃ 𝒆𝒆 ∈ 𝓥𝓥, 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞:

𝒖𝒖 ⨁ 𝒆𝒆 = 𝜽𝜽

iii) Existencia del Elemento Nulo 𝜽𝜽 de 𝓥𝓥. ∀ 𝒖𝒖 ∈ 𝓥𝓥, ∃! 𝜽𝜽 ∈ 𝓥𝓥, 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞:

v) Propiedad de Conmutatividad: ∀ 𝒖𝒖, 𝒗𝒗 ∈ 𝓥𝓥, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞:

𝒖𝒖 ⊕ 𝜽𝜽 = 𝒖𝒖

𝒖𝒖 ⊕ 𝒗𝒗 = 𝒗𝒗 ⊕ 𝒖𝒖

Si se cumplen todas las propiedades entonces, la pareja (𝓥𝓥,⊕) tendrá estructura de grupo conmutativo ó grupo abeliano.

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Ejemplo 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ⊕: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación aditiva, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⨁ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 , 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥

Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,⊕ tiene estructura algebraica de grupo aditivo conmutativo. i) Propiedad de cerradura.

Demostración: por simple inspección se cumple que e s un grupo cerrado bajo la operación ⨁. ∀ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 ∈ 𝓥𝓥,

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⨁ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 , 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥 ℛ

El elemento 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 Es llamado par ordenado.

ℛ

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Ejemplo 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ⊕: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación aditiva, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⨁ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 , 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥

Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,⊕ tiene estructura algebraica de grupo aditivo conmutativo. ii) Propiedad asociativa.

∀ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 , 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 ∈ 𝓥𝓥,

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2

⊕ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 = 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ { 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 ⊕ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 }

Demostración: desarrollando la parte izquierda de la igualdad con el fin de llegar a la parte derecha y aplicando la propiedad asociativa del campo de los números reales ℛ.

{𝑥𝑥 + (𝑦𝑦1 +𝑧𝑧1 ), 𝑥𝑥2 + (𝑦𝑦2 +𝑧𝑧2 )} Por lo anterior, Se cumple la 1 { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ (𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 )} ⊕ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⨁{ 𝑦𝑦1 + 𝑧𝑧1 , 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 } { 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 , 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 } ⊕ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 propiedad asociativa. 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⨁{(𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 )⨁(𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 )} { 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 + 𝑧𝑧1 , 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 } El elemento 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 Es llamado par ordenado.

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Ejemplo 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ⊕: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación aditiva, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⨁ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 , 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥

Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,⊕ tiene estructura algebraica de grupo aditivo conmutativo. iii) Existencia del elemento nulo aditivo

∀ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝜃𝜃 ∈ 𝓥𝓥,

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ 𝜃𝜃 = 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2

Demostración: construimos un sistema de ecuaciones para obtener los componentes del inverso aditivo: 𝜃𝜃 = (𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 ), donde 𝜃𝜃 ∈ ℝ2 .

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ (𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 ) = 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2

Elemento del nulo aditivo de 𝓥𝓥.

(𝑥𝑥1 + 𝜃𝜃1 , 𝑥𝑥2 + 𝜃𝜃2 ) = 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2

𝜃𝜃 = 0,0 ∈ 𝓥𝓥

𝑥𝑥1 + 𝜃𝜃1 = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝜃𝜃2 = 𝑥𝑥2

1) 2)

Sistema de ecuaciones 2x2

El elemento nulo aditivo es único y es válido para cualquier par ordenado.

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Ejemplo 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ⊕: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación aditiva, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⨁ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 , 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥

Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,⊕ tiene estructura algebraica de grupo aditivo conmutativo. iv) Existencia del elemento inverso aditivo

∀ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑒𝑒 ∈ 𝓥𝓥,

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ 𝑒𝑒 = 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

Demostración: construimos un sistema de ecuaciones para obtener los componentes del inverso aditivo: 𝑒𝑒 = (𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 ). Donde e ∈ ℝ2 .

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ (𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 ) = 0,0

𝑒𝑒 = −𝑥𝑥1 , −𝑥𝑥2 ∈ 𝑉𝑉

(𝑥𝑥1 + 𝑒𝑒1 , 𝑥𝑥2 + 𝑒𝑒2 ) = 0,0

Elemento inverso aditivo del par ordenado 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 .

𝑥𝑥1 + 𝑒𝑒1 = 0 𝑥𝑥2 + 𝑒𝑒2 = 0

3) 4)

Sistema de ecuaciones 2x2

Existe un infinto de inversos aditivos en 𝓥𝓥 igual al número de pares ordenados del conjunto 𝓥𝓥. Pero no existe el inverso multiplicativo del nulo aditivo 𝜃𝜃=(𝜃𝜃1 ,𝜃𝜃2 ).

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Ejemplo 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ⊕: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación aditiva, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⨁ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 , 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥

Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,⊕ tiene estructura algebraica de grupo aditivo conmutativo. v) Propiedad conmutativa

∀ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 ∈ 𝓥𝓥,

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 ⊕ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2

Demostración: desarrollamos el lado izquierdo para llegar al derecho de la igualdad.

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 , 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2

𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥2

Aplicando la propiedad conmutativa del campo de los números reales.

Se cumple la propiedad conmutativa Por lo tanto, la pareja 𝑽𝑽,⊕ tiene estructura algebraica de grupo conmutativo.

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2

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EJEMPLO 1.

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Ejercicio 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ∗: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación multiplicación, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥

Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,∗ tiene estructura algebraica de grupo multiplicativo conmutativo. i) Propiedad de cerradura. Demostración: por simple inspección se cumple

∀ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 ∈ 𝓥𝓥,

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥 ℛ

ℛ

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Ejercicio 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ∗: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación multiplicación, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥 Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,∗ tiene estructura algebraica de grupo multiplicativo conmutativo. ii) Propiedad asociativa. ∀ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 , 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 ∈ 𝓥𝓥,

{ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ (𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 )} ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 = 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗

𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2

Demostración: desarrollando la parte izquierda de la igualdad con el fin de llegar a la parte derecha y aplicando la propiedad asociativa del campo de los números reales ℛ.

{ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ (𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 )} ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 = { 𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 } ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2

{ 𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 }

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Ejercicio 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ∗: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación multiplicación, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥 Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,∗ tiene estructura algebraica de grupo multiplicativo conmutativo. ii) Propiedad asociativa. Retomando la ecuación anterior:

{ 𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 } Desarrollando, llegamos al dominio de los reales:

{ 𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 𝑧𝑧2 − 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 𝑧𝑧2 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 }

Agrupamos y factorizamos el par 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2

{ 𝑥𝑥1 (𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 − 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 ) − 𝑥𝑥2 (𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 + 𝑦𝑦1 𝑧𝑧2 ) , 𝑥𝑥2 (𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 − 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 ) + 𝑥𝑥1 (𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 + 𝑦𝑦1 𝑧𝑧2 ) }

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗{(𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 − 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 ) , (𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 + 𝑦𝑦1 𝑧𝑧2 )}

Por lo tanto, se cumple la propiedad asociativa.

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ { 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 } 1/10

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Ejercicio 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ∗: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación multiplicación, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥 Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,∗ tiene estructura algebraica de grupo multiplicativo conmutativo. iii) Existencia del elemento nulo multiplicativo ∀ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝜃𝜃̅ ∈ 𝓥𝓥,

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ 𝜃𝜃̅ = 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2

Demostración: construimos un sistema de ecuaciones para obtener los componentes del inverso aditivo: 𝜃𝜃̅ = (𝜃𝜃1̅ , 𝜃𝜃2̅ ), donde 𝜃𝜃̅ ∈ ℝ2 . 𝑥𝑥1 𝜃𝜃1̅ − 𝑥𝑥2 𝜃𝜃2̅ = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝜃𝜃1̅ , 𝜃𝜃2̅ = 𝑥𝑥1 𝜃𝜃1̅ − 𝑥𝑥2 𝜃𝜃2̅ , 𝑥𝑥2 𝜃𝜃1̅ + 𝑥𝑥1 𝜃𝜃2̅

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineal, de (5):

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝜃𝜃̅2 ̅ 𝜃𝜃1 = 7) 𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 𝜃𝜃2̅ + 𝑥𝑥1 𝜃𝜃2̅ = 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1

Por lo tanto, se cumple la propiedad asociativa.

𝑥𝑥2 𝜃𝜃1̅ + 𝑥𝑥1 𝜃𝜃2̅ = 𝑥𝑥2

5) 6)

Sistema de ecuaciones 2x2 2

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2 𝜃𝜃2̅ + 𝑥𝑥1 𝜃𝜃2̅ = 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 1/10

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Ejercicio 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ∗: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación multiplicación, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥 Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,∗ tiene estructura algebraica de grupo multiplicativo conmutativo. iv) Existencia del elemento nulo multiplicativo Resolviendo el sistema de ecuaciones lineal: Despejando 𝜃𝜃1̅ de la ec. (5). 2

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2 𝜃𝜃2̅ + 𝑥𝑥1 𝜃𝜃2̅ = 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 2

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2 𝜃𝜃2̅ 𝑥𝑥1 2 𝜃𝜃2̅ + = 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2

2

𝜃𝜃2̅ + 𝑥𝑥1 2 𝜃𝜃2̅

𝑥𝑥1

= 𝑥𝑥2

2

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2 𝜃𝜃2̅ + 𝑥𝑥1 2 𝜃𝜃2̅ = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 2 −𝑥𝑥2 𝜃𝜃2̅ + 𝑥𝑥1 2 𝜃𝜃2̅ = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 - 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 2

𝜃𝜃2̅ (𝑥𝑥1 2 − 𝑥𝑥2 )=0

𝜃𝜃̅2 = 0

8)

Sustituyendo 8) en 7)

¿El nulo multiplicativo es único en el conjunto 𝓥𝓥 ?

𝜃𝜃1̅ =

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝜃𝜃̅2 𝑥𝑥1

𝜃𝜃1̅ = 1

𝜃𝜃̅ = 1,0 𝜖𝜖 𝓥𝓥

Elemento nulo multiplicativo del conjunto 𝓥𝓥. 1/10

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Ejercicio 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ∗: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación multiplicación, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥 Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,∗ tiene estructura algebraica de grupo multiplicativo conmutativo. iv) Existencia del elemento inverso multiplicativo ∀ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝒆𝒆� ∈ 𝓥𝓥,

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ 𝒆𝒆� = 1,0

Demostración: construimos un sistema de ecuaciones para obtener los componentes del inverso multiplicativo de 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝒆𝒆� = (�𝒆𝒆1 , 𝒆𝒆� 2 ), donde 𝒆𝒆� ∈ ℝ2 . 𝑥𝑥1 𝒆𝒆� 1 − 𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 2 = 1 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝒆𝒆� 1 , 𝒆𝒆� 2 = 𝑥𝑥1 𝒆𝒆� 1 − 𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 2 , 𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 1 + 𝑥𝑥1 𝒆𝒆� 2

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineal, de (9):

𝒆𝒆� 1 =

1 + 𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 2 11) 𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

1 + 𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 2 + 𝑥𝑥1 𝒆𝒆� 2 = 0 𝑥𝑥1

𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 1 + 𝑥𝑥1 𝒆𝒆� 2 = 0

9) 10)

Sistema de ecuaciones 2x2 2

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 2 + 𝑥𝑥1 𝒆𝒆� 2 = 0 𝑥𝑥1 1/10

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Ejercicio 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ∗: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación multiplicación, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥 Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,∗ tiene estructura algebraica de grupo multiplicativo conmutativo. iv) Existencia del elemento inverso multiplicativo Resolviendo el sistema de ecuaciones lineal: Despejando 𝜃𝜃1̅ de la ec. (5). 2

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 2 + 𝑥𝑥1 𝒆𝒆� 2 = 0 𝑥𝑥1 2

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 2 𝑥𝑥1 2 𝒆𝒆� 2 + =0 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 2

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 2 + 𝑥𝑥1 2 𝒆𝒆� 2 =0 𝑥𝑥1

1 + 𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 2 𝒆𝒆� 1 = 𝑥𝑥1 −𝑥𝑥2 1 + 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 1 = 𝑥𝑥1

2

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 2 + 𝑥𝑥1 2 𝒆𝒆� 2 =0 2

𝑥𝑥2 𝒆𝒆� 2 + 𝑥𝑥1 2 𝒆𝒆� 2 =−𝑥𝑥2 2

𝒆𝒆� 2 (𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 )=−𝑥𝑥2

𝒆𝒆� 2 =

−𝑥𝑥2

(𝑥𝑥1 2 +𝑥𝑥2

2

)

12)

Sustituyendo 12) en 11)

𝒆𝒆� 1 =

Números entero si para suma y multiplicación para vectores en ℛ3 no.

𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 2

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2

2 2

−

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2 2

2

𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2

2

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Ejercicio 1. Sea 𝓥𝓥 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 : 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝜖𝜖 ℛ} y ∗: ℛ 2 𝑥𝑥ℛ 2 → ℛ 2 llamada operación multiplicación, definida como: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 ) ∈ 𝓥𝓥 Demostrar: que la pareja 𝓥𝓥,∗ tiene estructura algebraica de grupo multiplicativo conmutativo. iv) Existencia del elemento inverso multiplicativo Simplificando la expresión anterior:

𝒆𝒆� 1 = 𝒆𝒆� 1 =

𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 2

𝑥𝑥1

2

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1

2 2 2

−

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2 2

𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2

2

𝒆𝒆� 1 =

𝒆𝒆� 1 = 𝑥𝑥1 2

𝑥𝑥1

𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 2

𝑥𝑥1 (𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 )

2

𝒆𝒆� 1 =

𝑥𝑥1

𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2

2,

−𝑥𝑥2

𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2

2

Elemento inverso multiplicativo del par ordenado 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 .

¿Existe el inverso multiplicativo del elemento nulo aditivo 𝜃𝜃 = 0,0

∈ 𝓥𝓥 ?

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𝜖𝜖 𝓥𝓥

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Ingeniería Mecatrónica

Actividades.

A continuación demostraremos las propiedades apoyándonos en el software de mathematica® 9.0 versión educacional Se recomiendo ver: Video tutorial de Grupo. Campo espacio vectorial y transformación lineal.

Wolfram Mathematica® 9.0 es un software de cálculo formal simbólico.

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Mathematica 10.0

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Definición Campo: Sea un sistema abstracto 𝓥𝓥,⊕,∗ que consiste de un conjunto 𝓥𝓥 de al menos dos elementos y en el cual dos operaciones binarias ⊕,∗ se han definido. Es un campo si y solo si lo siguiente se cumple: i) El sistema 𝓥𝓥,⊕ es un grupo aditivo abeliano con elemento identidad 𝜃𝜃.

ii) El sistema 𝓥𝓥,∗ es un grupo multiplicativo abeliano con elemento identidad 𝜃𝜃.̅ (Excepto por la existencia del inverso multiplicativo del nulo aditivo)

iii) La operación ∗ es distributiva respecto de la operación ⊕ .

∀ 𝒖𝒖, 𝒗𝒗, 𝒘𝒘 ∈ 𝓥𝓥

𝒖𝒖⨁𝒗𝒗 ∗ 𝒘𝒘 = 𝒖𝒖 ∗ 𝒘𝒘 ⊕ 𝒗𝒗 ∗ 𝒘𝒘

𝒘𝒘 ∗ 𝒖𝒖⨁𝒗𝒗 = 𝒘𝒘 ∗ 𝒖𝒖 ⊕ 𝒘𝒘 ∗ 𝒗𝒗

Si se cumplen todas las propiedades entonces, la pareja (𝓥𝓥,⊕) tendrá estructura de grupo conmutativo ó grupo abeliano.

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Definición Campo: Sea un sistema abstracto 𝓥𝓥,⊕,∗ que consiste de un conjunto 𝓥𝓥 de al menos dos elementos y en el cual dos operaciones binarias ⊕,∗ se han definido. Es un campo sí y solo sí, lo siguiente se cumple: iii) La operación ∗ es distributiva respecto de la operación ⊕ .

∀ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 , 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 ∈ 𝓥𝓥

{ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 } ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 ⊕ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 }

Desarrollando simultáneamente los dos lados de la ecuación, primero desarrollamos el lado izquierdo:

{(𝑥𝑥1 +𝑦𝑦1 , 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 )} ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2

= {(𝑥𝑥1 +𝑦𝑦1 ) 𝑧𝑧1 - (𝑥𝑥2 +𝑦𝑦2 ) 𝑧𝑧2 , (𝑥𝑥2 +𝑦𝑦2 ) 𝑧𝑧1 + (𝑥𝑥1 +𝑦𝑦1 ) 𝑧𝑧2 }

= {(𝑥𝑥1 𝑧𝑧1 + 𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 − 𝑥𝑥2 𝑧𝑧2 − 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 , 𝑥𝑥2 𝑧𝑧1 + 𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 + 𝑥𝑥1 𝑧𝑧2 + 𝑦𝑦1 𝑧𝑧2 }

12)

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Definición Campo: Sea un sistema abstracto 𝓥𝓥,⊕,∗ que consiste de un conjunto 𝓥𝓥 de al menos dos elementos y en el cual dos operaciones binarias ⊕,∗ se han definido. Es un campo sí y solo sí, lo siguiente se cumple: iii) La operación ∗ es distributiva respecto de la operación ⊕ .

∀ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 , 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 ∈ 𝓥𝓥

{ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ⊕ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 } ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 = { 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 ⊕ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 }

Ahora desarrollamos el lado derecho de la ecuación:

{ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 ⊕ 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 ∗ 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 }

= {(𝑥𝑥1 𝑧𝑧1 − 𝑥𝑥2 𝑧𝑧2 , 𝑥𝑥2 𝑧𝑧1 + 𝑥𝑥1 𝑧𝑧2 ) ⊕ (𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 − 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 , 𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 + 𝑦𝑦1 𝑧𝑧2 )}

= {𝑥𝑥1 𝑧𝑧1 − 𝑥𝑥2 𝑧𝑧2 + 𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 − 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 , 𝑥𝑥2 𝑧𝑧1 + 𝑥𝑥1 𝑧𝑧2 + 𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 + 𝑦𝑦1 𝑧𝑧2 }

13)

= {(𝑥𝑥1 𝑧𝑧1 + 𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 − 𝑥𝑥2 𝑧𝑧2 − 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 , 𝑥𝑥2 𝑧𝑧1 + 𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 + 𝑥𝑥1 𝑧𝑧2 + 𝑦𝑦1 𝑧𝑧2 }

12)

Comparando la ecuación 12) y la ecuación 13), observamos que la propiedad de distributiva se cumple:

El campo 𝓥𝓥,⊕,∗ es llamado el campo de los números complejos.

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Definición Espacio vectorial: Sea 𝓥𝓥 un conjunto de al menos dos elementos, y sea una operación binaria ⊕: 𝓥𝓥 𝒙𝒙 𝓥𝓥 → 𝓥𝓥 una operación aditiva. La pareja 𝓥𝓥,⊕ es un espacio vectorial sobre el campo 𝒌𝒌,⊞,⋇ , sí existe una operación ∘: 𝒌𝒌 𝒙𝒙 𝓥𝓥 → 𝓥𝓥 llamada operación multiplicación escalar, tal que: i) Propiedad de Cerradura: ∀ 𝜶𝜶 ∈ 𝒌𝒌, 𝒚𝒚 𝒖𝒖 ∈ 𝓥𝓥, existe un único:

ii) Propiedad nulo:

∀ 𝒖𝒖 ∈ 𝓥𝓥, se c𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞:

𝜶𝜶 ∘ 𝒖𝒖 ∈ 𝓥𝓥

𝒖𝒖⨁(−𝟏𝟏) ∘ 𝒖𝒖 = 𝜽𝜽

Siendo 𝟏𝟏 el elemento nulo multiplicativo de k, y −𝟏𝟏 el elemento inverso aditivo de 𝟏𝟏.

iii) Propiedad distributiva de ∘ bajo ⊕. ∀ 𝒖𝒖, 𝒗𝒗 ∈ 𝓥𝓥 𝒚𝒚 𝜶𝜶 ∈ 𝒌𝒌, 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞:

iv) Propiedad distributiva de ∘ bajo⊞. ∀ 𝒖𝒖 ∈ 𝓥𝓥 𝒚𝒚 𝜶𝜶, 𝜷𝜷 ∈ 𝒌𝒌, 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞:

𝜶𝜶 ∘ (𝒗𝒗 ⊕ 𝒖𝒖) = 𝜶𝜶 ∘ 𝒗𝒗 ⊕ 𝜶𝜶 ∘ 𝒖𝒖) (𝛂𝛂 ⊞ 𝜷𝜷) ∘ 𝒖𝒖 = 𝛂𝛂 ∘ 𝒖𝒖 ⊕ 𝜷𝜷 ∘ 𝒖𝒖

El campo 𝓥𝓥,⊕,∗ es llamado el campo de los números complejos.

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Ingeniería Mecatrónica

Definición Espacio vectorial: Sea 𝓥𝓥 un conjunto de al menos dos elementos, y sea una operación binaria ⊕: 𝓥𝓥 𝒙𝒙 𝓥𝓥 → 𝓥𝓥 una operación aditiva. La pareja 𝓥𝓥,⊕ es un espacio vectorial sobre el campo 𝒌𝒌,⊞,⋇ , sí existe una operación ∘: 𝒌𝒌 𝒙𝒙 𝓥𝓥 → 𝓥𝓥 llamada operación multiplicación escalar, tal que: v) Propiedad asociativa. ∀ 𝒖𝒖 ∈ 𝓥𝓥 𝒚𝒚 𝜶𝜶, 𝜷𝜷 ∈ 𝒌𝒌, 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞

vi) Propiedad del nulo: ∀ 𝒖𝒖 ∈ 𝓥𝓥, se cumple que:

(𝛂𝛂 ⋇ 𝜷𝜷) ∘ 𝒖𝒖= 𝛂𝛂 ∘ (𝜷𝜷 ∘ 𝒖𝒖)

El campo 𝓥𝓥,⊕,∗ es llamado el campo de los números complejos.

𝟏𝟏 ∘ 𝒖𝒖 = 𝒖𝒖

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Mathematica 10.0 • Fin…

Instituto Politécnico Nacional UPIITA Ingeniería Mecatrónica ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS Prof. Dr. Juan Alejandro Flores Campos.

Nombres: Instrucciones. Del modelo del examen, utilizando los 4 métodos: Método Gráfico, Método Analítico, Método de Álgebra Compleja, Método Matricial y haciendo uso de software como Mathematica® 10.0 y GeoGebra obtener lo siguiente:

Equipo #

•Grados de libertad. •Análisis de posición: q = 0 a 360°. •Análisis de velocidad: 𝑞𝑞̇ = 2𝜋𝜋 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟.

Incluyendo: 1.- Redacción del problema. 2.- Dibujo del mecanismo con datos. 3.- Desarrollo detallado de las soluciones obtenidas; fórmulas, gráficas, validación de resultados numéricos, programas, entre otros.

Unidad de aprendizaje..

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Realizar el análisis cinemático del mecanismo mostrado en la figura y posteriormente modelar su movimiento en los programas de simulación. Datos conocidos:

La presente actividad responderá a los análisis de posición y velocidad por cuatro métodos: método gráfico, método analítico, método matricial y método de álgebra compleja y se demostraran mediante los software de simulación.

AC= 250 [mm] CB= 400 [mm] BD= 1500[mm] AE= 900 [mm] La= 50 [mm] 𝑞𝑞= 60 [Deg] 𝑞𝑞= ̇ 600 [rpm]