Paradojas Intuición y Lógica Amor

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Paradojas, intuici6n y 16gica Introduccion a intuicion es una apreciacion irunc-diata de Ia realidad, que hace surgir una idea o concepto, de modo espontaru;o y natural, de acuerdo a nuestra experiencia y sin que medi e el ra B. Definime»; entonces F: P(A) · --> P(B) tal que st x E P(A ). F(x) = f[x] = lf(y) I y Ex}.

No. 29 ENERO 19'J3

Proposicion. Si A - B entonces P(A) - P(B) :

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~--

Intuicion sobre e! concepto de conjunto Intuitivament~ decimos que un conjunto es una coleccion de objetos que ctunplen a!guna propiedad. Asi, si P es una propiedacl, entonce:s {xI x cumple P} es un conjunto. Est.a es una fommlacion intuitiva, dara y uti! del concepto ce wnjunto. Sin embargo, si considerarrn.:">s !a propiedad: .. ser un .:onjtmto y no pertenecer a si m.ismo .. , iendrernos el conjunto:

B

=

{xI xes un conjunto y xi x

l-

~Es B re.almente un conjunto? i,Exi::ste en el nniver.:o de los conjuntos? Observese que para todo objeto x, x E B = x es un conjunto

)" X!£ X.

Entonces para cua!quier conjunto x. :x E: B = :x i x. Si B es realmente un conjunto, en p:articular para B tenemos: BEB=B!t.B

,~

L Es f:icil verificar que P(A) 1-J)

Six~

x' y yE x-x'

F P(B):

= j(y)

EF(x)- F(x') :. F(x)

~

F(x·).

sobre) Si z EP(B) = z~B y sea Xz = {yEA /f(y)Ez} :.F(x,) = f{xj = (f(y)jyExJ = Z. Se pregunla ahora Ia implicacion i:wersa: (,Si P(A) - P(B) con A y B , conjtmtos infinitos, entonces A- B? Nuevamente, Ia respuest.a es : no lo sabemos; pero adem:is no lo pcdemos saber jes una afirmacicn indemostrable e irrefutable' Lo anterior es equivalenle a Ia pregunta formulada en ferminos de cardinales infinitos K, A, de !a sigt.ientc manera:

Se denota con ~o. K '· K 2.••• a los primeros numeros cardinales tri\Il.Sfinitos, y estos cwnplen Ia relacion de orden estricto Ko < K1 < ~ 2 < ... y~o es el nillnero cardinal del conjtmto de los nillne;os n;~turales, asi como de cualquier conjunto biyectable con el. Si K y A. son cardinales transfinitos, es posible (logicamente posible) que 2• = 2" y K ~ 1.. Esto se baS y No hay vert ice de G tal que este (x esta lconeclado hacia todos los vertici'-.S iconectado jque :.o es tan conectados hacia si ~go.:i..;;d.::a_G.::·_..ll.:..h:.:.:~.::c.:..ia:....~.y.L)____. I.:. m.:. i.:. st:.:n:.:o.: s~y'-·-=-solo hacia:...e:::s::.:o:..:s:...__ _ _..J

Los vertices de luna grafica

Asi pues, Ia logica de primer orden muestra que: i. Es una imposibilidad logica Ia existencia del conjunto de

RusSP.Il.

--

ii. El principia de abstraccion o compresion: para cualquier propiedad P, existe el conjunto d: los obj~tos que cumplen Ia propiedad P; o bien en simbolos, si B(x) denota una propiedad acerca de x: 3y\:fx(xE:y =

B(x))

es falso en general. iii. La teoria intuitiva de conjunios es inconsistentc. iv. El concepto de conjunto como "coleccion de individuos que cumplen una propiedad" o como "Ia extension de tma propiedad", atmque intuitivamente muy clar, es err6nco, lo que muestra que Ia intuicion falla. De lo anterior, Ia paradoj:t, como problema, e:;ta totalmcnte No. 29 ENERO 1993

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Ejcmplos de elias son las -;>ruebas" de que 2= I en las cuales se hacen divisiones en!re c~ro, y las f:;mosas paradojas de Zenon en Ia~ cuales hay llTJa falacia en el argumento, por ejemplo que toda suma con un numero infinito de stunandos es infinita, lo ct1:1l es falso en generaL A continuacion damos algunas aparentes paradojas que realmente no lo son: a. Supong:::nos que Epirnenides es cretense y dice: "todos los cretenses son mentirosos-. No hay paradoja algun.a, si:rnplemente se concluye, por reduccion al absurdo, que: i. Epimenides es un mentire:so. ii. Algw1os cretenses no sor: mentirosos. b. lmaginemos una isla en Jonde todos los individuos son o mentirosos o veraces y un nativo dice "yo soy mcntirow-. No hay paradoja algun.a , simplemente, ahi no es posible que un nativo diga eso; es un engmo. (La prueba de el!o es por reduccion al absurdo.)

Intuicion y Ia paradoja del mentiroso Finalmente quie rc discutir Ia mas famoS'l paradoja; la llamada paradoja del mentiroso y su aclaracion: Si Epimenides fuera el unico cretense y dice: "Todos los cretenses son mentir0SOs" , entonces si tendriamos una paradoja, equivaJente a !a ver.>i6r- de aue una Fersona dice: "yo estoy mintiendo" : si mien!e dice Ia verdad y si dice l;;. verciad miente. No habria paradoja si suponemos 2demis que fuer;~ una persona consecuente o ··inva-

riante rt!:peclo a !a verdad", con lo q= tendriamos un caso ami:... al caso b anterior. Pero sino suporlelDOS eso, tenemos una parafhj' es decir, una contradicci6n con nues:tr;; inh.:ici6n, en este caso C( nuesira intuicion sobre el concepto de verdad. La siguiente version equivalente, es a Ia que nos referirern· como Ia paradoja del mentiroso; con:slderese Ia siguiente oraciorr ESTA ORACION ES FALSA

(:

i,Esa oracion es verdadera o faisa? Para decidir si una oraci6n es verdadera, tenemos que ente1 ";~ •· el significado de !a oracion misrna , es decir, tenemos que &~ ~,,. que es lo que Ia oracion afirma. Veamos algunos ejemplos: i. '2 + 2 = 4', ~es verdadera? Sabemos que el significado usual de '2 + 2 = 4' es 2 + 2 = 4 > sabemos tambien que efectivamente 2 + 2 = 4 per lo qu,~ '2 + 2 = 4' es verdadera, en Ia interpretacion usual de Ia aritmetica . ii. -Esta oracion tiene cinco pala&ras", i,e5 verdadera? Sabemos cual es el significado de -Esta oracion ti ene cine:' palabras" y es: que Ia oracion "Esta oracion tiene cinco pah bras" tenga cinco palabras, y sabemos tambien que efectivamen· te tiene cinco palabras, per lo que "F..sta oracion tiene cinco pa· labras" es verdadera. Sin embargo, 1,que pasa con el emmciado (1)? Veamos otrc· ejemplo: .. Esta oracion es verdadera", l,e5 , ·erdadero? El significado de '·Esta orac:ior. es verdade ra" , es qlie : "2t:· oracion es verdadera .. cs verdadera, por lo que no es posible sa ber su significado ya que su significado se refiere a su verdad y su verdad se refiere a su sig'1ifica•:k>. Este tipo de or.1ciones s': llaman no bien fundadc.s , Vease (4). Obser-lese que el problema no -e.s la uutorreferen..:ia , pue.s !l( hubo probiema en el c:jemplo ii anterior; e! probler.1a es el he · cho de ser no bien fundada. Algunos ejemplos de oraciones " " bien fundadas son:

Esta oraci6n es falsa. Esta oracion es verdadera. l) La oracion que sigue es verdadera. 2) La oracion aJJterior es falsa .

l) Esta oracion ti ene cinco paiabr-as. 2) Esta oracion tiene ocho palabras.

3)

Un::~

de las oraciones

cs verdadera y solo una.

La p~radoja del mentiroso y todas sus variantes se bas.1.n en d uso de oraciones no bien fundacias, !as cuales no iransmiten infor· macion algtma por lo que no son rea lmente oraciones y no se puede decir de ell:>.s que sean verdaderd.S o falsas. Esta es Ia aclara· cion de Ia paradoja del mentiroso, pues no tiene sentido pregtmtarse si sou verdaderas o falsas porque por ser no bien fundadas, nc infonnan nada y no son calificab!es como verdaueras o faisas. El c.oncepto intuitive de verdad indica que un enunciado es verdadero en una interpretacion dada, si su significado se refiere a un hecho en esa interpretacion nes errcne.as, solo chocan con nuestras intuiciones, pero serin eseas ultimas, ias intuiciones, las equivocadas y ias que tendremos que cambiar, aunque esto nos sea intelectualmente dilicil. Creemos que eso mejora nuestra intuicion. Es importante mencionai que muchas paradojas contienen ideas nuevas que {:on una pequeJia modificacion nos !levan a un nuevo descubrimiento import.211te. Algunos ejemplos rustoricos de este proceso heuristico son los siguienies: 1. La existencia de los incorunensurables, a partir de Ia paradeja par-a los pit~.g6ricos de que el !ado del cuadrado fuera inconmensurnble con Ia diago:1al. 2. La creadon de las geometrias no euclideanas, cambiando Ia intuicion equivocada de que Ia t'mica geometria posi ble era Ia euclideana. 3. La definicion de infinito de Dedekind, tom:mdo como concepto, precisaJT!ente lo que se habia considerado paradoja: que un conjunto fuera biyectable con un subconjtmto propio. 4. La prueba del Teorema de Incompletud de Ia Aritmeiica, de Gooel, cambiando en Ia paradoja del mentiroso, el concepio •talsoM por ei de "indemostrable~, con lo cual se construye un enunciado verdadero en Ia aritmetica, pero indemostrable.

hll¥~

5. El concepto iterative de conjun:o, base intuit iva de Ia axiomatica de Ze;melo Fraenkel, cambiandv Ia concepcion extensional de conjunto, porIa concepcion constru..."1jva de conjunto. En general, convcrtir una apare:-~te imposibilidad paradojica en una nueva posibiiidad creativa, C3.Il1biando Ia intuicion, puede llevamos a un descubrimiento impcrtante. Quiero terminar con una cita ee Quine: ~ ... nu estro sentido comtm respecto a conjuntos, adjetivos y otros conceptos, proviene de los te6ricos de la edad de ;:iedra ... quienes se equivoca ron.~[l] •:•

Referencias y bibliografia ! . Quine, Vv. V., ''Russel!'s Parndox ;c_-,d Others~. The Tecllllology Review, noviembre, ! 941. 2 . . Quine, W. V., "Parndox", Tir e Fot.r.dntiorL~ of Mathematics, abril, 1962. 3. Amor, J. A., "La paradoja de Russd l cs una imposibilidad logica", Miscellmea Matemirica , n