Parámetros de Líneas de Transmisión

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González

Parámetros De Líneas De Transmisión Descripción Física

Tensión KV Separación fases (m) Altura torre (m) Numero aisladores

15 1 a 1,4 12 a 13 1

23 1,4 a 1,6 12 a 13 1a2

Separación típica entre fases 66 110 2a3 3a5 13 a 18 15 a 21 4a6 7 a 10

154 4,5 a 6 18 a 24 8 a 11

220 5,0 a 7,5 21 a 30 11 a 20

500 12 a 14 30 a 38 20 a 38

Estructuras alternativas

Tipos de aisladores Aislador de apoyo

Aislador de suspensión

Definición grafica de los parámetros de línea



Efecto por campo magnético



Efecto por campo eléctrico



Efecto por pérdidas en calor en conductores



Efecto por pérdidas de corrientes de fuga por los aislantes

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Equivalente por fase de una Línea con Parámetros Distribuidos. ̇

̇ (

)

Unidades de medida de los conductores

1 CM: área de un conductor cuyo diámetro es igual a 1 Mil (

(Mil circular mil)

)

Calibres AWG (American Wire Gage) Nº AWG 4/0 3/0 2/0 1/0 1 2 3 --36

Diámetro Mils 460/1 = 460 460/K 460/k2 460/k3 460/k4 460/k5 460/k6 --460/k39 = 5

La razón entre diámetros consecutivos se mantiene constante

Secciones y diámetros de conductores Calibre AWG 4/0 3/0 2/0 1/0 1 2 3 4 5 6 7 8

4.1-

Sección en CM

Sección en mm2

211.600 167.860 133.100 105.500 83.690 66.370 52.630 41.740 33.100 26.250 20.820 16.510

Resistencia Serie

107,2 85,1 67,4 53,5 42,4 33,6 26,7 21,1 16,8 13,3 10,5 8,4

Diámetro en mm. Calculado 11,68 10,41 9,27 8,25 7,35 6,54 5,83 5,19 4,62 4,12 3,66 3,26

Tablas 13,30 11,80 10,50 9,40 8,34 6,54 5,83 5,19 4,62 4,11 3,66 3,26

Como la línea esta formada por conductores físicos, tienen una resistencia eléctrica que es la principal causante de las perdidas de energía que se manifiesta en forma de calor.

Resistencia Óhmica (de d.c.) La resistividad de un conductor varia linealmente con respecto a la temperatura entre 0 y 100 ºC Unidades de medida: Resistividad del conductor a una temperatura “T” en ºC

Coeficiente de temperatura relativa a 0º

Este coeficiente depende del material y de la temperatura de referencia. Es positivo para los metales y negativo para los aislantes y aproximadamente cero para algunas aleaciones

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Resistencia del conductor a una temperatura “T1” en ºC ( )

Resistencia del conductor a una temperatura “T2” en ºC ( )

Relación de la resistencia de un conductor a una temperatura “T1” y “T2”

Resistividad del conductor a una temperatura “T1” en ºC

Resistividad del conductor a una temperatura “T2” en ºC

Relación de la resistividad de un conductor a una temperatura “T1” y “T2” ( ( ))

Relación de la resistencia de un conductor a una temperatura “T1” y “T2” ( ( ))

Algunas características de conductores Conductor Cobre recocido Cobre duro, estirado en frio Aluminio duro, estirado en frio Acero

% [/mm2/m] 100% 97% 62% 12,3%

[ /m/mm2] 0,017241 0,01772 0,02781 0,14017

0 a 0ºC 0,00427 0,00414 0,00438 0,00471

1 a 20ºC 0,003934 0,003823 0,004027 0,004305

Tipo de conductores: Conductor macizo

Conductor de 3 hilos

Conductor de 7 hilos

Los conductores cableados, aunque tengan igual sección y longitud que uno macizo, presentan una mayor resistencia debido a que las hebras componentes van trenzadas, por lo que su longitud es mayor que la del cable mismo. En general, para representar este efecto, se suele considerar un incremento porcentual de la longitud y por ende de la resistencia, como el señalado:  Para conductores de 3 hilos: aumento de 1%  Para conductores de 7 hilos: aumento de 2%  Para conductores de más de 11 hebras aumento de 3%

Resistencia Efectiva (de c.a.) 

La densidad de corriente solamente es uniforme en el caso que el conductor este recorrido por C.C.



El efecto superficial, skin, piel o kelvin se produce en el caso de corriente alterna a mayor frecuencia, la densidad de corriente se incrementa en la superficie, disminuyendo en la zona central del conductor, Esto trae consigo una disminución de la superficie útil del conductor y por tanto un aumento de la resistencia. Para este caso se mide la potencia perdida en el conductor y la corriente que circula por el tal que:



El efecto de Proximidad es la tendencia de la corriente de viajar en otros patrones no deseables - vueltas o distribuciones concentradas, debido a la presencia de campos magnéticos generados por conductores cercanos. ( ) ( Ks: Efecto Skin Kp: Efecto proximidad

)

Resistencia Serie de Líneas Trifásicas Caso I: Simple circuito con conductores en Haz

RTabla se obtiene de las tablas de conductores donde aparecen columnas de resistencias de distinto calibre a 25ºC y 50ºC, ambas columnas a 50HZ donde ya están en las unidades de /km, y h es la cantidad de conductores por cada fase (Haz de conductores)

Caso II: Línea doble circuito con conductores en Haz

RTabla se obtiene de las tablas de conductores donde aparecen columnas de resistencias de distinto calibre a 25ºC y 50ºC, ambas columnas a 50HZ donde ya están en las unidades de /km, y h es la cantidad de conductores por cada fase (Haz de conductores)

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González

4.2-

Conductancia Shunt Este parámetro representa las corrientes de fuga que circulan a través de los aislantes hacia tierra, generalmente se desprecia.

4.3-

Reactancia Serie

Suposiciones:  Conductores suficientemente largos, Macizos y cilíndricos  Conductores no magnéticos  = 0  Densidad de corriente uniforme  No se considera retorno por tierra ∑

Enlace de flujo Es la cantidad de flujo magnético que atraviesa una superficie de trayectoria C

∫ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ( )

∑ ( )

Enlace de flujo de un conductor que transporta una corriente i  

Se considerará un conductor macizo, circular, de radio “a”, muy largo (infinito), con densidad de corriente uniforme y no magnético. Simetría cilíndrica: el vector campo magnético en un punto de un plano de simetría para las corrientes es normal al plano y al mismo tiempo es antisimétrico. ∮ ⃑⃑ ⃑⃑⃑

∫

⃑⃑⃑⃑



( )



Las líneas de flujo magnético externas al conductor, enlazan completamente la corriente que transporta. En cambio, las líneas de flujo internas al conductor, enlazan porciones variables de la corriente que transporta. ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ∫ ( )

⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑

Punto dentro del conductor ra ( )

∫

⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑

⃑⃑

∫

⃑⃑⃑⃑

⃑⃑

∫

( )

Contribución interna

Contribución externa ⃑⃑

∫ ()

⃑⃑⃑⃑

() ()

∫

⃑⃑

∫

Finalmente:

()

∫

()

⃑⃑⃑⃑

()

Usualmente se escribe en la forma compacta: ()

(

()

)

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Enlace de flujo del conductor “a” en presencia de un conductor vecino “b” Se asume medio lineal, por lo tanto, se puede aplicar la superposición de los enlaces. ∫

⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑

( )



(⃑⃑

∫

⃑⃑ ) ⃑⃑⃑⃑

( )

∫

⃑⃑

( )

⃑⃑⃑⃑

∫

⃑⃑

⃑⃑⃑⃑

( )

Enlace de flujo del conductor “a” debido a su propia corriente “ia” considerando nula la corriente “ib” () ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ∫ ( )



Enlace de flujo del conductor “a” debido a la corriente “ib” considerando nula la corriente “ia”.

Se supone que: dab >> a, b; por lo que resulta una buena aproximación, considerar el conductor “a” filamentario ∫ ⃑⃑

⃑⃑⃑⃑

( )

()

( )

∫ ()

El enlace total será:

Considerando que no hay retorno por tierra:

Para considerar todo el enlace de flujo, se extiende la superficie S hacia el infinito

Por lo tanto:

( )

⃑⃑⃑⃑

Enlace de Flujo de un conductor en un sistema multiconductor Enlace de flujo del conductor k en un sistema multiconductor

Donde se definen las inductancias aparentes:

∑

∑ ̅

Enlace de flujo para el conductor k

̅

∑

[

]

[

] [ ]

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Inductancia de Líneas Trifásicas Cada una de las fases está formada por: na, nb y nc subconductores, respectivamente. La corriente por subconductor dependiendo de la fase será (aproximadamente): ia/ na, ib/ nb, ic/ nc

Cada subconductor k de la fase (a) estará enlazado por un flujo magnético (∑

∑

∑

ak

) (

Sólo la fracción 1/na de la corriente ia total del conductor (a) es enlazada por el flujo ak; así el enlace de flujo (de la corriente iak) del subconductor ak es:

√∏

√∏

√∏

)

El enlace de flujo total del conductor (a)

∑

:

∑

(

)

Media geométrica de las distancias entre los conductores de la fase

(a). Se conoce como el radio medio geométrico de la fase (a) (RMGa)

√∏ ∏

√∏ ∏

√∏ ∏

: Radio medio geométrico del conductor ak Media geométrica de las distancias entre los conductores de las fases a y b. Se conoce como distancia media geométrica entre las fases a y b. (DMGab)

La línea trifásica con na, nb y nc y conductores en cada una de sus fases, respectivamente, se ha transformado a una línea trifásica equivalente con un conductor por fase.

̅

[

̅

]

[ ]

[

]

Líneas Trifásicas Simétricas

(

) Las inductancias mutuas son cero y las propias son:

Unidades de medida: La reactancia serie:

La inductancia por fase:

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Líneas Trifásicas Asimétricas No es posible obtener una inductancia por fase, debido a que las inductancias mutuas son diferentes. Por lo tanto, la línea en este caso, es un elemento no simétrico. Para que la línea sea un elemento simétrico, hay que transponerla.

Líneas Trifásicas Asimétricas Transpuesta La transposición consiste en intercambiar cíclicamente las posiciones físicas de las fases, de modo que cada fase ocupe todos los lugares posibles en todo el recorrido de la línea. Con la transposición se logra que cada fase tenga una misma inductancia promedio.

Enlace de flujo del conductor “a”

(

(

(

)

(

)

)

)

(

(

)

)

El enlace de flujo promedio de los conductores de las fases (a), (b), (c)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

√

)

√

√

De manera idéntica se resuelve para los enlaces de flujos de las restantes fases de manera que:

√

Esta expresión, se puede aplicar a cualquier línea trifásica, ya sea de un circuito (circuito simple) o doble circuito, con o sin conductores en haz.

Y las inductancias mutuas quedan cero

Caso 1: Simple circuito Si los 3 conductores son idénticos:

Las inductancias mutuas son cero y las propias son:

Donde: √ Donde r` se obtiene de tablas La inductancia por fase: Unidades de medida:  (se obtiene de tablas) 

Reactancia Serie

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Caso 2: Simple circuito conductores en Haz Las distancias entre los subconductores de un haz son pequeñas comparadas con las distancias entre los haces.

Los tres haces son iguales

Las inductancias mutuas son cero y las propias son: En general: √ Donde r` se obtiene de tablas Cada fase está integrada por dos o más subconductores formando un haz, todos de igual radio y separados entre sí por distancias muy pequeñas (30 a 40 cms). Esta configuración se utiliza en líneas de EAV. Se reduce la intensidad del campo eléctrico en las superficies de los conductores, lo cual a su vez, reduce o elimina el efecto corona y sus resultados: Pérdida de potencia, interferencia en las comunicaciones y ruido audible. Se reduce la reactancia serie de la línea al incrementar el RMG de las fases. Unidades de medida:  (se obtiene de tablas) 

√

√

(

)

(

) (√

)

La inductancia por fase:

Reactancia Serie

Caso 3: Línea doble circuito

Unidades de medida:  (se obtiene de tablas) 

Se calculara el flujo promedio enlazado de conductor a1 y del conductor a2 en los tres tramos, para luego calcular el flujo promedio entre estas dos líneas paralelas y así obtener el parámetro La, desarrollo idéntico para las restantes fases.

Enlace de flujo del el conductor “a1” del circuito 1 ( )

(

( )

)

(

( )

)

(

)

( )

(

( )

)

(

)

( ( )

)

(

)

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González En función de las distancias del primer tramo: ( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

El enlace de flujo promedio del conductor a1 (

(

( )

( )

( )

( (

)

) ))

Enlace de flujo del conductor “a2” del circuito 2 ( )

(

( )

)

(

( )

)

(

)

( )

(

( )

)

(

)

(

( )

)

(

)

En función de las distancias del primer tramo: ( )

( )

(

(

)

(

)

(

)

( )

)

El enlace de flujo promedio del conductor a1 (

( )

( )

(

( )

)

( (

) ))

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González El enlace de flujo promedio del conductor a (a1 con a2) (

(

)

(

)

(

)

(

(

) (

(

) (

) )

(

))

(

))

) √ √(

(

)

) (

√ √(

(

(

) ))

Finalmente: Los RMG para las distintas fases son:

√

Las DMG entre las fases son: √ √ √

√

Donde:

√

√

Donde: √ Las inductancias mutuas son cero y las propias son:

La inductancia por fase:

Reactancia Serie

Caso 4: Línea doble circuito con conductores en haz Las inductancias mutuas son cero y las propias son:

Las DMG entre las fases son: √ √ √ Donde: √ Los RMG para las distintas fases son: √ √    

Por generalidad supóngase que cada uno de los circuitos paralelos está compuesto por conductores en haz. Todos Los haces son iguales La distancia entre dos conductores que pertenecen a haces diferentes, es aproximadamente igual a la distancia entre los centros de dichos haces. Su proceso de solución es idéntico al caso anterior solo que se reemplaza r` por su correspondiente RMG

Unidades de medida:  (se obtiene de tablas) 

√ Donde: √ Para conductores en haz: √ h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias entre los haz. r` se obtiene de tablas

La inductancia por fase:

(

Reactancia Serie

)

(

) (√

)

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Calculo RMG (r`) de los Conductores 1- Mediante Uso de Tablas La reactancia inductiva por conductor será: Donde D y r` se deben expresar en la misma unidad

Si r` esta en metros, Xa, se llama reactancia inductiva a 1 metro de separación (

)

Sistema métrico de unidades. A 1 metro de separación a 50Hz (

)

Tablas de conductores Características de conductores de aluminio reforzado con acero (ACSR) Nº de Diáme Peso Resist. Cap. Resistencia, / Km hebras tro a la térmic (1) total rotura a aprox. 25º C 50º C Kg/Km Ton. (2) cc 50 Hz 50 Hz MCM mm Amp. Chukar 1780 84/19 40.7 3086 24.31 1440 0.0324 0.0326 x Falkon 1590 54/19 39.2 3028 25.45 1350 0.0365 0.0367 Parrot 1510.5 54/19 38.2 2877 24.18 1310 0.0384 0.0386 Plover 1431 54/19 37.2 2725 22.86 1260 0.0405 0.0407 Martin 1351.5 54/19 36.2 2574 21.60 1220 0.0429 0.0431 0.0492 Pheasant 1272 54/19 35.4 2422 20.32 1170 0.0456 0.0458 0.0522 Grackle 1192.5 54/19 34.0 2271 19.55 1120 0.0487 0.0488 0.0556 Finch 1113 54/19 32.8 2110 18.24 1070 0.0521 0.0523 0.0595 Curlew 1033.5 54/7 31.7 1979 16.85 1020 0.0561 0.0564 0.0637 Cardinal 954 54/7 30.4 1826 15.54 990 0.0608 0.0610 0.0695 Canary 900 54/7 29.5 1723 14.65 960 0.0646 0.0646 0.0730 Crane 874.5 54/7 29.1 1674 14.25 940 0.0665 0.0665 0.0757 Condor 795 54/7 27.8 1522 12.95 880 0.0727 0.0733 0.0844 Drake 795 26/7 28.1 1624 14.18 890 0.0727 0.0727 0.0800 Mallard 795 30/19 29.0 1833 17.44 880 0.0727 0.0727 0.0800 Crow 715.5 54/7 26.3 1370 11.95 820 0.0814 0.0814 0.0915 Starling 715.5 26/7 26.7 1462 12.75 830 0.0814 0.0814 0.0896 Redwing 715.5 30/19 27.4 1648 15.69 820 0.0814 0.0814 0.0896 Gull 666.6 54/7 25.4 1276 11.14 790 0.0870 0.0876 0.0989 Flamingo 666.6 24/7 25.4 1277 10.77 790 0.0870 0.0876 0.0989 Goose 636 54/7 24.8 1218 10.73 760 0.0913 0.0920 0.1043 Grosbeak 636 26/7 25.2 1299 11.34 770 0.0913 0.0913 0.1005 Egret 636 30/19 25.9 1466 14.33 760 0.0913 0.0913 0.1005 Rook 636 24/7 24.8 1219 10.27 760 0.0913 0.0913 0.1005 Duck 605 54/7 24.2 1158 10.21 730 0.0957 0.0963 0.1091 Teal 605 30/19 25.2 1397 13.63 730 0.0960 0.0965 0.1075 Squab 605 26/7 24.5 1268 10.95 740 0.0957 0.0957 0.1069 Peacock 605 24/7 24.2 1159 9.80 740 0.0957 0.0963 0.1075 Dove 556.5 26/7 23.6 1137 10.19 700 0.1044 0.1044 0.1115 Eagle 556.5 30/7 24.2 1293 12.36 700 0.1044 0.1044 0.1115 Parakeet 556.5 24/7 23.2 1067 9.00 700 0.1044 0.1051 0.1120 Heron 500 30/7 23.0 1162 11.09 680 0.1162 0.1162 0.1280 Hawk 477 26/7 21.8 975 8.82 640 0.1218 0.1218 0.1342 Hen 477 30/7 22.4 1108 10.59 630 0.1218 0.1218 0.1342 Flicker 477 24/7 21.5 914 7.80 630 0.1218 0.1218 0.1342 Ibis 397.5 26/7 19.9 812 7.34 560 0.1460 0.1460 0.1609 Lark 397.5 30/7 20.4 923 9.06 560 0.1460 0.1460 0.1609 Linnet 336.4 26/7 18.3 687 6.38 510 0.1727 0.1727 0.1901 Oriole 336.4 30/7 18.8 782 7.74 510 0.1727 0.1727 0.1901 Ostrich 300 26/7 17.3 613 5.73 470 0.1932 0.1932 0.2125 Piper 300 30/7 17.8 697 7.00 480 0.1932 0.1932 0.2125 Partridge 266.8 26/7 16.3 545 5.10 440 0.2175 0.2175 0.2392 Penguin 211.6 6/1 14.3 433 3.82 360 0.2745 0.2745 0.3015 Pigeon 167.8 6/1 12.7 343 3.03 315 0.346 0.3465 0.3805 Quail 133.1 6/1 11.3 272 2.43 270 0.437 0.4375 0.480 Raven 105.5 6/1 10.1 216 1.94 235 0.550 0.550 0.605 Robin 83.7 6/1 9.0 171 1.59 205 0.696 0.696 0.765 Sparrow 66.4 6/1 8.0 136 1.27 180 0.855 0.855 0.940 (1): hebras aluminio/hebras acero (2): Para conductores a 80º C; ambiente de 40º C; suave brisa de 2.2 km/h (2 ft/s) (3): Calculadas a un metro de separación Denominación comercial

Secció n de alumin io

Componentes de conductor (50 Hz) x a (3) x 'a (3)

/ km 0.2587 0.2605 0.2623 0.2636 0.2654 0.2673 0.2698 0.2716 0.2741 0.2766 0.2785 0.2791 0.2822 0.2810 0.2779 0.2853 0.2841 0.2816 0.2878 0.2882 0.2890 0.2884 0.2853 0.2897 0.2909 0.2871 0.2897 0.2912 0.2921 0.2897 0.2937 0.2928 0.2971 0.2940 0.2987 0.3027 0.2996 0.3083 0.3052 0.3120 0.3089 0.3151 0.3755 0.3959 0.4064 0.4145 0.4189 0.4190

M ·km 0.2229 0.2250 0.2263 0.2281 0.2296 0.2313 0.2333 0.2352 0.2373 0.2396 0.2412 0.2421 0.2448 0.2439 0.2423 0.2477 0.2470 0.2454 0.2499 0.2500 0.2512 0.2504 0.2487 0.2514 0.2526 0.2500 0.2518 0.2527 0.2541 0.2526 0.2550 0.2556 0.2585 0.2570 0.2595 0.2637 0.2620 0.2684 0.2670 0.2718 0.2703 0.2751 0.2828 0.2893 0.2959 0.3026 0.3090 0.3160

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Características de conductores de aluminio (  62%) Denominación comercial

Sección de aluminio

Nº de hebras

MCM Jessamine Coreopsis Gladiolus Carnation Columbine Narcissus Hawthorn Marigold Larkspur

1750 1590 1510.5 1431 1351.5 1272 1192.5 1113 1033.5

61 61 61 61 61 61 61 61 61

Diámet ro total

Peso

Resist. a la rotura

mm

Kg/Km

Ton.

38.7 36.9 36.0 35.0 34.0 33.0 32.0 30.9 29.8

2446 2226 2116 2005 1893 1781 1670 1560 1445

14.90 13.59 12.91 12.23 11.80 11.09 10.62 9.91 8.28

Cap. térmic a aprox. (1) Amp. 1550 1460 1410 1370 1320 1270 1220 1160 1130

Resistencia,

cc

25º C 50 Hz

0.0326 0.0359 0.0378 0.0399 0.0423 0.0449 0.0479 0.0513 0.0553

0.0346 0.0381 0.0399 0.0419 0.0442 0.0467 0.0496 0.0529 0.0568

/ Km

50º C 50 Hz 0.0378 0.0415 0.0435 0.0457 0.0482 0.0510 0.0542 0.0578 0.0621

Componentes de conductor (50 Hz) x a (2) x 'a (2)

/ km 0.2618 0.2673 0.2702 0.2704 0.2725 0.2740 0.2762 0.2782 0.2808

M ·km 0.2260 0.2285 0.2298 0.2313 0.2331 0.2348 0.2367 0.2387 0.2408

Mediante Definición del RMG   

Esta expresión se aplica a conductores homogéneos Para conductores ACSR, resulta una buena aproximación al ignorar las hebras de acero. En general, el cálculo resulta tedioso.

√∏ ∏

Suponer Conductor Cilíndrico Macizo Esta aproximación es tanto mejor cuanto mayor es el número de hebras del conductor r: radio del conductor cableado

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González

4.4 

Susceptancia Shunt

Este parámetro representa el efecto del campo eléctrico que rodea a los conductores. La fuente de este campo eléctrico es la carga eléctrica que se deposita en la superficie de los conductores.



Al aplicar una diferencia de potencial instantánea a dos conductores separados por una cierta distancia, éstos adquieren una carga +q (t) y -q (t). El valor absoluto de la carga dependerá de la diferencia de potencial v(t) y una constante de proporcionalidad “C”, tal que: () ()

Ley de Gauss (

)

̂

∮ ⃑ ⃑⃑⃑⃑ ⃑

̂

⃑⃑ ( )

̂

̂

⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑( )

̂

̂

( ( )) ⃑⃑⃑⃑⃑

⃑⃑⃑

∫ ⃑ ⃑⃑⃑⃑ ∫ ⃑ ⃑⃑⃑⃑

( ( ))

Concepto de capacidades parciales El concepto de capacidades parciales se puede apreciar en la figura siguiente:

En este caso aparecen tres capacidades parciales: Entre los conductores y entre cada uno de ellos y tierra. Estas son:

Cálculo de Capacidades de Líneas sin Considerar el Efecto de Tierra Esto implica considerar nulos C10 y C20 en la figura anterior. Es decir, se supone que los conductores están ubicados en un medio dieléctrico de extensión infinita, por tanto se calculará el potencial en un punto “p” debido a la presencia de “n” conductores cargados en su espacio cercano en relación a un origen arbitrario “O” y que además, son cilíndricos.

Si se asume que no hay otros conductores cargados en las cercanías, se tiene:

Esta expresión se puede reescribir como:

∑ Con εo= 8,85 * 10- 12 [F/m]: constante de permitividad del vacío (

)

∫

⃑ ⃑⃑⃑

Asimismo, la presencia de los restantes conductores hará que: (

)

∫

⃑ ⃑⃑⃑

(

)

∫

⃑ ⃑⃑⃑

(

)

∫

⃑ ⃑⃑⃑

Finalmente, la diferencia de potencial entre los puntos “p” y “O”, debido a la presencia de los “n” conductores cargados ubicados en ese espacio será: ∑

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González

[∑

]

[∑

]

Se aprecia que el segundo término es constante para una elección fija del punto “O”, por tanto: [∑

]

Si se considera que el potencial del punto “p” está referido al “O” y que la constante se eliminará en cada cálculo de diferencia de potencialmente conductores, se tiene, finalmente: [∑

]

Línea Monofásica El potencial en el punto “p”, será:

Trasladando el punto “p” a la superficie de cada uno de los conductores a y b y considerando que qa + qb= 0: ( Unidades de medida:  (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas)     

(

Recuérdese que εo es la permitividad del vacío, de valor 8,85 x10 -12 [Coulomb/volt] en el Sistema MKS. En el caso de conductores cableados “r” corresponde al radio exterior. Normalmente se expresa el valor de la capacidad por conductor, por lo que en (2.89), se ha determinado la capacidad total de la línea. Empleando el concepto de capacidades parciales, se puede representar como:

)

)

Nótese que se ha considerado que como D >> ri ; se tiene D- ra ≈ D – rb ≈ D. Entonces: √ Así la capacidad de la línea será: √ Si ra = rb = r, se puede escribir:

La Susceptancia capacitiva total de la línea será: En que el punto “n”, es un punto de potencial cero y corresponde a la mitad de la distancia que separa a ambos conductores. Se tiene:

Línea Trifásica de Disposición Equilátera Se cumple que D12 = D13 = D23 = Ds; ra = rb = rc = r;

qa + qb + qc = 0

[

]

Trasladando el punto “p” a la superficie de cada conductor y considerando que D >> r. [

]

Análogamente el potencial para los conductores 2 y 3, será: Unidades de medida:  (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas)  Esta capacidad corresponde a cada fase (conductor) con respecto a un punto de potencial cero, que en este caso, por la disposición de la línea está ubicado en el centro del triángulo equilátero, como se muestra en la figura siguiente.

[

]

[

]

Así la capacidad de la línea será:

La Susceptancia capacitiva total de la línea será: (

)

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Línea Trifásica con Transposiciones

Unidades de medida:  (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas)  [

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

Llevando el punto P hacia las superficies de cada conductor en cada ecuación respectivamente se tiene: [

]

[

]

[

]

La tensión promedio en todo el ciclo de transposiciones será:

Distancia Media geométrica: √

Este juego de ecuaciones se puede aplicar a cada tramo del ciclo de transposiciones. Sin embargo, se debe considerar que si se asume que la tensión permanece contante, el valor de las cargas debe variar dada la diferente posición que tienen los conductores en cada tramo. Si se asume que lo que permanece constante son las cargas, variará el potencial. Esta última suposición es la que se hará y en ese caso el potencial del conductor “1” en cada tramo será: [ [ [

[

]

r: radio del conductor de cada fase

] La capacidad por fase de la línea:

] ]

[

]

Y la Susceptancia capacitiva será a su vez: (

)

Línea Trifásica simple circuito con Transposiciones con conductores de fase en haz √ h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias entre los haz √

1 conductor por Fase

( (

) ) (√

)

La capacidad por fase de la línea: Unidades de medida:  (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) 

[ Y la Susceptancia capacitiva será a su vez:

]

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Líneas Trifásicas con Transposiciones en Doble Circuito

Se calculara el potencial promedio del conductor a1 y del conductor a2 en los tres tramos, para luego calcular el potencial promedio entre estas dos líneas paralelas y así obtener el parámetro Ca, desarrollo idéntico para las restantes fases.

Unidades de medida:  (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) 

Potencial en cada tramo para el conductor a1 ( )

(

( )

)

(

( )

)

(

)

En función de las distancias del primer tramo: ( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

El potencial promedio para el conductor a1: ( )

(

(

(

)

(

( )

(

( )

)

)

))

Potencial en cada tramo para el conductor a2 ( )

( )

( )

(

(

(

)

)

)

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González En función de las distancias del primer tramo: ( )

(

)

( )

( ( )

)

(

)

El potencial promedio para el conductor a1: (

(

( )

( )

(

( )

)

)

(

(

)

))

Potencial promedio entre los conductores paralelos a1 y a2 (

(

(

(

)

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

(

)

(

(

(

)

) (

))

)

(

))

)

√√ √ √(

(

)

[

La capacidad por fase de la línea:

]

Donde: √

[

√ √ √

]

√ Y la Susceptancia capacitiva será a su vez: (

√ )

√ √

)

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Línea Trifásica con Transposiciones en Doble Circuito con conductores de fase en haz Donde: √ √ √ √ √ √ √ Unidades de medida:  (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas)  La capacidad por fase de la línea:

√

Para conductores en haz: √

[

h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias entre los haz

]

Y la Susceptancia capacitiva será a su vez: (

) ( (

) ) (√

)

Cálculo de Capacidades de Líneas Considerando el Efecto de Tierra Se considera en el caso de líneas que operan en Extra Alta Tensión (EAT), ya que la separación entre conductores es comparable a la existente entre conductores y tierra. Para el análisis se harán las siguientes consideraciones:  La superficie de la tierra se considera un plano equipotencial de potencial cero y extensión infinita.  La carga en la superficie de cada conductor se supone uniformemente distribuida.  Los conductores se suponen ubicados a una altura “h” constante sobre el plano de tierra, cilíndricos, paralelos entre sí y sus radios son mucho menores que las distancias entre conductores.   

Se empleará el método de imágenes, en que a cada conductor le corresponde un conductor imagen ubicado a la misma distancia que el conductor real bajo el plano de tierra. Las cargas de los conductores imágenes son de igual magnitud y signo distinto que la de los conductores reales. Es decir: q’k = - q k Así el cálculo del potencial en un punto “p” respecto a tierra, debido a la presencia de “n” conductores cargados, se transforma en un problema de “2n” conductores (los “n” conductores reales y sus “n” imágenes). Bajo las condiciones estipuladas precedentemente, se cumple entonces que: ∑(

)

El potencial en el punto “p” será: ∑[

]

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Línea Monofásica [ ]

[

]

* Unidades de medida:  (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas)  Este caso, se considerará como una situación particular del caso general. En efecto, si se hace n = 2, se tiene: [

]

[

√ √

+

Por tanto; la capacidad total de la línea será: √ √ En términos de capacidades parciales “C” corresponde a la combinación en paralelo de C12 y la rama serie C10 y C20.

]

Trasladando el punto “p”, sucesivamente a la superficie de los conductores 1 y 2, se tiene: [

]

[

]

[

] √ √

Línea Trifásica simple circuito con Transposiciones

Unidades de medida:  (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) 

Tramo I

El voltaje en un punto P es: [

]

Llevando las distancias Da, Db, Dc, Da`Db`Dc` a la superficie del conductor a se tiene: [

]

Capitulo 4 El voltaje en un punto P es: Tramo II Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González [

]

Llevando las distancias Da, Db, Dc, Da`Db`Dc` a la superficie del conductor a se tiene: [

]

Reemplazando se obtiene: [

]

El voltaje en un punto P es:

Tramo III

[

]

Llevando las distancias Da, Db, Dc, Da`Db`Dc` a la superficie del conductor a se tiene: [

]

Reemplazando se obtiene: [

{

]

[

[

]

[

]

{

[

[

]

[

[

{

[

*

]

[ [

[

] [ ]

]]}

]

[

]

[

]

] + [

√

]

√

]+-

√

[ *

[

[

[

+

[

]

]

]]}

√

]

√

[

]

[

[ ]

[

]

[ ]

*

,

{

[

*

[ +

] ]]}

[

*

[

+

]

[ *

] +

*

*

+

*

+]}

+]

*

La capacidad por fase de la línea:

+

√

Y la Susceptancia capacitiva será a su vez:

√ [

] √

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Línea Trifásica simple circuito con Transposiciones con conductores de fase en haz √

h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias entre los haz

( Unidades de medida:  (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) 

(

) ) (√

) √ √

La capacidad por fase de la línea: [

√

]

Y la Susceptancia capacitiva será a su vez:

Líneas Trifásicas con Transposiciones en Doble Circuito Un desarrollo similar al expuesto para una línea sin efecto de tierra se puede realizar en este caso considerando las imágenes a tierra de cada conductor Donde: √ √ √ √ √ √ Unidades de medida:  (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) 

√ √ √ √

La capacidad por fase de la línea: √ √ √

√

Y la Susceptancia capacitiva será a su vez: (

)

√ √ √ √

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González Línea Trifásica con Transposiciones en Doble Circuito con conductores de fase en haz Donde: √ √ √ √ √ √ √ √ √ Unidades de medida:  (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) 

√

√ √

Para conductores en haz:

√

√

h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias entre los haz

√ √ √ √

La capacidad por fase de la línea: ( (

)

√

) (√

)

Y la Susceptancia capacitiva será a su vez: (

)

Capitulo 4 Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González

Referencias Bibliográficas [1][2][3][4][5][6][7]-

“Ñom Lufke (EL Rayo Domado)” o “Los sistemas eléctricos de potencia”, W. brokering, R.Palma, L. Vargas, 2008 “Sistemas Electricos de potencia I”, S. Carter, 2005 “Analisis de Sistemas de Potencia”, J.Grainger, W.Stevenson, 1998 “Electric Power Transmision System Engineering Analisys and Desing”, T. Gonen, 1988 “Sistemas de Potencia, Analisis y diseño”, D. Glover, M. Sarma, 2003 “Modern Power System Analysis”, D.Kothari, I. Nagrath, 2008 “Apuntes de clases EIEE, Universidad de Tarapaca”, I. Harnish, 2011