Parciales resueltos calculo diferencial unalmed

A-0

Escuela Escuela de Matem´ Matematicas. a ´ticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ Medell´ın.

En los ejercicios  1  a  5  complete en el espacio se˜nalado. nalado.   El procedimiento no se tendr´ a en cuenta al calificar. calificar.

1. (15%) Marque Marque si el enunciado enunciado es verdadero o falso. (a) La funci´on x on  x 2 e−|

x

|

es una funci´on on par

V

F

5. (16%) En el panel superior se muestra la gr´afica afica de la funci´on on f  y  y en la parte de abajo, el resultado de aplicar sucesivamente transformaciones elementales sobre f . f . Escr Escrib ibaa encim encimaa de cada gr´ afica, afica, la f´ormula ormula correspondiente en t´ erminos erminos de la funci´ on f  on  f ..

(b) Si g Si  g  es una funci´on on creciente entonces

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f ( f (x) =  g(2  g (2  x)  x) + 4

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(c) Si una poblaci´on on de bacterias se multiplica por si misma cada hora, entonces el numero de bacterias es una funci´on on exponencial del tiempo. V F (d) Toda funci´ on on lineal es invertible

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4 2 7

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6 5 3

Calcule: (a) Dom( Dom(f   g)  g )  = ◦

(b) (g  f )(3)  f )(3) =  = ◦

(c) f ( f (g −1 (3)) = (3))  =

4. (6%) Suponga que usted conoce el ´angulo angulo θ  = cos−1 (1/ (1/6). 6). Exprese, en t´ erminos erminos de θ , todos los ´angulos angulos en el intervalo [ 2π, 2π ]  que tienen coseno igual a  1/  1 /6. −

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Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

6. (24%) Usted quiere comprar cierta producto qu´ımico por internet, y tiene dos opciones. •

•

 El proveedor A le cobra 15 d´olares por litro, adem´as de un cargo fijo de 10 d´olares por la transacci´ on.   Con el proveedor B la transacci´on es gratis. El costo por litro es de 20 d´olares para compras menores a los 5 litros, y de 10 d´olares por litro, por cada litro que se compre en exceso de los 5 litros.

(a) Sea x   el n´umero de litros a comprar y A(x), B(x) el valor a pagar con cada proveedor por x litros. Escriba las f´ ormulas de A(x) y  B (x).

(b) Grafique en el siguiente plano las funciones  A  y  B .

(c) Use las f´ormulas de A(x) y B(x)   para calcular los valores de x  para los cuales sale m´ as barato comprar con el proveedor A.

A-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

7. (21%) En el a˜no de su fundaci´o n, el ´area construida de la poblaci´on de Aposentos Tuta era de tres hect´ areas y se ha venido duplicando cada 10 a˜nos. (a) Sea t  el tiempo en a˜nos desde la fundaci´on de Aposentos Tuta y A   el ´area construida en hect´ areas. Halle una f´ ormula para A(t) (b) Calcule A −1 (x) y explique su significado. (c) Cu´anto tiempo tard´ o el ´area construida en triplicar su valor inicial?

B-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

En los ejercicios  1  a  5  complete en el espacio se˜nalado.   El procedimiento no se tendr´ a en cuenta al calificar.

1. (15%) Marque si el enunciado es verdadero o falso. (a) Si g  es una funci´on creciente entonces

5. (16%) En el panel superior se muestra la gr´afica de la funci´on f  y en la parte de abajo, el resultado de aplicar sucesivamente transformaciones elementales sobre f . Escriba encima de cada gr´ afica, la f´ormula correspondiente en t´erminos de la funci´ on f .

f (x) = 4  g(1  2x)  −

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 −

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es tambi´en creciente.

V

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(b) Si una poblaci´on de bacterias se multiplica por si misma cada hora, entonces el numero de bacterias es una funci´on lineal del tiempo. V F (c) Una funci´on par no puede ser invertible

V

F

(d) cos−1 (cos(π )) =  π

V

F

3

−|x|

(e) La funci´on x e

es una funci´on par

V

F

2. (6%) Suponga que usted conoce el ´angulo θ  = cos−1 (1/6). Exprese, en t´erminos de θ , todos los ´angulos en el intervalo [ 2π, 2π ] que tienen coseno igual a  1/6.

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3. (9%) Considere las siguientes funciones dadas por tablas x 1 f (x)   0 g(x)   6

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Calcule: (a) Dom(g  f ) = ◦

(b) (f   g)(3) = ◦

(c) f −1 (g(3)) =

4. (9%) Halle la f´ormula de la par´abola que se muestra en la figura

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Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

6. (24%) Usted quiere comprar cierta producto qu´ımico por internet, y tiene dos opciones. •

•

 Con el proveedor A, el costo por litro es de 20 d´olares para compras menores a los 5 litros, y de 10 d´olares por litro, por cada litro que se compre en exceso de los 5 litros.  El proveedor B le cobra 15 d´olares por litro, adem´as de un cargo fijo de 10 d´olares por la transacci´ on.

(a) Sea x   el n´umero de litros a comprar y A(x), B(x) el valor a pagar con cada proveedor por x litros. Escriba las f´ ormulas de A(x) y  B (x).

(b) Grafique en el siguiente plano las funciones  A  y  B .

(c) Use las f´ormulas de A(x) y B(x)   para calcular los valores de x  para los cuales sale m´ as barato comprar con el proveedor B.

B-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

7. (21%) En el a˜no de su fundaci´o n, el ´area construida de la poblaci´on de Aposentos Tuta era de cinco hect´ areas y se ha venido triplicando cada 20 a˜nos. (a) Sea t  el tiempo en a˜nos desde la fundaci´on de Aposentos Tuta y A   el ´area construida en hect´ areas. Halle una f´ ormula para A(t) (b) Calcule A −1 (x) y explique su significado. (c) Cu´anto tiempo tard´o el ´area construida en duplicar su valor inicial?

C-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

En los ejercicios  1  a  5  complete en el espacio se˜nalado.   El procedimiento no se tendr´ a en cuenta al calificar.

1. (15%) Marque si el enunciado es verdadero o falso. (a) La funci´on: x sen(1/x) es una funci´on par

V

F

5. (16%) En el panel superior se muestra la gr´afica de la funci´on f   y en la parte de abajo, se indican transformaciones elementales sucesivas sobre f . Use los planos cartesianos dados para hacer la gr´afica de cada una de las funciones indicadas. ! ! " " "

(b) Si el n´umero de individuos en una poblaci´on aumenta 20% cada a˜ no, podemos decir que la poblaci´on es una funci´on lineal del tiempo V F

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(c) Si g  es una funci´on peri´odica de periodo 3  entonces

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f (x) = 2g(1  x) + 4  −

es tambi´en peri´odica con el mismo periodo.

V

F

V

F

(e) Si f  es una funci´on impar, entonces es invertible V

F

(d)   tan(tan−1 (π)) =  π

2. (9%) Considere la siguiente tabla de valores para x, y

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3 18

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4. (9%) Para las funciones definidas en el siguiente gr´afico, calcule las cantidades indicadas ●

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(a) Dom(g  f ) = ◦

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3. (6%) Suponga que usted conoce el ´angulo θ  = cos−1 (1/6). Exprese, en t´erminos de θ , todos los ´angulos en el intervalo [ 2π, 2π ] que tienen coseno igual a  1/6.

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Halle la f´ormula de un polinomio de grado dos que cumpla con los datos de la tabla.

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Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

6. (24%) Los siguientes autos parten al mismo tiempo a viajar en la misma direcci´on sobre una carretera que comienza en Guarne: •

•

El auto A comienza en Guarne con una velocidad de 60 Km/h por los primeros 120 Km, y a partir de all´ı, viaja con velocidad de 30 km/h.  El auto B empieza 20 km adelante de Guarne y viaja a velocidad constante de 40 Km/h.

(a) Sea t  el tiempo en horas desde que los autos comenzaron el viaje y A(t), B(t)   las distancias entre cada auto y Guarne. Escriba las f´ ormulas de A(t) y  B (t).

(b) Grafique en el siguiente plano las funciones  A  y  B .

(c) Use las f´ormulas de A(t) y  B (t) para calcular los valores de t  para los cuales el auto A estuvo adelante del B

C-0

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7. (21%) Desde que se comenz´ o un tratamiento, el radio de un tumor que inicialmente era de 35 mm, se ha ido reduciendo a su tercera parte cada dos meses. (a) Sea t el tiempo en meses desde que se inici´o el tratamiento y R  el radio del tumor. Halle una f´ormula para R(t) (b) Calcule R −1 (x) y explique su significado. (c) Cu´anto tiempo tard´o el radio del tumor en reducirse a la d´ecima parte de su tama˜no original?

D-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

En los ejercicios  1  a  5  complete en el espacio se˜nalado.   El procedimiento no se tendr´ a en cuenta al calificar.

1. (15%) Marque si el enunciado es verdadero o falso. (a) Si el n´umero de individuos en una poblaci´on aumenta 20% cada a˜ no, podemos decir que la poblaci´on es una funci´on exponencial del tiempo V F

5. (16%) En el panel superior se muestra la gr´afica de la funci´on f   y en la parte de abajo, se indican transformaciones elementales sucesivas sobre f . Use los planos cartesianos dados para hacer la gr´afica de cada una de las funciones indicadas. ! ! " " " # $

(b) Si f  es una funci´on peri´odica entonces

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g(x) =  f (2x) + 4

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es tambi´en peri´odica.

V

F

V

F

(d) Si f  es una funci´on impar, entonces es invertible V

F

(c) La funci´on: x cos(1/x) es una funci´on par

−1

(e) cos

(cos(2π )) = 2π

V

F

2. (9%) Considere la siguiente tabla de valores para x, y



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5 20

10 0

y =

−

4. (9%) Para las funciones definidas en el siguiente gr´afico, calcule las cantidades indicadas ●

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*+% ●

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(a) Dom(f   g) = ◦

(b) (f   g)(8) = ◦

(c) g(f −1 (3) + 1) =

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3. (6%) Suponga que usted conoce el ´angulo θ  = sin−1 (1/3). Exprese, en t´erminos de θ , todos los ´angulos en el intervalo [ 2π, 2π ] que tienen seno igual a  1/3.



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Halle la f´ormula de un polinomio de grado dos que cumpla con los datos de la tabla.

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Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

6. (24%) Los siguientes autos parten al mismo tiempo a viajar en la misma direcci´on sobre una carretera que comienza en Medell´ın: •

•

 El auto A empieza 20 km adelante de Guarne y viaja a velocidad constante de 40 Km/h. El auto B comienza en Guarne con una velocidad de 60 Km/h por los primeros 120 Km, y a partir de all´ı, viaja con velocidad de 30 km/h.

(a) Sea t  el tiempo en horas desde que los autos comenzaron el viaje y A(t), B(t)   las distancias entre cada auto y Guarne. Escriba las f´ ormulas de A(t) y  B (t).

(b) Grafique en el siguiente plano las funciones  A  y  B .

(c) Use las f´ormulas de A(t) y  B (t) para calcular los valores de t  para los cuales el auto B estuvo adelante del A

D-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

7. (21%) Desde que se comenz´ o un tratamiento, el radio de un tumor que inicialmente era de 35 mm, se ha ido reduciendo a su tercera parte cada dos meses. (a) Sea t el tiempo en meses desde que se inici´o el tratamiento y R  el radio del tumor. Halle una f´ormula para R(t) (b) Calcule R −1 (x) y explique su significado. (c) Cu´anto tiempo tard´o el radio del tumor en reducirse a la d´ecima parte de su tama˜no original?