Parametros antenas

UNI-FIEE

ANTENAS

MARCIAL LOPEZ TAFUR

1. Ecuaciones de Maxwell y condiciones de frontera: Sea:

E = Campo Eléctrico B = Flujo de campo magnético H = Intensidad magnética D = Campo eléctrico de desplazamiento J = Densidad de corriente ρ = densidad de carga

∇× E = − jω B ∇× H = jω D + J ∇ gD = ρ ∇ gB = 0 ∇× J = − jωρ

(Ley de Faraday) (Ley de Ampere generalizada) (Ley de Gauss) (Continuidad de flujo magnético) (Ley de continuidad)

En el espacio libre (vacío): D = ε 0E ε 0 = 10 −9 /36π F / m permitividad del espacio libre B = µ0H

µ 0 = 4π ×10−7 Hr / m permeabilidad del espacio libre

JC = σ E D = εE

( J C : corriente de conducción, σ :

En un medio con pérdidas ( ε , σ )

∇× H = ( jωε + σ ) E + J = jω

conductividad )

 σ  ε +  E +J jω  1424 3

PermitividadCompleja

En general sí σ fuera cero ε = ε '− j ε '' A menudo es necesario encontrar soluciones a las ecuaciones de Maxwell en regiones no homogéneas para los casos: La frontera de un conductor perfecto La frontera de un conductor imperfecto La frontera entre dos medios dieléctricos diferentes.99

Conductor paralelo muy largo, su circuito equivalente para un dz es:

Aplicando Kirchof: 1

UNI-FIEE

ANTENAS

MARCIAL LOPEZ TAFUR

∂v ∂i dz ) = (iR + L ) dz ∂z ∂t ∂i ∂v i − (i + dz ) = (vG + C ) dz ∂z ∂t v − (v +

ó ∂v ∂i   = −  iR + L  ∂z ∂t   ∂i ∂v   = −  vG + C  ∂z ∂t   donde: R es resistencia por metro L es inductancia por metro C es capacitancia en paralelo por metro G es conductancia en paralelo por metro Para estado estacionario sinusoidal, usando análisis fasorial: dV = − ( R + j ωL ) I dz dI = −(G + j ωC )V ........(α ) dz Formando d2 V/dz2 y usando (α) para reemplazar dI/dz, obtenemos: d ²V = ( R + jωL )(G + j ωC )V dz ² Que tiene por solución: V =V+e

−γ z

+ γz

+V − e

donde : γ = jβ + α = ( R + j ωL)( G + j ωC) V+ y V- son las amplitudes complejas de la onda propagándose en las direcciones +z y –z respectivamente, como en la mayoría de los casos R G2 = 2, P2 = 5W es decir el producto es 10 en ambos casos.

Resistencia de Radiación: Es la resistencia equivalente que disiparía la misma cantidad de potencia que la antena radiaría cuando la corriente en esa resistencia iguala la corriente de entrada a los terminales de la antena. Para un dipolo la Ra se obtiene de la relación: 12 I 2 Ra = Pr  dl  Z ( K dl ) 2 ∴ Ra = 0 0 = 80π 2   6π  λ0 

2

p.e.: Z0 = 120π , K0 = 2π / λ0 , dl = 1m, f = 1MHz → λ0 = 300m y Ra = 0.0084Ω aunque el dipolo del ejemplo no es una antena práctica, ilustra que la Ra de una antena que es una pequeña fracción de una λ grande, es muy pequeña. Tales antenas presentan una reactancia muy alta y una eficiencia muy pobre, lo que significa muy poca ganancia. En antenas pequeñas, mucho de la potencia de entrada se disipa en pérdidas óhmicas, en vez de ser radiada. Para que sea eficiente una antena, su tamaño debe ser comparable a su λ de trabajo. Esta es la razón por la cual las antenas a baja frecuencia son torres muy altas, como las usadas en radiodifusión de AM de 530 a 1600 KHz con λ del orden de 600 a 200 metros.

Radiación de una pequeña espira de corriente: Sí r0 = λ0 la espira implica ser una fuente puntual (Dipolo magnético) Con: M = π r0 Ia z (Momento magnético del dipolo), lo que implica que existe Eφ y Hθ aφφ = −a x sen φ '+ a y cosφ ' 2

µ 0 Idle− j K0 r az 4π r Para una contribución Ir0 dφ ' µ Ir d φ ' La contribución será: 0 0 −a x sen φ '+ a y cos φ ') e− j K0 r ( 4π R 1/2 2 2 Donde: R =  ( x − r0 cos φ ' ) + ( y − r0 sen φ ') + z 2  Luego A se obtiene integrando sobre la espira de corriente: µ Ir 2π e − j K0R A= 0 0 ∫ ( −ax sen φ '+ ay cos φ ') dφ ' (∗ ) 4π 0 R Sq: A =

10

UNI-FIEE

ANTENAS

MARCIAL LOPEZ TAFUR

Integral difícil de evaluar a menos que hagamos ciertas aproximaciones en R, consideremos la zona de campo lejano r ? λ0 y r0 = λ0 lo que implica que R se cambia por r en (1/R) y x = r sen θ cos φ e y = r sen θ sen φ y r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , luego: R =  r 2 + r0 − 2rr0 sen θ ( cos φ cos φ ' + sen φ sen φ ') 

1/2

2

r0 2 indicado relativo a r 2 y (1 + u )

1/2

; 1 + u /2 para u = 1

∴ R ; r − r0 sen θ ( cos φ cos φ '+ sen φ sen φ ')

en e − j K0 r tenemos un término K0 r0 cuando sustituimos en nuestra expresión aproximada para R pero como K0 r0 = 1 y e u ; 1 + u

para u = 1 se obtiene:

e − j K0 R ≈ e − jK 0r 1 + jK0 r0 sen θ ( cos φ cos φ '+ sen φ sen φ ') 

reemplazando en (*) 2π µ Ir A = 0 0 e − j K0 r ∫ ( −ax sen φ '+ ay cos φ ') × 1 + jK0 r0 sen θ ( cos φ cos φ ' + sen φ sen φ ')  d φ ' 0 4π R los únicos términos que no integran a cero son cos 2 φ ' y s e n 2 φ ' , ambos tiene un factor de π, A=

(

) sen θ e

j µ 0 K0 π r0 2 I

− j K0 r

aφφ; aφφ = −ax sen φ + ay cos φ 4π r 1 1 ∂ MK 0 2 sen θ − j K0 r Luego: H = ∇× A = − ( rAφ ) a φφ = − 4π r e aφφ µ0 µ 0 r ∂r Donde: M = π r0 I 2

y E = − Z0 ar × H

MZ0 K0 sen θ − j K0 r e a φφ 4π r estas expresiones muestran el rol de los campos E y H y el caso de intercambio de la radiación de un dipolo magnético por el de la radiación de un dipolo eléctrico, el patrón de radiación ni la directividad han cambiado. 2π π M 2 Z 0 K0 4 2 π π M 2Z 0K 0 4 ∗ 2 2 1 Pr = 2 Re∫ ∫ Eφ Hθ r sen θ dθ dφ = sen θ sen θ d θ dφ = 0 0 16π 2 ∫0 ∫0 12π 2 1 La Ra de una espira se puede encontrar igualando: 2 I Ra = Pr ∴ E=

2

r  r = 10cm Luego: Ra = 320π  0  p.e.:  0 → Ra = 3.8 ×10 −9 Ω (Pobre radiación)  λ0   f = 1MHz Si se usan N vueltas Ra se incrementa en N2 , antenas tipo espira pequeña, son usadas como antenas receptoras en los radios portátiles, aunque son muy ineficientes, tienen aceptable performance por gran señal de entrada. La ganancia de una antena de espira pequeña es muy baja porque la resistencia óhmica del alambre es generalmente mucho mayor que Ra 4

6

Radiación de una distribución arbitraria de corriente: Consideraremos la zona de campo lejano r ? λ0 , tenemos un volumen V con J(r’):

11

UNI-FIEE

ANTENAS

MARCIAL LOPEZ TAFUR

r

r

z

R R r’ d

y

ar

d =r − R d = r 'gar

r’

x

El elemento de corriente J ( r ') dV ' contribuirá con:

µ 0 J (r ')dV '

e − j K0 R al A total donde:

4π R R = r − r ' , en la zona lejana r ? r ' , por consiguiente: ∴ R ; r − a r gr ' , quedando:

µ0 e − j K0 r J e − jK 0a r gr 'dV ' 4π r ∫V (r ) Ecuación que súper impone los efectos de cada elemento de corriente y toma en cuenta el ángulo de fase relativo o retardo de fase en la longitud del trayecto de cada contribución. ∇∇ g A 1 Sq: B = ∇ × A y E = − jω A + y considerando sólo los términos : jωµ 0ε 0 r A (r ) =

jK0 Z 0e − j K0 r  E( r ') = ar g J( r ')a r − J ( r ')  e − jK0a r gr 'dV ' y H = Y0 a r × E ∫  V 4π R La forma del integrando de esta expresión muestra que en determinadas direcciones, como la especificada por ar, sólo la corriente perpendicular a ésta contribuye al campo radiante, la razón para esto es que el campo radiante a lo largo del elemento de corriente es cero. Cuando la corriente es una línea de corriente I a lo largo de un contorno C, E(r) se puede expresar como: jK0 Z 0e − j K0 r E( r ') = ( a r ga ) a r − a  I (l ') e− jK0 ar g r 'dl ' ∫ C 4π R a está a lo largo de C en la dirección de la corriente. jK Z e − j K0 r Resumiendo: E(r ') = 0 0 f (θ ,φ ) 4π R Donde: f (θ ,φ ) describe la amplitud del patrón de radiación ó la dependencia angular de la distribución radiada en el espacio. e − j K0 r y es la onda esférica propagándose hacia fuera. 4π R

12

UNI-FIEE

ANTENAS

MARCIAL LOPEZ TAFUR

Antena tipo dipolo de media onda: z

r

θ I(z’)dz’

y

z’

I0 cosK0 z

x

−

ar

r

θ

λ0 λ ≤z≤ 0 4 4

Sí: λ0 = r a = az , r' = z az y ar ga z = cosθ jK 0 I 0Z 0 − j K0 r λ0 / 4 E= e ar cos θ − a z ) cos K0 z ' e jK 0z 'cosθ dz ' ( ∫ − λ / 4 0 4π r a z = a r cos θ − aθθ sen θ → ( a r cos θ − a z ) = aθθ sen θ j K z' − jK 0z ' λ0 / 4 e 0 + e jK 0 I 0Z 0 − j K0 r e a θθ sen θ ∫ e j K0 z 'cosθ dz ' − λ / 4 0 4π r 2 jI 0 Z 0 − j K0 r cos ( π2 cos θ ) E= e a θθ 2π r sen θ jI 0 − j K0 r cos ( π2 cosθ ) H = Hφ aφφ = e aφφ 2π r sen θ El flujo de potencia por unidad de área:

E = Eθ a θθ =

j I 0 Z0  cos ( π2 cos θ )  Re { E × H gar } = Eθ H φ =   8π 2 r 2  sen θ  La potencia radiada total se obtiene integrando sobre la superficie de una esfera de radio r: 2

2

1 2

1 2

∗

I Z 2π π  cos ( π2 cos θ )  Pr = 0 2 0 ∫0 ∫0   sen θ d θ d φ 8π sen θ   integral que se evalúa en términos de la integral de coseno ∞ cos u 2 ci x = −∫ du Resultado que esta tabulado , obteniéndose Pr = 36.565 I 0 , x u 2 1 como: 2 I 0 Ra = Pr → Ra = 73.13Ω → Z LT = 73.14Ω . 2

2

 cos ( π2 cosθ )  4π d Pr Sq: D(θ ,φ ) = → D(θ ,φ ) = 1.64   Pr d Ω  sen θ  Dmax = 1.64, para dipolo de λ0 / 2 contra 1.5 del dipolo corto, pero su Ra es mayor (73.13Ω) 2

13

UNI-FIEE

ANTENAS

MARCIAL LOPEZ TAFUR

La ganancia es G = 1.64, dado que su reactancia es cero → Zin ≈ Ra z

78º

y

Calculo de la Impedancia de la Antena de forma experimental: El caso ideal: Zc = Zin = Za = Ra , en la práctica esto se consigue para un pequeño ancho de banda Z − Zc 1+ Γ Γ= a y VSWR = , aceptable sí VSWR < 1.5 ó Za + Zc 1−Γ Γ= 0.2 (4% de coeficiente de reflexión). Pr + Pd + 2 jω (Wm −We ) , ∗ 1 2 I0 I0 donde: Pr: Potencia radiada Pd : Potencia disipada en pérdidas óhmicas Wm : Energía magnética promedio We: Energía eléctrica promedio almacenada en el campo cercano reactivo I0 : Corriente de entrada en los terminales de la antena. Za =

Γ ↵

Zc

Za

Cuando las energías magnéticas y eléctricas almacenadas son iguales, una condición de resonancia existe y Za se desvanece. Para un dipolo delgado esto ocurre cuando la longitud de la antena es cerca de un múltiplo de media longitud de onda (λ/2) Calcularemos la resistencia óhmica encontrando la potencia disipada por el efecto pelicular (Skin) usando resultados anteriores, consideremos un dipolo de λ/2 hecho de una barra de cobre de radio r0 , la IT = I0 cosK0 z, la densidad de corriente superficial es (I0 /2πr0 )cosK0 z (asumiendo que I0 es real): Pd =

1 2

∫

π

0

2

 I  cos2 K 0 z r0 dφ ∫− λ / 4  0  dz 0 σδ S  2π r0  λ0 / 4

2

λ  I  1 λ0 2 Pd = 2π r0 0  0  = 12 I 0 R , donde R = 8  2π r0  σδ S 8π r0 σδ S

ejemplo: r0 = 0.5cm, λ0 = 3cm (100MHz )

→ δ S = 6.6 ×10 −6 m, en el Cu. y R = 0.062Ω

el cual es R = Ra ( Ra = 73.13Ω ) Sí la corriente sobre la antena fuera uniforme como en el primer ejemplo la 14

UNI-FIEE

ANTENAS

MARCIAL LOPEZ TAFUR

l λ0 = , la ecuación de R es de un factor de 50% menos debido a la 2π r0σδ S 4π r0σδ S variación cosinusoidal de la corriente. El valor promedio de cos 2 K0 z reduce a la mitad la disipación y consecuentemente la resistencia óhmica efectiva. R=

l / λ0 ≈ 0.48 → X a = 0 → Ra ≈ 73Ω We = Wm l / λ0 ≈ 0.8a0.9 , en este punto la resistencia de radiación es grande porque la corriente es muy pequeña, desde que la onda estacionaria de corriente en la antena ahora tiene un mínimo en vez de un máximo en los terminales de entrada. R in (Ω)

Za

l

l/d = 400

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200

l/d = 100 l/d = 20 l/λ0

d

0.25 0.5

0.75 1.0

1.25

Sí el grosor de la antena se hace más pequeño el segundo punto de resonancia se mueve hacia l/λ0 = 1 y la resistencia de radiación alcanza valores de miles de ohmios. Para una antena maciza la RR y X son más uniformes con cambios en l/λ0 , característica deseable si la antena va a ser operada sobre una banda de frecuencias. Resonancias adicionales ocurren con cada incremento de l en λ0 /2. Note también que la antena con l/λ0