Parámetros Estadísticos 1. Centralización

 

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

No siempre se requiere resumir la información en una tabla de frecuencias, a veces se necesita de un sólo número para comprender mejor cómo se comporta la variable de estudio y poder realizar comparaciones. Para poder hacer dichas comparaciones de undada número, setabla utilizan estadísticos, los cuales sirven para sintetizaralatravés información por una o porlos unaparámetros gráfica.

Tipos de parámetros estadísticos Hay tres tipos parámetros estadísticos: 1.

De centralización.

2.

De posición

3.

De dispersión.

1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL   Como su nombre lo indica, son medidas de centralización, es decir, la acumulación más alta de datos se encuentra en valores intermedios. Las medidas de tendencia central comúnmente empleadas son:      







La media aritmética La mediana La moda

Estas medidas se pueden calcular para datos agrupados y para datos no agrupados.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS EN VARIABLES CONTINÚAS La Media aritmética Es la medida de tendencia central más utilizada, pues es muy fácil de operar. Es la suma de los productos de la frecuencia por el punto medio dividido por el tamaño de la muestra. El símbolo de la medi edia es una X c on un a bar ra en cima .

   ∑     La media se puede hallar sólo para va variables riables cuantitativas, presenta dos inconvenientes: el primero es que no se puede calcular cuando se desconoce el límite del último intervalo y el segundo, que es muy sensible a las puntuaciones extremas, por ejemplo si se tienen las siguientes masas en libras: 90 lb, 94 lb, 100 lb, 94 lb, 92 lb, 200lb. El resultado de la media sería poco representativo, 1

 

pues hay una masa con un valor extremo de 200 lb. En este caso la media no proporciona una idea correcta del centro de la distribución.

La Mediana La mediana es un punto que divide a la muestra en dos grupos iguales, es decir, el 50% de los datos por debajo y el otro 50% de los datos datos por encima, para ello los datos se deben ordenar de menor a mayor. Luego la mediana es el punto que está en la mitad de la muestra. La mediana se representa por Me y se puede hallar sólo para variables cuantitativas. Es menos informativa que la media, pues sólo tiene en cuenta el orden de los datos y no su magnitud, esto la beneficia con respecto a la media, ya que no la afectan los valores extremos. Su valor no es necesario que coincida con la media aritmética y se utiliza cuando la media no es representativa. La mediana en datos agrupados se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas, es decir, tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre e ncuentre n/2, el 50% de los datos. Para calcular la mediana en datos agrupados se utiliza la siguiente siguien te fórmula:

Me=



    



Dónde:  n = Número total de observaciones. L = Límite inferior de la clase que contiene la mediana. ni = Frecuencia de la clase que contiene la mediana. Ni = Frecuencia acumulada "menos de" de la clase anterior. an terior. C = Intervalo de clase.

Moda La moda de un conjunto de números es el valor que o ocurre curre con mayor frecuencia; es decir, el valor más frecuente en la distribución. La moda puede no existir, e incluso no ser única en caso de existir. Se representa por Mo y se puede hallar para variables cualitativas y cuantitativas. La moda no es muy informativa y se utiliza cuando no se pueda usar la media y la mediana. Por ejemplo para variables nominales. Para calcular la moda en un conjunto de datos agrupados se utiliza la siguiente fórmula:

 )    ( Dónde: Li = Límite inferior de la clase modal. d1 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior. d2 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la l a frecuencia de la clase posterior. C = Intervalo de clase. 2

 

Ejemplo Se registraron las masas en libras de 40 estudiantes del grado 11 del colegio, los datos se agruparon en la siguiente tabla de frecuencias:

Li - Ls [119 128)

Mi 123,5

ni 3

hi 7,5

Ni 3

HI 7,5

[128 146) 137) [137 [146 155) [155 164) [164 173) [173182)

132,5 141,5 150,5 159,5 168,5 177,5

6 10 11 5 3 2

15 25 27,5 12,5 7,5 5

9 19 30 35 38 40

22,5 47,5 75 87,5 95 100

 Ahora se calculan las medidas de tendencia c central entral para datos agrupados:

MEDIA x = ∑(Mi*ni)/n X = 123,5*3 + 132,5*6 + 141,5*10 + 150,5*11 + 159,5*5 + 168,5*3 + 177,5*2 40 X=5.894/40=147,35 libras Esto significa que la masa en libras de los estudiantes oscila entre 147,35 libras, como se observa la media tiene la misma unidad que la variable de estudio, no se hizo ningún redondeo, el valor debe estar comprendido entre el rango y representa el e l centro de la distribución. distribución.

MEDIANA Se ubica la clase mediana correspondiente a aquella donde se encuentre el 50%. En este caso, la clase mediana se encuentra en:

[146 155)

Me=

150,5



11

27,5

19 30

75

     



Por tanto, los datos que se requieren son: L= 146 porque ahí se encuentra concentrado el 50% de los datos n=40 tamaño de la muestra Ni=19 pues es el dato anterior a nterior ni=11 c= intervalo de clase, en este caso C= R/m= 57/7=8,14~9 Me= 146+ (40/2 – (40/2 – 19)*9  19)*9 = 146,8 libras 11 Esto significa que el 75% de los estudiantes presentan masas por debajo de 146,8 1 46,8 libras. 3

 

La Moda

      Li = Límite inferior de la clase modal = 146 d1 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior. 11-10=1 d2 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase posterior. 11-5=6 C = Intervalo de clase. C= R/m= 57/7=8,14~9 Mo = 146 +

1 *( 9)= 146 + 9/7= 147,3 libras 1+6

Esto significa que la masa más frecuente en los estudiantes es 147,3 libras.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS La Media La media aritmética es el promedio más comúnmente usado, este puede ser simple o ponderado. La media aritmética simple está dada por la formula ∑ X/n y que significa: la suma de todos los valores dividida por el número de datos. La media aritmética se representa con una X y una barra arriba de ella. Por ejemplo: Se tienen los siguientes datos: 10, 13, 10, 13, 14, 10, 13, 10, 15. Se suman los datos y luego el resultado se divide entre el total, en este caso 9.

La Mediana La mediana toma en cuenta la posición de los datos y se define como el valor central de una serie de datos o, más específicamente, como un valor tal que no más de la mitad de las observaciones son menores que él y no más de la mitad mayores. El primer paso es ordenar los datos de acuerdo a su magnitud, luego se determina el valor central de la serie y esa es la mediana. Si el número de datos es par, existirán dos valores centrales y entonces la mediana se obtiene sacando el promedio de ellos. Por ejemplo: 7, 8, 8, 10, 12, 19, 23 entonces la Me = 10

4

 

3, 4, 4, 5, 16, 19, 25, 30 entonces la Me = (5+16)/2 = 10.5

La Moda La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en la serie de datos. Así por ejemplo, de la serie {14, 15, 17, 17, 21, 21, 21, 2 1, 33, 36, 40}, la moda es 21. La moda eses una muycorriente, natural para unmás conjunto de etc. datos; su concepto adquiere fácilmente: la medida altura más es ladescribir velocidad común, Además tiene laseventaja de que no se ve afectada por la presencia de valores altos o bajos. La principal limitación está en el hecho de que requiere un número suficiente de observaciones para que se manifieste o se defina claramente. Otros inconvenientes son que puede darse el caso de que una determinada d eterminada serie no tenga moda o que tenga varias modas. Por ejemplo: L, K, M, O, N (no hay moda porque no hay ningún dato que se repita) 5, 6, 10, 5, 8, 6, 7, 4 (2 modas ya que se repite el 5 y el 7)

TALLER DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 1.

Un cazador sale durante durante 5 noches a c cazar azar conejos y diariamente trae los siguientes conejos: 15, 17, 13, 18, 17. Calcular la media, la mediana y la moda de los datos.

2.

Se sabe que el promedio promedio del s siguiente iguiente grupo de datos 2, 4, 6, 8, x es 10. Cuál es e ell valor de X.

3.

En un colegio los alumnos se eximen con pr promedios omedios de 6,4. Si Danie Daniell tiene las s siguientes iguientes notas en química 6,3-6,8-6,0 ¿Qué nota debe sacar Daniel, para que el promedio de 6,4 sea exacto y sin redondear y lo eximan de los exámenes finales?

4.

El promedio entre un número número natural y su antecesor es 3,5. 3,5. ¿Cuál es el suceso sucesorr del número?

5.

Se registran registran a continuación los saltos que realizaron realizaron cinco niños: 1,9 m, 2,35m, 2m, 2,05m, 2,47. ¿Cuál es la mediana de los saltos?

6.

¿Cuál es la mediana del conjunto de los primeros primeros 9 números números primos?

7.

¿Cuál es la mediana de los s siguientes iguientes datos x, x-1, x+2, x+3, x-2?

8.

Los puntajes obtenidos por 10 alum alumnos nos en un examen fueron: 57, 38, 60, 60, 57, 56, 88, 100, 55 y 58. Si se acordó que aprobarán aquellos alumnos, cuyos puntajes fueran al menos un punto mayor que la mediana o la media aritmética. ¿Cuántos alumnos aprobaron el examen?

9.

Se considera el el siguiente núm número ero de notas sacada sacada por un grupo grupo de estudiant estudiantes: es: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18, 20. Calcular la mediana y la moda de los datos dados.

10. Los siguientes datos son los tiem tiempos pos que un trabajador debe esperar en el paradero su bus de la empresa: 20, 5, 12, 8, 5, 8, 4, 10, 3, 8, 6, 18, 2, 10, 14. Calcular la media, la mediana y la moda de los datos d atos dados en minutos. 5

 

11. Una firma encargada de hacer investigaciones de mercado ha adelantado una investigación en la cual se consultaba, entre otras cosas, sobre el consumo de azúcar mensual en una muestra de 400 hogares. El director de investigaciones afirma que en 50 hogares se registra un consumo de 200 a 300 gramos, 60 hogares registran de 300 a 400 gramos, 80 hogares registran de 400 a 500 gramos, 100 hogares registran de 500 a 600 gramos, 90 hogares registran de 600 a 700 gramos y 20 hogares registran de 700 a 800 gramos. a. b.

Construya tabla de frecuencias Determine la e inte interprete rprete las m medidas edidas de tendencia central

12. La distribución de edades del Censo Electo Electoral ral para 2 comunidades del Cauca son:

Edades

El Veraneo

Las Golondrinas

[18 – 18 – 30)  30)

25 40 8 12 2

32 14 9 21 4

[30 – 30 – 40)  40) [40 – 40 – 50)  50) [50 – 50 – 70)  70) [70 – 90)  – 90)

a. Construya la tabla de frecuencias pa para ra las dos comunidades b. Determine e interprete las medidas medidas de tendencia central central para las las dos comunidades 13. Una muestra de 26 trabajadores de una oficina de atención al cliente formó parte de un simulacro de evacuación. A cada uno se le midió el tiempo, en segundos, que empleó para desalojar las instalaciones de la oficina. Los resultados de los tiempos tiempos se muestran en la siguiente tabla:

389 373 392 369 334

356 373 369 402 397

375 370 374 363

324 364 359 344

6

346 366 356 339

394 364 403 393